2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学(理)试题解析
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绝密★启用前
2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学(理)试题
注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在
答题卡上
一、单选题
x
1
1
Bx|
A{x|(x1)(
x3)0}
1.设全集
UR
,集合,
.则集合
24
(ð
U
A)IB等于( )
A.
(1,2)
答案:A
先算出集合
ð
U
A
,再与集合
B
求交集即可.
解:
因为
A{x|x3
或
x1}
.所以
ð
U
A{x|1x3}
,又因为
B.
(2,3]
C.
(1,3)
D.
(2,3)
Bx|2
x
4{x|x2}
.
所以
(ð
U
A)B{x|1x2}
.
故选:A.
点评:
本题考查集合间的基本运算,涉及到解一元二次不等式、指数不等式,是一道容易题.
2.设复数
z
满足
A.
13
i
22
zi
z2i(i
为虚数单位),则
z
(
)
i
13
13
B.
i
C.
i
22
22
D.
13
i
22
答案:B
易得
z
解:
由已知,
zizi2
,所以
z
故选:B.
点评:
本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
3.用电脑每次
可以从区间
(0,3)
内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能
性的.若
用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于
1
的概率为( )
第 1
页 共 21 页
2i
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
1i
2i(2i)(1i)13i13
i
.
1i2222
A.
4
27
B.
1
3
C.
1
27
D.
1
9
答案:C
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为
概率计算即可.
解:
1
,结合独立事件发生的
3
1
1
1
<
br>∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为
.
3
27
3
故选:C.
点评:
本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.
4.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列说法中不正确的是( )
3
A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B.与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长
C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
答案:D
根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.
解:
由折线图可知A、B项均
正确,该年第一季度
GDP
总量和增速由高到低排位均居同一位
的
省份有江
苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确;
4632.1(13.3%)44844500
.
故D项不正确.
故选:D.
点评:
第 2 页 共 21
页
本题考查折线图、柱形图的识别,考查学生的阅读能力、数据处理能力,属于中档题.
5.已知
为锐角,且
3sin2
2sin
,则
cos2
等于( )
A.
2
3
B.
2
9
C.
1
3
D.
4
9
答案:C
由
3sin2
2sin
可得
cos
解:
因为
23sin
cos
2sin<
br>
,
sin
0
,所以
cos
3
,再利用
cos2
2cos
2
1
计算即可.
3
3
,
3
所以
cos2
2cos
故选:C.
点评:
2
1
21
1
.
33
本题考
查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,
属于基础题.
6.已知
ABC
中内角
A,B,C
所对应的边依次为
a,b,c<
br>,若
2a=b1,c7,C
则
ABC
的面积为( )
A.
3
,
33
2
B.
3
C.
33
D.
23
答案:A
由余弦定理可得
a
2
b
2
ab7
,结合
2a=b1
可得
a
,
b
,再利用面积公式
计算即可.
解:
22
7abab
由余弦定理,得
7a
2
b
2
2abcosC
a
2
b<
br>2
ab
,由
,解得
2ab1
<
br>a2
,
b3
所以,
S
ABC<
br>
故选:A.
点评:
本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
第 3 页 共
21 页
11333
.
absinC23
2222
2
7.设
f(x)
为定义在
R
上的奇函数,当
x0
时,
f(x)log
2
(x1)axa1
(
a
为
常数),则不等式
f(3x4)5
的解集为( )
A.
(,1)
答案:D
2
由
f(0) 0
可得
a1
,所以
f(x)log
2
(x1)x( x0)
,由
f(x)
为定义在
R
上的
B.
(1 ,)
C.
(,2)
D.
(2,)
奇 函数结合增函数+增函数=增函数,可知
yf(x)
在
R
上单调递增,注意 到
f(2)f(2)5
,再利用函数单调性即可解决.
解:
因 为
f(x)
在
R
上是奇函数.所以
f(0)0
,解得a1
,所以当
x0
时,
f(x)log
2
(x 1)x
2
,且
x[0,)
时,
f(x)
单调递增 ,所以
yf(x)
在
R
上单调递增,因为
f(2)5,f( 2)5
,
故有
3x42
,解得
x2
.
故选:D.
点评:
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数 性质的灵活运用能力,
是一道中档题.
8.如图,在
ABC
中,点
Q
为线段
AC
上靠近点
A
的三等分点,点
P
为线 段
BQ
上靠
近点
B
的三等分点,则
PAPC
( )
uuuruuur
ur
2
uuur
1
uu
A.
BABC
33
答案:B
ur
7
uuur
5
uu
B.
BABC
99
r
10
uuur
1
uuu
BC
C.
BA
99
ur
7
uuur
2
uu
D.< br>BABC
99
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu ruuur
2
uuur
PAPCBABPBCBPBABCBQ,将
3
第 4 页 共 21 页
uuuruuuruuuru
uur
1
uuur
uuuruuuruuur
BQBAAQBAAC
,
ACBCBA
代入化简即可.
3
解:
uuuru
uuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2
uuur
PAPC
BABPBCBPBABCBQ
3
uuuruuur
2
uuuruuur
BABC(BAAQ)
3
ruuur
2
1
uuur
1
uuu
BABC
AC
<
br>33
3
uruuur
2
uuuruuur
5
uuur
7
uuur
1
uu
BABC(BCBA)BABC.
3999
故选:B.
点评:
本题考查平面向量基本定理的应用,
涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运
算能力,是一道中档题.
9.已知曲线C:ycos(2x
)
|
|
<
br>
2
的一条对称轴方程为
x
3
,曲线
C
向左
平移
(
0)
个单位长度,得到曲线
E
的一个对称中心的坐标为
值是(
)
A.
6
,0
<
br>,则
的最小
4
B.
4
C.
3
D.
12
答案:C
ycos(2x
)
在对称轴处取得最值有
cos(
易得曲线
E
的解析式为
ycos
2x2
2
)1
,结合
|
|
,可得
,
3
3
2
,结合其对称中心为
0
可得
4
3
k
(kZ)
即可得到
θ
的最小值.
26
解:
∵直线
x
3
是曲线
C
的一条对称轴.
第 5 页 共 21 页
2
3
3
k
(kZ)
,又
|
|
.
.
2
∴平移后曲线
E
为
ycos
2x2
.
3
曲线
E
的一
个对称中心为
0
.
4
2
4
2
3
k
2
(kZ)
.
k
(kZ)
,注意到
0
26
.
3
故
θ
的最小值为
故选:C.
点评:
本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结
合、数学运算的能力,是一道中档题.
10.半径为2的球
O
内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为(
)
A.
93
答案:B
设正三棱柱上下底面的中心分别为
O
1
,O
2
,底面边长与高分别为
x,h
,利用
2
OA
2
OO
2
O
2
A
2
,
可得
h
2
16
B.
123
C.
163
D.
183
4
2
x
,进一
步得到侧面积
S3xh
,再利用基本
3
不等式求最值即可.
解:
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为
O
1
,O
2
,
底面边长与高分别为
x,h
,则
O
2
A
3
x,
3
第 6 页 共 21 页
4
2h
2
x
2
2
在
RtOAO
2
中,<
br>4
,化为
h16x
,
3
43
QS3xh
,
x
2
12
x
2
22222
S9xh12x12x
„
12<
br>
432
,
2
2
当且仅当
x
故选:B.
点评:
6
时取等号,此时
S123
.
本题考查正三棱
柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能力,
是一道中档题.
11.
已知焦点为
F
的抛物线
C:y4x
的准线与
x
轴交于点<
br>A
,点
M
在抛物线
C
上,
2
则当
|
MA|
取得最大值时,直线
MA
的方程为( )
|MF|
B
.
y
A.
yx1
或
yx1
答案:A
1111
x
或
yx
2222
D
.
y2x2
C.
y2x2
或
y2x2
过
M
作
MP
与准线垂直,垂足为
P
,利用抛物线的
定义可得
|MA|
MAMA11
,要使最大,则
MAF应最大,此
|MF|
MFMPcosAMPcosMAF
时
AM与抛物线
C
相切,再用判别式或导数计算即可.
解:
过
M<
br>作
MP
与准线垂直,垂足为
P
,
MAMA11
,
MFMPcosAMPcosMAF
第 7 页 共 21 页
|MA|
则当取得最大值时,
MAF
最大,此时
AM
与抛物线
C
相切,
|MF|
易知此时直线
AM
的斜率存在 ,设切线方程为
yk(x1)
,
yk(x1)
则
2
.则
1616k
2
0,k
2
1, k1
,
y4x
则直线
AM
的方程为
y=?(x1)
.
故选:A.
点评:
本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及到抛物线的 定义,考查学生转化与化归的思想,
是一道中档题.
12.已知函数
f(x)
满足当
x0
时,
2f(x2)f(x)
,且当
x(2, 0]
时,
f(x)|x1|1
;当
x0
时,
f(x )log
a
x(a0
且
a1
).若函数
f(x)的图象上关
于原点对称的点恰好有3对,则
a
的取值范围是( )
A.
(625,)
答案:C
先作出函数
f(x)< br>在
(,0]
上的部分图象,再作出
f(x)log
a
x
关于原点对称的图象,
分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.
解:
先作出函数
f(x)
在
(,0]
上的部分图象,再作出
f(x)log
a
x
关于原点对称的图象,
如图所示,当
0a 1
时,对称后的图象不可能与
f(x)
在
(,0]
的图象有3 个交点;
当
a1
时,要使函数
f(x)
关于原点对称后的图象与 所作的图象有3个交点,
B.
(4,64)
C.
(9,625)
D.
(9,64)
第 8 页 共 21 页
a1
1
则
log
a
3
,解得
9a625
.
2
1
log5
a
4
故选:C.
点评:
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化
归的思想
,是一道中档题.
二、填空题
13.如图是某几何体的三视图,俯视
图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体
的体积为________.
答案:20
由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合
,利用球体体积公式、圆
柱体积公式计算即可.
解:
由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4
的圆
第 9 页 共 21 页
柱组合而成,其体积为
2
4
故答案为:20
.
点评:
2
34
2
3
20
.
8
3
本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容
易题.
14.
2x
2
5
的展开式中
x的系数为________.
x
3
答案:80.
只需找到
(2x)
展开式中的
x
4
项的系数即可.
解:
25
(2x
2
)
5
展开式的通项为
T
r1
C
5
r
2
5r
(x
2<
br>)
r
(1)
r
C
5
r
2
5r
x
2r
,令
r=2
,
则
T
3
(1)C
5
2x80x
,故
故答案为:80.
点评:
本题考查二项式定理的应用,涉及到展开式中的特殊项系数,考查学生的计算能力,是
一道容易题.
15.已知
alog
0.3
0.2,blog
2
0.2
,则
ab
________.
ab
(填“>”或“=”或“<”)
.
答案:
>
注意到
a1,b0
,故只需比较
解:
由已知,
a1
,b0
,故有
ab0,ab
.又由
22344
2
x
2
x
3
5
的展开式中
x
的系数为80
.
11
与1的大小即可.
ab
11
log
0.2
0.3log
0.2
2log
0.2
0.61
,
ab
故有
abab
.
故答案为:
>
.
点评:
本题考查对数式比较大小,涉及到换底公式的应用,考查学生的数学运算能力,是一道
中档题.
第 10 页 共 21 页
y
2
16.已知点
F
为双曲线
E:x
2
1(b0)
的右焦点,
M,N两点在双曲线上,且
b
2
M,N
关于原点对称,若
MFNF<
br>,设
MNF
,且
E
的
焦距的取值范围是________.
答案:
[22,232]
,
,则该双曲线
126
设双曲线
的左焦点为
F
,连接
MF
,NF
'
,
由于
MFNF
.所以四边形
F
NFM
为矩
'<
br>形,故
|MN|FF2c
,由双曲线定义
|NF||NF||NF|
|FM|2a
可得
c
1
<
br>,再求
y2cos
的值域即
可.
2cos
4
4
解:
如图,
设双曲线的左焦点为
F
,连接
MF
,NF
'
,由于
MFNF
.所以四
边形
F
NFM
为矩
形,
故
|MN|FF2c
.
在
RtNFM
中
|
FN|2ccos
,|FM|2csin
,
由双曲线的定义可得
22a|NF||NF
'
||NF||FM|2ccos
2csin
22
ccos
4
c
1
2co
s
4
Q
12
6
,
3
4
5
12
第
11 页 共 21 页
31
2
2
cos
242
2c
31, 222c232
.
故答案为:
[22,232]
点评:
本题考查双曲线定义及其性质,涉及到求余弦型函数的值域,考查学生的运算能力,是
一道中档题.
三、解答题
17.如图,在直棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,底面
ABC
D
为菱形,
ABBD2
,
BB
1
2
,
BD
与
AC
相交于点
E
,
A
1
D
与
AD
1
相交于点
O
.
(1)求证:
AC
平面
BB
1
D
1
D
;
(2)求
直线
OB
与平面
OB
1
D
1
所成的角的正弦值.
答案:(1)证明见解析(2)
21
7
(1)要证明
AC
平面
BB
1
D
1
D
,只需证明
ACB
D
,
ACDD
1
即可:
(2)取
B
1
D
1
中点
F
,连
EF
,以
E
为原点,EA, EB, EF
分别为
x, y, z
轴建立空
间直角坐
标系,分别求出
OB
与平面
OB
1
D
1
的法向量<
br>n
,再利用
uuuruuuruuur
uuur
r
ruuur
ruuur
nOB
uuur
计算即可.
cosn,OB
r
|n||OB|
解:
(1)∵底面
ABCD
为菱形,
ACBD
第 12
页 共 21 页
DD
1
平面
ABCD
. ∵直棱柱ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
,∵
AC
平面
ABCD
.
ACDD
1
QACBD,ACDD
1
,BDDD
1
D
.
AC
平面
BB
1
D
1
D
;
(2)如图,取
B
1
D
1
中点
F
,连
EF
,以
E
为原点,
EA, EB, EF
分别为
x,
y, z
轴
建立如图所示空间直角坐标系:
uuuruuuruuur
QAE3,BE1
,
31
B(0,1,0),B
(0,1,2),D(0,1,2),A(3,0,0),O,,1
, 点
<
br>11
2
2
r
设平面
OB
1
D<
br>1
的法向量为
n(x,y,z)
,
uuuuruuuur
33
D
1
B
1
(0,2,0),OB
1
,,1
,
22
uuuuv
v
D
1
B
1
n2y0
有
uuuv
v
,令
x2
,
y0
,z3
33
xyz0
OB
1
n
22
r
得
n(2,0,3)
uuur
ruuur
ruuu
33
,,1
,n
OB23,|n|7,|OB|2
, 又
OB
22
设直线
OB
与平面
OB
1
D
1
所成的角为
,
第 13 页 共 21 页
r
uuur
2321
所以
sin
|cosn,OB||<
br>
|
7
27
故直线
OB
与平面
OB1
D
1
所成的角的正弦值为
点评:
本题考查线面垂直的证明以
及向量法求线面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,本
题解题关键是正确写出点的坐标.
18.2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年
国
庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成
为西部省份
中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游
年总收人不低于40(单位:
万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀
导游率越高,则该公司的影响度越高.已知
甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们
一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙
公司的频数分布表如下:
21
.
7
(1)求
a,b
的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?
(2
)从甲、乙两家公司旅游总收人在
[10,20)
(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进<
br>行业务培训,设来自甲公司的人数为
X
,求
X
的分布列及数学期望.
答案:(1)
a0.01,b5
,乙公司影响度高;(2)见解析,
E(
X)2
(1)利用各小矩形的面积和等于1可得
a
,由导游人数为40人
可得
b
,再由总收人不
低于40可计算出优秀率;
(2)易得总收入在[10,20)
中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数
X
的值可
能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.
解:
(1)由直方图知,
(a
0.0250.0350.02a)101
,解得
a0.01
,
由频数分布表中知:
2b2010340
,解得
b5
.
所以,甲公司的导游优秀率为:
(0.020.01)10100%30%
,
第 14 页 共 21 页
乙公司的导游优秀率为:
103
100%32.5%
,
40
由于
32.5%30%
,所以乙公司影响度高.
(2)甲公
司旅游总收入在
[10,20)
中的有
0.0110404
人, 乙公司旅游总收入在
[10,20)
中的有2人,故
X
的可能取值为1,
2,3,易知:
1221
C
4
C
2
41C
4C123
P(X1)
3
,
P(X2)
3<
br>2
;
C
6
205C
6
205
3
C
4
41
P(X3)
3
.
C
6
205
所以
X
的分布列为:
X
P
1 2 3
1
5
3
5
1
5
131
E(X)1232
.
555
点评:
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处
理与数学运算的
能力,是一道中档题.
19.已知数列
a
n
,
b
n
满足
a
1
3
,b
1
1,a
n1
2a
n
2b
n
b
n1
,a
n1
a
n
b
n1
b
n
1
.
(1)求数列
a
n
<
br>,
b
n
的通项公式;
(2)分别求数列
a
n
,
b
n
的前n
项和
S
n
,
T
n
.
n1n1n
2
3
n
n1
答案:(1)
a
n
2;b
n
2
(2)
S
n
22n
;
2222
44
n
T
n
2
n1
n2
3
2n
44
(1)
a
n1
b
n1
2(a
n
b
n
)
,
a<
br>1
b
1
4
,可得
a
n
b<
br>n
为公比为2的等比数列,
a
n1
b
n1<
br>a
n
b
n
1
可得
a
nb
n
为公差为1的等差数列,再算出
a
n
b
n
,
a
n
b
n
<
br>的通项公式,解方程组即可;
第 15 页 共 21 页
(2)利用分组求和法解决.
解:
(1)依题意有
a
n1
b
n1
2
a
n<
br>b
n
a
n1
b
n1
a
n
b
n
1
又
a
1
b<
br>1
4;a
1
b
1
2
.
可得数列
a
n
b
n
为公比为2的等比数列,
<
br>a
n
b
n
为公差为1的等差数列,
n1
a
n
b
n
2
n1
a
n
b
n
a
1
b
1<
br>
2
由
,得
abab(n
1)
11
a
n
b
n
n1
nn
n1
n
a2
n
22
解得
n1
n
a2
n
22
故数列
a
n
,
b
n
的通项公式分别为
a
n
2
n
n1n1
;b
n
2
n
.
2222
(2)
S
n
212
n
12
n(n1)
n
2
42
42
n1
n
2
3
,
2n
44
T
n
212
n
12
n(n1)
n
2
n1
n
2
3
.
2n
44
点评:
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求
和法求数列的前
n
项和,考查
学生的计算能力,是一道中档题.
x
2
20.已知椭圆
C:y
2
1
的右焦点为
F
,
直线
l:x2
被称作为椭圆
C
的一条准线,
2
点
P
在椭圆
C
上(异于椭圆左、右顶点),过点
P
作直线
m:
ykxt
与椭圆
C
相切,
且与直线
l
相交于点
Q
.
(1)求证:
PFQF
.
(2)若点
P
在
x
轴的上方,当
△PQF
的面积最小时,求直线
m
的斜率
k
.
附:多项式因式分解公式:
t3t5t1t1t4t1
64
2
2
42
答案:(1)证明见解析(2)
51
2
第 16 页 共 21 页
x
2
y
2
1
222
(1)由
2
得
2k1
x4ktx2t20
令
0
可得
t
2
2k
2
1
,进
ykxt
uuuruuur
2k1
,
,同理
Q(2,2kt)
,利用数量积坐标计算
FPFQ<
br>即可; 而得到
P
tt
(2)
S<
br>PQF
解:
3t1
2k
,分
k0
,
k0
两种情况讨论即可.
22t
,0)
. (1)证明:点
F
的坐标为
(1
x
2
y
2
1
222
联立方程
2
,消去
y
后整理
为
2k1
x4ktx2t20
ykxt
有
16kt42k12t20
,可得
t
2
2k
2
1
,
22
2
2
2kt2kt2k
2k
2
tt1
x
2
2
,
y
2
t
2
.
2k1tt
2k12k1t
可得点
P
的坐
标为
2k1
,
.
t
t
当
x2
时,可求得点
Q
的坐标为
(2,2
kt)
,
uuur
2k
r
1
2
kt1
uuu
FP
1,
,
,
FQ(1,2kt)
.
t
<
br>tt
t
uuuruuur
2kt2kt
0
, 有
FPFQ
tt
故有
PFQF
.
(2)若
点
P
在
x
轴上方,因为
t
2
2k
21
,所以有
t1
,
由(1)知
uuurr
(2k
t)
2
1
uuu
(2kt)
2
1(2kt)
2
1
|FP|
2
;|FQ|(2kt)
2
1
22
tttt
S
PQF
ruuur
(2k
t)
2
14k
2
4ktt
2
1(2t
2
2)4ktt
2
11
uuu
|FP||FQ
|
22t2t2t
3t
2
4kt13t1
2k<
br>
2t22t
第 17 页 共 21 页
3t1
t
2
1
S
2
①因为
k0
时.由(1)知
k
,
PQF
2t1
22t
2
<
br>由函数
f(t)
3t1
2
t
2
1<
br>
(t1)
单调递增,可得此时
S
PQF
f(1)
1
.
22t
t
2
13t1
②当
k0
时,由(1)知
k,S
PQF
2
t
2
1
222t
3t132t13t
2
12
t
2
2
t1
(t1),g(t)2
令
g(t)
2
22
22t22t<
br>t1
2t
t1
由
2
3t
2
1
t
2
1
8t
6
t
6
3t
4
5t
2
1
3t1
2t
3t1
2t
2
2
2
4<
br>42
2
2t4tt1
4tt14t
4
t
2
1
t1
2
22
22
t
2
1
t
4
4t
2
1
4t
4
(t
2
1)
t
22
t
2
(25)
1
t(25)
,
故当
t25
4t
4
t
2
1
时,
g
'
(t)0
,此时函数
g(t)
单调递增:
当
1t25
时,
g
(t)<0
,此时函数
g(t)
单
调递减,又由
g(1)1
,故函数
g(t)
的最小值
g(25)1
,函数
g(t)
取最小值时
2k
2
125
,可求得
k
51
.
2
51
.
2
由①②知,若点
P
在
x<
br>轴上方,当
PQF
的面积最小时,直线
m
的斜率为
点评:
本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及到分类讨论求函数的最值,考查学生的运算求解
能力,是一道难题.
21.已知函数
f(x)e
2x
1ax
2
e
x
ax
2
(aR)
.
(1)证明:当
xe
2
时,
e
x
x2
;
(2)若函数
f(x)
有三个零点,求实数
a
的取值范围.
e
2
答案:(1)见解析;(2)
(,)
4
第 18 页 共 21 页
(1)要证明
ex(x
e)
,只需证明
x2lnx
即可;
x22
e
x
e
x
ya
(2)
eax0
有3个根,可转化为
a<
br>2
有3个根,即与
h(x)
2
有3
x
x
x
2
个不同交点,利用导数作出
h(x)
的图象即可.
解:
(1)
令
g(x)x2lnx
,则
g(x)1
'
2
,当<
br>xe
2
时,
g
'
(x)0
,
x
22
2
故
g(x)
在
[e,)
上单调递增,所以g(x)g(e)e40
,
即
x2lnx
,所以
e
x
x
2
. <
br>(2)由已知,
f(x)e
2x
1ax
2<
br>
e
x
ax
2
(e
x
ax
2
)(e
x
1)
,
x2
x
e
依题意,<
br>f(x)
有3个零点,即
eax0
有3个根,显然0不是其根,所以
a
2
x
e
x
e
x
(x2)
'
'
有3个根,令
h(x)
2
,则
h(x)
,当
x2
时,
h(x)0
,当
0x2
3
x
x
时,
h(x)0
,当
x0
时,
h
(x)0
,故
h(x)
在
(0,2)
单调递减,在
(
,0)
,
(2,)
上
''
e
2
单调递增,作
出
h(x)
的图象,易得
a
.
4
2
e
故实数
a
的取值范围为
(,)
.
4
点评:
本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题,考查学生数形结合的思想,
是一道中
档题.
第 19 页 共 21 页
x1cos
xOy
22.已知在平面直角坐标系中,曲线
C
的参数方程为
(
为参
ysin
数.
0
2
).以坐标原点
O
为极点,
x
轴正半轴为极
轴建立极坐标系,直线
l
的极
坐标方程为
极角
0
3
(
R)<
br>,曲线
C
与直线
l
其中的一个交点为
A
,且点
A
极径
0
0
.
2
(1)求曲线<
br>C
的极坐标方程与点
A
的极坐标;
(2)已知直线
m
的直角坐标方程为
x3y0
,直线
m
与曲线
C
相交于
点
B
(异于
原点
O
),求
AOB
的面积.
(2)
3
2cos
答案:(1)极坐标方程为,点
A
的极坐标为
<
br>1,
3
4
(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公
式即可;
(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用
S
解:
(1)曲线
C
:
1
A
B
|sin(<
br>
A
B
)|
计算即可.
2
x1cos
(
为参数,
0
2
)
ysin
(x1)
2
y
2
1x
2
y
2
2x
2<
br>2
cos
2cos
,
将
3
代入,解得
0
1
,
即曲线
C
的极坐标方程为
2cos
, 点
A
的极坐标为
1,
.
3
(2)由(1),得点
A<
br>的极坐标为
1,
,
3
由
直线
m
过原点且倾斜角为
,知点
B
的极坐标为
3,
,
6
6
13
.
S<
br>ABO
13sin
2364
点评:
本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面
积,考查
学生的运算能力,是一道基础题.
第 20 页 共 21 页
23.已知函数
f(x)|x2||x4|
.
(1)解关于
x
的不等式
f(x)4
;
(2)若函数<
br>f(x)
的图象恒在直线
y|m1|
的上方,求实数
m
的
取值范围
答案:(1)
[1,5]
(2)
(1,3)
(1)零点分段法分
x2
,
2x4
,
x4
三种情况
讨论即可;
(2)只需找到
f(x)
的最小值即可.
解:
<
br>2x6,x2
(1)由
f(x)
2,2x4
.
2x6,x4
若
x2
时,
f(x)2x64
,解得
1x2
;
若
2x4时,
f(x)24
,解得
2x4
;
若
x4
时,
f(x)2x64
,解得
4x5
;
故不等式
f(x)4
的解集为
[1,5]
.
(2)由<
br>f(x)|(x2)(x4)|2
,有
|m1|2
,得
1m3
,
故实数
m
的取值范围为
(1,3)
.
点评:
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题,考查学生的运算能力,是一道基
础题.
第 21 页 共 21 页