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2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷


一、填空题（每题
5
分，满分
70
分，江答案填在答题纸 上）

1
．已知集合
A=
{﹣
1
，
1，
2
}，
B=
{
0
，
1
，
2
，
7
}，则集合
A
∪
B
中元素的个数为 ．

2
．设
a
，
b
∈
R
，
=a
+
bi
（
i
为虚数单位），则
b
的值为 ．

﹣
=1
的离心率是 ．

3
．在平面直角坐 标系
xOy
中，双曲线
4
．现有三张识字卡片，分别写有
“
中
”
、
“
国
”
、
“
梦
”
这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组
成
“
中国梦
”
的概率是 ．

5
．如图是一个算法的流程图，则输出的
k
的值为 ．


6
．已知一组数据
3
，
6
，
9
，
8
，
4
，则该组数据的方差是 ．

7
．已知实数
x
，
y
满足，则的取值范围是 ．

8
．若函数
f
（
x
）
=2sin
（
2x
+
φ
）（
0
＜
φ
＜
的单调减区间是 ．

）的图象过点（
0
，），则函数
f
（
x
）在[
0
，
π
]上
9
．
S
n
为 {
a
n
}的前
n
项和．在公比为
q
且各项均为正数 的等比数列{
a
n
}中，若
a
1
=
则
q< br>的值为 ．

，且
S
5
=S
2
+
2
，
10
．如图，在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，已知
AB=AA
1
=3
， 点
P
在棱
CC
1
上，则三棱锥
P
﹣
ABA
1
的体积为 ．

11< br>．
BC
平行于
x
轴，
B
和
C
分别在 函数
y
1
=3log
a
x
，如图，已知正方形
AB CD
的边长为
2
，顶点
A
，
y
2
=2lo g
a
x
和
y
3
=log
a
x
（< br>a
＞
1
）的图象上，则实数
a
的值为 ．


12
．已知对于任意的
x
∈（﹣∞，
1
）∪（< br>5
，+∞），都有
x
2
﹣
2
（
a
﹣
2
）
x
+
a
＞
0
，则实数
a的取
值范围是 ．

13
．在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
：（
x
+
2
）
2
+（
y
﹣
m
）
2
=3
，若圆
C
存在以
G
为中点的弦
AB
，
且
AB=2GO
，则实数
m的取值范围是 ．

14
．已知△
ABC
三个内角
A
，
B
，
C
的对应边分别为
α
，
b
，
c
，且
C=
最大值时，的值为 ．


二、解答题（本大题共
6
小题，共
90
分
.
解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤
.
）

15
．如图，在△
A BC
中，已知点
D
在边
AB
上，
AD=3DB
，< br>cosA=
，
cos
∠
ACB=
（
1
）求< br>cosB
的值；

（
2
）求
CD
的长．


，
BC=13
．
，
c=2
．当取得

16
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，点
E
在棱
PC
上（异于点
P
，
C
），平
面
ABE
与棱
PD
交于点
F
．

（
1
）求证：
AB
∥
EF
；

（
2
）若平面
PAD
⊥平面
AB CD
，求证：
AE
⊥
EF
．


17
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
： +
=1
的左、右顶点分别为
A
，
B
，
过右焦点F
的直线
l
与椭圆
C
交于
P
，
Q两点（点
P
在
x
轴上方）．

（
1
） 若
QF=2FP
，求直线
l
的方程；

（
2
）设直线
AP
，
BQ
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，是否存在常数
λ
，使得
k
1
=λk
2
？若存在，求出
λ
的
值；若不存在，请说明理由．


18
．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆
O
的圆心与矩形< br>ABCD
对角线的交点
重合，且圆与矩形上下两边相切（
E
为上切点） ，与左右两边相交（
F
，
G
为其中两个交点），图
中阴影部分为不透 光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为
1m
且
透光区域的面积为
S< br>．

（
1
）求
S
关于
θ
的函数关系 式，并求出定义域；

（
2
）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边
AB
的
长度．

≥，设∠
EOF=θ
，

19
．已知两个无穷数列{
a
n
}和{
b
n
}的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，
a
1
=1
，
S
2
=4
，对任意的
n
∈
N
*
，都
有
3S
n
+
1
=2S
n
+
S
n
+
2
+
a
n
．

（
1
）求数列{
a
n
}的通项公式；

（
2
）若{
b
n
}为等差数列， 对任意的
n
∈
N
*
，都有
S
n
＞
T
n
．证明：
a
n
＞
b
n
；
< br>（
3
）若{
b
n
}为等比数列，
b
1
=a
1
，
b
2
=a
2
，求满足
=ak
（
k
∈
N
*
）的
n
值．

20
．已知函数
f
（
x
）
=
+
x lnx
（
m
＞
0
），
g
（
x
）< br>=lnx
﹣
2
．

（
1
）当
m=1
时，求函数
f
（
x
）的单调区间；

（
2
）设函数
h
（
x
）
=f
（
x
）﹣
xg
（
x
）﹣
m
的值；

（
3< br>）若函数
f
（
x
），
g
（
x
）的定 义域都是[
1
，
e
]，对于函数
f
（
x
） 的图象上的任意一点
A
，在
函数
g
（
x
）的图象上 都存在一点
B
，使得
OA
⊥
OB
，其中
e
是自然对数的底数，
O
为坐标原点，
求
m
的取值范围．



【选做题】本题包括
A
、
B
、
C、
D
四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若
多做，则按作答的 前两题评分
.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.A.
选修
4-1
：几何
证明选讲

21
．
MN
交于点C
，如图，圆
O
的弦
AB
，且
A
为弧
MN
的中点，点
D
在弧
BM
上，若∠
ACN=3
∠
ADB
，求∠
ADB
的度数．

，
x
＞< br>0
．若函数
y=h
（
h
（
x
））的最小值是 ，求



B.
选修
4-2
：矩阵与变换

22
．已知矩阵
A=


C.
选修
4-4
：坐标系与参数方程

23
．在极 坐标系中，已知点
A
（
2
，
段
AB
最短时，求点< br>B
的极坐标．



D.
选修
4-5
：不等式选讲

24
．已知
a
，
b
，
c
为正实数，且
a
3
+
b
3
+
c
3
=a
2
b
2
c2
，求证：
a
+
b
+
c
≥
3

，若
A=
，求矩阵
A
的特征值．

），点
B
在直线
l
：
ρcosθ
+
ρsinθ=0
（0
≤
θ
≤
2π
）上，当线
．

请考生在
22
、
23
两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.
[选修
4-4
： 坐标系
与参数方程]

25
．在平面直角坐标系
xOy
中， 点
F
（
1
，
0
），直线
x=
﹣
1
与动直线
y=n
的交点为
M
，线段
MF
的中垂线与 动直线
y=n
的交点为
P
．

（
Ⅰ
）求点
P
的轨迹
Г
的方程；

（
Ⅱ
）过动点
M
作曲线
Г
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，求证：∠
AMB
的大小为定值．




[选修
4-5
：不等式选讲]

26
．已知集合
U=
{
1
，
2
，
…
，
n
}（
n
∈
N
*
，
n
≥
2
），对于集合
U
的两个非空子集
A
，
B
，若
A< br>∩
B=
∅，则称（
A
，
B
）为集合
U
的一组
“
互斥子集
”
．记集合
U
的所有
“
互斥子集
”
的组数为
f
（
n
）
（视（
A
，
B
）与（
B
，
A
）为同一组
“
互斥子集
”
）．

（
1
）写出
f
（
2
），
f
（
3
），
f
（
4
）的 值；

（
2
）求
f
（
n
）．

2017
年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷

参考答案与试题解析



一、填空题（每题
5
分 ，满分
70
分，江答案填在答题纸上）

1
．已知集合
A=
{﹣
1
，
1
，
2
}，
B=
{0
，
1
，
2
，
7
}，则集合
A
∪
B
中元素的个数为
5
．

【考点】
1D
：并集及其运算．

【分析】利用并集定义直接求解．

【解答】解：∵集合
A=
{﹣< br>1
，
1
，
2
}，
B=
{
0
，
1
，
2
，
7
}，

∴
A
∪
B=
{﹣
1
，
0
，
1
，
2< br>，
7
}，

集合
A
∪
B
中元素的个数为
5
．

故答案为：
5
．



2
．设
a
，
b
∈
R
，
=a
+
bi
（
i
为虚数单位），则
b
的值为
1
．

【考点】
A5
：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

【解答】解：∵
a，
b
∈
R
，
∴
a
+
bi=
∴
b=1
．

故答案为：
1
．



3
．在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
【考点】
KC：双曲线的简单性质．

【分析】根据题意，由双曲线的方程可得
a
2< br>、
b
2
的值，由双曲线的几何性质可得
c
的值，进而
由双曲线的离心率公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为
则< br>a
2
=4
，
b
2
=3
，

则
c==
，

；


=a
+
bi
（
i
为虚数单位），

==i
．

﹣
=1
的离心率是 ．

﹣
=1
，

则其离心率
e==

故答案为：


．

4
．现有三张识字卡片，分别 写有
“
中
”
、
“
国
”
、
“
梦
”
这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组
成
“
中国梦
”
的概率是 ．

【考点】
CC
：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析 】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：
n=
个数
m=1
，由此能求出能 组成
“
中国梦
”
的概率．

【解答】解：现有三张识字卡片 ，分别写有
“
中
”
、
“
国
”
、
“
梦
”
这三个字．

将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：
n=
能组成
“
中国梦
”
包含的基本事件个数
m=1
，

∴能组成
“
中国梦
”
的概率
p=
故 答案为：．



5
．如图是一个算法的流程图，则输出的
k
的值为
6
．

．

=6
，

=6
，能组成
“
中国梦
”
包含的基本事件

【考点】
EF
：程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结论．

【解答】解：分析流程图所示的顺序知：

k=2
，
2
2< br>﹣
14
+
10=0
，

不满足条件
k
2
﹣
7k
+
10
＞
0
，执行循环体；

k=3
，
3
2
﹣
21
+
10=
﹣
2
，

不满足条件
k
2
﹣
7k
+
10
＞
0
，执行循环体；

k=4
，
4< br>2
﹣
28
+
10=
﹣
2
，

不满足条件
k
2
﹣
7k
+
10
＞
0
，执行循环体；

k=5
，
5
2
﹣
35
+
10=0
，

不满足条件< br>k
2
﹣
7k
+
10
＞
0
，执行循环 体；

k=6
，
6
2
﹣
42
+
1 0=4
，

满足条件
k
2
﹣
7k
+
10
＞
0
，退出循环，输出
k=6
．

故答案为：
6
．



6
．已知一组数据
3
，
6
，
9
，
8
，
4
， 则该组数据的方差是
5.2
．

【考点】
BC
：极差、方差与标准差．

【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可．

【解答】解：数据
3< br>，
6
，
9
，
8
，
4
的平均数为：< br>
=
×（
3
+
6
+
9
+
8
+
4
）
=6
，

方差为：

s< br>2
=
×[（
3
﹣
6
）
2
+（
6
﹣
6
）
2
+（
9
﹣
6
）2
+（
8
﹣
6
）
2
+（
4
﹣
6
）
2
]
=
故答案为：
5.2
．



7
．已知实数
x
，
y
满足
【 考点】
7C
：简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何 意义，即可行域内的动点与定点
O
（
0
，
0
）连
线 的斜率求解．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

，则的取值范围是 [，] ．

=5.2
．


的几何意义为可行域内的动点与定点
O
（
0
，
0
）连线的 斜率，

联立方程组求得
A
（
3
，﹣
1
），
B
（
3
，
2
），< br>
又，．

，]．

∴的取值范围是[
故答案为：[


，]．

8< br>．若函数
f
（
x
）
=2sin
（
2x
+
φ
）（
0
＜
φ
＜
的单调减区间是 [，]【或（，
）的图象过点（
0
，
）也正确】 ．

）， 则函数
f
（
x
）在[
0
，
π
]上
【考点】
H2
：正弦函数的图象．

【分析】根据函数
f
（
x
）图象过点（
0
，）求出
φ
的值，写出
f
（
x
）解析式，

再根据正弦函数的图象与性质求出
f
（
x
）在[
0
，
π
]上的单调减区间．

【 解答】解：函数
f
（
x
）
=2sin
（
2x
+
φ
）（
0
＜
φ
＜
∴
f
（0
）
=2sinφ=
∴
sinφ=
；

，

，

）的图象过点（
0
，），

又∵
0
＜
φ
＜
∴
φ=
，

∴
f
（
x
）
=2sin
（
2x
+
令
∴
解得
+
2kπ
≤
2x
+
+
2kπ
≤
2x
≤
+
kπ
≤
x
≤
≤
）；

+
2kπ
，
k
∈
Z
，

+
2kπ
，
k
∈
Z
，

+
kπ
，
k
∈
Z
；

，]．

令
k=0
，得函数
f
（
x
）在[
0
，
π
]上的单调减区间是[
故答案为：[


，]【或（，）也正确】．

9
．
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和．在公比为
q
且各项均为正 数的等比数列{
a
n
}中，若
a
1
=
则
q
的值为 ．


，且
S
5
=S
2
+
2
，

【考点】
89
：等比数列的前
n
项和．

【分析】由
a
1
=
得出．

【解答】解：∵
a
1
=
∴
a
3
+
a
4
+
a
5
=
∴
q
2
+
q
﹣
1=0< br>，

解得
q=
故答案为：


10
．如图，在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，已知
AB=AA
1
=3
，点
P
在棱
CC
1
上，则三棱锥
P
﹣
ABA
1
的体积为 ．

．

．

，且
S
5
=S2
+
2
，
q
＞
0
．

，且< br>S
5
=S
2
+
2
，
q
＞
0
．可得
a
3
+
a
4
+
a
5
=
（
1
+
q
+
q
2
）
=2，代入化简解出即可
（
1
+
q
+
q
2
）
=2
，


【考点】
LF
：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】点
P
到平面
ABA
1
的距离即为△
ABC
的高，由此能求出三棱 锥
P
﹣
ABA
1
的体积．

【解答】解：∵在正三 棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB=AA
1
=3
，点
P
在棱
CC
1上，

∴点
P
到平面
ABA
1
的距离即为△< br>ABC
的高，即为
h=
==
，

==
．

=
，

三棱锥
P
﹣ABA
1
的体积为：
V=
故答案为：


．

11
．
BC
平行于
x
轴，
B
和
C
分别在函数
y
1
=3log
a
x，如图，已知正方形
ABCD
的边长为
2
，顶点
A
，< br>y
2
=2log
a
x
和
y
3
=lo g
a
x
（
a
＞
1
）的图象上，则实数
a< br>的值为

．

【考点】
4N
：对数函数的图象与性质．

【分析】设
B< br>（
x
，
2log
a
x
），利用
BC
平行于
x
轴得出
C
（
x
2
，
2loga
x
），利用
AB
垂直于
x
轴

得
出
A
（
x
，
3log
a
x< br>），则正方形
ABCD
的边长从横纵两个角度表示为
log
a
x=x
2
﹣
x=2
，求出
x
，再
求
a
即可．．


【解答】解：设
B
（
x
，< br>2log
a
x
），∵
BC
平行于
x
轴，∴< br>C
（
x′
，
2log
a
x
）即
lo g
a
x′=2log
a
x
，∴
x′=x
2
，
∴正方形
ABCD
边长
=
|
BC
|
=x
2
﹣
x=2
，解得
x=2
．

由已知，< br>AB
垂直于
x
轴，∴
A
（
x
，
3l og
a
x
），正方形
ABCD
边长
=
|
A B
|
=3log
a
x
﹣
2log
a
x=l og
a
x=2
，
即
log
a
2=2
，∴< br>a=
故答案为：


12
．已知对于任意的
x
∈（﹣∞，
1
）∪（
5
，+∞），都有
x
2
﹣< br>2
（
a
﹣
2
）
x
+
a
＞< br>0
，则实数
a
的取
值范围是 （
1
，
5
] ．

【考点】
3W
：二次函数的性质．

【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出．

【解答】解：△
=4
（
a
﹣
2
）
2
﹣
4a=4a
2
﹣
20a
+
16=4
（
a
﹣
1
）（
a
﹣
4
）．

（
1
）若△＜
0
，即
1
＜
a
＜
4
时，
x
2< br>﹣
2
（
a
﹣
2
）
x
+
a< br>＞
0
在
R
上恒成立，符合题意；

（
2）若△
=0
，即
a=1
或
a=4
时，方程
x< br>2
﹣
2
（
a
﹣
2
）
x
+< br>a
＞
0
的解为
x
≠
a
﹣
2
，

显然当
a=1
时，不符合题意，当
a=4
时，符合题意；

（
3
）当△＞
0
，即
a
＜
1
或< br>a
＞
4
时，∵
x
2
﹣
2
（
a
﹣
2
）
x
+
a
＞
0
在（﹣∞，
1
）∪（
5
，+∞）恒成
立，

∴，解得
3
＜
a
≤
5
，

．

，

又
a
＜
1
或
a
＞
4
，∴
4
＜
a
≤
5
．

综上，
a
的范围是（
1
，
5
]．

故答案为（
1
，
5
]．

13
．在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
：（
x
+
2
）
2
+（
y
﹣
m
）
2
=3
，若圆
C
存在以
G
为中点的 弦
AB
，
且
AB=2GO
，则实数
m
的取值范围是 ∅ ．

【考点】
J9
：直线与圆的位置关系．

m
）【分析】求出
G
的轨迹方程，得两圆公共弦，由题意，圆心（﹣
2
，到直 线的距离
d=
＜，即可求出实数
m
的取值范围．

【解答】解：设
G
（
x
，
y
），则

∵
AB=2GO
，

∴
2=2
，

化简可得
x
2
+
y
2
+
2x
﹣
my
+
m
2
+
=0
，

两圆方程相减可得
2x
﹣
my
+
m
2
+
=0
由题意，圆心（﹣
2
，
m
）到直线的距离
d=
故答案为 ∅．



＜，无解，

14
．已知△
A BC
三个内角
A
，
B
，
C
的对应边分别为
α
，
b
，
c
，且
C=
最大值时，的值为
2
+ ．

，
c=2
．当取得
【考点】
9 V
：向量在几何中的应用．

【分析】根据正弦定理用
A
表示出b
，代入
=2bcosA
，根据三角恒等变换化简得出当
取最大值时A
的值，再计算
sinA
，
sinB
得出答案．
【解答】解：∵
C=
由正弦定理得
∴
b=
∴
sin（
，∴
B=
=
﹣
A
，

，

sinA
，

sin2A

﹣
A
）
=2cosA
+
=bccosA=2bcosA=4cos
2
A
+
sin2A

cos2A
）+
2

=2
+
2cos2A
+
=
（
sin2A
+

=sin
（
2A
+）+
2
，

，

时，

∵
A
+
B=
∴当
2A
+< br>此时，
B=
∴
sinA=sin
sinB=sin
（
∴
，∴
0
＜
A
＜
=
﹣
即
A==
取得最大值，

=sin
（
）
=
=
．

=2
+
）
=
﹣
=
=
．

，

．

故答案为
2
+

二、解答题（本大题共
6
小题，共
90
分
.
解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤
.
）

15
．如图，在△
A BC
中，已知点
D
在边
AB
上，
AD=3DB
，< br>cosA=
，
cos
∠
ACB=
（
1
）求< br>cosB
的值；

（
2
）求
CD
的长．


，
BC=13
．

【考点】
HT
：三角形中的几何计算．

【分析】（
1）在△
ABC
中，求出
sinA==
．，
sin
∠ACB=
．

可得
cosB=
﹣
cos
（A
+∠
ACB
）
=sinAsin
∠
ACB
﹣
cosAcosB
；

（
2
）在△
ABC
中，由正弦定理得，
AB=
在△
BCD
中，由余弦定理得，
CD=< br>【解答】解：（
1
）在△
ABC
中，
cosA=
，< br>A
∈（
0
，
π
），

所以
sinA==
．

．

sin
∠
ACB
．

．

同理可得，sin
∠
ACB=
所以
cosB=cos
[
π
﹣（
A
+∠
ACB
）]
=
﹣
cos
（A
+∠
ACB
）

=si nAsin
∠
ACB
﹣
cosAcos
∠
ACB

=
；

sin
∠
ACB=
．

（
2
）在△
ABC
中，由正弦定理得，
AB=
又
AD =3DB
，所以
DB=
．

在△
BCD
中，由余弦定理得，
CD=
==9
．





16
．如图，在四棱锥
P
﹣ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，点
E
在棱
PC上（异于点
P
，
C
），平
面
ABE
与棱
PD
交于点
F
．

（
1
）求证：
AB
∥
EF
；

（
2
）若平面
PAD
⊥平面
ABCD
，求证：
AE< br>⊥
EF
．


【考点】
LZ
：平面与平面垂直的性质．

【分析】（
1< br>）推导出
AB
∥
CD
，从而
AB
∥平面
PD C
，由此能证明
AB
∥
EF
．

（
2）推导出
AB
⊥
AD
，从而
AB
⊥平面
PAD
，进而
AB
⊥
AF
，由
AB
∥
EF
，能证明
AF
⊥
EF
．

【解答】证明：（
1< br>）因为
ABCD
是矩形，所以
AB
∥
CD
．

又因为
AB
⊄平面
PDC
，
CD
⊂平面
P DC
，

所以
AB
∥平面
PDC
．
又因为
AB
⊂平面
ABEF
，平面
ABEF
∩平面PDC=EF
，

所以
AB
∥
EF
．

（
2
）因为
ABCD
是矩形，所以
AB
⊥
AD
．

又因为平面
PAD
⊥平面
ABCD
，平面
PAD
∩平面
ABCD=AD
，

AB
⊂平面
ABCD
，所以
AB
⊥平面
PAD
．

又
AF
⊂平面
PAD
， 所以
AB
⊥
AF
．

又由（
1
）知
AB
∥
EF
，所以
AF
⊥
EF
．




17
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
： +
=1
的左、右顶点分别为
A
，
B
，
过右焦点F
的直线
l
与椭圆
C
交于
P
，
Q两点（点
P
在
x
轴上方）．

（
1
） 若
QF=2FP
，求直线
l
的方程；

（
2
）设直线
AP
，
BQ
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，是否存在常数
λ
，使得
k
1
=λk
2
？若存在，求出
λ
的
值；若不存在，请说明理由．


【考点】
KL
：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（
1< br>）由椭圆方程求出
a
，
b
，
c
，可得
F的坐标，设
P
（
x
1
，
y
1
），Q
（
x
2
，
y
2
），直线
l
的
方程为
x=my
+
1
，代入椭圆方程，求得
P
，
Q
的纵坐标，再由向量共线的坐标表示，可得
m
的
方程，解方程可得
m
，进而得到直线
l
的方程；

（
2
）运 用韦达定理可得
y
1
+
y
2
，
y
1
y
2
，
my
1
y
2
，由
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
2
，
0
），
P
（
x
1
，
y
1
），
Q（
x
2
，
y
2
），
x
1
=m y
1
+
1
，
x
2
=my
2
+1
，

运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数
λ
的值，即可判断存在．
【解答】解：（
1
）因为
a
2
=4
，
b
2
=3
，所以
c=
所以
F
的坐标为（
1
，
0
），

设
P
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
2
，
y
2），直线
l
的方程为
x=my
+
1
，

代入椭圆方程+
=1
，得（
4
+
3m
2
）
y
2
+
6my
﹣
9=0
，

=1
，

则
y
1=
若
QF=2FP
，即
则
解得
m=
，
y
2
=
=2
+
2•
，

x
﹣
2y
﹣
=0
．

，

=0
，

．

故直线
l
的方程为
（
2
）由（
1
）知，
y
1
+
y
2
=
﹣
所以
my
1
y
2
=
﹣
，
y
1
y
2
=
﹣，

=
（
y
1
+
y
2
），

由
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
2，
0
），
P
（
x
1
，
y
1< br>），
Q
（
x
2
，
y
2
），
x
1
=my
1
+
1
，
x
2
=my
2
+
1
，

所以
=•===
，

故存在常数
λ=
，使得
k
1
=k
2
．



18
．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示 ．圆
O
的圆心与矩形
ABCD
对角线的交点
重合，且圆与矩形上下两 边相切（
E
为上切点），与左右两边相交（
F
，
G
为其中两 个交点），图
中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为
1m
且
透光区域的面积为
S
．

（
1
）求
S关于
θ
的函数关系式，并求出定义域；

（
2
）根据设 计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边
AB
的
长度 ．

≥，设∠
EOF=θ
，

【考点】
HN
：在实际问题中建立三角函数模型．

【分析】（1
）过点
O
作
OH
⊥
FG
于
H
，写出透光面积
S
关于
θ
的解析式
S
，并求出
θ
的取值范
围；

（
2
）计算透光区域与矩形窗面的面积比值 ，构造函数，利用导数判断函数的单调性，

求出比值最大时对应边
AB
的长度．

【解答】解：（
1< br>）过点
O
作
OH
⊥
FG
于
H
，∴∠
OFH=
∠
EOF=θ
；

又
OH=OFsinθ=sinθ
，

FH=OFcosθ=cosθ
，

∴
S=4S
△
OFH
+
4S
阴影
OEF
=2sinθcosθ
+
4
×
θ=sin2θ
+
2θ
；

∵≥，∴
sinθ
≥，∴
θ
∈[，）；

，）；

∴
S
关于
θ
的函数关系式为
S= sin2θ
+
2θ
，
θ
∈[

（
2
）由
S
矩形
=AD•AB=2
×
2sinθ=4sinθ
，

∴
设
f
（
θ
）
=
+
=
+
，
θ
∈[
，

，

），

则
f′
（
θ
）
=
﹣
sinθ
+
=
=

=
；

≤
θ
＜，∴
sin2θ
≤，

∵
∴
sin2θ
﹣
θ
＜
0
，

∴
f′
（
θ
）＜
0
，

∴
f
（
θ
）在
θ
∈[
∴当
θ=
，）上是单 调减函数；

+，

时
f
（
θ
）取得最大 值为
此时
AB=2sinθ=1
（
m
）；

∴S
关于
θ
的函数为
S=sin2θ
+
2θ
，< br>θ
∈[


19
．已知两个无穷数列{
a
n
}和{
b
n
}的前
n
项和分别为
S
n，
T
n
，
a
1
=1
，
S
2< br>=4
，对任意的
n
∈
N
*
，都
有
3 S
n
+
1
=2S
n
+
S
n
+2
+
a
n
．

（
1
）求数列{
a
n
}的通项公式；

（
2
）若{
b
n
}为等差数列，对任意的
n
∈
N
*
，都有
S
n
＞
T
n
．证明：
a
n
＞
b
n
；

（
3
）若{< br>b
n
}为等比数列，
b
1
=a
1
，
b
2
=a
2
，求满足
【考点】
8E
：数列的求和；
8H
：数列递推式．

【分析】（
1
）运用数列的递推式和 等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（
2
）方法一、设数列{b
n
}的公差为
d
，求出
S
n
，
T< br>n
．由恒成立思想可得
b
1
＜
1
，求出
a< br>n
﹣
b
n
，
判断符号即可得证；

方法二、 运用反证法证明，设{
b
n
}的公差为
d
，假设存在自然数
n
0
≥
2
，使得
a
可得
d
＞
2< br>，作差
T
n
﹣
S
n
，推出大于
0
， 即可得证；

（
3
）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得
S< br>n
，
T
n
，化简
差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到 所求值．

【解答】解：（
1
）由
3S
n
+
1
=2S
n
+
S
n
+
2
+
a< br>n
，得
2
（
S
n
+
1
﹣
S
n
）
=S
n
+
2
﹣
S
n
+
1
+
a
n
，

即
2a
n
+
1
=a
n
+
2
+
a
n
，所以
a
n
+
2
﹣
a
n
+
1
= a
n
+
1
﹣
a
n
．

由
a
1
=1
，
S
2
=4
，可知
a
2
=3
．

所以数列{
a
n
}是以
1
为首项，
2
为公差的等差数列．


，）；所求
AB
的长度为
1m
．

=a
k
（
k
∈
N
*
）的
n
值．

≤
b
，推理
，推出小于
3
，结合等

故{
a
n
}的通项公式为
a
n
=1
+2
（
n
﹣
1
）
=2n
﹣
1
，
n
∈
N*
．

（
2
）证法一：设数列{< br>b
n
}的公差为
d
，

则
T
n=nb
1
+
n
（
n
﹣
1
）
d
，

由（
1
）知，
S
n
=n
（< br>1
+
2n
﹣
1
）
=n
2
．

因为
S
n
＞
T
n
，所以
n
2＞
nb
1
+
n
（
n
﹣
1
）< br>d
，

即（
2
﹣
d
）
n
+
d
﹣
2b
1
＞
0
恒成立，

所以，即，

又由
S
1
＞
T
1
， 得
b
1
＜
1
，

所以
a
n
﹣
b
n
=2n
﹣
1
﹣
b
1
﹣（
n
﹣
1
）
d=
（
2
﹣
d
）
n
+
d
﹣
1
﹣
b
1
≥
2
﹣
d
+
d
﹣
1
﹣
b
1
=1
﹣
b
1
＞
0
．

所以
a
n
＞
b
n
，得证．

证法 二：设{
b
n
}的公差为
d
，假设存在自然数
n
0
≥
2
，使得
a
≤
b
，

则
a
1
+
2
（
n
0
﹣
1
）≤b
1
+（
n
0
﹣
1
）
d
，即
a
1
﹣
b
1
≤（
n
0
﹣
1
）（
d
﹣
2
），

因为
a
1< br>＞
b
1
，所以
d
＞
2
．

所以
T
n
﹣
S
n
=nb
1
+
n< br>（
n
﹣
1
）
d
﹣
n
2
=< br>（
d
﹣
1
）
n
2
+（
b
1
﹣
d
）
n
，

因为
d
﹣
1
＞
0
，所以存在
N
∈
N*
，当
n
＞
N
时，
T
n
﹣
S
n
＞
0恒成立．

这与
“
对任意的
n
∈
N
*
，都有
S
n
＞
T
n
”
矛盾！

所以
a
n
＞
b
n
，得证．

（< br>3
）由（
1
）知，
S
n
=n
2
．因 为{
b
n
}为等比数列，

且
b
1
=1< br>，
b
2
=3
，

所以{
b
n
}是以
1
为首项，
3
为公比的等比数列．

所以
b
n
=3
n
﹣
1
，
T
n
=
（
3
n
﹣
1
）．

则
===3
﹣，

＜
3
．

因为
n
∈
N*
，所以
6n
2
﹣
2n
+
2
＞
0
，所以
而
a
k
=2k
﹣< br>1
，所以
=1
，即
3
n
﹣
1
﹣n
2
+
n
﹣
1=0
（
*
）．

当
n=1
，
2
时，（
*
）式成立；

当
n
≥
2
时，设
f< br>（
n
）
=3
n
﹣
1
﹣
n
2
+
n
﹣
1
，

则
f
（
n
+
1
）﹣
f
（
n
）
=3
n
﹣（
n
+
1
）
2
+
n
﹣（
3< br>n
﹣
1
﹣
n
2
+
n
﹣
1< br>）
=2
（
3
n
﹣
1
﹣
n
） ＞
0
，

所以
0=f
（
2
）＜
f
（
3
）＜
…
＜
f
（
n
）＜
…
，

故满足条件的
n
的值为
1
和
2
．



20
．已知函数
f
（
x
）
=
+
xlnx
（
m
＞
0
），
g
（< br>x
）
=lnx
﹣
2
．

（
1
）当
m=1
时，求函数
f
（
x
）的单调区间；

（
2
）设函数
h
（
x
）
=f
（< br>x
）﹣
xg
（
x
）﹣
m
的值；
< br>（
3
）若函数
f
（
x
），
g
（x
）的定义域都是[
1
，
e
]，对于函数
f
（
x
）的图象上的任意一点
A
，在
函数
g
（
x
）的图象上都存在一点
B
，使得
OA
⊥
OB
，其 中
e
是自然对数的底数，
O
为坐标原点，
求
m
的取 值范围．

【考点】
6E
：利用导数求闭区间上函数的最值；
6B< br>：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（
1
）求出函数的导数，解 关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（
2
）求出
h< br>（
x
）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出
h
（
x
）的最小
值，从而求出
m
的值即可；

（3
）根据
OA
和
OB
的关系，问题转化为
p
（
x
）
=
﹣
x
2
lnx
≤
m
≤
x
2
（
e
﹣
lnx
）在[
1
，
e
]上恒成立，设
，
x
＞
0
．若函数
y =h
（
h
（
x
））的最小值是，求
﹣
x
2
lnx
，根据函数的单调性求出
m
≥
p
（
1
）
=
，设
q
（
x
）
=x
2
（< br>e
﹣
lnx
），根据函数
的单调性求出
m
≤
q
（
1
），从而求出
m
的范围即可．

【解答】解 ：（
1
）当
m=1
时，
f
（
x
）
=
+
xlnx
，
f′
（
x
）
=
因 为
f′
（
x
）在（
0
，+∞）上单调增，且
f′< br>（
1
）
=0
，

所以当
x
＞
1
时，
f′
（
x
）＞
0
；当
0
＜
x
＜
1
时，
f′
（
x
）＜
0< br>，

所以函数
f
（
x
）的单调增区间是（
1
，+∞）．

（
2
）
h
（
x
）< br>=
+
2x
﹣
当
0
＜
x
＜
当
x
＞
，则
h′
（
x
）
=
，令h′
（
x
）
=0
，得
x=
）上单调减；

，

+
lnx
+
1
，

时，
h′
（
x
）＜
0
，函数
h
（
x< br>）在（
0
，
时，
h′
（
x
）＞
0< br>，函数
h
（
x
）在（，+∞）上单调增．

所以[
h
（
x
）]
min
=h
（
①当
h
（
2
（
2m
﹣
1
）≥
m
﹣）
=
[
）
=2m
﹣，

，即
m
≥时，函数
y=h
（
h
（
x
））的最小值

+
2
（
2
=1
或
=﹣
1
）﹣
1
]
=
，

即
1 7m
﹣
26
②当
0
＜
+
9=0
，解得﹣
1
）＜
（舍），所以
m=1
；

（
2
，即＜
m
＜时，

）
=
（< br>2
﹣
1
）
=
，解得
=
（舍），
< br>函数
y=h
（
h
（
x
））的最小值
h
（
综上所述，
m
的值为
1
．

（
3）由题意知，
K
OA
=
考虑函数
y=
所以函数
y=
+
lnx
，
K
OB
=
，

，因为
y′=
在[
1
，
e
]上恒成立，

在[
1
，
e
]上单调增，故
K
OB
∈[﹣
2
，﹣]，

+
lnx
≤
e
在[
1
，
e
]上恒成立，

所以
K
OA
∈[，
e
]，即≤
即﹣
x
2
lnx
≤
m
≤
x
2
（
e
﹣
lnx
）在[
1
，
e
]上恒成立，

﹣
x
2
lnx
，则p′
（
x
）
=
﹣
2lnx
≤
0
在[
1
，
e
]上恒成立，

设
p
（x
）
=
所以
p
（
x
）在[
1
，
e
]上单调减，所以
m
≥
p
（
1
）=
，

设
q
（
x
）
=x
2< br>（
e
﹣
lnx
），

则
q′
（x
）
=x
（
2e
﹣
1
﹣
2lnx）≥
x
（
2e
﹣
1
﹣
2lne
）＞< br>0
在[
1
，
e
]上恒成立，

所以
q
（
x
）在[
1
，
e
]上单调增，所以
m
≤
q
（
1
）
=e
，

综上所述，
m
的取值范围为[，
e
]．



【选做题】本题包括
A
、
B
、
C
、D
四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若
多做，则按作答的前两题评分
.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.A.
选修
4-1< br>：几何
证明选讲

21
．
MN
交于点
C，如图，圆
O
的弦
AB
，且
A
为弧
MN
的中点，点
D
在弧
BM
上，若∠
ACN=3
∠
A DB
，求∠
ADB
的度数．

【考点】
NB
：弦切角．

【分析】连结
AN
，< br>DN
．利用圆周角定理，结合∠
ACN=3
∠
ADB
，求∠< br>ADB
的度数．

【解答】解：连结
AN
，
DN
．

因为
A
为弧
MN
的中点，所以∠
ANM=
∠
ADN
．
而∠
NAB=
∠
NDB
，

所以∠
ANM
+∠
NAB=
∠
ADN
+∠
NDB
，

即∠
BCN=
∠
ADB
．

又因为∠
ACN=3
∠
ADB
，

所以∠
ACN
+∠
BCN=3
∠
ADB
+∠
ADB=180°，

故∠
ADB=45°
．




B.
选修
4-2
：矩阵与变换

22
．已知矩阵< br>A=
，若
A=
，求矩阵
A
的特征值．

【考点】
OV
：特征值与特征向量的计算．


【分析】利 用矩阵的乘法，求出
a
，
d
，利用矩阵
A
的特征多项式为< br>0
，求出矩阵
A
的特征值．
【解答】解：因为
A
所以
==
，

，解得
a=2
，
d=1
．

=
（
λ
﹣
2
）（
λ
﹣
1
）﹣
6=
（< br>λ
﹣
4
）（
λ
+
1
），

所以矩阵
A
的特征多项式为
f
（
λ
）
=
令
f
（
λ
）
=0
，解得矩阵
A
的特征值为< br>λ=4
或﹣
1
．

C.
选修
4-4
：坐标系与参数方程
< br>23
．在极坐标系中，已知点
A
（
2
，
段
A B
最短时，求点
B
的极坐标．

【考点】
Q4
：简单曲线的极坐标方程．

【分析】点
A< br>（
2
，）的直角坐标为（
0
，
2
），直线
l
的直角坐标方程为
x
+
y=0
．
AB
最短时，），点
B
在直线
l
：
ρcosθ
+
ρsinθ =0
（
0
≤
θ
≤
2π
）上，当线
点
B
为直线
x
﹣
y
+
2=0
与直线
l的交点，求出交点，进而得出．

【解答】解：以极点为原点，极轴为
x
轴正半轴，建立平面直角坐标系，
< br>则点
A
（
2
，）的直角坐标为（
0
，
2），直线
l
的直角坐标方程为
x
+
y=0
．

AB
最短时，点
B
为直线
x
﹣
y
+
2=0
与直线
l
的交点，

联立，得，所以点
B
的直角坐标为（﹣
1
，
1
）．

．

所以点
B
的极坐标为


D.
选修
4-5
：不等式选讲

24
．已知
a
，
b
，
c
为正实数，且
a
3
+
b
3
+
c
3
=a
2
b
2
c2
，求证：
a
+
b
+
c
≥
3
【考点】
R6
：不等式的证明．

【分析】利用基本不等式的性质进行证明．

【解答】证明：∵
a
3
+
b
3
+
c
3
=a
2
b
2
c
2
，
a
3
+
b
3
+
c
3
≥
3abc
，

∴
a
2
b< br>2
c
2
≥
3abc
，∴
abc
≥
3
，

∴
a
+
b
+
c
≥
3
当且仅当
a=b=c=


≥
3
．

．

时，取
“=”
．

请考生在
22、
23
两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.
[选修
4-4
：坐标系
与参数方程]

25
．在平面直角坐标系< br>xOy
中，点
F
（
1
，
0
），直线
x=
﹣
1
与动直线
y=n
的交点为
M
，线段
MF
的中垂线与动直线
y=n
的交点为
P
．

（
Ⅰ
）求点
P
的轨迹
Г
的方程；

（
Ⅱ
）过动点
M
作曲线
Г
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，求证：∠
AMB
的大小为定值．

【考点】
K8
：抛物线的简单性质．

【分析】（
Ⅰ
）连接
PF
，运用中垂线的性质可得|
MP< br>|
=
|
PF
|，再由抛物线的定义可得点
P
的轨迹方程；

（
Ⅱ
）求得
M
（﹣
1
，< br>n
），过点
M
的切线斜率存在，设为
k
，则切线方程为：y
﹣
n=k
（
x
+
1
），
联立抛物线 的方程，消去
y
，运用相切的条件：判别式为
0
，再由韦达定理，结合两直线 垂直的
条件：斜率之积为﹣
1
，即可得证．

【解答】解：（
Ⅰ
）据题意，
MP
⊥直线
x=
﹣
1
，

∴|
MP
|为点
P
到直线
x=
﹣
1
的距离，

连接
PF
，∵
P
为线段
MF
的中垂线与直线
y=n
的交点，

∴|
MP
|
=
|
PF
|，

∴< br>P
点的轨迹是抛物线，焦点为
F
（
1
，
0
） ，准线为直线
x=
﹣
1
，

∴曲线
Г
的方程为
y
2
=4x
；

（
Ⅱ
）证明：据题意，
M
（﹣
1
，
n
） ，过点
M
的切线斜率存在，设为
k
，

则切线方程为：y
﹣
n=k
（
x
+
1
），

联立抛物线方程
可得
ky
2
﹣
4y
+
4k
+
4n=0
，

由直线和抛物线相切，

可得△
= 16
﹣
4k
（
4k
+
4n
）
=0
，

即
k
2
+
kn
﹣
1=0
，（
*
）

∵△
=n
2
+
4
＞
0
，∴方程（
*
）存在两个不等实根，设为
k
1
，
k
2
，

∵
k
1
=k
AM
，< br>k
2
=k
BM
，

由方程（
*
）可 知，
k
AM
•k
BM
=k
1
•k
2
=
﹣
1
，

∴切线
AM
⊥
BM
，∴∠
AMB=90°
，结论得证．



[选修
4-5
：不等式选讲]

26
．已知集合
U=
{
1
，2
，
…
，
n
}（
n
∈
N
*< br>，
n
≥
2
），对于集合
U
的两个非空子集
A
，
B
，若
A
∩
B=
∅，则称（
A
，
B
）为集合
U
的一组
“
互斥子集
”
．记 集合
U
的所有
“
互斥子集
”
的组数为
f
（
n
）
（视（
A
，
B
）与（
B
，< br>A
）为同一组
“
互斥子集
”
）．

（
1
）写出
f
（
2
），
f
（
3
） ，
f
（
4
）的值；

（
2
）求
f
（
n
）．

【考点】
1H
：交、并、补集的混合运算．

【分析】（
1
）直接由
“
互斥子集
”
的概念求得
f
（
2
），
f
（
3
），
f
（
4
）的值；

（
2
）由题意，任意一个元素只能在集合
A
，
B
，
C=C
U
（
A
∪
B
）之一中，求出这< br>n
个元素在集
合
A
，
B
，
C
中的个 数，再求出
A
、
B
分别为空集的种数，则
f
（
n< br>）可求．

【解答】解：（
1
）
f
（
2）
=1
，
f
（
3
）
=6
，
f
（
4
）
=25
；

（
2
）任意一 个元素只能在集合
A
，
B
，
C=C
U
（
A
∪
B
）之一中，

则这
n
个元素在集合
A
，
B
，
C
中，共有
3
n
种；
< br>其中
A
为空集的种数为
2
n
，
B
为空集的种 数为
2
n
，

∴
A
，
B
均为非空 子集的种数为
3
n
﹣
2
n
+
1
+
1
，

又（
A
，
B
）与（
B
，< br>A
）为一组
“
互斥子集
”
，

∴
f
（
n
）
=


．