甘肃高考分数线-小学健康教育课教案

2018年上海市复旦附中高考数学三模试卷

一.填空题
1．（3分）已知集合M＝{x|y＝lgx}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝ ．
2．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为 ．
3． （3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝6，c＝4，sin＝
则b＝
4．（3分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频
率 分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个
的天数为 ．
，

5．（3分）现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是
（结果用分数表示）
6．（3分）在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心到极轴距离为 ．
7．（3分）无穷等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a< br>1
＝2，且S
2015
+2S
2016
＝3S
201 7
，则无穷
等比数列{a
n
}的各项和为
8．（3分） 如图，正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AB＝4，AA
1
＝6．若E，F分别是棱BB
1
，CC
1
上的点，则三棱 锥A﹣A
1
EF的体积是 ．
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9．（3分）设直线2x+3y+1＝0和圆x+y﹣2x﹣3＝ 0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分
线方程是 ．
10．（3分）在平面直角坐 标系xOy中，抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，双曲线
2
22
﹣
＝ 1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若
直线AB 恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 ．
11．（3分）在边长为6的等边△ABC中，点M满足
x
，则等于 ． < br>12．（3分）已知函数f（x）＝2（x∈R），且f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）为奇 函数，
h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则 实数a的
取值范围是 ．
13．（3分）已知圆O：x+y＝1，O为坐标原点，若 正方形ABCD的一边AB为圆O的一条
弦，则线段OC长度的最大值是 ．
14． （3分）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE＝
PD，AE＝ l为定长，则该棱锥的体积的最大值为
22

二.选择题
15 ．（3分）在等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2
+a
4
+a
15
的值为常数，则下列为常数的是
（ ）
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A．S
7
B．S
8

＝
C．S
13
D．S
15

16．（3分）矩阵的一种运算
y）在矩阵
，该运算的几何意义为平面上的点（x，< br>22
作用下变换成点（ax+by，cx+dy），若曲线x+4xy+2y＝1，在矩阵
22
的作用下变换成曲线x﹣2y＝1，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣4
17．（3分）函数y＝f （x）是R上的增函数，则a+b＞0是f （a）+f （b）＞f （﹣a）+f （﹣
b）的（ ）条件．
A．充分不必要
C．充要
33
B．必要不充分
D．不充分不必要
18．（3 分）有一容积为acm的正方体容器ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，在棱AB、BB
1
和面对角线
BC
1
的中 点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）
A．acm
三.解答题
19．已知三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝ （c﹣a，b﹣a），
＝（a+b，c），且∥．
（1）求角B的大小；
（2）求sin A+sin C的取值范围．
20．如图，空间直角坐标系中，四棱锥P﹣ OABC的底面是边长为的正方形，且底面在
33
B．acm
33
C．acm
33
D．acm
33
xOy平面内，点 B在y轴正半轴上，PB⊥平面OABC，侧棱OP与底面所成角为45°；
（1）若N（x，y，0 ）是顶点在原点，且过A、C两点的抛物线上的动点，试给出x与y
满足的关系式；
（2）若 M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为a（0＜a＜2），写出M、N
两点之间的距离d （x），并求d（x）的最小值；
（3）是否存在一个实数a（0＜a＜2），使得当d（x）取得最 小值时，异面直线MN与
OB互相垂直？请说明理由；
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21．已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）＝a+k•b；
（1）设a＞1，ab＝1，若f（x）是奇函数，求k的值；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）设 a＝2，b＝，k＞0，函数f（x）的图象是否关于某垂直于x轴的直线对称？如
果是，求出该对称轴 ，如果不是，请说明理由；
22．已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别
xx< br>为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且+＝λ（+）（λ∈R，|λ|＞1）．设AP、
BP 、AQ、BQ的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
、k
4
．
（1）求证：点P，Q，O三点共线；
（2）求k
1
+k< br>2
+k
3
+k
4
的值；
（3）设F
1、F
2
分别为双曲线和椭圆的右焦点，若QF
1
∥PF
2
，求k
1
+k
2
+k
3
+k
4
的值．
23．已知S
n
是数列{a
n
}的前n项和，对任意n∈N，都有（ 1﹣m）S
n
＝﹣ma
n
+4（m＞0）；
（1）若m＝4，求证：数列{}是等差数列，并求此时数列{a
n
}的通项公式；
•4}是等比数列，并求此时数列{a
n
}的通项公式；
n
*n< br>2222
（2）若m≠4，求证：数列{a
n
+
*
（3）设b
n
＝

（n∈N），若|b
n
|≤2，求实数m的取值范围；

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2018年上海市复旦附中高考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题
1．（3分）已知集合M＝{x|y＝lgx}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝ {x|0＜x≤1} ．
【分析】求出M与N中x的范围分别确定出两集合，求出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y＝lgx，得到x＞0，即M＝{x|x＞0}，
由N中y＝，得到1﹣x≥0，
2
解得：﹣1≤x≤1，即N＝{x|﹣1≤x≤1}，
则M∩N＝{x|0＜x≤1}，
故答案为：{x|0＜x≤1}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为 ．
【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．
【解答】解：∵|4+3i|＝．
由（3﹣4i）z＝|4+3i|，得（3﹣4i）z＝5，
即z＝
∴z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（3 分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝6，c＝4，sin＝
则b＝ 6
【分析】由已知利用二倍角公式可求cosB的值，进而根据余弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵sin＝
∴cosB＝1﹣2sin
2
．
，
，a＝6，c＝4，
）＝，
＝6．
2
＝1﹣2×（
22
∴由余弦定理b＝a+c﹣2accosB，可得：b＝
故答案为：6．
第5页（共23页）

2

【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
4． （3分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频
率分布直方图． 若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个
的天数为 9 ．

【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．
【解答】解：根据频率分布直方图，得：
日销售量不少于150个的频率为（0.004+0.002）×50＝0.3，
则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：30×0.3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率＝
题，是基础题目．
5．（3分）现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是
（结果用分数表示）
【分析】基本事件总数n＝，排头和排尾均为女生包含的基本事件个数m＝，由

的应用问
此能求出排头和排尾均为女生的概率．
【解答】解：现有5个女生和3个男生随机站成一排，
基本事件总数n＝，
， 排头和排尾均为女生包含的基本事件个数m＝
∴排头和排尾均为女生的概率p＝＝＝．
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故答案为：．
【点评】 本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想， 是基础题．
6．（3分）在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心到极轴距离为 1 ．
【 分析】由已知中圆的极坐标方程为ρ＝2sinθ，我们分别取θ＝0，θ＝，并由此可以
确定出圆的一 条直径两端点的坐标，进而代入中点坐标公式，即可得到答案．
【解答】解：∵圆的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
则它表示过极坐标原点，（2，
故圆心落在 （1，）点．
）点的，以2为直径的圆
在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心到极轴距离为：1．
故答案为：1．
【点 评】本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中根据已知圆的极坐标方程确
定圆直径及直径两端点 的坐标是解答本题的关键．
7．（3分）无穷等比数列{a
n
}的前n项和为Sn
，若a
1
＝2，且S
2015
+2S
2016
＝3S
2017
，则无穷
等比数列{a
n
}的各项和为 【分析】先分类讨论，当q＝1时不成立，则q≠1，根据S
2015
+2S
20 16
＝3S
2017
，解得q＝
﹣，再根据等比数列的求和公式和极限的思想 即可求出．
【解答】解：设公比为q，a
1
＝2，且S
2015
+ 2S
2016
＝3S
2017
，
当q＝1时，2015×2+2×2016×2≠3×2×2017，
∴q≠1，
∴
∴1﹣q
2
2015
+
+2﹣q
2017
＝＝3﹣3q
2017
，
，
即3q﹣2q﹣1＝0
解得q＝﹣，或q＝1（舍去）
∴无穷等比数列{a
n
}的各项和S
n
＝
第7页（共23页）

＝＝[1﹣（﹣）]，
n
当n→+∞时，[1﹣（﹣）]→，
故无穷等比数列{a
n
}的各项和为，
故答案为：
【点评】本题考查了等比数列的求和公式和，极限思想，属于中档题．
8．（3分）如图，正 三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AB＝4，AA
1
＝6．若E，F分别是棱BB
1
，CC
1
上的点，则三棱锥A﹣A
1
EF的体积是 8 ．
n

【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥 A
1
﹣EFC
1
B
1
和三棱锥A﹣BCFE的体积．
【解答】解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC
1
B
1
，平面ABC∩平面BCC
1
B
1
＝BC， AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BCC
1
B
1
．
∵△ABC是等边三角形，AB＝4，
∴AD＝2．
∵AA
1
∥ 平面BCC
1
B
1
，E，F是BB
1
，CC
1的中点，
∴V
A
﹣
BCFE
＝
∴＝

＝
﹣2V
A
﹣
BCFE
＝
＝
﹣2×
＝8
＝8
，
．
故答案为：8
第8页（共23页）

【点评】本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．
9．（3分）设直线2 x+3y+1＝0和圆x+y﹣2x﹣3＝0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分
线方程是 3x﹣2y﹣3＝0 ．
【分析】联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公 式求出中
点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可
得到中垂线的解析式．
【解答】解：联立得：
﹣7＝0
因为点A和点B的中点M的坐标为（x＝
可得：M（，﹣）；
，y＝），利用根与系 数的关系
解得：13x﹣14x﹣26＝0，同理解得13y+18y
22
22
又因为直线AB：2x+3y+1＝0的斜率为﹣，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1可知垂直
平分线 的斜率为；
所以弦AB的垂直平分线方程为y+
故答案为3x﹣2y﹣3＝0．
【 点评】考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为﹣1，会求线段中点的坐标，根据条件
能写出直线的一般 方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ 2px（p＞0）的焦点为F，双曲线
2
＝（x﹣），化简得3x﹣2y﹣3＝0
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若
直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 y＝±2x ．
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【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A ，B，再由
A，B，F共线，可得
2
＝，即有b＝2a，进而得到双曲线的渐近线方程 ．
【解答】解：抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），
双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
代入抛物线的方程，可得A（
由A，B，F三点共线，可得：
＝，即有b＝2a，
，），B（，﹣），
则双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的方程和性质，主要是 渐近线方程的运用
和求法，考查运算能力，属于中档题．
11．（3分）在边长为6的等边△ ABC中，点M满足
【分析】由
＝
【解答】解：∵
∴
则
＝< br>故答案为：24
【点评】本试题考查了向量的数量积的基本运算．考查了基本知识的综合运用能力．
12．（ 3分）已知函数f（x）＝2（x∈R），且f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，
h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的
x
，则
，代入到＝
等于 24 ．
，可得
，可求
，

＝
＝
＝
＝
＝
＝24
第10页（共23页）

取值范围是 a≥﹣ ． 【分析】先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个
表达式不 等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥＝＝
）×，通过换元，讨论出右边在x∈（0，1 ]的最大值，可以得出实
数a的取值范围．
【解答】解：∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数
∴g（﹣x）＝﹣g（x），h（﹣x）＝h（x）
又∵由h（x）+g（x）＝2，
h（﹣x）+g（﹣x）＝h（x）﹣g（x）＝2，
∴h（x）＝，g（x）＝
﹣
x
x
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为a
≥0，x∈[1，2]
∵1≤x≤2∴2﹣2＞0
令t＝2﹣2，
整理得：a≥
＝t＝（
＝
），则由


＝
可知y＝（t+）在[

]单调递增
﹣
x
x< br>﹣
x
x
∴当t＝﹣时，
因此，实数a的取值范围是a≥
故答案 为a≥﹣
【点评】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，
合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．
13．（3分 ）已知圆O：x+y＝1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条
弦，则线段OC长 度的最大值是 +1 ．
22
【分析】设正方形边长为a，∠OBA＝θ，从而在△OBC中 ，计算OC的长，利用三角函
第11页（共23页）

数，可求OC的最大值．
【解答】解：如图，设正方形边长为a，∠OBA＝θ，则cosθ ＝，θ∈[0，
在△OBC中，a+1﹣2acos（
22
2
）．
+θ）＝OC，
2
2
∴OC＝（2cosθ）+1+2•2cosθ•si nθ＝4cos
θ+1+2sin2θ＝2cos2θ+2sin2θ+3＝2
）+3，
∵θ∈[0，
∴2θ+
∴2θ+
∈[
＝
），
，），
2
sin（2θ+
时，OC的最大值为2
+1
+3
∴线段OC长度的最大值是
故答案为：+1

【点评】本题 考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC
关于θ的三角函数，属于中档题 ．
14．（3分）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE＝< br>PD，AE＝l为定长，则该棱锥的体积的最大值为
第12页（共23页）

【分析】设正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，则该三棱锥的高 为h＝
求出底面积，代入三棱锥体积公式，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：如图，设正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，
则该三棱锥的高为h＝
∴该棱锥的体积V＝
，

，
＝＝＝．
∴该棱锥的体积的最大值为
故答案为：．
．

【点评】本题考查棱锥体积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基
本不等式求最值，属难题．
二.选择题
15．（3分）在等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2
+a
4
+a
15< br>的值为常数，则下列为常数的是
（ ）
A．S
7
B．S
8
C．S
13
D．S
15

【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
第13页（共23页）

【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
2
+a
4
+a
15
＝3a
1
+18d＝3a7
为常数，
∴S
13
＝
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
16．（3分）矩阵的一种运算
y）在矩阵
＝，该运算的几何意义为平面上的点（x，
22
＝13a
7
为常数．
作用下变换成点（ax+by，cx+d y），若曲线x+4xy+2y＝1，在矩阵
22
的作用下变换成曲线x﹣2y＝1，则a+b 的值为（ ）
A．﹣2 B．2
22
C．±2 D．﹣4
的作用下的 点为（x′，y′），【分析】设（x，y）是曲线x+4xy+2y＝1的点，在矩阵
得出关于a，b 的方程组，从而解决问题．
【解答】解：设（x，y）是曲线x+4xy+2y＝1的点，在矩阵
y′），
即
2
22
的作用下的点为（x′，
，又x′﹣2y′＝1，
22222
22
∴（x+ay）﹣2（bx+y）＝1，（1﹣2b）x+（2a﹣4b）x y+（a﹣2）y＝1．
故，解得：a＝2，b＝0，
∴a+b＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求 解能
力，解答的关键是利用待定系数法求解a，b；属于基础题．
17．（3分）函数y＝f （x）是R上的增函数，则a+b＞0是f （a）+f （b）＞f （﹣a）+f （﹣
b）的（ ）条件．
A．充分不必要
C．充要
B．必要不充分
D．不充分不必要
【分析】题考查的知识点是充要条件的定义及函数的单调性，由a+b＞0 可知，a＞﹣b，
b＞﹣a，又y＝f（x）在R上为增函数，故f（a）＞f（b），f（b）＞f（ ﹣a），反过来，
第14页（共23页）

由增函数的概 念也可推出，a+b＞（﹣a）+（﹣b）；根据充要条件的定义，我们易得到结
论．
【解答】解：∵a+b＞0
∴a＞﹣b，b＞﹣a，
又∵y＝f（x）在R上为增函数，
∴f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），
则f （a）+f （b）＞f （﹣a）+f （﹣b）
反之，若f （a）+f （b）＞f （﹣a）+f （﹣b）
∵y＝f（x）在R上为增函数，
∴a+b＞（﹣a）+（﹣b）．
即a+b＞0
故a+b＞0是f （a）+f （b）＞f （﹣a）+f （﹣b）的充要条件．
故选：C．
【点评】判断充要条件的方 法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命
题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命 题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必
要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则 命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不 必要条件．⑤
判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
18．（3分）有一容积为acm的正方体容器ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，在棱AB、BB
1
和面对角线
BC
1
的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则其可装 水的最大容积是（ ）
A．acm
33
33
B．acm
33
C．acm
33
D．acm
33
【分析】根据正方 体的几何特征，选取过E，B
1
，G三点的平面去截正方体，根据棱锥
的体积公式，易 求出切下的小三棱锥的体积，进而求出剩下的即容器可装水的容积，则
答案可求．
【解答】解：如图，以E，B
1
，G三点组成的平面去截正方体，截去一个三棱锥，
其底面为△EBB
1
，面积S＝a×
截去一个三棱锥体积为V＝S•h＝＝，高为h＝a，
，
当E，B
1
，G三点在同一水平面时，F点在水平面之上，E，F，G三点都不漏水．
第15页（共23页）

其可装水最大容积
故选：C．
cm．
3

【点评】本题 考查的知识点是棱锥的体积，其中根据正方体的几何特征确定出选取过E，
B
1
，G三 点的平面去截正方体时，该容器可装水的容积最大是解答本题的关键，是中档
题．
三.解答题
19．已知三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝（c﹣a，b﹣a），
＝（a+b，c），且∥．
（1）求角B的大小；
（2）求sin A+sin C的取值范围．
【分析】（1）利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得a，b和c的关系式， 代入
余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据（1）中B，可知A+C＝，进 而可把sinC转化成sin（﹣A），展开后，
利用两角和公式化简，利用A的范围来确定sinA+ sinC的范围．
【解答】解：（1）∵向量＝（c﹣a，b﹣a），＝（a+b，c），且∥．
∴c（c﹣a）＝（a+b）（b﹣a），
∴c﹣ac＝b﹣a，
∴cosB＝
∴B＝．
＝，
222
（2）∵A+B+C＝π，
∴A+C＝，
﹣A）＝sinA+cosA+sinA＝sin（A+）， ∴sinA+sinC＝sinA+sin（
第16页（共23页）

∵0＜A＜
∴＜A+
，
＜，
）≤1，
．
∴＜sin（A+
∴＜sinA+sinC≤
【点评】本题主要考查了余 弦定理的应用，两角和公式的化简求值．考查了学生分析问
题的能力和基本运算的能力．
20 ．如图，空间直角坐标系中，四棱锥P﹣OABC的底面是边长为的正方形，且底面在
xOy平面内，点 B在y轴正半轴上，PB⊥平面OABC，侧棱OP与底面所成角为45°；
（1）若N（x，y，0 ）是顶点在原点，且过A、C两点的抛物线上的动点，试给出x与y
满足的关系式；
（2）若 M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为a（0＜a＜2），写出M、N
两点之间的距离d （x），并求d（x）的最小值；
（3）是否存在一个实数a（0＜a＜2），使得当d（x）取得最 小值时，异面直线MN与
OB互相垂直？请说明理由；

【分析】（1）根据题意，求得A点坐标，代入抛物线方程，即可求得x与y的关系式；
（2 ）设M和N点坐标，根据两点之间的距离公式，利用二次函数的性质，即可求得d
（x）最小值； （3）由（2）可知：当a∈（0.5，2），当d（x）取得最小值时，求得x＝
直线MN与OB 垂直时，y
M
＝y
N
，代入即可求得a的值．
【解答】解：（1）由四棱锥P﹣OABC的底面是边长为
∴x与y满足的关系式：y＝x；
（2）设M（0，a，a），N（x，x，0），则d（x）＝
第17页（共23页）

2
2
2
，由异面
的正方形，则A（1，1，0），
，

当a∈（0，0.5]，d（x）
min
＝< br>当a∈（0.5，2），d（x）
min
＝
a，
；
（3）当a∈（0，0.5]，异面直线MN与OB成45°角，不符；
∴a∈（0.5，2 ），当d（x）取得最小值时，x＝
当异面直线MN与OB垂直时，y
M
＝y
N
，
即＝a，无解．
2
，y＝，
【点评】本题考查抛物线的方 程，异面直线所成的角，点两点之间的距离公式及二次函
数的性质，考查转化思想，属于中档题．
21．已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）＝a+k•b；
（1）设a＞1，ab＝1，若f（x）是奇函数，求k的值；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）设 a＝2，b＝，k＞0，函数f（x）的图象是否关于某垂直于x轴的直线对称？如
果是，求出该对称轴 ，如果不是，请说明理由；
【分析】（1）根据已知条件，将b＝代入函数表达式，得f（x）＝a+ k•a，再利用奇
函数定义，用比较系数的方法，求出k的值，
（2）因为a＞1，0＜b＜ 1，根据指数函数单调性的定理，可得函数y＝a是增函数，y＝
b减函数，再根据函数单调性的运算法 则，得出函数f（x）＝a+k•bR上的是增函数，
最后用函数单调性的定义加以证明；
（ 3）根据函数（fx）＝2+k•2
x
﹣
x
xx
x
﹣
x
x
xxx
的图象是轴对称图形且对称轴是直线x＝m，则函数（fx+m）
是偶函数，即得到即对任意实数x，f（m﹣x）＝f（m+x），代入表达式，采用比较系数法，
可 得2﹣k•2
m
﹣
m
＝0，最终求出．
x
﹣
x< br>﹣
x
【解答】解：（1）由已知，b＝，于是f（x）＝a+k•a，则f（﹣x）＝a +k•a，
若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即a+k•a＝﹣（a+k•a），
所以（k+1）（a+a）＝0对任意实数x恒成立，所以k＝﹣1．
（2）因为a＞1，0＜b＜1，所以函数y＝a是增函数，y＝b减函数，
由k≤0知，y＝a+k•b是增函数，所以函数f（x）在R是增函数．
证明如下：
第18页（共23页）

xx
xx
x
﹣
x
﹣
x
x
xx
﹣
x

设x
1
、x
2
∈R且x
1
＜x
2
，
则f（x
2
）﹣f（x
1
）＝+k﹣﹣k＝（﹣）+k（﹣），
因为a＞1，0＜b＜1，x
1
＜x
2
，k≤0，
所以﹣＞0，k（﹣）≥0，
所以f（x
2
）﹣f（x
1
）＞0，
所以函数f（x）在R是增函数．
（3）f（x）＝2+k•2，若函数f（x）的图象是轴对称图形，
且对称轴是直线x＝m，则函数f（x+m）是偶函数，
即对任意实数x，f（m﹣x）＝f（m+x），
2
m
﹣
x
x
﹣
x
+k•2
﹣（
m
﹣
x
）
＝2
m+x
m
+k•2
﹣（
m+x
）
，
化简得（2﹣2）（2﹣k•2
x
﹣
x
﹣
m
）＝0，
因为上式对任意x∈R成立，
所以2﹣k•2
m
﹣
m
＝0，
m＝log
2
k＝log
4
k，
所以，函数f（x）的图象是轴对称图形，其对称轴是直线x＝log
4
k．
【点评】本题是一道函数综合题，着重考查了函数的单调性与奇偶性和函数图象的对称
性，解题时要注 意有关定义和结论的正确理解与准确应用．属于难题．
22．已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点， P、Q分别
为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且+＝λ（+）（λ∈R，|λ|＞1）．设AP、
BP、AQ、BQ的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
、k
4
．
（1）求证：点P，Q，O三点共线；
（2）求k
1< br>+k
2
+k
3
+k
4
的值；
（3）设F< br>1
、F
2
分别为双曲线和椭圆的右焦点，若QF
1
∥PF2
，求k
1
+k
2
+k
3
+k
4的值．
【分析】（1）由
Q，O三点共线．
（2）设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），求出k
1
+k
2
＝
第19页（共23页）

2222
+＝λ（+ ）（λ∈R，|λ|＞1）．得到＝λ，由此能证明点P，
，，由

＝ λ，能出k
1
+k
2
+k
3
+k
4
的值．
（3）由＝λ，推导出，再由PF
1
∥QF
2
，得到（k
1
+k
2
）＝4，（k
3
+k
4
）
2
2
＝4，由此能求出k
1
+k
2
+k
3
+k4
的值．
和双曲线的公共
2222
【解答】证明：（1）∵A、B为椭圆
顶点，
P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
1）．
∴＝λ，
+＝λ（+）（λ∈R，|λ|＞
∴点P，Q，O三点共线．
解：（2）设P（x< br>1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
则＝＝＝，
同理，得：，
∵
∴
＝λ，∴x
1
＝ λx
2
，y
1
＝λy
2
，
，
∴k1
+k
2
+k
3
+k
4
＝（）＝0．
（3）∵＝λ，∴，
∵，
第20页（共23页）

∴＝λ，又
2
＝1，
∴，
又∵PF< br>1
∥QF
2
，∴|OF
1
|＝λ|OF
2
| ，
∴λ＝
2
，
∴＝•＝，
∴（k
1
+k2
）＝4•
2
2
•＝4••＝4，
同理（k
3
+k
4
）＝4，
k
1
•k
2
＝•＝，且﹣＝1，
∴x
1
﹣a＝
22
•y
1
，
2
∴k
1
k
2
＝
22
同理k
3
k
4
＝﹣
22
，
22
∴k
1
+k
2
+k
3
+k
4
＝（k
1
+k
2
）+（k< br>3
+k
4
）﹣2（k
1
•k
2
+k
3
•k
4
）＝4+4﹣0＝8．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合，着重考 查整体代换与方程思想，培养学生综合分析
问题，解决问题的能力，属于难题．
23．已知S
n
是数列{a
n
}的前n项和，对任意n∈N，都有（1﹣m）S
n
＝﹣ma
n
+4（m＞0）；
（1）若m＝4，求证：数列{}是等差数列，并求此时数列{a
n
}的通项公式；
•4}是等比数列，并求此时数列{a
n
}的通项公式；
n
*n< br>（2）若m≠4，求证：数列{a
n
+
*
（3）设b
n
＝（n∈N），若|b
n
|≤2，求实数m的取值范围；
第21页（共23页）

【分析】（1）运用数列的递推式，求得首项，a
n＝4a
n
﹣
1
+3•4
结合等差数列的定义和通项公式可得所求 ；
（2）运用数列的递推式，可得首项，a
n
＝ma
n
﹣
1
+3•4
＝m（a
n
﹣
1
+•4
n
﹣< br>1
n
﹣
1
n
﹣
1
，可得＝+3，
， 可得当m≠4时，a
n
+•4
n
），运用等比数列的定义和通项公式可得所求 ；
（3）结合（1）（2）结论，讨论m＝4，m＞4，0＜m＜1，m＝1，1＜m＜4，运用条件 |b
n
|
≤2，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）证明：﹣3S
n
＝﹣4a
n
+4，
n＝1时，﹣3S
1
＝﹣4a
1
+4＝﹣3a
1
，
可得a
1
＝4；
n≥2时，﹣3S
n
﹣
1
＝﹣4a
n
﹣
1
+4
且﹣3S
n
＝﹣4a
n
+4，
相减可得3a
n
＝4a
n
﹣4a
n< br>﹣
1
﹣3•4
即有a
n
＝4a
n
﹣
1
+3•4
可得＝
n
﹣
1
n
﹣
1
n
n
﹣
1
n
，
，
，
+3，
数列{}是首项为4，公差为3的等差数列；
则＝4+3（n﹣1）＝3n+1，
n
﹣
1
即a
n
＝（3n+1）•4；
n
（2）（1﹣m）S
n
＝﹣ma
n
+4（m＞0）， < br>n＝1时，（1﹣m）S
1
＝﹣ma
1
+4＝（1﹣m）a
1
，
可得a
1
＝4，
n≥2时，（1﹣m）S
n
﹣
1
＝﹣ma
n
﹣
1
+4
且（1﹣m）S
n
＝﹣ma
n
+4，
相减可得（1﹣m）a
n
＝﹣ma< br>n
+ma
n
﹣
1
+3•4
即a
n
＝ ma
n
﹣
1
+3•4
n
﹣
1
n
﹣
1
n
n
﹣
1
，
，
，
第22页（共23页）

可得当m≠4时，a
n
+
数列{a
n
+
即有a
n
+
可得a
n
＝
n
•4＝m（a
n
﹣
1
+
n
•4
n
﹣
1
），
•4}是首项为
•4＝
•m< br>n
﹣
1
n
，公比为m的等比数列，
n
﹣
1
•m
﹣
，
n
•4；
（3）b
n
＝（n∈N），若|b
n
|≤2，
，不满足条件；
（）﹣•
（）≤2+•
n
n
n
*
显然m＝4时，b
n
＝
则m≠4，可得b
n
＝•
可 得﹣2+≤•
，
，
显然m＞4，•
则0＜m＜4，
（）递增，不满足条件； •
m＝1时，﹣2﹣1＜0＜1显然成立；
当0＜m＜1时，n＝1时，•
2+＞
（）的最大值为•
n
，
，即为2m﹣5＜m﹣1恒成立；
（）的最大值为•
n
当1＜m≤时，•
2+≥0，满足条件；
＜0，
当＜m＜4时，2+
•
n
＜0，
＞0，不满足条件． （）的最大值为•
综上可得m的取值范围是（0，]．
【点评 】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、构造法，考查了
推理能力与计算能力，属 于难题．


第23页（共23页）