山东一本院校-消防演习总结

2019年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|2
x
＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤5} ，则（∁
U
A）∩B等于（ ）
A．[﹣1，0） B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]
2．（5分）若复数z满足zi＝1+2i，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
3．（5分）命题“∀x∈R，x
3
﹣x
2
+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x
0
∈R，
B．存在x
0
∈R，
C ．∃x
0
∈R，
﹣
﹣+1≤0
+1≤0



D．对任意的x∈R，x
3
﹣x
2
+1＞0
4 ．（5分）设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且4+a
5＝a
6
+a
4
，则S
9
＝（ ）
A．72 B．36 C．18 D．9
5．（5分）已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（ ）
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6．（5分 ）在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ
2
）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（ ）
A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4
7．（5分）一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示．若该三 棱
柱的外接球的表面积为124π，则侧视图中的x的值为（ ）
第1页（共24页）

A． B．9 C．3 D．3
8．（5分 ）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以
AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF的面积为4a
2
，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
，9．（5分）已知M（﹣4，0），N （0，4），点P（x，y）的坐标x，y满足
则
A．
的最小值为（ ）
B． C．﹣
），设
D．﹣
10．（5分）已知f（x）＝（sinθ）
x
，θ∈（0，，b＝f（log
4
3），c
＝f（log
16
5），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
11．（5分）已知直线l：y＝﹣2x﹣m（m＞0）与圆C：x
2
+y
2
﹣2x﹣2y﹣23＝0，直线l与圆
C相交于不同两点M ，N．若|
A．[，5） B．[2，5﹣3）
|，则m的取值范围是（ ）
C．（ 5，5） D．（，2）
12．（5分）函数f（x）＝sin（2x+θ）+co s
2
x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），
则（ ）
A．∃θ
0
∈R，使G（θ
0
）+g（θ
0
）＝π
B．∃θ
0
∈R，使G（θ
0
）﹣g（θ
0
）＝π
C．∃θ
0
∈R，使|G（θ
0
）•g（θ
0
）| ＝π
第2页（共24页）

D．∃θ
0
∈R，使＝π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）展开式的常数项是 ．
14．（5分）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它
分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面
包，要平均分给5个人，如果 每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得
，这样每人分得+
，
．形如
，
（n＝2，3，4，…）的分数的分解：
，按此规律，＝ （n＝2，3，4，…）．
15．（5分）如图所示，平面BCC
1
B
1< br>⊥平面ABC，∠ABC＝120°，四边形BCC
1
B
1
为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC
1
与AC所成角的余弦值为 ．

16．（5分）已知抛物线C：y
2
＝x上一点M （1，﹣1），点A，B是抛物线C上的两动点，
且＝⋅0，则点M到直线AB的距离的最大值是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
60分 ．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）co sA＝acosC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
，18．（12分）如图，在四棱 锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2
∠PAD＝60°，AB⊥ 平面PAD，点M在棱PC上．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若直线PA∥平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．
第3页（共24页）

19．（12分）已知 点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．三角形ABM的两条边AM，
BM所在直线的斜率之 积是﹣．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AM方程为x＝my﹣2（m≠0），直 线l方程为x＝2，直线AM交l于P，点
P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点 D．若△APD面积为2，求m的值．
20．（12分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天 该礼盒的需求量在{11，12，…
30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11，12，…， 30}范围内取值（每天进1次
货），商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理 ，每处理1盒礼
盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒
每天的需求量为x盒，进货量为a盒，商店的日利润为y元，
（Ⅰ）求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式
（Ⅱ）试计算进货量a为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最
大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝e
x
﹣a（x
2
+x+1）．
（Ⅰ）若x＝0是f（x）的极大值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修4‒4：坐标 系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π ）．以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ
2
﹣4＝4ρcosθ
﹣2ρsinθ．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2
[选修4‒5：不等式选讲]
第4页（共24页）

，求直线l的普通方程．

23．已知f（x）＝|x+1|+|2x+m|．
（Ⅰ）当m＝﹣3时，求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|2x﹣4|的解集为M，且
值范围．
，求实数m的取
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2019年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一 项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|2
x
＞1}，B ＝{x|﹣1≤x≤5}，则（∁
U
A）∩B等于（ ）
A．[﹣1，0） B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据 全集U＝R求出A的补集，找出A补集
与B的交集即可．
【解答】解：由A中的不等式变形得 ：2
x
＞1＝2
0
，得到x＞0，
∴A＝（0，+∞），
∵全集U＝R，
∴∁
U
A＝（﹣∞，0]，
∵B＝[﹣1，5]，
∴（∁
U
A）∩B＝[﹣1，0]．
故选：C．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）若复数z满足zi＝1+2i，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【解答】解：iz＝1+2i，∴﹣i•iz＝﹣i（1+2i），z＝﹣i+2
则z的共轭复数＝2+i的虚部为1．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算 法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力
与计算能力，属于基础题．
3．（5分）命题“∀x∈R，x
3
﹣x
2
+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x
0
∈R，
B．存在x
0
∈R，﹣
﹣+1≤0
+1≤0
第6页（共24页）

C．∃x
0
∈R，
D．对任意的x∈R，x
3
﹣x
2
+1＞0
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x∈R，x
3< br>﹣x
2
+1≤0”的否定是：存在x
0
∈R，
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．
4．（5分）设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且4+a
5
＝a
6
+a
4
，则S
9
＝（ ）
A．72 B．36 C．18 D．9
﹣+1＞0．
【分析】推导出4+a
5
＝2a
5
，从而a
5
＝4，再由S
9
＝（a
1
+a
9
），能求出结果．
【解答】解：S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且4+a
5
＝a
6
+a
4
，
∴4+a
5
＝2a
5
，
解得a
5
＝4，
∴S
9
＝（a
1
+a
9
）＝9a
5
＝36．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质 等基础知识，考查
运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（ ）
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】由 线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则
m⊥β，则α⊥β，得 解．
【解答】解：设m⊂α，且m∥l，
由l⊥β，则m⊥β，
由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，
即选项A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．
第7页（共24页）

6．（5分）在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ
2
）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概
率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（ ）
A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得答案．
【解答】解：变量ξ﹣N（1，σ
2
），则对称轴为X＝μ＝1，
∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，
∴ξ在（1，2）内取值的概率为
故选：D．
【点评】本题考查正态分布的对称性，是基础的计算题．
7．（5分）一个底面是正三角形， 侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示．若该三棱
柱的外接球的表面积为124π，则侧视图中的 x的值为（ ）
．

A． B．9 C．3 D．3
【分析】求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即可．
【解答】解：一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为124π，
4πr
2
＝124π，可得球的半径r为：
棱锥的底面三角形的高为：x，
可得（
解得x＝
故选：A．
）
2
+2
2
＝31，
．

第8页（共24页）

【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解题的
关键．
8．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以
AB为直径的圆恰好经 过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a
2
，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到 以AB为直径的圆的方
程为x
2
+y
2
＝c
2
，根 据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．
【解答】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，
∴以AB为直径的圆的方程为x
2
+y
2
＝c
2
，
由对称性知△ABF的面积S＝2S
△
OBF
＝2×
即h＝
则由x
2
+（
，即B点的纵坐标为y＝
）
2
＝c
2
，得x
2
＝c
2
﹣（
，
）
2
＝c
2
﹣
h＝ch＝4a
2
，
，
B在双曲线上，
则﹣＝1，
即﹣﹣＝1，
即﹣（1+）＝1，
第9页（共24页）

即﹣•＝1，
即﹣＝1，
即﹣1＝＝，
得16a
4
＝ （c
2
﹣a
2
）
2
，
即4a
2
＝c
2
﹣a
2
，得5a
2
＝c
2
，得c＝
则离心率e＝＝＝，
a，
方法2：设双曲线的左焦点为F′，由图象的对称性得，圆O经过点F′，

且|BF′|＝|AF|，
设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，
∵BF⊥AF
∴S
△
ABF
＝mn＝4a
2
，m
2
+n
2
＝4c
2
，
则mn＝8a
2
，
∵|BF′|﹣|BF|＝2a，
∴m﹣n＝2a
则m
2
﹣2mn+n
2
＝4a
2
，
∴4c
2
﹣16a
2
＝4a
2
，
即c
2
＝5a
2
，
则c＝a，
第10页（共24页）

即离心率e＝＝
故选：D．
＝，

【点评】本题主要考查双曲线 离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程
是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算 量较大．
9．（5分）已知M（﹣4，0），N （0，4），点P（x，y）的坐标x，y满足，
则
A．
的最小值为（ ）
B． C．﹣ D．﹣
【分析】由约束条件作出可行域，再由
﹣12＝0的距离的平方求得答案．
【解答】解：由点P（x，y）的坐标x，y满足
＝
的几何意义，即A（﹣2，2） 到直线3x+4y
作出可行域如图，则
（x+2）
2
+（y﹣2）
2
﹣8的几何意义为A（﹣2，2）
到直线3x+4y﹣12＝0的距离的平方再减8
由d＝
故选：C．
＝，可得（x﹣2）
2
+（y﹣2）
2
﹣8最小值为：．
第11页（共24页）

【点评】本题考查简 单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思
想方法，是中档题．
10． （5分）已知f（x）＝（sinθ）
x
，θ∈（0，），设，b＝f（log
43），c
＝f（log
16
5），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【分析】根据题意，分 析可得f（x）＝（sinθ）
x
为减函数，由对数的运算性质分析可得
log
16
5＜log
2
＜log
4
3，结合函数的单调性分析可得答案 ．
），则0＜sinθ＜1，则函数f（x）【解答】解：根据题意，f（x）＝（sinθ）
x
，θ∈（0，
＝（sinθ）
x
为减函数，
又由log
2
则c＞a＞b，
故选：A．
＝log
4< br>＝log
16
7，log
4
3＝log
16
9，则有 log
16
5＜log
2
＜log
4
3，
【点评 】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数f
（x）＝（sinθ）< br>x
，的单调性，属于基础题．
11．（5分）已知直线l：y＝﹣2x﹣m（m＞0） 与圆C：x
2
+y
2
﹣2x﹣2y﹣23＝0，直线l与圆
C相交于 不同两点M，N．若|
A．[，5） B．[2，5﹣3）
|，则m的取值范围是（ ）
C．（ 5，5） D．（，2）
【分析】取MN的中点P后，将不等式化为5≤|
求出||代入不等式解得．
+|
2
＜25，然后用点到直线的距离公式
【解答】解：取MN的中点P，则2|（
∴|

）|＝2×|2
|
2
⇒25﹣|
|＝4|< br>|
2
≤4|
|，
|
2
， |≤4||⇒||
2
≤16||
2
⇒4|PN|
2
≤16|
第12页（共2 4页）

∴5≤||
2
＜25，∴5≤（
﹣3．
）
2
＜25，
解得2≤m
故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
12．（5分）函数f（x）＝sin （2x+θ）+cos
2
x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），
则（ ）
A．∃θ
0
∈R，使G（θ
0
）+g（θ
0
）＝π
B．∃θ
0
∈R，使G（θ
0
）﹣g（θ
0
）＝π
C．∃θ
0
∈R，使|G（θ
0
）•g（θ
0
）| ＝π
D．∃θ
0
∈R，使＝π
【分析】由三角函数的辅助角公式得：（ x）f＝sin（2x+θ）+cos
2
x＝cosθ•sin2x+（sin
•co s2x＝sin（2x+φ）+，所以G（θ）＝
）
，g（θ）＝﹣
，由方程有解问题 ，分别求四个选项的值域判断即可得解．
【解答】解：（fx）＝sin（2x+θ）+cos
2
x＝cosθ•sin2x+（sin
（2x+φ）+，
所以G（θ）＝，g（θ）＝﹣
﹣
，
＝1，显然不满足
）•cos 2x＝sin
①对于选项A，G（θ
0
）+g（θ
0
）＝
题 意，即A错误，
第13页（共24页）

②对于选项B ，G（θ
0
）﹣g（θ
0
）＝
3]，显然不满足题意，即B错误，
③对于选项C，G（θ
0
）•g（θ
0
）＝（
2]，显然不 满足题意，即C错误，
④对于选项D，||＝|
+﹣＝2∈[1，
）（•﹣）＝1+ sinθ∈[0，
|∈[2，+∞），
即∃θ
0
∈R，使
故选：D．
＝π，故D正确，
【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）
【分析】把
【解答】解：
数项为﹣10+2＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式 系数的性质，
属于基础题．
14．（5分）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单 独的符号表示以外，其它
分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面展开式的常数项是 ﹣8 ．
按照二项式定理展开，可得
＝（x
2
﹣2 ）（•﹣+﹣
展开式的常数项．
+﹣1）的展开式的常
包，要平均分给5个人，如果 每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得
，这样每人分得+
，
＝2，3，4， …）．
【分析】由前面有限项规律可归纳推理出：＝+，即可求出
，
．形如（n＝2，3，4，…）的分数的分解：
，按此规律，＝ + （n
第14页（共24页）

【解答】解：由
＝
＝
故＝+
+
＝
＝
＝
+
+
，

＝+

，
，
故答案为：
【点评】本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题．
15．（5 分）如图所示，平面BCC
1
B
1
⊥平面ABC，∠ABC＝120°，四边 形BCC
1
B
1
为正方
形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1
与AC所成角的余弦值为 ．

【分析】以B为原点，BC为x轴，在平面 ABC内过B作BC的垂线为y轴，以BB
1
为z
轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出异面直线BC
1
与AC所成角的余弦值．
【解答】解：平面BCC
1
B
1
⊥平面ABC，∠ABC＝120°，四边形BCC
1
B1
为正方形，且
AB＝BC＝2，
以B为原点，BC为x轴，在平面ABC内过 B作BC的垂线为y轴，以BB
1
为z轴，建立
空间直角坐标系，
则B（0 ，0，0），C
1
（2，0，2），A（﹣1，
＝（2，0，2），＝（3，﹣，0） ，
，0），C（2，0，0），
设异面直线BC
1
与AC所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线BC
1
与AC所成角的余弦值为
故答案为：．
．
第15页（共24页）

【点评】本题考查异 面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题．
16．（5分）已知抛物线C：y
2
＝x上一点M （1，﹣1），点A，B是抛物线C上的两动点，
且＝⋅0，则点M到直线AB的距离的最大值是
•
．
＝0，结合韦达定理，即可证【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立， 利用
明直线AB过定点，并可求出定点的坐标，再由当MC垂直于直线AB时，点M到直线
AB 距离取得最大值，求出即可
【解答】解：设直线AB的方程为设A（y
1
2
，y
1
），B（y
2
2
，y
2
），
设直 线方程为x＝my+n，将直线方程代入抛物线方程，消x得y
2
﹣my﹣n＝0，
由△＞0，得m
2
+4n＞0，y
1
+y
2
＝m，y
1
•y
2
＝﹣n，
∵M （1，﹣1），
∴•＝（y
1
2
﹣1）（y
2
2
﹣1）+（y
1
+1）（y< br>2
+1）＝0，
∴（y
1
+1）（y
2
+1）[（ y
1
﹣1）（y
2
﹣1）+1]＝0，
∴（y
1
+1）（y
2
+1）＝0或（y
1
﹣1）（y
2
﹣1）+1 ＝0，
∴y
1
y
2
+y
1
+y
2
+1＝0或y
1
y
2
﹣y
1
﹣y
2
+2 ＝0
∴m﹣n+1＝0或m+n＝2，
∵△＞0恒成立，∴n＝﹣m+2，
∴直线AB的方程为x﹣2＝m（y﹣1），
∴直线AB过定点C（2，1），
当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB距离取得最大值，且为
．
故答案为： < br>＝
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决的巧妙之处在于直线方程的设
法 ．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x＝my+n的形式，同时
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考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每 个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
60分． 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA＝a cosC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长． < br>【分析】（Ⅰ）（2b﹣c）cosA＝acosC，由正弦定理得：（2sinB﹣sinC）cosA ＝sinAcosC，
再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cosA，结合范围A∈（0 ，π）．解得
A．
（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．
【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cosA＝acosC，
∴由正弦定理得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
∴可得：2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，
∴解得：cosA＝．
∵A∈（0，π）．
∴可得：A＝
（Ⅱ）∵A＝
．
，a＝，
∴由余弦定理：a
2
＝b
2
+c
2
﹣2bccosA，可得：13＝b
2< br>+c
2
﹣bc＝（b+c）
2
﹣3bc，
又∵△ABC的面积为3＝bcsinA＝bc，解得：bc＝12，
∴13＝（b+c）
2
﹣36，解得：b+c＝7，
∴△ABC的周长a+b+c＝7+．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函 数恒等变换的应用，考查了转化
思想，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）如图 ，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2
∠PAD＝60° ，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
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，

（Ⅱ）若直线PA∥平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥DP，DP⊥AP，从而DP⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥
平面 PCD．
（Ⅱ）以A为原点，在平面APD中过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，< br>建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BP与平面MBD所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥DP，
∵DP＝2
由
，AP＝2，∠PAD＝60°，
，可得sin，∴∠PDA＝30°，
∴∠APD＝90°，∴DP⊥AP，
∵AB∩AP＝A，∴DP⊥平面PAB，
∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以A为原点，在平面APD中过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z
轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（0，4，3），D（0，4，0），P（< br>连结AC，与BD交于点N，连结MN，
∵PA∥平面MBD，MN为平面PAC与平面MBD的交线，
∴PA∥MN，∴，
，1，0），B（0，0，1），
在四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABN∽△CDN，
∴
∴M（
＝（
＝3，，PM＝，
，，），
，1，﹣1），＝（0，4，﹣1），＝（，，﹣），
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设平面MBD的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（﹣，1，4），
设直线BP与平面MBD所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴直线BP与平面MBD所成角的正弦值为．

【点 评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系 ，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
是中档题．
19．（12分） 已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．三角形ABM的两条边AM，
BM所在直线的斜 率之积是﹣．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AM方程为x＝my﹣2（m≠0） ，直线l方程为x＝2，直线AM交l于P，点
P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点 D．若 △APD面积为2
【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由题意得k
AM
•k
BM
＝
求出点M的轨迹的方程．
（Ⅱ）先求出点Q的坐标，再求出点M的坐标，求出直线 MQ的方程，即可求出点D
的坐标，可得|AD|，即可表示出面积，再根据△APD面积为2，即可求 出m的值
•
，求m的值．
＝﹣（x≠±2），由此能
【解答】解：（Ⅰ） 设M（x，y），点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．
由题意得：k
AM
•k
BM
＝•＝﹣（x≠±2），
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化简，得点M的轨迹的方程为+＝1，（x≠±2）．
（Ⅱ）直线AM的方程为x＝my﹣2 ，（m≠0），直线直线l方程为x＝2，联立可得点P（2，
），
∴Q（2，﹣）， 由消x可得（3m
2
+4）y
2
﹣12my＝0，解得y＝0或y＝，
由题设可得点M（，），
可得直线MQ的方程为（+）（x﹣2）﹣（﹣2）（y+）＝0，
令y＝0，可得x＝，
故D（，0），
∴|AD|＝2+＝，
∴△APD面积S＝××＝＝2，
解得m＝．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求 法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基
础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是 中档题．
20．（12分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11，1 2，…
30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11，12，…，30}范围内取值（每天进1 次
货），商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼
盒亏 损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒
每天的需求量为x盒 ，进货量为a盒，商店的日利润为y元，
（Ⅰ）求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式
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（Ⅱ）试计算进货量a为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最
大值．
【分析】（Ⅰ）根据题意分段求解得出当11≤x＜a时，y
利润
，当a≤x≤30时 ，y
利润
，
（Ⅱ）期望利润是根据概率论中的期望求出，根据需求量的概率密度即可 求出，即可得
到期望利润为E（y）＝ydx，整理化简，结合二次函数的性质即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量x≥a时，利润为y＝50a+（x﹣a）×30＝30x+20a；
当需求量x＜a时，利润y＝50×x﹣（a﹣x）×10＝60x﹣10a．
所以利润y与日需求量x的函数关系式为：y＝，
（Ⅱ）因为需求量x～φ（x）＝， 所以期望利润为E（y）＝
＝[（30x
2
﹣10ax）|
ydx＝[（ 60x﹣10a）dx+
a+，
（30x+20a）dx]
+（15x
2< br>+20ax）|）＝﹣a
2
+
其对称轴为a＝＝23，
故当a＝24时，商店日利润的期望值最大，其最大值为913.5元
【点评】本题考查了函 数在实际生活中的应用，数学期望在实际生活中的应用，考查了
分析问题，解决问题的能力，属于中档题
21．（12分）已知函数f（x）＝e
x
﹣a（x
2
+x+1）．
（Ⅰ）若x＝0是f（x）的极大值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）首先求 得导函数，然后由f’（0）＝0求得实数a的值，最后验证所得的
结果符合题意即可；
（Ⅱ ）令，原问题等价于g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，据此
分类讨论确定a的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f’（x）＝e
X
﹣a（2x+1）．
因为x＝0是f（x）的极大值点，所以f’（0）＝1﹣a＝0，解得a＝1．
当a＝1时 ，f’（x）＝e
X
﹣（2x+1），f“（x）＝e
x
﹣2．
第21页（共24页）

令f’’（x）＝0，解得x＝ln2．
当x＝（﹣∞，ln2）时，f“（x）＜0，f’ （x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，又f'（0）＝
0，
所以当x＝（﹣∞，0）时，f '（x）＞f'（0）＝0，当x＝（0，ln2）时，f'（x）＜f'（0）
＝0，
故x＝0是f（x）的极大值点．
（Ⅱ）令 ，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点
当且仅当g（x）在（0，+∞）上只有一个零点.，
当x∈（0，1）时，g’（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＝（1，+∞）时，g’（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）的最小值为．
时，g（x）在（0，+∞）上只有一个零（1）当g（x）的最小值为g（1）＝0，即
点，
即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．
（2）当g（x）的最小值g（1）＜0，即
取x＝n（n∈N，n＞18a＞1），
时．
．
①若g（0）＝1﹣a＞0，即a＜1时，g（x）在（0，1）和（1，n）上各有一个零点，
即f（x）在（0，+∞）上有2个零点，不符合题意；
②当g（0）＝1﹣a≤0即a≥1时，g（x）只有在（1，+∞）上有一个零点，
即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．
综上得，当 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．
【点评】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数 研究函数的零点，分类讨论的数
第22页（共24页）

学思想等知识，属于中等题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修4‒4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以
坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ
2
﹣4＝4ρcosθ
﹣2ρsi nθ．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（ Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函
数的关系式，进一步 求出直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ
2
﹣4＝4ρcosθ﹣2ρsinθ．
转换为直角坐标方程为：（x﹣2）
2
+（y+1）
2
＝9． （Ⅱ）把直线l的参数方程为
代入（x﹣2）
2
+（y+1）
2
＝9，
得到：t
2
﹣4tcosα+2tsinα﹣4＝0，（t
1
和t
2
为A、B对应的参数）
故：t
1
+t
2
＝4cosα﹣2sinα，t
1
•t
2
＝﹣4，
所以：|AB| ＝|t
1
﹣t
2
|＝
解得：3cos
2
α＝4si nαcosα，
所以：，
＝2，
（t为参数，0≤α＜π）．
故直线的方程为：x＝0或y＝x．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和 极坐标方程之间的转换，一元
二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的 求法及应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．
[选修4‒5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|+|2x+m|．
（Ⅰ）当m＝﹣3时，求不等式f（x）≤6的解集；
第23页（共24页）

（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|2x﹣4|的解集为M，且
值范围．
，求实数m的取
【分析】（Ⅰ）代入m的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可； < br>（Ⅱ）问题转化为x﹣3≤m≤3﹣5x在[﹣1，]上恒成立，结合x的范围，求出m的范
围即 可．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝﹣3时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣3|，
原不等式等价于|x+1|+|2x﹣3|≤6，
故或或，
解得：﹣≤x≤﹣1或﹣1＜x＜或≤x≤，
综上，原不等式的解集是{x|﹣≤x≤}；
（2）由题意知f（x）≤|2x﹣4|在[﹣1，]上恒成立，
故x+1+|2x+m|≤4﹣2x，
即|2x+m|≤3﹣3x想[﹣1，]上恒成立，
故3x﹣3≤2x+m≤3﹣3x，
则x﹣3≤m≤3﹣5x在[﹣1，]上恒成立，
由于﹣4≤x﹣3≤﹣，≤3﹣5x≤8，
故﹣≤m≤，
即m的范围是[﹣，]．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综
合题．


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