家乡的风俗-ems通知书查询

北京市海淀区高三年级二模

数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名____________ __考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页 ，共150分。考试时长120
分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交
回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每 小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
1.已知全集
U=R
，
M{x|x1},P{x|x2},
则
ð
U
(MP)

A.
{x|1x2}
B.
{x|x1}
C.
{x|x2}
D.
{x|x1或x2}

2.在数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，且
(n1)a
n
na
n1
，则
a
3
的值为
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8


x1t,
3. 若点
P(2,4)
在直线
l:

（
t
为参数）上，则
a
的值为
y3at

A.
3
B.
2
C.
1
D.
1

4
5
79
79
A.

B.C.

D.
2525
2525
4.在
ABC
中，
cosA,cos B,
则
sin(AB)

5.在
(xa)
5(其中
a0
)的展开式中，
x
2
的系数与
x
3
的系数相同，则
a
的值为
A.
2
B.
1
C.
1
D.
2

6.函数
f(x)lnxx1
的零点个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 如图，在等腰梯形
ABCD
中，
AB8,BC4,CD4
. 点
P
在
D
C
3
5

线段
AD
上运动，则
|PAPB|
的取值范围是
A.
[6,443]
B.
[42,8]
C.
[43,8]
D.
[6,12]

8.直线
l:ax
P
A
B< br>1
y10
与
x,y
轴的交点分别为
A,B
, 直 线
l
与圆
O:x
2
y
2
1
的交点为< br>C,D
.
a

给出下面三个结论：
①
a1,S
AOB

1
1
； ②
a1, |AB||CD|
；③
a1,S
COD


2
2
则所有正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知
频率
组距
2
1i,
其中
i
为虚数单位，
aR
，则
a
__.
ai
b
a
0.12
10.某校为了解全校高中同学五一小长假 参加实践活动的情况，抽查了
100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直
0.05
0.04
方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在
6~10
小时
内的人数为 ___ .
A
24
6810
12
小时
¼
11. 如图，
A,B,C
是
O
上的三点，点
D
是劣弧
B
过点
B
的切线交弦
CD

C
的中点，
B
O< br>C
的延长线交
BE
于点
E
. 若∠
BAC80
，则
BED__.

D


xy20,

12. 若点
P(a, b)
在不等式组

xy20,
所表示的平面区域内，则原点
O
到直线

x1

axby10
距离的取值范围是_ _.
D
1
E
C
1
π3ππ
),B(,1),C (,0)
，若这三个点中有且仅有两个点在函13.已知点
A(,
6242
数
f(x)sin

x
的图象上，则正数
．．

的 最小值为___.
R
A
1
Q
B
1
P
D< br>C
，R
分别是棱14.正方体
ABCDA
1
B
1< br>C
1
D
1
的棱长为
1
，点
P，Q
A
B
A
1
A，A
1
B
1
，A
1D
1
的中点，以
PQR
为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶 点也都在该
正方体的表面上，则这个正三棱柱的高
h__
.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分13分）
已知函数
f(x)2sinxcos2x
.
（Ⅰ）比较
f()
，
f()
的大小；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的最大值.



16.（本小题满分13分）
某家电专卖店试销
A
、
B
、
C
三种新型空调，销售情况如下表所示：
第一周
11
10
15

第二周
10
12
8

第三周
15
13
12

第四周 第五周
π
4
π
6
A
型数量（台）
B
型数量（台）

C
型数量（台）
A
4

B
4

C
4

A
5

B
5

C
5

(Ⅰ)求
A
型空调前三周的平均周销售量；
(Ⅱ)根据
C
型空调连续3周销售情况，预估
C
型空调连续5周的平均周销量为10台.
请问：当
C
型空调周销售量的方差最小时， 求
C
4
，
C
5
的值；
(注：方差
s
2

平均数)
（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用 情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中
分别随机抽取一台，求抽取的两台空 调中
A
型空调台数
X
的分布列和数学期望.






1
[(x
1
x)
2
( x
2
x)
2
(x
n
x)
2
]< br>，其中
x
为
x
1
，
x
2
，„，x
n
的
n

17.（本小题满分14分）
如图 ，等腰梯形
ABCD
中，
AB

CD
，
DEAB
于
E
，
CFAB
于
F
，且
AEBFE F
D
C
2
，
DECF2
.
将
A ED
和
BFC
分别沿
DE
、
CF
折起，使
A
、
B
两
点重合，记为点
M
，得到一个四棱锥
M CDEF
，点
G
，
N
，
H
分别是
MC, MD,EF
的中点.
A
E
F
C
B
D
（Ⅰ）求证：
GH
∥平面
DEM
；
（Ⅱ）求证：
EMCN
；
（Ⅲ）求直线
GH
与平面
NFC
所成的角的大小.


18.（本小题满分14分）
已知函数
f(x)e
x
(x
2
axa)
.
（Ⅰ）当
a1
时，求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ） 若关于
x
的不等式
f(x)e
a
在
[a,)
上有解，求实数
a
的取值范围；
(Ⅲ)若曲线
yf(x)
存在两 条互相垂直的切线，求实数
a
的取值范围.(只需直接写出结果)


19. （本小题满分13分）
已知点
A(x
1
,y
1< br>),D(x
2
,y
2
)(
其中
x
1
x
2
)
是曲线
y
2
4x(y0)
上的两点，
A,D
两点在
x
轴上的
射影分别为点
B,C
,且< br>|BC|2
.
（Ⅰ）当点
B
的坐标为
(1,0)
时，求直线
AD
的斜率；
（Ⅱ）记
OAD
的面积为
S
1
，梯形
ABCD
的面积为
S
2
，求证：




E
M
N
G
H
F
S
1
1

.
S
2
4

20.（本小题满分13分）
i1,2，，n}
,其中
n3
. 已知集合

n{X|X(x
1
,x
2
,,x
i
,...,x< br>n
),x
i
{0,1}，
X(x
1
,x
2
,,x
i
,...,x
n
)
n
, 称
x
i
为
X
的第
i
个坐标分量. 若
S
n
，且满足如下两条性质：
①
S
中元素个数不少于4个；
,n}
，使得
X,Y,Z
的第
m
个坐标分量都是1； ②
X,Y,ZS
，存在
m{1,2，
则称
S
为

n
的一个好子集.
（Ⅰ）若
S{X,Y,Z,W}
为

3
的一个好子集，且
X(1,1,0),Y(1,0,1)
，写出Z,W
；
（Ⅱ）若
S
为

n
的一个好子集， 求证：
S
中元素个数不超过
2
n1
；
（Ⅲ）若
S
为

n
的一个好子集且
S
中恰好有
2
n 1
个元素时，求证：一定存在唯一一个
k{1,2,...,n}
，使得
S
中所有元素的第
k
个坐标分量都是1.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数学（理科）
2016.5
阅卷须知
:
1.
评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.
其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
B
5
C
6
A
7
C
8
C
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）

9．
1
10．
58

13．
4

11.
60

14．

1
12．
[,1]

2


3

2
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．解：（Ⅰ）因为
f(x)2sinxcos2x

所以
f()2sin
π
4
ππ
cos22
„„„„„„„ 2分
44

πππ3
f()2sincos2
„ „„„„„„4分
6662
因为
2
3
ππ
,所以
f()f()
„„„„„„„6分
246
（Ⅱ）因为
f(x)2sinx(12sin
2
x)
„„„„„„„9分
2sin
2
x2sinx1

13
2(sinx)
2


22
2
令
tsinx,t[1,1]
， 所以
y2(t)
1
2
3
,„„„„„„„11分
2
因为对称轴
t
1
,
2
根据二次函数性质知，当
t1
时，函数取得最大值
3
„„„„„„„13分

16解: (I)
A
型空调前三周的平均销售量
x
111015
12
台„„„„„„„2分
5
（Ⅱ）因为
C
型空调平均周销售量为
10
台，
所以
c
4
c
5
1051581215
„„„ „„„„4分
又
s
2
1
[(1510)
2
 (810)
2
(1210)
2
(c
4
10)2
(c
5
10)
2
]

5
2化简得到
s
11591
[2(c
4
)
2
 ]
„„„„„„„5分
522
2
因为
c
4
N< br>，所以当
c
4
7
或
c
4
8
时，
s
取得最小值
所以当


c
4
7
c
4
8
2
或

时，
s
取得最小值„„„„„„„7分

c
5
8

c
5
7
（Ⅲ）依题意，随机变量
X的可能取值为
0,1,2
，„„„„„„„8分
P(X0)
20255

,
304012

P(X1)
1025201511
+=
,
3040304024
10151

, „„„„„„„11分
30408
P(X2)
随机变量
X
的分布列为



随机变量
X
的期望
E(X)0




17解:
（Ⅰ）证明：连结
NG，NE
.
在
MCD
中，因为
N,G
分别是所在边的中点，所以
NG

X

p

0

1

2

5

12
11

24
1

8
511117
12
.„„„„„„„13分
1224824
1
CD
，„„„„„„„1分

2
又
EH

CD
,
所以
NG

EH
,
„„„„„„„2分

所以
NEHG
是平行四边形，所以
E N

GH
,
„„„„„„„3分

又
EN
平面
DEM
，
GH
平面
DEM
,
„„„„„„„4分

所以
GH

平面
DEM
.
„„„„„„„5分

（Ⅱ）证明：方法一：
在平面
EFCD内，过点
H
作
DE
的平行线
HP
，
因为DEEM,DEEF,
EMEFE,
所以
DE
平面
E FM
,
所以
HP
平面
EFM
，所以
HPEF
. 又在
EMF
中，因为
EMMFEF
，所以
MHEF.
以
H
为原点，
HM,HF,HP
分别为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系„„„„„„„6分
所以
E(0,1,0),M(3,0 ,0),C(0,1,2),N(
1
2
31
,,1)
„„„„„„ „7分
22


33
,,1)
，„„„„„„„8分 所以
EM(3,1,0),CN(
22
 
所以
EMCN0
，所以
EMCN
. „„„„„„„9分
方法二：
取
EM
中点
K
，连接
NK,FK
.
又
NK
为
EMD
的中位线，所以
NK

DE

又
DE

CF
，所以
NK

CF，所以
NKFC
在一个平面中. „„„„„„„6分
因为
EMF
是等边三角形，所以
EMFK
,
又
DEEM
，所以
NKEM
, „„„„„„„7分
且
NKFKK
，
所以
EM
平面
NKFC
，„„„„„„„8分
而
CN
平面
NKFC
,
所以
EMCN
. „„„„„„„9分


（Ⅲ）因为
CF(0, 0,2)
,所以
EMCF0
, 即
EMCF
,

又
CFCNC
,
所以
EM
平面
NFC
，


所以
EM
就是平面
NFC
的法向量. „„„„„„„11分

31
,,1)
，设
GH
与 平面
NFC
所成的角为

， 又
HG(
22
31



HGEM
22

2
„„„„„„„13分
则有
sin

|cosH G,EM|


2
22
|HG||EM|
所以
GH
与平面
NFC
所成的角为


18解: （Ⅰ）函数
f(x)
的定义域为
R
.
当
a1
时，
π
.„„„„„„„14分
4
f'(x)e
x
(x2)(x1)
„„„„„„„2分 < br>当
x
变化时，
f'(x)
，
f(x)
的变化情况如下 表：
x

(,2)

2

(2,1)

1

(1，+)

f'(x)



0



0



f(x)



极大值


极小值


„„„„„„„4分

函数
f(x)
的单调递增区间为
( ,2)
，
(1，)
，
函数
f(x)
的单调递减区间为
(2,1)
. „„„„„„„5分
（Ⅱ）解：因为
f(x)e
a
在区间
[a, )
上有解，

所以
f(x)
在区间
[a,)
上的最小值小于等于
e
a
.
因为
f'(x)e
x
(x2)(xa)
, 令
f'( x)0
,得
x
1
2,x
2
a
. „„„„„„„6分
当
a2
时，即
a2
时，
因 为
f'(x)0
对
x[a,)
成立，所以
f(x)
在
[a,)
上单调递增，
此时
f(x)
在
[a, )
上的最小值为
f(a),

所以
f(a)e
a
(a
2
a
2
a)e
a
，
解得
1a
1
，所以此种情形不成立，„„„„„„„8分
2
当
a2
，即
a2
时，
若
a0
, 则
f'(x)0
对
x[a,)
成立，所以
f(x)
在
[a,)
上单调递增，
此时
f(x)
在
[a,)
上的最小值为
f(a),
所以
f( a)e
a
(a
2
a
2
a)e
a
，
解得
1a
若
a0
，

若
a2
，则
f'(x)0
对
x(a,a)
成立，
f'(x) 0
对
x[a,)
成立.
则
f(x)
在
(a,a)
上单调递减，在
[a,)
上单调递增，

此时< br>f(x)
在
[a,)
上的最小值为
f(a),

所以有
f(a)e
a
(a
2
a
2
a) e
a
ae
a
，解得
2a0
，„„„„„„< br>10
分

当
a2
时，注意到
a[a,)
,
而
f(a)e
a
(a
2
a
2< br>a)e
a
ae
a
，

此时结论成立
.
„„„„„„„
11
分

综上，
a
的取值范围是
(,]
. „„„„„„„12分 < br>法二：因为
f(x)e
a
在区间
[a,)
上有解，
所以
f(x)
在区间
[a,)
上的最小值小于等于
e
a
，

当
a0
时，显然
0[a,)< br>，而
f(0)a0e
a
成立，„„„„„„„8分
11
，所以
0a
. „„„„„„„9分
22
1
2

当
a0
时 ,
f'(x)0
对
x[a,)
成立，所以
f(x)
在
[a,)
上单调递增，
此时
f(x)
在
[a, )
上的最小值为
f(a)
，
所以有
f(a)e
a
(a
2
a
2
a)e
a
，
11
，所以
0a
.„„„„„„„11分
22
1
综上，
a(,]
.„„„„„„„12分
2
解得
1a
（Ⅲ）
a
的取值范围是
a2
.„ „„„„„„14分

19解：（Ⅰ）因为
B(1,0)
，所以
A (1,y
1
),

代入
y
2
4x
，得到
y
1
2
，„„„„„„„1分
又
|BC|2
，所以
x
2
x
1
2
，所以
x
2
3
，„„„„„„„2分
代入
y
2
4x
，得到y
1
23
，„„„„„„„3分
所以
k
AD

y
2
y
1
232
31
. „„„„„„„5分
x
2
x
1
2
（Ⅱ）法一：设直线< br>AD
的方程为
ykxm
.
则
S
1
S
OMD
S
OMA
|m(x
2
x
1
)||m|.
„„„„„„„7分
1
2

ykxm
由

2
, 得k
2
x
2
(2km4)xm
2
0
,

y4x


(2km4)
2
4k2
m
2
1616km0

42km

所以

x
1
x
2

„„„„„„„9分
2
k

2

m
xx

12
k
2

又
S
2
(y
1
y
2)(x
2
x
1
)y
1
y
2
k x
1
mkx
2
m
又注意到
y
1
y
2

所以
1
2
4
,„„„„„„„11分
k
km
0
，所以
k0,m0
，
4
S
1
mkm

，„„„„„„„12分
S< br>2
y
1
y
2
4

因为
1 616km0
，所以
0km1
,所以
法二：设直线
AD的方程为
ykxm
.
S
1
km1

.„„„„„„„13分
S
2< br>44

ykxm
由

2
, 得
k2
x
2
(2km4)xm
2
0
,

y4x


(2km4)
2
4k
2m
2
1616km0

42km

所以

x
1
x
2

„„„„„„„7分
2
k


m
2

x
1
x
2

2
k

|AD|1k
2
|x
1
 x
2
|1k
2
|x
1
x
2
|21 k
2
,
„„„„„„„
8
分

点
O
到直线
AD
的距离为
d
|m|
1k
2
,
所以
S
1

1
|AD|d|m||m |
„„„„„„9分

2
4
, „„„„„„„11分 < br>k
又
S
2
(y
1
y
2
)(x< br>2
x
1
)y
1
y
2
kx
1
mkx
2
m
又注意到
y
1
y
2< br>
所以
1
2
km
0
，所以
k0,m0
，
4
S
1
mkm
=
，„„„„„„„12分
S
2
y
1
y
2
4
S
1
km1

. „„„„„„„13分
S
2
44
因为
1616km0
，所以
0km1
,所以
法三：直 线
OD
的方程为
y
y
2
x
, „„„„„„„6分
x
2
所以点
A
到直线
OD
的 距离为
d
|x
1
y
2
x
2
y
1
|
x
2
y
2
22
„„„„„„„7分
又
|OD|x
2
2
y
2
2
,
„„„„„„„8分

所以
S
1

11
| OD|d|x
1
y
2
x
2
y
1
|22

1
„„„„„„„9分
S(y
1
y
2
)(x
2
x
1
)y
1
y
2
，
又
2
2

1
|x
1
y
2x
2
y
1
|
|xyxy|
所以
S
1

2
21


12
S
2
(y< br>1
y
2
)2(y
1
y
2
)

y
1
2
y
2
2
|y
2
y1
|
yy|yy|
2
„„„„„„„
10
分

44

121
2(y
1
y
2
)8(y
1
y
2
)

y
1
2
4x1

,
所以
y
2
2
y
1
2
4(x
2
x
1
)8
„„„„„„„
11
分

因为

2


y
2
4x
2
y
1
y
2
S
1
y
1y
2
|y
1
y
2
|y
1
y
2
|y
1
2
y
2
2
|

< br>代入得到，„„„„„„„
12
分

(y
1
y2
)
2
S
2
8(y
1
y
2
)8(y
1
y
2
)
2
因为
y
1
y
2
2y
1
y
2
,
当且仅当
y
1
y
2
时取等号，

所以





20
解：（Ⅰ）
Z(1,0,0),W(1,1,1)
„„„„„„„2分

（Ⅱ）对于
X

n
，考虑元素
X'
(1x
1
,1x< br>2
,,1x
i
,,1x
n
)
，

S
1
yy1

12

.
„„„„„„„
13
分

S
2
4y
1y
2
4
1,2,,n

，
x
i
,y
i
,1x
i
不可能都为
1
，

显然，< br>X'
n
，
X,Y,X
'
，对于任意的
i
可得
X,X'
不可能都在好子集
S
中„„„„„„„
4
分

又因为取定
X
，则
X'
一定存在且唯一，而 且
XX'
，

且由
X
的定义知道，
X,Y
n
，
X'Y'XY
，„„„„„„„
6
分

这样，集合
S
中元素的个数一定小于或等于集合

n
中元素 个数的一半，

而集合

n
中元素个数为
2
n，所以
S
中元素个数不超过
2
n1
；„„„„„„„
8
分

（Ⅲ）
X(x
1
,x
2
,, x
n1
,x
n
)
，
Y(y
1
,y2
,,y
n1
,y
n
)
n

定义元素
X,Y
的乘积为：
XY(x
1
y
1
,x
2
y
2
,,x
n1
y
n1
,xn
y
n
)
，显然
XY
n
.
我们证明
:
“对任意的
X(x
1
,x
2
,,x
n1
,x
n
)S
，
Y(y
1,y
2
,,y
n1
,y
n
)S
，都有< br>XYS
.
”

假设存在
X,YS
,
使得
XYS
，

则由（Ⅱ）知，
(XY) '(1x
1
y
1
,1x
2
y
2
, ,1x
n1
y
n1
,1x
n
y
n
)S

此时，对于任意的
k{1,2,...,n}
，
x
k
,y
k
,1x
k
y
k
不可能同时为
1
,
矛盾，

所以
XYS
.
因为
S
中只有
2
n1
个元素，我们记
Z(z
1
, z
2
,,z
n1
,z
n
)
为
S
中所有元素的乘积，

根据上面的结论，我们知道
Z(z
1
,z
2
,,z
n1
,z
n
)S
，
显然这个元素的坐标分量不能都为
0
，不妨设
z
k
1
,
根据
Z
的定义，可以知道
S
中所有元素的
k
坐 标分量都为
1
„„„„„„„
11
分

下面再证明
k
的唯一性：

若还有
z
t
 1
,
即
S
中所有元素的
t
坐标分量都为
1
,
所以此时集合
S
中元素个数至多为
2
所以结论成立„„„„„ „„13分


n2
个，矛盾.