《元宵》古诗-快乐暑假手抄报图片

2020
年高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（
3
月份）

一、填空题

1
．已知全集
U
＝
{
﹣
1
，
0
，
1}
，集合
A
＝
{0< br>，
|
x
|}
，则∁
U
A
＝

．

2
．若，
i
为虚数单位，则正实数
a
的值为

．

3
．若一组样本数据
7
，
9
，x
，
8
，
10
的平均数为
9
，则该组样本数据 的方差为

．

4
．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

．


5
．已知双曲线
则双曲线的焦距为

．

的渐近线与准线的一个交点坐标为，
6
．三个小朋友之间准备送礼物，约定每人只能送 出一份礼物给另外两人中的一人（送给两
个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为

．

7
．函数的极大值为

．

8
．已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
2< br>+2
a
1
＝
4
，
a
3
2
＝
a
5
，则该数列的前
5
项和为

．

9
．若函数，则的值为

．

10< br>．如图，从一个边长为
12
的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边
形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个
相同的四 边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为

．

11
．圆心在曲线上的圆中，存在与直线
2
x+
y
+1
＝
0
相切且面积为
5
π
的圆 ，则当
k
取最大值时，该圆的标准方程为

．

1 2
．函数（ω＞
0
）的最大值与最小正周期相同，则
f
（
x
）
在
[
﹣
1
，
1]
上的单调递增区间为

．

13
．在边长为
2
的正三角形
ABC
中，
的取值范围为

．

14
． 已知函数
f
（
x
）＝对于∀θ∈
R
，∃
x
∈
R
，使得
cos
θ﹣
m
2
＜
f
（
x
）＜
sin
2
θ
+
m
+1
成
，则
立，则实数
m
的取值范围是

．
< br>二、解答题：共
6
小题，
15-17
题每题
14
分，
18-20
题每题
16
分，共计
90
分．请在答题卡
指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15
．在平面直 角坐标系
xOy
中，设向量
（
1
）若，求
tan2
θ的值；

，求θ的值．

，

，θ∈
R
．
（
2
）若∥，且
16
．如图，在四棱锥
P
﹣ABCD
中．

（
1
）若
AD
⊥平面
PAB
，
PB
⊥
PD
，求证：平面
PBD
⊥平面< br>PAD
；

（
2
）若
AD
∥
BC< br>，
E
为
PA
的中点，当
BE
∥平面
PCD< br>时，求的值．


17
．如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛， 半径为
1
公里，小岛中心
O
到岸边
AM
的最近距离
OA
为
2
公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某
点
B
处新建一个浴场，在海岸上某点
C
处新建一家五星级酒店，在
A< br>处新建一个码头，

且使得
AB
与
AC
满足垂直 且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道
OC
连接酒店和
小岛，设∠
AO B
＝α（
0
＜α＜π）．

（
1
）设∠
B AO
＝β，试将
sin
β表示成α的函数；


（
2
）若
OC
越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时
OC
最长， 并求出该最大值．

18
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点< br>P
在椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，且椭圆的离心率为．

（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（
2）记椭圆的左、右顶点分别为
A
1
，
A
2
，过点
B
（
m
，
0
）（
m
＜﹣
2
或< br>m
＞
2
）作一条
直线交

椭圆
C
于
E
、
F
（不与
A
1
，
A
2
重合）两点，直线
A
1
E
，
A
2
F
交于 点
G
，记直线
A
1
E
，
A
2
F< br>，
GB
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
k
3
．

①对于给定的
m
，求的值；
< br>②是否存在一个定值
k
使得
k
1
+
k
2＝
kk
3
恒成立，若存在，求出
k
值；若不存在，请说明
理由．


19
．已知函数
f
（
x
）＝
x
3
﹣（
a
﹣
1
）
x
2
+3
（
a
∈
R
）．

（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；

（
2< br>）函数
f
（
x
）在
[0
，
a
]上的最大值为
g
（
a
），

①求
g
（
a
）的值；

②若过点（
m，）可作出
y
＝
g
（
x
）的三条切线，求
m< br>的取值范围．

，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，满足
a
1
＝
3
b
1
，且∀
n
∈
N
*
，
，则称
m
20
．设等差数列
{
a
n
}
的公差
．若实 数
具有性质
P
k
．

（
1
）请判断
b
1
是否具有性质
P
6
，并说明理由；

（2
）设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
c
n
＝
S
n
﹣
2< br>λ
a
n
，且
c
n
＜
c
n
+ 1
（
n
∈
N
*
）恒成立．求证：
对任意的
k
（
k
∈
N
*
，
k
≥
3
），实数λ都不具有性质
P
k
；

（
3
）设
H
n
是数列
{
T
n
}
的前
n
项 和，若对任意的
n
∈
N
*
，
H
2
n
﹣
1
都具有性质
P
k
，求所有满
足条件的
k的值．

【选做题】本题包括
A
、
B
、
C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，
若多做，则按作答的前两小题评分，每题 满分
0
分，计
20
分．解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤 ．
[
选修
4-2
：矩阵与变换
]

21
． 已知矩阵
A
＝
（
1
）求
a
，
b
的 值；

（
2
）求属于λ
2
的一个特征向量
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]

．

，A
的两个特征值为λ
1
＝
2
，λ
2
＝
3
．

22
．在直角坐标系
xOy
中，直线
l的参数方程为（
t
为参数），以直角坐标系
xOy
的
O
点为极点，
Ox
为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，已知圆
C
的极 坐标
方程为
（
1
）求直线
l
的倾斜角；

（
2
）若直线
l
与圆
C
交于
A
，
B
两点，当△
ABC
的面积最大时，求实数
a
的值．
[
必做题
]
第
22
、
23
题，每小题
0
分，计
20
分．请把答案写在答题卡的指定区域内．

23
．从编号为
1
，
2
，
3
，
4
，…，10
的
10
个大小、形状相同的小球中，任取
5
个球．如果．

某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球”．

（
1
）求任取的
5
个球中至少有一组“好球”的概率；
< br>（
2
）在任取的
5
个球中，记“好球”的组数为
X
， 求随机变量
X
的概率分布列和均值
E
（
X
）．
< br>24
．已知
f
n
（
x
）＝（
x
+1
）
n
﹣（
2
x
+
）
n
＝
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
……
+
a
n
x
n
，其中
n< br>是给定的正整
数，且
n
≥
2
，
a
0
，
a
1
，
a
2
，…，
a
n
为常数 ，设
P
n
＝
min
{|
a
0
|
，
|
a
1
|
，
|
a
2
|
， …，
|
a
n
|}
（
|
a
0
|，
|
a
1
|
，
|
a
2
|，……，
|
a
n
|
中的最小值）．

（
1
）求
P
3
、
P
4
的值；

（
2
）求
P
n
的通项公式．

参考答案

一、填空题：共
14
小题，每小题
5
分，共
70
分．请把答案填写在答题卡相应位置．

1
．已知全集
U
＝
{
﹣
1
，
0< br>，
1}
，集合
A
＝
{0
，
|
x|}
，则∁
U
A
＝
{
﹣
1}
．

【分析】根据题意可得出
A
＝
{0
，
1}，然后进行补集的运算即可．

解：根据题意知，
|
x
|
＝
1
，

∴
A
＝
{0
，
1}
，
U
＝
{< br>﹣
1
，
0
，
1}
，

∴∁
U
A
＝
{
﹣
1}
．

故答案为：
{
﹣
1}
．

2
．若，
i
为虚数单位，则正实数
a
的值为 ．

【分析】利用复数模的运算性质即可得出．

解：由已知可得：
故答案为：．

＝
2
，
a
＞
0
，解得
a
＝．

3
．若一组样本数据
7
，
9
，
x
，
8
，
10
的平均 数为
9
，则该组样本数据的方差为
2
．

【分析】根据题意，由平均数公式可得
式计算可得答案．

解：根据题意，数 据
7
，
9
，
x
，
8
，
10
的平均数为
9
，则有
＝
11
；

则其方差
S
2
＝
[
（
7
﹣
9
）
2
+
（
9
﹣
9
）
2
+
（
11﹣
9
）
2
+
（
8
﹣
9
）2
+
（
10
﹣
9
）
2
]
＝< br>2
；

故答案为：
2
．

4
．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
124
．
＝
9
，解可得：
x
＝
9
，解可得
x
的 值，进而由方差公

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量
S
的
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况 ，可得答案．

解：模拟程序的运行，可得

S
＝
0
，
n
＝
1

不满足条件< br>n
＞
4
，执行循环体，
S
＝
1
，
n
＝
2

不满足条件
n
＞
4
，执行循环体，
S
＝
6
，
n
＝
3

不满足条件< br>n
＞
4
，执行循环体，
S
＝
27
，
n
＝
4

不满足条件
n
＞
4
，执行循环体 ，
S
＝
124
，
n
＝
5

此时满 足条件
n
＞
4
，退出循环，输出
S
的值为
124< br>．

故答案为：
124
．

5
．已知双曲线
则双曲线的焦距为
4
．

【分 析】由双曲线
＝
c
2
求得
c
的值即可．

解：由于双曲线
，

所以

x
＝＝
1，即
c
＝
a
2
①，

的渐近线与准线的一个交 点坐标为
的渐近线
x
＝＝
1
，＝以及
a
2
+
b
2
的渐近线与准线的一个交点坐标为，

把代入
y
＝
x
，得＝，即
b
＝
a
②

又< br>a
2
+
b
2
＝
c
2
③

联立①②③，得
c
＝
2
．

所以
2
c
＝
4
．

故答案是：
4
．

6
．三个小朋友之间准备送礼物，约定每 人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两
个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为 ．

【分析】基本事件总数
n
＝
2
3
＝
8
，三人都收到礼物包含的基本事件个数
m
＝
2
×
2
×
1
＝
4
．由此能求出三人都收到礼物的概率．

解：三个小朋友之间准备送礼物，

约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），

基本事件总数
n
＝
2
3
＝
8
，

三人都收到礼物包含的基本事件个数
m
＝
2
×
2
×
1
＝
4
．

则三人都收到礼物的概率
p
＝
故答案为：．

7
．函数的极大值为 ．

＝．

【分析】利用导数得到 函数
f
（
x
）的单调性，即可求出函数
f
（
x）的极大值．

解：∵函数
∴
f
'
（
x
）＝
，
x
∈（
0
，
+
∞），

＝，

令
f
'
（
x
）＝
0
得，
x
＝
e
2
，

∴当
x
∈（
0
，
e
2
）时，
f
'
（
x
）＞
0
，函数
f
（
x
）单调递增；当
x
∈（
e
2
，
1
）时，
f
'
（
x< br>）＜
0
，
函数
f
（
x
）单调递减，

∴当
x
＝
e
2
时，函数
f
（
x< br>）取到极大值，极大值为
f
（
e
2
）＝，

故答案为：．

8
．已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
2
+2
a
1
＝
4
，a
3
2
＝
a
5
，则该数列的前
5
项和 为
31
．

【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．

解：设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，< br>
∵
a
2
+2
a
1
＝
4
， ，

∴
a
1
（
q
+2
）＝
4，
a
1
2
q
4
＝
a
1
q4
，

联立解得
a
1
＝
1
，
q
＝
2
，

∴数列的前
5
项的和为
故答案为：
31
．

9
．若函数，则的值为 ﹣ ．

＝
31

【分析 】根据题意，由函数的解析式求出
f
（
log
4
）的值，进而计算可 得答案．

解：根据题意，函数，

则
f
（
log
4
）＝
f
（﹣
log
4
3
）＝
f
（﹣
log
2
则
故答案为：﹣

＝
f
（）＝
log
3
）＝，

＝﹣；

10
．如图，从一个边长为
12
的正三角形纸片的 三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边
形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的 正三棱柱，而剪出的三个
相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为
27
．


【分析】由题意得正三棱柱底面边长
6
，高为
解：如图，作
AO
⊥
BC
，交
BC
于O
，

AO
＝＝
6
，

，由此能求出所得正三棱柱的体积．

由题意得正三棱柱底面边长
EF
＝
6
，高为
h
＝
∴所得正三棱柱的体积为：

V
＝
S
△
DEF
•
h
＝
故答案为：
27
．

，

＝
27
．

11
．圆心在曲线上的圆中，存在与直线
2
x+
y
+1
＝
0
相切且面积为
5
π
的圆 ，则当
k
取最大值时，该圆的标准方程为 （
x
﹣
1
）2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
5 ．

【分析】由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到 直
线的距离等于半径，再由均值不等式可得
k
的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标 准
方程．

解：设圆的半径为
r
，由题意可得π
r
2
＝
5
π，所以
r
＝，

＝
r
＝ ，由题意设圆心
C
（
a
，）由题意可得
a
＞
0，由直线与圆相切可得
所以
|2
a
++1|
＝
5

而
k
＞
0
，
a
＞
0
，所以< br>5
＝
2
a
++1
大值为
2
，
这时当且仅当
2
a
＝＝时取等号，可得
a
＝
1
，

所以圆心坐标为：（
1
，
2
），半径为
故答案 为：（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣2
）
2
＝
5
．

12
．函数（ω＞< br>0
）的最大值与最小正周期相同，则
f
（
x
）
，即圆的标准方程为：（
x
﹣
1
）
2
+
（y
﹣
2
）
2
＝
5
，
+1
，即
2
，解得
k
≤
2
，所以
k
的最
在
[
﹣
1
，
1]
上的单调递增区间为
[
﹣，
]
．

【分析】利用三角函数的辅助角公式进行化 简，求出函数的解析式，结合三角函数的单
调性进行求解即可．

解：
f（
x
）＝
4cos
ω
x
（
＝
2
＝
sin
ω
x
cos
ω
x
﹣
2
sin2
ω
x
﹣
sin
ω
x
﹣
cos2
ω
x
+

cos
ω
x
）
+

cos2
ω
x
），

＝
2sin
（
2
ω
x
﹣< /p>

则函数的最大值为
2
，周期
T
＝＝，

∵
f
（
x
）的最大值与最小正周期相同，

∴＝
2
，得ω＝，

），

≤π
x
≤
≤，

则
f
（
x
）＝
2sin
（π
x
当﹣
1
≤
x
≤1
时，﹣
则当﹣≤π
x
时，得﹣≤
x
≤，
< br>即函数
f
（
x
）在
[
﹣
1
，
1]
上的单调递增区间为
[
﹣，
]
，

故答案为：
[
﹣，
]

13
．在边长为
2
的正三角形
ABC
中，
的取值范围为
【分析】建系，依题意可求得
．

＝
2
xy
+2
x
+2
y
﹣
4
，而
x
＞
0
，
y
＞
0
，
x
+
y
＝
1
，故可得
，则
y
＝
1
﹣
x
，且
x
∈（
0
，
1
），由此构造函数
f
（
x
） ＝﹣
2
x
2
+2
x
﹣
2
，
0＜
x
＜
1
，利用二次函
数的性质即可求得取值范围．

解：：建立如图所示的平面直角坐标系，


则
A
（﹣1
，
0
），
B
（
1
，
0
），
C
（
0
，
根据
），设
D
（
x1
，
0
），
E
（
x
2
，
y< br>2
），

，即（
x
1
﹣
1
，
0
）＝
x
（﹣
2
，
0
），则
x
1
＝
1
﹣
2
x
，

，即（
x2
，
y
2
﹣）＝
y
（﹣
1
，﹣），则
x
2
＝﹣
y
，
y
2
＝﹣
y
+
，

所以＝（
x
1
，﹣）（
x
2﹣
1
，
y
2
）＝
x
1
（
x< br>2
﹣
1
）﹣
y
2
＝（
1
﹣
2
x
）（﹣
y
﹣
1
）
﹣
3
（﹣< br>y
+1
）＝
2
xy
+2
x
+2
y< br>﹣
4
，

∵
x
＞
0
，
y
＞
0
，
x
+
y
＝
1
，

∴
y
＝
1
﹣
x
，且
x
∈（
0
，
1
），

故，

，

设
f
（
x
）＝﹣
2
x
2
+2x
﹣
2
，
0
＜
x
＜
1
，易知 二次函数
f
（
x
）的对称轴为
故函数
f
（
x
）在
[0
，
1]
上的最大值为
故的取值范围为
．

．

，最小值为
f
（
0
）＝
f
（
1
）＝﹣
2
，

故答案为：
14
．已知函数
f
（
x
）＝对于∀θ∈
R
，∃
x∈
R
，使得
cos
θ﹣
m
2
＜
f（
x
）＜
sin
2
θ
+
m
+1
成
立，则实数
m
的取值范围是 （﹣，﹣）∪（，
+
∞） ．

【分析】需先求函数
f
（
x
）的值域，再分两步对所要 求的条件进行转化．要使
cos
θ﹣
m
2
＜
f
（< br>x
）＜
sin
2
θ
+
m
+1
对于∀ θ∈
R
，∃
x
∈
R
时成立，只要（
cos
θ﹣
m
2
）
最大值
＜
f
（
x
）< br>最大值
，
而且
f
（
x
）
最小值
＜（
sin
2
θ
+
m
+1
）
最小值

以及
cosθ
﹣
m
2
＜
sin2θ+
m< br>+1
对任意
θ
恒成立

，由
2
x
+ 1
＞
1
，得
0
＜＜
1
，∴﹣＜
f
（
x
）解：∵
f
（
x
）＝＝﹣
+
＜，
即
f
（
x
）的值域是（﹣，）．


对于∀θ∈
R
，∃
x
∈
R
，使得
cos
θ﹣
m
2
＜
f
（
x
），转化为只要（
co s
θ﹣
m
2
）
最大值
＜
f
（
x< br>）
最大值
，
∴
1
﹣
m
2
＜，∴m
2
＞．

对于∀θ∈
R
，∃
x
∈< br>R
，
f
（
x
）＜
sin
2
θ
+
m
+1
，转化为只要
f
（
x
）
最小值
＜（
sin
2
θ
+
m
+1
）
最小 值
，

∴
m
＞﹣，解不等式组，得﹣＜
m
＜﹣

或
m
，

由
cos
θ﹣
m
2＜
sin
2
θ
+
m
+1
对于∀θ∈
R
恒成立，得
m
＞
0
或＜﹣
1

故
m
的取值范围是（﹣，﹣
1
）∪（，
+
∞）

二、 解答题：共
6
小题，
15-17
题每题
14
分，
1 8-20
题每题
16
分，共计
90
分．请在答题卡

< br>指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15
．在平 面直角坐标系
xOy
中，设向量
（
1
）若，求
tan2θ的值；

，求θ的值．

，

，θ∈
R
．
（
2
）若∥，且

【分析】（
1
）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可．
（2
）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解．

解：（
1
）若
即
sin
θ
+
即
sin
θ＝
，则sin
（θ
+
cos
θ
+2sin
θ＝
0，

cos
θ，则
tan
θ＝﹣，

）
+2sin
θ＝
0
，

则
tan2
θ＝＝﹣＝﹣＝﹣．

（
2
）若∥，则
2sin
θ
sin
（θ
+
即（
sin
θ< br>+
得
sin
2
θ
+
即
）﹣
1
＝
0
，

cos
θ）•
2sin
θ﹣
1
＝
0
，

cos
θ
sin
θ﹣
1
＝
0
，

cos
θ
sin
θ﹣
cos
2
θ＝
0，

sin
θ﹣
cos
θ）＝
0
，

，∴
cos
θ≠
0
，

sin
θ﹣
cos
θ＝
0
，则
．

sin
θ＝
cos
θ，即
tan
θ＝，

即
cos
θ（
∵
则
即θ＝
16
．如图，在四棱锥< br>P
﹣
ABCD
中．

（
1
）若
AD
⊥平面
PAB
，
PB
⊥
PD
，求证：平面
PBD
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
AD< br>∥
BC
，
E
为
PA
的中点，当
BE
∥平面
PCD
时，求的值．

【分析】（
1
）由
AD
⊥平面
PAB
，得
PB
⊥
AD
，由
PB
⊥
PD
，得
PB
⊥平面
PAD< br>，由此
能证明平面
PBD
⊥平面
PAD
．

（
2
）取
PD
中点
F
，连结
EF
，
CF
，由
EF
∥
AD
，且
EF
＝
AD< br>，由
AD
∥
BC
，得
EF
∥
BC
， 从而
BE
∥
CF
，进而四边形
EFCB
是平行四边形，由此 能求出
解：（
1
）证明：∵
AD
⊥平面
PAB
，< br>PB
⊂平面
PAB
，

∴
PB
⊥
A D
，∵
PB
⊥
PD
，
AD
∩
PD
＝
D
，

∴
PB
⊥平面
PAD
，

∵
PB
⊂平面
PBD
，∴平面
PBD
⊥平面
PAD
．

（
2
）取
PD
中点
F
，连结
EF
，
CF
，

∵
E
为
PA
的中点，∴
EF
∥
AD
，且
EF
＝
A D
，

∵
AD
∥
BC
，∴
EF
∥
BC
，∴四边形
EFCB
是平面图形，

∵
BE< br>∥平面
PCD
，
CF
⊂平面
PCD
，∴
BE
∥
CF
，

∴四边形
EFCB
是平行四边形，∴< br>EF
＝
BC
，

∴＝
2
．

．


17
．如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为< br>1
公里，小岛中心
O
到岸边
AM
的最近距离
OA为
2
公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某
点
B
处新建一个浴场，在海岸上某点
C
处新建一家五星级酒店，在
A
处 新建一个码头，
且使得
AB
与
AC
满足垂直且相等，为方便游客，再 建一条跨海高速通道
OC
连接酒店和
小岛，设∠
AOB
＝α（
0
＜α＜π）．

（
1
）设∠
BAO＝β，试将
sin
β表示成α的函数；


（
2
）若
OC
越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时
OC
最长，并求出该 最大值．

【分析】（
1
）由正弦定理可得
sin
β与α的 三角函数的关系；

（
2
）由（
1
）得，
AB的值，又有
AB
＝
AC
，所以由余弦定理可得
OC
的表 达式，再由三
角函数的请选择范围求出
OC
的最大值．

解：（1
）在三角形
AOB
中，由正弦定理：
而
OA
＝
2
，
OB
＝
1
，所以
AB
＝，

＝，即＝，
由题意可得由余弦定理可得
AB
2
＝
OA
2< br>+
OB
2
﹣
2
OA
•
OB
cos< br>α＝
4+1
﹣
2
×
2
×
1cos
α ＝
5
﹣
4cos
α，所以
AB
＝
所以
所以
sin
β＝
＝，

；

，

（< br>2
）
AB
＝
AC
，
OC
2
＝
OA
2
+
AC
2
﹣
2
OA
•
A C
•
cos
（
90
°
+
β）＝
4+5﹣
4cos
α
+2
×
•
sin
β＝
9
﹣
4cos
α
+4sin
α＝
9+4
所以
OC
的最大值为＝
2
．

在椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）
sin
（），< br>
18
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
P
上 ，且椭圆的离心率为．

（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（
2）记椭圆的左、右顶点分别为
A
1
，
A
2
，过点
B
（
m
，
0
）（
m
＜﹣
2
或< br>m
＞
2
）作一条
直线交

椭圆
C
于
E
、
F
（不与
A
1
，
A
2
重合）两点，直线
A
1
E
，
A
2
F
交于 点
G
，记直线
A
1
E
，
A
2
F< br>，
GB
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
k
3
．

①对于给定的
m
，求的值；

②是否存在一个定值< br>k
使得
k
1
+
k
2
＝
kk
3
恒成立，若存在，求出
k
值；若不存在，请说明
理由．


【分析】（
1
）结合点在椭圆上和椭圆的离心率可解得
a
＝
2
，
b
＝
1
，进而写出椭圆的标
准方程；

（
2
）①利用点斜式写出直线
A
1
E
和
A
2
F
的方程分别为
y
＝
k
1
（
x
+2
）和
y
＝
k
2
（
x
﹣
2< br>），
再分别与椭圆联立，结合韦达定理，可求得
E
（），
F
（ ），然后利用
B
、
E
、
F
三点共线时，任意两点构成的直线 斜率相
等来构造等式即可得解，需要注意的是验证不符合题意；

②联立直线
A
1
E
和
A
2
F
的方程可解得点
G
（），再利用
B
、
G
两点的坐标表示出直线
BG
的斜率< br>k
3
，然后结合①中得到的结论，计算化简可得到
k
＝
2，进而得解．

解：（
1
）根据题意，离心率，解得
a
＝
2
，
b
＝
1
，

所以椭圆
C
的标准方程；

（
2
）①因为椭圆的左 、右顶点分别为
A
1
，
A
2
，所以
A
1< br>（﹣
2
，
0
），
A
2
（
2
，
0
），

A
2
F
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，因为直线
A
1
E
，所以直线
A
1
E
和
A
2
F
的方程分别为
y
＝
k
（
1
x
+2
）
和
y
＝
k
2
（
x
﹣
2
），

设
E
，
F
的坐标分别为（
x
1
，
y
1），（
x
2
，
y
2
），

联立得，，则即
，

解得，，所以
E
（）．

同理可得，点
F
的坐标为（）．

因为
B
、
E
、
F
三点共线，所以
k
BE
＝
k
BF
，即，化简得
[
（
m
+2
）
k
1
+
（
m
﹣
2
）
k
2
]
（
1+4
k
1
k
2
）＝
0
．

所以 （
m
+2
）
k
1
+
（
m
﹣
2
）
k
2
＝
0
或
1+4
k
1< br>k
2
＝
0
，即或．

当时，此时点
G
位于椭圆的上或下顶点，即
E
、
F
分别与
A
1
，
A
2
重合，与题
干矛盾，故舍去．

综上，对于给定的
m
，．

②由①知直线
A
1E
和
A
2
F
的方程分别为
y
＝
k1
（
x
+2
）和
y
＝
k
2
（
x
﹣
2
），

联立可解得点
G
的坐标为（），

因为点
B
（m
，
0
），所以，化简得
4
k
1
k
2
＝
[
（
m
+2
）
k
1
﹣（
m
﹣
2
）
k
2
]
k
3
，

由①的结论可知，所以，将其代入上式，化简整理后可得，

k
1< br>+
k
2
＝
2
k
3
，

故存 在定值
k
使得
k
1
+
k
2
＝
kk
3
恒成立，且
k
＝
2
．

19
． 已知函数
f
（
x
）＝
x
3
﹣（
a
﹣
1
）
x
2
+3
（
a
∈
R
）．

（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；
< br>（
2
）函数
f
（
x
）在
[0
，a
]
上的最大值为
g
（
a
），

①求
g
（
a
）的值；

②若过点（
m，）可作出
y
＝
g
（
x
）的三条切线，求
m< br>的取值范围．

【分析】（
1
）求
f
′（
x
）＝
x
2
﹣（
a
﹣
2
）
x
，令
f
′（
x
）＝
0
便得到
x
＝
0
，或
a
﹣
2
，所
以讨论
a
和
2
的关系，即判断
a
﹣
2
和
0
的关系：分
a
＞
2
，
a
＝
2
，
a
＜
2
三种情况，判断
每种情况下的
f
′（
x
）的符号，从而判 断
f
（
x
）的单调性；

（
2
）①对应（
1
）中的三种情况：
a
＞
2
，
a
＝
2
，
a
＜
2
，判断在每种情况下
f
（
x
）在
[0
，
a
]
上的单调性，根据单调性求函数
f
（
x
）在
[0
，
a
]
上的最大值
g
（
a
），并求得
g
（
a
）＝
；

②要作
y
＝
g
（
x
）的三条切线，则
g< br>（
x
）图象应是曲线，所以
y
＝
g
（
x）＝
x
＜
6
，求
g
′（
x
），设切点 为
方程为：
该点带入切线方程并整理得：
程有三个不同的实数根，设
h
（
x
）＝
＝
，
，求出切线斜率，所以求得切线
，切线过点 （
m
，），将
，则这个关于
x
0
的方
，则该函数有 三个零点，
这需要
h
（
x
）的极小值小于
0
，极大 值大于
0
，所以用
m
表示出
f
（
x
）的极 值，并解关
于
m
的不等式即可求得
m
的取值范围．

解：（
1
）
f
′（
x
）＝
x
2
﹣（
a
﹣
2
）
x
，令
f
′（
x< br>）＝
0
得，
x
＝
0
，或
a
﹣
2
；

若
a
＞
2
，
a
﹣
2
＞
0
，∴
x
＜
0
，或
x
＞< br>a
﹣
2
时，
f
′（
x
）＞
0
；
0
＜
x
＜
a
﹣
2
时，
f′（
x
）＜
0
；

∴
f
（
x
）在（﹣∞，
0
），（
a
﹣
2
，
+
∞）上单调递增，在
[0
，
a
﹣
2]
上单调递减；

若
a
＝
2
，
a
﹣
2
＝
0
，∴
f
′（
x
）≥
0
，∴函数
f（
x
）在
R
上单调递增；

若
a
＜< br>2
，
a
﹣
2
＜
0
，∴
x
＜
a
﹣
2
，或
x
＞
0
时，
f
′（
x
）＞
0
；
a
﹣
2
＜
x< br>＜
0
时，
f
′（
x
）＜

0< br>；

∴
f
（
x
）在（﹣∞，
a
﹣< br>2
），（
0
，
+
∞）上单调递增，在（
a
﹣
2
，
0
）单调递减；

（
2
）①由（1
）知，
1
）当
a
＞
2
时，
f
（
x
）在
[0
，
a
﹣
2]
单调递减，在 （
a
﹣
2
，
a
]
单调递
增；
< br>∴对于此时的
f
（
x
）的最大值比较
f
（
0
），
f
（
a
）即可；

f
（
a
）﹣
f
（
0
）＝；
∴
a
≥
6
时，
f
（
a
）＜
f
（
0
），∴
g
（
a
）＝
f
（0
）＝
3
；

2
＜
a
＜
6< br>时，
f
（
a
）＞
f
（
0
），∴g
（
a
）＝
f
（
a
）；

2
）当
a
＝
2
时，
f
（
x
）在[0
，
a
]
上单调递增，∴
g
（
a
） ＝
f
（
a
）；

3
）当
a
＜2
时，
f
（
x
）在
[0
，
a
]
上单调递增，∴
g
（
a
）＝
f
（
a）；

∴
g
（
a
）＝；

y
＝
g
②根据题意，（
x
）＝
y
′＝，，所以设过点
所作切线的切点为，
x
0
＜
6
，斜率为；

∴切线方程为：＝；

点（
m
，）在切线上，所以＝；

将上式整理成：
数根，且
x
0
＜
6
；
< br>令
h
（
x
）＝
，则关于
x
0
的方程 有三个不同的实
，则
h
（
x
）应有三个不同的零点，
h′（
x
）＝
x
2
﹣（
m
+2
）
x
+2
m
，令
h
′（
x
）＝
0
，则：

x
＝
2
，或
m
，∴
h
（
2
），
h
（
m
）中一个是极大值，一个是极小值；

1
）
m
＜
2
时，
h
（
2
）是极小值，
h
（
m
）是极大值，∴；

解
2
m
得
m
；

令，

，令
u
′（
x
）＝
0
，得，
x
＝
0
，或
4
；
∴
u< br>（
x
）在（﹣∞，
0
），（
4
，
+
∞）上单调递减，在
[0
，
4]
上单调递增；

可求得u
（﹣
2
）＝
u
（
4
）＝
0
，∴
x
＜﹣
2
，时，
u
（
x
）＞
0
，
x
＞﹣
2
，且
x
≠
4
时，< br>u
（
x
）
＜
0
；

∴
h< br>（
m
）＞
0
的解是
m
＜﹣
2
，∴< br>m
＜﹣
2
；

2
）
m
＞
2
时，
h
（
2
）是极大值，
h
（
m
）是极小值，∴；

解
2
m
得，
m
；

，且
m
≠
4
；

而由上面知
h
（
m
）＜
0
的解是
m
＞﹣
2
，且
m
≠
4
，∴
m
＞
综上得
m
的取值范围是{
m
|
m
＜﹣
2
，或
m
＞
2 0
．设等差数列
{
a
n
}
的公差
．若实数
具有性质
P
k
．

（
1
）请判断
b
1
是否具有性质
P
6
，并说明理由；

，且
m
≠
4}
．

，数列
{
b< br>n
}
的前
n
项和为
T
n
，满足
a< br>1
＝
3
b
1
，且∀
n
∈
N
*
，
，则称
m
（
2
）设
S
n
为数 列
{
a
n
}
的前
n
项和，
c
n< br>＝
S
n
﹣
2
λ
a
n
，且
c
n
＜
c
n
+1
（
n
∈
N
*
）恒成立．求证：
对任意的
k
（
k
∈
N
*
，
k
≥
3
），实数λ都不具有性质
P
k
；

（
3
）设
H
n
是数列
{
T< br>n
}
的前
n
项和，若对任意的
n
∈
N
*
，
H
2
n
﹣
1
都具有性质
P
k
，求所有满
足条件的
k
的值．

【分析】（
1< br>）求得
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
时，数列
{
b< br>n
}
的前
7
项，可得
d
和首项
a
1
，
得到等差数列
{
a
n
}
的通项，即可判断
b
1
、
b
2
是否具有性质
P
6
；

（
2
）由题意可得
S
n
+1
﹣
2λ
a
n
+1
≥
S
n
﹣
2
λ< br>a
n
，代入等差数列
{
a
n
}
的通项公式和 求和公式，化
简整理可得λ≤﹣
1
，结合集合中元素的特点，即可得证；
< br>（
3
）求得
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
H
2
n
﹣
1
的特点，结 合
k
＝
3
，
4
，
5
，
6
，集合的特点，即可得到
所求取值．

解：（
1
）解：设等差数列< br>{
a
n
}
的公差
且∀
n
∈
N
*
，
，数列
{
b
n
}
的前
n
项 和为
T
n
，满足
a
1
＝
3
b
1< br>，
．（
n
∈
N
*
），

可得
n
＝
1
时，
T
1
+
＝﹣
b
1
＝﹣
T
1
，解得
b
1
＝﹣，

T
2
+
＝
b
2
＝﹣
+
b
2
+
＝
b
2
，

T
3
+
＝﹣
b
3
＝﹣
+
b
2
+
b
3+
，即
b
2
+2
b
3
＝，

T
4
+
＝
b
4
＝﹣
+
b
2
+
b
3
+
b
4
+
，即
b
2+
b
3
＝，

，

解得
b
2
＝，
b
3
＝﹣
b
6
＝，
b
7＝﹣
，同理可得
b
4
＝
，…，
b
2
n
﹣
1
＝﹣
，
b
5
＝﹣
，

，

∵
a
1
＝
3
b
1
， ∴
a
1
＝﹣，
d
＝，
a
n
＝
P< br>6
＝
{
x
|
a
4
＜
x
＜< br>a
9
}
（
k
∈
N
*
，
k< br>≥
3
）＝
{
x
|0
＜
x
＜
}
，

则
b
1
不具有性质
P
6
，
b
2
具有性质
P
6
；

（
2）证明：设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
{
S
n
﹣
2
λ
an
}
是单调递增数列，

可得
S
n
+1
﹣
2
λ
a
n
+1
≥
S
n
﹣2
λ
a
n
，

即为
化为
4
λ
+6
≤
2
n
对
n
为一切自然数成立，
< br>即有
4
λ
+6
≤
2
，可得λ≤﹣
1
，

又
P
k
＝
{
x
|
a
k
﹣
2
＜
x
＜
a
k
+3
}
（
k
∈
N
*
，
k
≥
3
），
且
a
1
＝﹣，
d
＞
0
，可得
P
k
中的元素大于﹣
1
，

则对任意的
k
（
k
∈
N
*
，
k
≥
3
），实数 λ都不具有性质
P
k
．

（
3
）设
Hn
是数列
{
T
n
}
的前
n
项和，若对 任意的
n
∈
N
*
，
H
2
n
﹣1
都具有性质
P
k
，

由于
H
1＝
T
1
＝
b
1
＝﹣，
H
3
＝
T
1
+
T
2
+
T
3
＝﹣
H
5
＝
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
+
T
5
＝﹣
H
7
＝﹣
+0
﹣＝﹣
，

，…，
H
2
n﹣
1
＝
H
2
n
﹣
3
+
b2
n
﹣
1
，（
n
≥
2
），

，

≥，

当
k
＝
3
时，
P
3
＝
{
x
|
a
1
＜
x
＜
a
6
}
＝
{
x
|
﹣＜
x＜
}
，

当
k
＝
4
时，
P< br>4
＝
{
x
|
a
2
＜
x
＜< br>a
7
}
＝
{
x
|
﹣＜
x
＜
}
，

当
k
＝
5
时，
P
5
＝
{
x
|
a
3
＜
x
＜
a
8
}
＝
{
x
|
﹣＜
x
＜
1}
，

当
k
＝
6
时，
P
3
＝
{
x
|
a
4
＜
x
＜
a
9
}
＝
{
x
|0
＜
x
＜
}
，

显然
k
＝
5
，
6
不成立，

故所有满足条件的
k
的值为
3
，
4
．
< br>【选做题】本题包括
A
、
B
、
C
三小题，请选定其中 两小题，并在相应的答题区域内作答，
若多做，则按作答的前两小题评分，每题满分
0
分，计
20
分．解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
[
选 修
4-2
：矩阵与变换
]

21
．已知矩阵
A＝
（
1
）求
a
，
b
的值；

（
2
）求属于λ
2
的一个特征向量．

，
A
的两个特征值为λ
1
＝
2
，λ
2
＝
3< br>．

【分析】（
1
）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求
a
，
b
的值；

（
2
）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解：（
1
）令
f
（λ）＝＝（λ﹣
a
）（λ﹣
4
）
+
b
＝λ
2
﹣（
a
+4
）λ< br>+4
a
+
b
＝
0
，

于是λ
1
+
λ
2
＝
a
+4
，λ
1
λ< br>2
＝
4
a
+
b
．解得
a
＝
1
，
b
＝
2
…
5
分

（
2
）设
故
＝，则
A
＝
＝
＝
…
10
分．

＝
3
＝，

解得
x
＝y
．于是
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]

22
．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为（t
为参数），以直角坐标系
xOy
的
O
点为极点，
Ox
为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，已知圆
C
的极坐标
方程为（
1
）求直线
l
的倾斜角；

（
2
） 若直线
l
与圆
C
交于
A
，
B
两点，当△< br>ABC
的面积最大时，求实数
a
的值．

【分析】（
1
）由代入法可得直线
l
的普通方程，再由直线的斜率公式可得所求倾斜角；

（
2
）由
x
＝ρ
cos
θ，
y
＝ ρ
sin
θ，ρ
2
＝
x
2
+
y
2
，可得圆
C
的直角坐标方程，求得圆心和半径，
运用三角形的面积公式可得△
ABC
的面积为
|
AC
|
•
|
BC
|
•
sin
∠
ACB
，结合正弦函数的
最值，可得∠ACB
＝
90
°，求得圆心
C
到直线的距离为
1
，运用点到直线的距离公式，
解方程可得所求值．

．

< br>解：（
1
）直线
l
的参数方程为（
t
为参数），
消去
t
可得直线
l
的普通方程为
可得直线的斜率为< br>k
＝
则倾斜角为；

x
﹣
y
﹣
a
＝
0
，

，即
tan
α＝（α为倾斜角），

（
2
）由x
＝ρ
cos
θ，
y
＝ρ
sin
θ，ρ
2
＝
x
2
+
y
2
，

可得圆< br>C
的极坐标方程
﹣
1
）
2
＝
2
，< br>
且圆心
C
（
1
，
1
），半径
r< br>＝，

×
sin
∠
ACB
＝
sin
∠
ACB
，

即为
x
2
+
y
2< br>＝
2
x
+2
y
，即为圆（
x
﹣
1< br>）
2
+
（
y
△
ABC
的面积为
|< br>AC
|
•
|
BC
|
•
sin
∠ACB
＝×
当
sin
∠
ACB
＝
1
， 即∠
ACB
＝
90
°，即△
ABC
为等腰直角三角形，
可得
|
AB
|
＝
可得
r
＝
2
，即圆心
C
到直线
l
的距离为
1
，
< br>＝
1
，解得
a
＝
1+
或
1
﹣．
[
必做题
]
第
22
、
23
题，每小 题
0
分，计
20
分．请把答案写在答题卡的指定区域内．

23
．从编号为
1
，
2
，
3
，
4
，…，
10
的
10
个大小、形状相同的小球中，任取
5
个球 ．如果
某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球”．

（
1
）求任取的
5
个球中至少有一组“好球”的概率；
< br>（
2
）在任取的
5
个球中，记“好球”的组数为
X
， 求随机变量
X
的概率分布列和均值
E
（
X
）．
< br>【分析】（
1
）从
10
个球中任取
5
个球共有种取法 ，设事件
A
表示“至少有一
组好球”，则表示“
5
个球不相邻”，推 导出
P
（）＝
5
个球中至少有一组“好球”的概率．

＝， 由此能求出任取的
（
2
）依题意，
X
的可能取值为
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，分别求出相应的概 率，由此能求出
X
的
分布列和数学期望
EX
．

解 ：（
1
）从
10
个球中任取
5
个球共有种取法，

设事件
A
表示“至少有一组好球”，则表示“
5
个球不相邻”，

P
（）＝＝，

∴任取的
5
个球中至 少有一组“好球”的概率为
P
（
A
）＝
1
﹣
P（）＝
1
﹣
（
2
）依题意，
X
的可能取值为< br>0
，
1
，
2
，
3
，
4
，< br>
P
（
X
＝
0
）＝＝，

＝．

P
（
X
＝
1
）＝＝，

P
（
X
＝
2
）＝
+
＝，

P
（
X
＝
3
）＝，

P
（
X
＝
4
）＝＝，

∴
X
的分布列为：


X

P
EX
＝

0



1



2


＝
2
．


3



4


24
．已知
f
n
（
x
）＝（
x
+1
）
n﹣（
2
x
+
）
n
＝
a
0
+< br>a
1
x
+
a
2
x
2
+
……
+
a
n
x
n
，其中
n
是给定的正整
数，且
n
≥
2
，
a
0
，
a
1< br>，
a
2
，…，
a
n
为常数，设
P
n
＝
min
{|
a
0
|
，
|
a1
|
，
|
a
2
|
，…，
|
a
n
|}
（
|
a
0
|
，
|
a
1
|
，
|
a
2
|
，……，
|< br>a
n
|
中的最小值）．

（
1
）求
P
3
、
P
4
的值；

（
2
）求
P
n
的通项公式．

【分析】（
1
）
n
＝
3
时，（
x
+1
）3
﹣
﹣（
2
x
）
k
＝（
1
﹣
2
2
k
﹣
3
）
＝
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
．通项公式
T
k
+1
＝
x
k
x
k
．令
k
＝
0
，
1
，
2
，
3
，可得：
a
0
，
a
1< br>，
a
2
，
a
3
．可
得
P
3
＝，同理可得
P
4
．

（
2
）由（
1
）可得：通项公式
T
k
+1
＝（
1
﹣
2
2
k
﹣
n
）
x
k
．即可得出
P
n
．

解：（
1
）
n
＝< br>3
时，（
x
+1
）
3
﹣
通项公式
T
k
+1
＝
x
k
﹣
＝
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
．

（
2
x
）
k
＝（
1
﹣
2
2
k
3
）
﹣
x
k
．

令
k
＝
0
，
1
，
2
，
3
，

可得：
a
0
＝，
a
1
＝，
a
2
＝﹣
3
，
a
3
＝﹣
7
．

∴
P
3
＝，同理可得
P
4
＝．

x
k
．

（
2
）由（
1
）可得： 通项公式
T
k
+1
＝（
1
﹣
2
2
k
﹣
n
）
P
n
＝．