广州出入境边防检查总站-办公室主任个人总结

2016年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷（三）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合M={x|y=lgx}，N={x|y=}，则M∩N= ．
2．复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位）的共轭复数为 ．
3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ．（结果用数值
表示）
4．运行如图语句，则输出的结果T= ．
< br>5．已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重（单位：公斤），获得体重数据 的
茎叶图如图所示，则该样本的方差为 ．

6．已知等比数列{a
n
}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 ．
的扇形，用这7．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角 为
3
块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 cm．
8．已知向量，，满足||=1，||=， +=（，1），则向量+与向量﹣的夹角
是 ．
9．在锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，则3tanC的值为 ．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且=λ
1
+ λ
2
，则λ
1
+λ
2
= ．
2211．已知圆O：x+y=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长 度的最大值
是 ．
12．如图，点A，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶 点和右焦点，过中心O作直线AF的平行线交椭
倍，则该椭圆的离心率为 ． 圆于C，D两点，若CD的长是焦距的

13．从x轴上一点A分别向函数f（x）=﹣x3
与函数g（x）=引不是水平方向的切线l
1
和l
2
，两切线l
1
、l
2
分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OA B的面积为S
1
，△OAC的面积为S
2
，则
S
1
+S
2
的最小值为 ．

14．已知一切x，y∈R，不等 式x+
2
﹣2xy+﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围
是 ．

二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案填写在答题卡相应位置上．
15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜ π）．
（1）若点B（﹣，），求tan（θ+
（2）若+=， =
）的值；
﹣θ）． ，求cos（

16．
在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点D是BC的中点，BC=BB
1
．
（1）求证：A
1
C∥平面AB
1
D；
（2）试在棱CC
1
上找一点M，使MB⊥AB
1
．
< br>17．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的 仰角
和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕 中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为
60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄 影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的
点到点F距离的最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E 及直线x=8分别相交于点M，N．
①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
②若cos∠AMB=﹣，求△ABM的面积．
19．已知函数f（x）=（x
2< br>﹣3x+3）e
x
，其中e是自然对数的底数．
（1）若x∈[﹣2，a]，﹣2＜a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；

（2）设a＞﹣2，求证：f（a）＞
x
；
（3）设h（x ）=f（x）+（x﹣2）e，x∈（1，+∞），是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]
时，y=h（x）的值域也是[m，n]？若存在，请求出一个这样的区间； 若不存在，请说明理由．
20．已知数列{a
n
}满足：a
1
=a
2
=a< br>3
=k，a
n+1
=
b
n
=（n=1，2，3，4， …）
（n≥3，n∈N），其中k＞0，数列{b
n
}满足：
*
（ 1）求b
1
、b
2
、b
3
、b
4
；
（2）求数列{b
n
}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a
n
}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的
k．

附加题，共40分[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中 两题，并在相应的答题
区域内作答．A．（选修4-1：几何证明选讲）
21．几何证明选讲 如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于
点G，与弧 相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．


B．（选修4-2：矩阵与变换）
22．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M以及椭圆
﹣1
在M的作用下的新曲线的方程．
﹣1

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

D．（选修4-5：不等式选讲）
24．设x+y+z=1，求F=2x
2
+3y
2
+z
2
的最小值．

【必做题】每题10分，共计20分.
25．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成 功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽
实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立 ，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果
种子没有发芽，则称该次实验是失败．若该研究所 共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的
次数与失败的次数之差的绝对值．
（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；
（2）记“函数f（x）=x
2
﹣ξx﹣1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P
（A）．
26．过抛物线y
2
=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交 抛物线于M、N两点，线
段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．

（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．

2016年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合M={x|y=lgx}，N={x|y=}，则M∩N= {x|0＜x≤1} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M与N中x的范围分别确定出两集合，求出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=lgx，得到x＞0，即M={x|x＞0}，
由N中y=，得到1﹣x≥0，
2
解得：﹣1≤x≤1，即N={x|﹣1≤x≤1}，
则M∩N={x|0＜x≤1}，
故答案为：{x|0＜x≤1}

2．复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位）的共轭复数为 1﹣i ．
【考点】复数的基本概念．
【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形 式，要求复数的共轭复数只要把复数的虚
部变化为相反数．
【解答】解：∵复数z=（1﹣i）i=1+i
∴它的共轭复数是1﹣i，
故答案为：1﹣i．

3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ．（结果用数值表示）
【考点】等可能事件的概率．
【分析】根据题意，将这5个数分为奇 数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出
的2个数的和为奇数，则取出的2个 数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个
数的和是奇数的种数，最后再除以 总数即得答案．
【解答】解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；
若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；
11
有C
3
•C
2
=6种取法，
符合题意的总数共C
5
2
=10种取法；
这两个数的和是奇数的概率为
故答案为．

4．运行如图语句，则输出的结果T= 25 ．

【考点】伪代码．
【 分析】本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，模拟
执行程序即可得到答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
T=1，I=3
满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3=4，I=5
满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5=9，I=7
满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5+7=16，I=9
满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5+7+9=25，I=11
不满足条件I＜10，退出循环，输出T的值为25．

故答案为：25．

5．已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重（单位：公斤） ，获得体重数据的
茎叶图如图所示，则该样本的方差为 ．

【考点】极差、方差与标准差．
【分析】由茎叶图先求出该样本的平均数，由此能求出该数据的方差．
【解答】解：由茎叶图得该样本的平均数为：
=
∴该数据的方差为：
S= [（18﹣23）+（19﹣23）+（22﹣23）+（24﹣23）+（31﹣23）]=
故答案为 ：

6．已知等比数列{a
n
}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 ．
．
222222
=23，
．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和 公
比的形式，约分化简得到结果．
【解答】解：
∴a
3
=a
1
+2a
2
，
2
∴q﹣2q﹣1=0，
∴q=1+，q=1﹣
∴=

的扇形，用这
成等差数列，
（舍去）
==q=3+2
2

故答案为：3+2

7．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边 长为半径画弧剪下一个顶角为
块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 π cm．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由题意知，弧长为×8=2π，
3
即围成圆锥形容器底面周长为2π，
所以圆锥底面半径为r=1，
可得圆锥高h=3，
所以容积V=πr×h=π×1×3
故答案为：

π
， +=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是 π ．
2
=πcm；
3
8．已知向量，，满足||=1，||=
【考点】数量积表示两个向量的夹角． < br>【分析】根据题意，先求出|+|与|﹣|的值，再由（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，求出< br>夹角θ的值．
【解答】解：设向量+与向量﹣的夹角是θ，θ∈[0，π]；
∵||=1，||=， +=（，1），

∴|+|=
∴•=0，
∴|﹣|=
=2，
=2；
又∵（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，
∴1﹣3=2×2cosθ，
即cosθ=﹣，
∴θ=π．
故答案为：π．

9．在锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，则3tanC的值为 79 ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值， 利用两角和差的正切公式求得tanB的值，从而利用
诱导公式、利用两角和差的正切公式，求得3ta nC=﹣3tan（A+B）的值．
【解答】解：锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，∴A＜B，
cosA==，tanA==．
∵tan（A﹣B）=﹣==，∴tanB=．
则3tanC=﹣3tan（A+B）=﹣3•
故答案为：79．

=79，
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且
【 考点】平面向量的正交分解及坐标表示．
=λ
1
+λ
2
，则λ
1
+λ
2
= ．
【分析】设内切圆半径为r，由题意得：r=OE=OF=AE=AF=，从而表示出向量，根据< br>向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．
【解答】解：设内切圆半径为r，
由题意得：r=OE=OF=AE=AF═
∴
=
=
∴，
，
．
=


，
∴λ
1
+λ
2
=．
故答案为：．


11．已知圆O：x
2
+y
2
=1，O为坐标原点，若正方形ABC D的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值
是 +1 ．

【考点】圆的参数方程；直线与圆相交的性质．
【分析】设正方形边长为a， ∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大
值．
【解 答】解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=，θ∈[0，
在△OBC中，a+1﹣ 2acos（
2
）．
+θ）=OC，
sin（2θ+）+3，
2
∴OC
2
=（2cosθ）
2
+1+2•2cosθ•sinθ= 4cos
2
θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2
∵θ∈[0 ，
∴2θ+
∴2θ+
∈[
=
），
，），
+3 时，OC
2
的最大值为2
+1 ∴线段OC长度的最大值是
故答案为： +1


12．如图，点A，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，过 中心O作直线AF的平行线交椭
倍，则该椭圆的离心率为 ． 圆于C，D两点，若CD的长是焦距的

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出A B，CD的方程，联立CD方程与椭圆方程联立，解得x值，即可求得|CD|，利用|CD|=
2c， 即可求得a与c的关系，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意，设AB的方程为y=﹣
22222
×
+b：CD的方程为y=﹣，
CD的方程与椭圆方程联立可得（a+c）x=ac，
∴x=±
∴|CD|=
，
×=
倍，
=，
，
∵CD的长是焦距的
∴|CD|=×2c，即
两边平方得：5a
4
﹣ 16a
2
c
2
﹣16c
4
=0，
∴（a
2
﹣4c
2
）（5a
2
+4c
2
）=0，
∴a
2
=4c
2
，
椭圆的离心率e===，

故答案为：．

13．从x轴上一点A分别向函数f（x）=﹣x
3
与函数g（x）=引不是水平方向的切线l
1
和l
2
，两
切线l
1
、l
2
分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△ OAB的面积为S
1
，△OAC的面积为S
2
，则
S
1+S
2
的最小值为 8 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】分别求出两个函数的导函数，设出两切点坐标，得到两切线方程，设出A的坐标并代入切线方程，< br>把两切线与y轴的交点用A的坐标表示，求出面积，然后利用导数求最小值．
【解答】解：由f （x）=﹣x
3
，g（x）=
得f′（x）=﹣3x，g′（x）=﹣3x，
设点为A（x
0
，0），
则l
1
和l
2
的方程分别为
分别代入A（x
0
，0）并整理得，
4x
1
﹣3x
0
=0，2x
2
﹣3x
0
=0，解得：
∴l
1
，l
2
与y轴的交点坐标分别为（0，
∴
由S′=0，解 得
∴当
当
∴当
时，S′＜0．
时S有最小值为8．
．
时，S′＞0；
．
，．
），（0，）．
，，
2﹣4
=x
﹣3
（x＞0），
故答案为：8．

14．已知一切x，y∈R，不等式x
2
+
∞，6] ．
【考点】基本不等式．
【分析】将x+
2xy+
【解答】解：x+
令z=（x﹣y）+（
2
2
2
﹣2xy+﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范 围是 （﹣
﹣2xy+配方得（x﹣y）+（
2
）﹣2，进而可得x+
22< br>﹣
的最小值为﹣6，进而得到实数a的取值范围．
﹣2xy+
），
）两点的距离d的平方，
2
=（x﹣y）+（
2
）﹣2，
2
则z表示A（x，﹣）点与B（y，
由A为双曲线y=﹣上一点，B为半圆x
2< br>+y
2
=2（y≥0）上一点，
在同一坐标系中画出两曲线的图象，如下图所示：

可以看出两点间距离的最小值为2
即距离的平方为8，
故z≥8，
∴x
2
+﹣2xy+
，
=（x﹣y）
2
+（）
2
﹣2≥6，
∴a≤6，所以实数a的取值范围是（﹣∞，6]，
故答案为：（﹣∞，6]

二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案填写在答题卡相应位置上．
15 ．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若点B（﹣，），求tan（θ+
（2）若+=， =
）的值；
﹣θ）． ，求cos（

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．
【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．
∴tan（θ+）===﹣；
（2）∵+=，
∴=（1+cosθ，sinθ）．
=，
， ∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2
θ+sin
2
θ=cosθ+1=
解得cosθ=
∴cos（
，∵0＜θ＜π，∴
=
=
+
．
=﹣θ）=．

16．
在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点D是BC的中点，BC=BB
1
．
（1）求证：A
1
C∥平面AB
1
D；
（2）试在棱CC
1
上找一点M，使MB⊥AB
1
．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析 】（1）证明：连接A
1
B，交AB
1
于点O，连接OD．因为O、D分别是 A
1
B、BC的中点，所以A
1
C∥
OD． 所以A
1
C∥平面AB
1
D．
（2）由题意得：四边形BCC1
B
1
是正方形．因为M为CC
1
的中点，D是BC的中点，所 以△B
1
BD≌△BCM，所以
∠BB
1
D=∠CBM，∠BDB< br>1
=∠CMB．所以BM⊥B
1
D． 因为△ABC是正三角形，D是BC的 中点，所以AD⊥BC．因
为AD⊥平面BB
1
C
1
C．且BM⊂平 面BB
1
C
1
C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面 AB
1
D．
【解答】证明：（1）连接A
1
B，交AB
1
于点O，连接OD．
∵O、D分别是A
1
B、BC的中点，
∴A
1
C∥OD．
∵A
1
C⊄平面AB
1
D，OD⊂平面AB
1
D，
∴A
1
C∥平面AB
1
D．
（2）M为CC
1
的中点．
证明如下：
∵在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，BC=BB
1
，∴四边形 BCC
1
B
1
是正方形．
∵M为CC
1
的中点，D是BC的中点，∴△B
1
BD≌△BCM，
∴∠BB
1
D=∠CBM，∠BDB
1
=∠CMB．
又∵，，∴BM⊥B
1
D．
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB
1
C
1
C，平面 ABC∩平面BB
1
C
1
C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB
1
C
1
C．
∵BM⊂平面BB
1
C
1
C，
∴AD⊥BM．
∵AD∩B
1
D=D，
∴BM⊥平面AB
1
D．
∵AB
1
⊂平面AB
1
D，
∴MB⊥AB
1
．


17．如图，2012年春节， 摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角
和立柱底部B的俯角均为 30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕 中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为
60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄 影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．
【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥O B于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB
中，由三角函数的定义可 求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可
求O B
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ ），θ∈[0，
2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量 积的坐标表示可求cos∠
MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．
【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…

（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…
故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），
∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11
|| •||=
=
=
由θ∈[0，2π）知|
所以cos∠MSN=
|•| |∈[11，13]…
∈[，1]，
=
×
×

∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面

18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的
点到点F距离的最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E 及直线x=8分别相交于点M，N．
①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；

②若cos∠AMB=﹣，求△ABM的面积．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的离心率结合椭圆 E上的点到点F距离的最小值为2列关于a，c的方程，求出a，c
的值后结合隐含条件求得b的值；
（2）①设出N的坐标（8，t）及圆的一般式方程，把A，F，N的坐标代入圆的方程，求出半径，利 用基本
不等式求得半径的最小值及t的值，则圆的方程可求；
②联立直线和椭圆方程，求出M 的坐标，由向量的夹角公式求出直线的斜率k，得到y的纵坐标为定值3，
代入三角形的面积公式得答案 ．
【解答】解：（1）由已知，，且a﹣c=2，
解得a=4，c=2，
222
∴b=a﹣c=12，
∴a=4，b=；
（2）①由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．
22
再设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，得
，解得，
∴圆的方程为
即
∵，当且仅当t+=
，
，
时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为．
②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由，得，
∴
∴cos∠AMB=
，，
=，
化简，得16k
4
﹣40k
2
﹣9=0，
解得，或，即k=，或k=，
此时总有y
M
=3．
∴△ABM的面积为．

2x
19．已知函数f（x）=（x﹣3x+3）e，其中e是自然对数的底数．
（1）若x∈[﹣2，a]，﹣2＜a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）设a＞﹣2，求证：f（a）＞；
（3）设h（x）=f（x）+（x﹣2）e
x
，x∈（1，+∞），是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]
时，y =h（x）的值域也是[m，n]？若存在，请求出一个这样的区间； 若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）直接利用导函数值的正负判断出函数的单调区间；
（2）通过导函数研究函数的单调区间和最值，从而证明f（a）＞；
（3）通过对函数函数 y=h（x）的定义域和值域的研究，是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]
时， y=h（x）的值域也是[m，n]，即可得到结论．
【解答】解：（1）f′（x）=（x
2
﹣x）e
x
=x（x﹣1）e
x
，x∈[﹣2，a]，﹣2＜a＜ 1，
x （﹣∞，（0，1） （1，+∞）

0）
f′（x） + ﹣ +
由表知道：①﹣2＜a≤0时，x∈（﹣2，a），时，f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（﹣2，a）；
②0＜a＜1，时，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
∴函数y=f（x）的单调增区间为（﹣2，0），单调减区间为（0，a）；
2a2aa< br>（2）证明：f（a）=（a﹣3a+3）e，a＞﹣2，f′（a）=（a﹣a）e，=a（a﹣1）e ，a＞﹣2，
a （﹣2，0） （0，1） （1，+∞）
f′（a） + ﹣ +
f（a）的最小值，f（a）
极小值
=f（1）=f（1）=e，
∴f（1）﹣f（﹣2）=e﹣==＞0，
∴f（1）＞f（﹣2），
由表知：a ∈[0，+∞）时，f（a）≥f（1）＞f（﹣2），a∈（﹣2，0）时，f（a）＞f（﹣2），
∴a＞﹣2时，f（a）＞f（﹣2），即f（a）＞
x2x
；
（3）h（x）=f（x）+（x﹣2）e=（x﹣2x+1）e，x∈（1，+∞），
2x
∴h′（x）=（x﹣1）e，x∈（1，+∞），
∴x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数， < br>函数y=h（x）存在存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也 是[m，n]⇔
⇔关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有两个不相等的实数根，
令H （x）=h（x）﹣x=（x
2
﹣2x+1）e
x
﹣x，x∈（1，+∞），
则H′（x）=（x
2
﹣1）e
x
﹣1，x∈（1，+∞），H″（ x）=（x
2
+2x﹣1）e
x
，x∈（1，+∞），
2x
∴x∈（1，+∞），时，H″（x）=（x+2x﹣1）e＞0，
∴H′（x）在（1，+∞）上是增函数，
2
H′（1）=﹣1＜0，H′（2）= 3e﹣1＞0，且y=H′（x）在[1，2]上连续，
∴∃x
0
∈（1，2），使得H′（x
0
）=0，
∴x∈ （1，x
0
）时，H′（x）＜0，x∈（x
0
，+∞）时，H′（x）＞0 ，
∴函数y=H（x）在（1，x
0
）上是减函数，在（x
0
，+ ∞）上是增函数，
∴H（1）=﹣1＜0，
∴x∈（1，x
0
），H′（x）＜0，
∴函数y=H（x）在（1，+∞ ）至多有一个零点，即关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一个实数
根，
∴函数y=h（x）是不存在这样的区间．

20．已知数列{a
n}满足：a
1
=a
2
=a
3
=k，a
n+1< br>=
b
n
=（n=1，2，3，4，…）
（n≥3，n∈N），其中k ＞0，数列{b
n
}满足：
*
（1）求b
1
、b
2
、b
3
、b
4
；
（2）求数列{b
n
}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a
n
}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的
k．
【考点】数学归纳法；数列的函数特性．
【分析】（1）经过计算可知：a
4
=k+1，a
5
=k+2，．根据数列{b
n
}满足：
，从而可求 求b
1
，b
2
，b
3
，b
4
；
（2）由条件可知：a
n+1
a
n﹣2
=k+a
n
a
n﹣1
．类似地有：a
n+2
a
n﹣1
=k+a
n+1< br>a
n
，两式相减整理得b
n
=b
n﹣2
，从而可求数 列{b
n
}
的通项公式；

（3）假设存在正数k，使得数列 {a
n
}的每一项均为整数则由（2）可知：
由可求得k=1，2．只需证明 k=1，2时，满足题意．
．
…③
【解答】解：（1）经过计算可知：a
4
=k+1，a
5
=k+2，
求得．…
（2）由条件可知：a< br>n+1
a
n﹣2
=k+a
n
a
n﹣1
．…①
类似地有：a
n+2
a
n﹣1
=k+a
n+1
a< br>n
．…②
①﹣②有：
即：b
n
=b
n﹣2

∴

所以：．…

（3）假设存在正数k，使得数列{a
n
}的每一项均为整数
则由（2）可知：
由
当k=1时，
当k=2时，③变为
…③
可知k=1，2．
为整数，利用a
1
，a
2
，a
3
∈Z，结合③式，反复递推，可知{a
n
}的每一项均为整数
…④
我们用数学归纳法证明a
2n﹣1
为偶数，a
2n
为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a
2n﹣1
为偶数，a
2n< br>为整数，故a
2n+1
=2a
2n
﹣a
2n﹣1
为偶 数，
a
2n+2
为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{a
n
}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…

附加题，共40分[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中 两题，并在相应的答题
区域内作答．A．（选修4-1：几何证明选讲）
21．几何证明选讲 如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于
点G，与弧 相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析 】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到
GC =AG，所以，从而得到证明；
，又
（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直 角三角形的相似及切割线定理求解即可．
【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt△AGB和Rt△DCA相似
所以
又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以，即BA•DC=GC•AD


（2）解：因为AC=12，所以AG=6，
因为AB=10，所以
由（1）知：R t△AGB～Rt△DCA，．所以
所以AD=15，即圆的直径2r=15
又因为AB2
=BM•（BM+2r），即BM
2
+15BM﹣100=0
解得BM=5．

B．（选修4-2：矩阵与变换）
22．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M以及椭圆
﹣1
在M的作用下的新曲线的方程．
﹣1
【考点】特征值与特征向量的计算；逆变换与逆矩阵．
【分析】（Ⅰ）先求出矩 阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应
的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M
﹣1
的作用下的点的坐标，化简代入椭圆 方程求出新的曲
线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=，
利用特征多项式求出它的特征值为2和3，
对应的特征向量为及；
（Ⅱ）， 椭圆在M
﹣1
的作用下的新曲线的方程为x
2
+y
2
= 1．

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先由
[﹣1，1]．
（2）由．利用三角函数的和角公式展开，得曲 线D的普通方程为x+y+2=0，欲曲线
，α∈[0，2π），利用三角函数的平方关系消去参数α即 得x
2
+y=1，x∈
C与曲线D有无公共点，主要看它们组成的方程有没有实数解即 可．

【解答】解：（1）由
（2）由
，α∈[0，2π），得x2
+y=1，x∈[﹣1，1]．
．
得曲线D的普通方程为x+y+2=0
得x﹣x﹣3=0
解x=，故曲线C与曲线D无公共点．
2

D．（选修4-5：不等式选讲）
24．设x+y+z=1，求F=2x
2
+3y
2
+z
2
的最小值．
【考点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意，利用已知条件，构造出所求表达式相关的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．
【解答】解：由题意，
因为x+y+z=1，
所以（x+y+z）
2
=1，
所以1=（x+y+z）=（
所以F =2x+3y+z≥
所以F的最小值为
222
2
x+
，当且仅当y+1•z）≤（
2
）（2x+3y+z）
，y=，z=时，取“=”，
222
且x+y+z=1，即x=
．

【必做题】每题10分，共计20分.
25．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成 功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽
实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立 ，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果
种子没有发芽，则称该次实验是失败．若该研究所 共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的
次数与失败的次数之差的绝对值．
（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；
（2）记“函数f（x）=x
2
﹣ξx﹣1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P
（A）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）推出ξ的可能取值为0，2，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
（2）利用零点判定定理，列出不等式推出结果即可．
【解答】解：（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．
∵“ξ=0”指的是实验成功2次，
失败2次；∴．…
∵“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次；
…
∵“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次；
∴
ξ
P
∴
故随机变量ξ的数学期望E（ξ）为
0

．
．…
．…
2

．…
4

（2） 由题意知：f（2）f（3）=（3﹣2ξ）（8﹣3ξ）＜0，故

∴，故事件A发生的 概率P（A）为．…

26．过抛物线y
2
=2px（p为不等于2的素 数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线
段MN的垂直平分线交MN于点P， 交x轴于点Q．
（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程 为y=k（x﹣）（k≠0），联立直
线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数 关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ
的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求 得PQ的中点R的轨迹L的方程；
（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t
2
+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．