哲学专业-个人陈述

2020
年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）



一、选择题

1
．设集合
A=
{
x
|x
（
x
﹣
3
）＜
0
}，
B=
{
x
|
x
﹣
2
≤
0
}，则
A∩
B=
（ ）

A
．（
0
，
2
]
B
．（
0
，
2
）
C
．（
0
，
3
）
D
．[
2
，
3
）

2
．设
z满足
i
（
1
+
z
）
=2
+
i
，则|
z
|
=
（ ）

A
．
B
．
C
．
2 D
．
1
3
．设命题p
：∀
x
＞
0
，
xe
x
＞
0
，则￢
p
为（ ）

A
．∀
x
≤
0
，
xe
x
≤
0 B
．∃
x
0
≤
0
，
x
0
e
x
0
≤
0
C
．∀
x
＞
0
，
xe
x
≤
0 D
．∃
x
0
＞
0
，
x
0
e
x
0
≤
0
4
．从
3
名男生和
2
名女生中任意推选
2
名选手参加辩论赛，则推选出的
2
名选手恰好是
1
男
1
女的概率是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

5
．如图所示的程序 框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为
“
秦九韶算
法
”< br>．执行该程序框图，若输入
x=2
，
n=5
，则输出的
v=< br>（ ）


A
．
26 B
．
48 C
．
57 D
．
64
6
．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）


A
．
39
π
B
．
48
π
C
．
57
π
D
．
63
π

7
．已知
x
，
y
满足约束条件，则的最大值是（ ）

第1页（共20页）

A
．﹣
2 B
．﹣
1 C
．
D
．
2
8
．已知函数
f
（
x
）
=Asin
（
ω
x
+< br>φ
）（
A
＞
0
，
ω
＞
0
） 的图象与直线
y=b
（
0
＜
b
＜
A
）相交 ，其

中一个交点
P
的横坐标为
4
，若与
P
相邻的两个交点的横坐标为
2
，
8
，则函数
f
（
x
）（ ）
A
．在[
0
，
3
]上是减函数
B
．在[﹣
3
，
0
]上是减函数

C
．在[
0
，
π
]上是减函数
D
．在[﹣
π
，
0
]上是减函数

9
．设 函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
在（
0
，+
∞
）上单调递增，则实数
a
的取值范围为（ ）

A
．[﹣
1
，+
∞
）
B
．
D
．（﹣
1
，+
∞
）
C
．[
0
，+
∞
）

（
0
，+
∞
）

10
．正三棱柱的底面边 长为，侧棱长为
2
，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）

A
．
4
π
B
．
8
π
C
．
12
π
D
．
16
π

11
．已知定义在
R
上的函 数
f
（
x
）是奇函数，且
f
（
x
）在（﹣
∞
，
0
）上是减函数，
f
（
2
）
=0
，
g
（
x
）
=f
（
x
+2
），则不等式
xg
（
x
）≤
0
的解集是（ ）

A
．
C
．（﹣
∞
，﹣
2
]< br>∪
[
2
，+
∞
）
B
．[﹣
4，﹣
2
]
∪
[
0
，+
∞
）

（﹣
∞
，﹣
4
]
∪
[﹣
2
，+< br>∞
）
D
．（﹣
∞
，﹣
4
]
∪[
0
，+
∞
）

12
．已知抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p
＞
0
）的焦 点为
F
，点
A
，
B
在
C
上，且点
F
是△
AOB
的重
心，则
cos
∠
AFB
为（ ）

A
．﹣
B
．﹣
C
．﹣
D
．﹣



二、填空题

13
．若和是 两个互相垂直的单位向量，则|+
2
|
=_______
．

14
．已知
α
为锐角，
cos
α
=
，则
sin
（﹣
α
）
=_______
．

15
．在△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所 对的边长分别是
x
+
1
，
x
，
x
﹣
1
，且∠
A=2
∠
C
，则△
ABC
的周长为_______
．

16
．已知圆
C
：（
x< br>﹣
a
）
2
+
y
2
=1
（
a
＞
0
），过直线
l
：
2x
+
2y
+
3=0
上任意一点
P
作圆
C
的两条
切线
PA
，
PB
，切点分别为
A
，
B
，若∠
A PB
为锐角，则
a
的取值范围为
_______
．



三、解答题

17
．设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n
=2 a
n
﹣
1
．

（
1
）证明：数列{
a
n
}是等比数列；

（
2
）求数列{
na
n
}的前
n
项和
T
n
．

18
．在四棱锥
P
﹣
ABCD中，底面
ABCD
是菱形，
AB=2
，∠
BAD=60
°
，
PC
⊥
BD
．

（
1
）证明：
PB=PD
；

（
2
）若平面
PBD
⊥平面
ABCD
，且∠
DPB=90
°< br>，求点
B
到平面
PDC
的距离．


19< br>．
PM2.5
是指空气中直径小于或等于
2.5
微米的细颗粒物，它对 人体健康和大气环境质量
的影响很大
.2020
年
2
月，中国发布了 《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用
第2页（共20页）

< br>x=1
，
2
，
3
，
4
，
5
依次表示
2020
年到
2020
年这五年的年份代号，用
y
表示每年
3
月份的
PM2.5
指数的平均值（单位：
μ
gm
3
）．已知某市
2020
年到
2020
年每年
3< br>月份
PM2.5
指数
的平均值的折线图如图：


（
1
）根据折线图中的数据，完成表格：

2020 2020 2020 2020
年份

1 2 3 4
年份代号（
x
）

PM2.5
指数（
y
）


（
2
）建立
y
关于
x
的线性回归方程；

（
3
）在当前治理空气污染的力度下，预测该市
2020
年
3
月份的
PM2.5
指数的平均值．

附：回归直线方程
=x
+中参数的最小二乘估计公式；

=
，
=
﹣．

20
．已知椭圆
C
： +
=1
（
a
＞b
＞
0
）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦
点为顶点的三角形 的周长为
6
．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）设过点
C
的左焦点
F
的直线
l
交
C
于< br>A
，
B
两点，是否存在常数
λ
，使|
恒成立，若存在 ，求出
λ
的值；若不存在，请说明理由．

21
．已知函数
f
（
x
）
=
（
1
）求
a
，
b
．

（
2
）证明：当
x
＞
0
，且
x
≠
1
时，
f
（
x
）＞．

+
b
在
x=1
处的切线方程为
x
+
y﹣
3=0
．

|
=
λ•


[选修
4-1
：几何证明选讲]

22
．如图，
E
为⊙
O
上一点，点
A
在直径
BD
的延长线上，过点
B
作⊙
O
的切线交
AE
的延
长线于点
C< br>，
CE=CB
．

（
1
）证明：
AE
2
=AD
•
AB
．

（
2
）若
AE=4
，
CB=6
，求⊙
O
的半径．

第3页（共20页）

[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]

23
．已知曲线
C
的极坐标方程是
ρ
sin
2
θ
﹣
8co s
θ
=0
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为
x
轴的 正半轴，建立平面直角坐标系
xOy
．在直角坐标系中，倾斜角为
α
的直线< br>l
过点
P
（
2
，
0
）．

（
1
）写出曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的参数方程；< br>
（
2
）设点
Q
和点
G
的极坐标分别为（< br>2
，
相交于
A
，
B
两点，求△
GAB
的面积．



[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．已知函数
f
（
x
）
=
．

），（
2
，
π
），若直线
l
经过点
Q，且与曲线
C
（
1
）求函数
f
（
x
） 的值域；

（
2
）若函数
f
（
x
）的值域 是[
m
，
n
]，且
a
2
+
b
2< br>=m
，
c
2
+
d
2
=n
，求
ac
+
bd
的取值范围．



第4页（共20页）

2020
年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题

1
．设集合
A=
{
x
|
x
（
x
﹣
3
）＜
0
}，
B=
{
x
|
x
﹣< br>2
≤
0
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．（
0
，
2
]
B
．（
0
，
2
）
C
．（
0
，
3
）
D
．[
2
，
3
）

【考点】交集及其运算．

【分析】求出
A
与
B
中 不等式的解集分别确定出
A
与
B
，找出两集合的交集即可．

【解答】解：由
A
中不等式解得：
0
＜
x
＜
3< br>，即
A=
（
0
，
3
），

由
B
中不等式解得：
x
≤
2
，即
B=
（﹣
∞
，
2
]，

则
A
∩
B=
（0
，
2
]，

故选：
A
．



2
．设
z
满足
i
（
1
+
z
）
=2
+
i
，则|
z
|
=
（ ）

A
．
B
．
C
．
2 D
．
1
【考点】复数求模．

【分析】根据复数的四则运算求出< br>z
，然后利用复数的模长公式进行求解即可．

【解答】解：由
i（
1
+
z
）
=2
+
i
，得
1
+
z=
则
z=
﹣
2i
，

则|
z
|
=2
，

故选：
C


3
．设命题
p
：∀
x
＞
0
，< br>xe
x
＞
0
，则￢
p
为（ ）

A
．∀
x
≤
0
，
xe
x
≤
0 B
．∃
x
0
≤
0
，
x
0
e
x
0
≤
0
C
．∀
x
＞
0
，xe
x
≤
0 D
．∃
x
0
＞
0
，
x
0
e
x
0
≤
0
【考点】命题的否定．

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

则￢
p
：∃
x
0
＞
0
，
x
0
e
x
0
≤
0
，

故选：
D


4
．从
3
名男生和
2
名女生中任意推选
2
名选手参加 辩论赛，则推选出的
2
名选手恰好是
1
男
1
女的概率是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

=1
﹣
2i
，

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验 发生所包含的事件数是
C
5
2
种结果，满足条件
的事件是抽到的2
名学生恰好是
1
男
1
女，有
C
3
1
C
2
1
，进而得到概率．


【解答】解：从3
名男生和
2
名女生中任意推选
2
名选手参加辩论赛，共有C
5
2
=10
种选法，
选出的
2
名选手恰好是
1
男
1
女有
C
3
1
C
2
1
=6
种，

第5页（共20页）

故推 选出的
2
名选手恰好是
1
男
1
女的概率是
=
，

故选：
C
．



5
．如 图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为
“
秦九韶算
法
”
．执行该程序框图，若输入
x=2
，
n=5
，则输出的< br>v=
（ ）


A
．
26 C
．
57 D
．
64
【考点】程序框图．

【分 析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
v
的值，
模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

x=2
，
n=5
，
v=1
，
k=2
执行循环体，
v=4
，
k=3
满足条件
k
＜5
，执行循环体，
v=11
，
k=4
满足条件
k＜
5
，执行循环体，
v=26
，
k=5
不满足条件< br>k
＜
5
，退出循环，输出
v
的值为
26
．< br>
故选：
A
．



6
．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）

B
．
48

A
．
39
π
B
．
48
π
C
．
57
π
D
．
63
π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在 上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三
视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余 部分的表面积．

第6页（共20页）

【解答】解：根据三视图可知该几何体是：

一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，

且圆柱底面圆的半径为
3
，母线长是
4
，

则圆锥的母线长是
=5
，

∴剩余部分的表面积
S=
π
×
3
2
+
2
π
×
3
×
4
+
π
×
3
×
5=48
π
，

故选：
B
．



7
．已知
x
，
y
满足约束条件，则的最大值是（ ）

A
．﹣
2 B
．﹣
1 C
．
D
．
2
【考点】简单线性规划．


【分析】作出不等式 组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应 的平面区域如图，

则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，

由图象知
OA
的斜率最大，

由得，即
A
（
2
，
4
），

此时的最大值是
故选：
D
，



< br>8
．已知函数
f
（
x
）
=Asin
（
ω
x
+
φ
）（
A
＞
0
，
ω＞
0
）的图象与直线
y=b
（
0
＜
b
＜
A
）相交，其

中一个交点
P
的横坐标为
4，若与
P
相邻的两个交点的横坐标为
2
，
8
，则函数< br>f
（
x
）（ ）
A
．在[
0
，
3
]上是减函数
B
．在[﹣
3
，
0
]上是减函数

C
．在[
0
，
π
]上是减函数
D
．在[﹣
π
，
0
]上是减函数

【考点】正弦函数的图象．

第7页（共20页）

【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数
f
（
x
）的图象的相邻的 两条对称轴分别
为
x=3
和
x=6
，且函数
f
（< br>x
）在[
3
，
6
]上单调递减，故
f
（x
）在[
0
，
3
]上是增函数，在[﹣
3
，< br>0
]上是减函数，从而得出结论．

【解答】解：∵函数
f
（
x
）
=Asin
（
ω
x
+
φ
）（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象与直线
y=b
（
0
＜
b
＜
A
）
相交，其中一个交 点
P
的横坐标为
4
，

若与
P
相邻的两个 交点的横坐标为
2
，
8
，则函数
f
（
x
） 的图象的相邻的两条对称轴分别为
x=3
和
x=6
，

且函 数
f
（
x
）在[
3
，
6
]上单调递减，故
f
（
x
）在[
0
，
3
]上是增函数，在[ ﹣
3
，
0
]上是减函
数，

故选：
B
．



9
．设函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
在（
0，+
∞
）上单调递增，则实数
a
的取值范围为（ ）

A
．[﹣
1
，+
∞
）
B
．
D
．（﹣
1
，+
∞
）
C
．[
0
，+
∞
）

（
0
，+
∞
）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
在区间（
0
，+
∞
）上单调递增⇔函数
f
′
（
x
）
=e
x
+
a
≥
0
在区间（
0
，
+
∞< br>）上恒成立⇔
a
≥[﹣
e
x
]
min
在区间 （
0
，+
∞
）上成立．

【解答】解：
f
′
（
x
）
=e
x
+
a
，

∵函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
在区间（
0
，+
∞
）上单调递增，

∴函数
f′
（
x
）
=e
x
+
a
≥
0< br>在区间（
0
，+
∞
）上恒成立，

∴
a≥[﹣
e
x
]
min
在区间（
0
，+
∞
）上成立，

∵在区间（
0
，+
∞
）上﹣
e
x
＜﹣
1
，

∴
a
≥﹣
1
，

故选：
A
．



10
．正三棱柱的底面 边长为，侧棱长为
2
，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）

A
．
4
π
B
．
8
π
C
．
12
π
D
．
16
π

【考点】球的体积和表面积．

【分 析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正
三角形的性质和勾 股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的
表面积．

【 解答】解：设三棱柱
ABC
﹣
A
′
B
′
C
′
的上、下底面的中心分别为
O
、
O
′
，

根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段
OO
′
中点
O
1，

∵
OA=AB=1
，
OO
1
=AA
′
=1
∴
O
1
A=
因此，正三棱柱的外接球半径
R=
， 可得该球的表面积为
S=4
π
R
2
=8
π

故选：
B
．



11
．已知定义在R
上的函数
f
（
x
）是奇函数，且
f
（
x
）在（﹣
∞
，
0
）上是减函数，
f
（
2
）
=0
，
g
（
x
）
=f
（x
+
2
），则不等式
xg
（
x
）≤
0
的解集是（ ）

A
．
C
．（﹣
∞
，﹣
2
]
∪
[
2
，+
∞
）
B
．[﹣
4
，﹣
2
]
∪
[
0
，+
∞
）

（﹣
∞
，﹣
4
]
∪
[﹣< br>2
，+
∞
）
D
．（﹣
∞
，﹣
4< br>]
∪
[
0
，+
∞
）

【考点】奇偶性与单调性的综合．

第8页（共20页）

【分析】由题意可得
g
（
x
）关于点（﹣
2
，0
）对称，
g
（
0
）
=f
（
2
）
=0
，
g
（﹣
4
）
=f
（﹣
2
）
=0
，画出
g
（
x
）的单调性示意图，数形结 合求得不等式
xg
（
x
）≤
0
的解集．

【解答】解：由题意可得
g
（
x
）的图象是把
f
（
x
）的图象向左平移
2
个单位得到的，

故
g
（< br>x
）关于点（﹣
2
，
0
）对称，
g
（
0
）
=f
（
2
）
=0
，
g
（﹣
4
）
=f
（﹣
2
）
=0
，

它的单调性示意图，如图所示：

根据不等式
xg
（
x）≤
0
可得，
x
的符号和
g
（
x
）的 符号相反，

∴
xg
（
x
）≤
0
的解集为 （﹣
∞
，﹣
4
]
∪
[﹣
2
，+
∞
），

故选：
C
．



12
．已知抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p
＞
0
）的焦点为
F
，点
A
，
B
在
C
上，且点
F
是△
AOB
的重
心，则
cos
∠
AFB
为（ ）

A
．﹣
B
．﹣
C
．﹣
D
．﹣

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设
A
（
m
，）、
B
（
m
，﹣），则
=
，
p=
，可得
A
的坐标，求
出
AF
，利用二倍角公式可求．

【 解答】解：由抛物线的对称性知，
A
、
B
关于
x
轴对称．< br>
设
A
（
m
，
∴
A
（
m< br>，
∴
AF=m
，

）、
B
（
m
，﹣
m
），

），则
=
，∴
p=
．

∴
cos
∠
AFB==
，

∴
cos∠
AFB=2cos
2
∠
AFB
﹣
1=
﹣．< br>
故选：
D
．



二、填空题

13
．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+
2
|
=

【考点】平面向量数量积的运算．

第9页（共20页）

．

【分析】计算（）
2
，然后开方即可．

【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，

∴
∴（
，
）
2
=
．

．

．

=5
，

∴||
=
故答案为：


14
．已知
α< br>为锐角，
cos
α
=
，则
sin
（﹣
α）
=
．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分 析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求
sin
α
，利用特殊角的三角函数值及两 角差
的正弦函数公式化简所求即可计算得解．

【解答】解：∵
α
为锐角，
cos
α
=
，

∴
sin
∴
sin
（﹣
α
）
=sin．

=
cos
α
﹣
cos
=
sin< br>α
=
，

﹣×
=
．

故答案为：


15
．在△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边长分别是
x
+
1
，
x
，
x
﹣
1
，且∠
A=2
∠< br>C
，则△
ABC
的周长为
15
．

【考点】余弦定理．

【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=
，又由余弦定理
可得：
cosC=
，从而可得
=，
解得
x
，即可得解三角形的周长．

【解答】解：∵∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边长分别是
x
+
1
，
x
，
x
﹣
1
，且∠
A=2
∠
C
，

∴由正弦定理可得：
∴
，

，可得：
cosC=
，

又∵由余弦定理可得：
cosC=
，

∴
=
，整理即可解得
x=5
，

∴△
AB C
的周长为：（
x
+
1
）+
x
+（
x﹣
1
）
=3x=15
．

第10页（共20页）

故答案为：
15
．



16
．已知圆
C
：（
x
﹣
a
）
2
+
y
2
=1
（
a
＞
0
），过直线
l
：
2x
+
2y
+
3=0
上任意一点
P
作圆
C
的两条

切线
PA
，
PB
，切点分别为
A
，
B
，若∠
APB
为锐角，则
a< br>的取值范围为 （，
+
∞
） ．
【考点】圆的切线方程．
< br>【分析】作出直线
l
和圆
C
，
PA
，
PB< br>为圆的两条切线，连接
AC
，
BC
，
PC
，由∠APB
为锐
角，可得
0
＜∠
APC
＜，运用解直角三角 形可得可得
1
＜
PA
恒成立，由勾股定理可得
PA
2
=PC
2
﹣
1
，求得
PC
的最小值，可得
PA< br>的最小值，解不等式即可得到所求
a
的范围．

【解答】解：作出直线
l
和圆
C
，
PA
，
PB
为圆的两条切线，

连接
AC
，
BC
，
PC
，
< br>由圆心
C
（
a
，
0
）到直线
l
的距 离为
d=
可得直线和圆相离．

由∠
APB
为锐角，可得< br>0
＜∠
APC
＜
即
0
＜
tan
∠< br>APC
＜
1
，

在
Rt
△
APC< br>中，
tan
∠
APC==
，

，

＞＞
1
，

可得
1
＜
PA
恒成立，

由勾股定理可得
PA
2
=PC
2
﹣
1
，

当
PC
⊥
l
时，
PC
取得最小值，且为，

即有
1
＜，

解得
a
＞．

故答案为：（，+
∞
）．




三、解答题

17
．设
S
n
是数列{
a< br>n
}的前
n
项和，且
S
n
=2a
n
﹣
1
．

第11页（共20页）

（1
）证明：数列{
a
n
}是等比数列；

（
2
）求数列{
na
n
}的前
n
项和
T
n．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（
1
）由
S
n
=2a
n
﹣
1
．可得当
n=1
时，
a
1
=2a
1
﹣
1
，解得< br>a
1
．当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
，
化为：
a< br>n
=2a
n
﹣
1
．利用等比数列的通项公式即可得出．

（
2
）由（
1
）可得：
a
n
=2n
﹣
1
．
na
n
=n
•
2
n
﹣
1
．利用
“
错位相减法
”
与等比数列的前
n
项和公式即
可得出．

【解答】（
1
）证明：∵
S
n
=2a
n
﹣
1
．∴当
n=1
时，< br>a
1
=2a
1
﹣
1
，解得
a
1=1
．

当
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
=2a
n﹣
1
﹣（
2a
n
﹣
1
﹣
1
） ，化为：
a
n
=2a
n
﹣
1
．

∴数列{
a
n
}是等比数列，首项为
1
，公比为
2
．

（
2
）解：由（
1
）可得：
a
n=2
n
﹣
1
．

na
n
=n
•
2
n
﹣
1
．

∴数列{
na
n
}的前
n
项和
T
n
=1
+
2
×< br>2
+
3
×
2
2
+
…
+
n< br>•
2
n
﹣
1
，

2T
n
= 2
+
2
×
2
2
+
…
+（
n
﹣
1
）
•
2
n
﹣
1
+
n
•
2
n
，

∴﹣
T
n
=1
+< br>2
+
2
2
+
…
+
2
n
﹣< br>1
﹣
n
•
2
n
=
﹣
n
•< br>2
n
=
（
1
﹣
n
）
•
2< br>n
﹣
1
，

∴
T
n
=
（< br>n
﹣
1
）
•
2
n
+
1
．< br>


18
．在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABCD
是菱形，
AB=2
，∠
BAD=60
°
，
PC
⊥
BD
．

（
1
）证明：
PB=PD
；

（
2
）若平面
PBD
⊥平面
ABCD
，且∠
DPB=90
°< br>，求点
B
到平面
PDC
的距离．


【考点】点、线、面间的距离计算．

【分析】（
1
）如图所示，连 接
AC
交
BD
于点
O
，连接
OP
．利用菱 形的性质可得
AC
⊥
BD
，
利用线面垂直的判定与性质定理可证明< br>BD
⊥
PO
．又
O
是
BD
的中点，可得PB=PD
．

（
2
）底面
ABCD
是菱形，
AB=2
，∠
BAD=60
°
，可得△
PBD
与△
BCD
都是等边三角形．由
平面
PBD
⊥平面
ABCD，平面
PBD
∩
平面
ABCD=BD
，
PO
⊥
BD
．可得
PO
⊥平面
ABCD
，
因此
P O
⊥
AC
，又
AC
⊥
BD
，可建立如图所示的空间 直角坐标系．设平面
PCD
的法向量
=
（
x
，
y< br>，
z
），则，利用点
B
到平面
PDC
的距离
d=
即可得出．

【解答】（
1
）证明：如图所示，连接
A C
交
BD
于点
O
，连接
OP
．∵四边形
A BCD
是菱形，
∴
AC
⊥
BD
，又
PC
⊥
BD
，且
PC
∩
AC=C
，∴
BD
⊥平面
PAC
．则
BD
⊥
PO
．

又
O
是
BD
的中点，∴
PB=PD
．
< br>（
2
）解：底面
ABCD
是菱形，
AB=2
，∠BAD=60
°
，∴△
PBD
与△
BCD
都是等边三角 形．

∵平面
PBD
⊥平面
ABCD
，平面
PBD
∩
平面
ABCD=BD
，
PO
⊥
BD
．< br>
∴
PO
⊥平面
ABCD
，∴
PO
⊥
AC
，又
AC
⊥
BD
，可建立如图所示的空间直角坐标系．

∵∠
DPB=90
°
，
PB=PD
，
BD=2
，

第12页（共20页）

∴
PO=1
，∴
P
（
0
，
0
，
1
），
B
（
1
，
0
，
0
），
D
（﹣< br>1
，
0
，
0
），
C
（
0
，
=
（﹣
1
，
0
，﹣
1
），
=（
0
，，﹣
1
），
=
（
1
，﹣，0
），

设平面
PCD
的法向量
=
（
x
，
y
，
z
），则
取
=
，

==
．

，∴
，
0
），

，

则点
B
到平面
PDC
的距离
d=



19
．
PM2.5
是指空气中直径小于或等于
2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量
的影响很大
.2020
年
2
月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用
x=1
，
2
，
3
，
4
，
5
依次表示
2020年到
2020
年这五年的年份代号，用
y
表示每年
3
月 份的
PM2.5
指数的平均值（单位：
μ
gm
3
）．已知某 市
2020
年到
2020
年每年
3
月份
PM2.5
指数
的平均值的折线图如图：


（
1
）根据折线图中的数据，完成表格：

2020 2020 2020 2020
年份

1 2 3 4
年份代号（
x
）

PM2.5
指数（
y
）


（
2
）建立
y
关于
x
的线性回归方程；

（
3
）在当前治理空气污染的力度下，预测该市
2020
年
3
月份的
PM2.5
指数的平均值．

附：回归直线方程
=x
+中参数的最小二乘估计公式；

第13页（共20页）

=
，
=
﹣．

【考点】线性回归方程．

【分析】（
1
）根据折线图中的数据，完成表格即可；（
2
）计算线性回归方程中的系数，可得
线性 回归方程；（
3
）
x=5
代入线性回归方程，可得结论．

【解答】解：（
1
）

2020 2020 2020 2020
年份

1 2 3 4
年份代号（
x
）

PM2.5
指数（
y
）

90 88 70 64
（
2
）
=2.5
，
=78
，

（
x
i
﹣）（
y
i
﹣）
=
﹣
48
，
=5
，

==
﹣
9.6
，
=
﹣
=102
，

∴
y
关于
x
的线性回归方程是：
=
﹣
9.6x
+
102
；

（
3
）
2020
年的年份代号是
5
，当
x=5
时，
=
﹣
9.6
×
5
+
102=54
，
∴该市
2020
年
3
月份的
PM2.5
指数的平均值的 预测值是
54
μ
gm
3
．



20
．已知椭圆
C
： +
=1
（
a
＞b
＞
0
）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦
点为顶点的三角形 的周长为
6
．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）设过点
C
的左焦点
F
的直线
l
交
C
于< br>A
，
B
两点，是否存在常数
λ
，使|
恒成立，若存在 ，求出
λ
的值；若不存在，请说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（
1
）由
=
，
2a
+
2c=6
，
a
2
=b
2
+
c
2
，联立解出即可得出椭圆
C
的方程．

|< br>=
λ•
（
2
）
F
（﹣
1
，
0
），设
A
（
x
1
，
y
1
），< br>B
（
x
2
，
y
2
）．当直线
l的斜率不存在时，
x
1
=
﹣
1
，不妨
取
y
1
=
，可得
λ
==
﹣．当直线
l
的斜 率存在时，设直线
l
的方程为
y=k
（
x
+
1），
代入椭圆方程整理为：（
4k
2
+
3
）
x
2
+
8k
2
x
+
4k
2
﹣
12=0
，△＞
0
，利用根与系数的关系可得
=
得出．

，

•
=
（
x
1
+
1
） （
x
2
+
1
）+
y
1
y
2
，计算即可
第14页（共20页）

【解答】解：（
1< br>）∵
=
，
2a
+
2c=6
，
a
2< br>=b
2
+
c
2
，解得
a=2
，
c= 1
，
b
2
=3
．

∴椭圆
C
的方程为
=1
．

（
2
）
F
（﹣
1
，
0
），设
A
（
x< br>1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
）．当直线
l
的斜率不存在时，
x
1
=
﹣
1
，

不妨取
y
1
=
，||
=3
，
=
，
=.
•
=
，

则
λ
===
﹣．

当直线
l
的斜率存在时 ，设直线
l
的方程为
y=k
（
x
+
1
），

则，整理为：（
4k
2
+
3
）
x
2
+
8k
2
x
+
4k
2
﹣
12 =0
，

△
=64k
4
﹣
4
（
4 k
2
+
3
）（
4k
2
﹣
12
）< br>=12
2
（
1
+
k
2
）＞
0
，

x
1
+
x
2
=
，
x
1
x
2
=.
=
=
（
x
1
+< br>1
，
y
1
），
+
1
]
=
=
=
（
x
2
+
1
，
y
2
）
..
，


•
，

=
（
x
1
+
1
）（
x
2
+
1
）+< br>y
1
y
2
=
（
k
2
+
1< br>）[
x
1
x
2
+（
x
1
+
x
2
）
则
==
﹣．

综上所述：可得存在常数
λ
=
﹣，使|


21< br>．已知函数
f
（
x
）
=
（
1
）求< br>a
，
b
．

|
=
λ•
恒成立．

+
b
在
x= 1
处的切线方程为
x
+
y
﹣
3=0
．
< br>（
2
）证明：当
x
＞
0
，且
x
≠< br>1
时，
f
（
x
）＞．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分 析】（
1
）求出函数的导数，根据
f
（
1
）
=2< br>，
f
′
（
1
）
=
﹣
1
，求 出
a
，
b
的值即可；

第15页（共20页）

（
2
）问题转化为（
x
﹣﹣
2lnx
）＞
0
，令
g
（
x
）
=x
﹣﹣
2lnx
，（
x
＞
0
），求出
g
（
x）
的单调区间，从而证出结论即可．

【解答】解：（
1
）f
（
x
）的定义域是（
0
，+
∞
），

f
（
x
）
=
+
b
，切点是（
1< br>，
2
），

∴
f
（
1
）
=b=2
，

f′
（
x
）
=
∴
f
′
（
1）
=a=
﹣
1
，

故
a=
﹣
1
，
b=2
；

（2
）证明：由（
1
）得：
f
（
x
）
=
+
2
，
f
（
x
）＞，

，

∴（
x
﹣﹣
2lnx
）＞
0
，

令
g
（
x
）
=x
﹣﹣
2lnx
，（
x
＞
0
），

则
g
′
（
x）
=
（
x
﹣
1
）
2
＞
0，

∴
g
（
x
）在（
0
，
1
）递增，在（
1
，+
∞
）递增，

∵
g< br>（
1
）
=0
，∴
g
（
x
）＞
0
⇔
x
＞
1
，
g
（
x
）＜0
⇔
0
＜
x
＜
1
，

∴
x
＞
1
时，
g
（
x
）＞0
，
0
＜
x
＜
1
时，
g
（
x
）＞
0
，

x
＞
0
且
x
≠
1
时，（
x
﹣﹣
2lnx
）＞< br>0
，

∴当
x
＞
0
，且
x
≠
1
时，
f
（
x
）＞．



[选修
4-1
：几何证明选讲]

22
．如图，
E
为⊙
O
上一点，点
A
在直径
BD
的延长线上，过点
B
作⊙
O
的切线交
AE
的延
长线于点
C< br>，
CE=CB
．

（
1
）证明：
AE
2
=AD
•
AB
．

（
2
）若
AE=4
，
CB=6
，求⊙
O
的半径．

第16页（共20页）

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（
1
）证明
AC
是⊙
O
的切线，根据切割线定理可得：
AE
2
=AD
•
AB
．

（
2
）根据切割线定理求出
AD，即可求⊙
O
的半径．

【解答】（
1
）证明：∵过点
B
作⊙
O
的切线交
AE
的延长线于点
C
，

∴∠
CBO=
∠
CBE
+∠
OBE=90
°
．

∵
CE=CB
，
OE=OB
，

∴∠
CEB=
∠
CBE
，∠
OEB=
∠
O BE
，

∴∠
CEO=
∠
CEB
+∠
OE B=
∠
CBE
+∠
OBE=90
°
，

∴
CE
⊥
OE
，

∵
OE
是⊙
O
的半径，

∴
AC
是⊙
O
的切线，

根据切割线定理可得AE
2
=AD
•
AB
．

（
2
）解：∵
CE=CB=6
，
AE=4
，

∴
AC=10
，

∴
AB=8
∵
AE< br>2
=AD
•
AB
，
AE=4
，

∴
4
2
=AD
•
8
，

∴
AD=2
，

∴
BD=8
﹣
2=6
，

∴⊙
O
的半径为
3
．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]

23
．已知曲线
C
的极坐标方程是
ρ
sin
2
θ
﹣
8co s
θ
=0
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为
x
轴的 正半轴，建立平面直角坐标系
xOy
．在直角坐标系中，倾斜角为
α
的直线< br>l
过点
P
（
2
，
0
）．

（
1
）写出曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的参数方程；< br>
（
2
）设点
Q
和点
G
的极坐标分别为（< br>2
，），（
2
，
π
），若直线
l
经过点Q
，且与曲线
C
相交于
A
，
B
两点，求△GAB
的面积．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（
1< br>）
ρ
sin
2
θ
﹣
8cos
θ
=0
，化为
ρ
2
sin
2
θ
﹣
8
ρ< br>cos
θ
=0
，令
坐标方程．直线
l
的参数方程为： （
t
为参数）．

，即可得出直角
第17页（共20页）

（
2
）点
Q
和点
G
的极坐标分别为 （
2
，），（
2
，
π
），分别化为：
Q
（
0
，﹣
2
），
G
（﹣
2
，
0）．
k
l
=1
，倾斜角为，可得直线
l
的参数方程：（
t
为参数）．将参数方程代
入曲线
C
的方程可得：
t
2
﹣
8
﹣
t
2
|
=
t
﹣
32=0
，设
t
1
与
t
2
为此方程的两个实数根 ，可得|
AB
|
=
|
t
1
．点
G
到直线
l
的距离
d
．即可得出
S
△
GAB
=
|
BA
|
•
d
．

【解答】解：（1
）
ρ
sin
2
θ
﹣
8cos
θ=0
，化为
ρ
2
sin
2
θ
﹣
8ρ
cos
θ
=0
，

∴直角坐标方程为：
y
2
=8x
．

直线
l
的参数方程为：（
t
为参数）．

），（< br>2
，
π
），分别化为：
Q
（
0
，﹣
2
），
G
（﹣
2
，（
2
）点
Q
和 点
G
的极坐标分别为（
2
，
0
），
k
l< br>==1
，倾斜角为，直角坐标方程为：
y=x
﹣
2
．可得直线
l
的参数方程：
（
t
为参数）．将参数方程代入曲线
C的方程可得：
t
2
﹣
8t
﹣
32=0
，△=128
+
4
×
32
＞
0
，设
t1
与
t
2
为此方程的两个实数根，可得：
t
1
+
t
2
=
t
2
|
=
S
△
GAB
=
|
BA
|
•
d=


[选修
4-5
：不等式选讲]

24
．已知函数
f
（
x
）
=
．

=
，
t
1
t
2
=
﹣
32
．∴|
AB
|
=
|
t
1
﹣
=2
． ∴
=16
．点
G
到直线
l
的距离
d=
=1 6
．

（
1
）求函数
f
（
x
）的值域；

（
2
）若函数
f
（
x
）的值域是[
m
，
n
]，且
a
2
+
b
2
=m
，c
2
+
d
2
=n
，求
ac
+
bd
的取值范围．

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】 （
1
）记
g
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣|
x
﹣
1
|+
5
，分类讨论求 得
g
（
x
）
=
，
从而求值域；

（
2
）由柯西不等式知（
a
2
+
b
2
）（
c
2
+
d
2
）≥（
ac
+
bd< br>）
2
，从而求取值范围．

【解答】解：（
1
）记< br>g
（
x
）
=
|
x
+
3
|﹣ |
x
﹣
1
|+
5
，

则
g
（
x
）
=
，

第18页（共20页）

故
g
（
x
）∈[
1
，
9
]，

故
f
（
x
）∈[
1
，
3
]．

（
2
）由（
1
）知，
a
2
+
b
2
=1
，c
2
+
d
2
=3
，

由柯西不等式知，

（
a
2
+
b
2
）（
c
2
+
d
2
）≥（
ac
+
bd
）
2
，

（当且仅当
ad=bc
时，取等号；）

即（
ac
+
bd
）
2
≤
3
，

故﹣≤
ac
+
bd
≤，

故
ac
+
bd
的取值范围为[﹣，]．

第19页（共20页）

2020
年
9
月
12
日

第20页（共20页）