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立体几何
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平行与垂直练习题


1. 空间四边形SABC中，SO

平面ABC，O为

ABC的垂心，
求证：（1）AB

平面SOC（2）平面SOC

平面SAB

S
A
D
O
B
C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A
1
B
1
C
1
中，E，M 分别为BB
1
，
A
1
C的中点，求证：
（1） EM

平面A A
1
C
1
C; （2）平面A
1< br>EC

平面AA
1
C
1
C；
A
C
M
B
E
A
1
B
1
C
1

3.
如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F
为CE上的点,且 BF⊥平面ACE,G为AC与BD
的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE
∥平面BFD.





4. 设P,Q是边长为a 的正方体AC
1
的面AA
1
D
1
D,面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心,如图,
（1）证明PQ∥平面AA
1
B
1
B；（2）求线段PQ的长.
1 10

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，
PD 面ABCD
，
ABDC
，
ABAD
，
BC5
，
o
uuur
DC3
，
AD4
，
PAD6 0
．
（Ⅰ）当主视图方向与向量
AD
的方向相同时，画出四
棱锥PABCD
的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若
M
为
PA
的中点，求证：
DM

面
PBC
．

6. 已知直 四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的底 面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA
1
，F为棱BB
1
的
中 点，M为线段AC
1
的中点.
求证：（1）直线MF∥平面ABCD；（2）平面A FC
1
⊥平面ACC
1
A
1
.

7. 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P- DC-A=45°，求证：
MN⊥平面PDC.

8. 如图，在三棱柱ABC－A 1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，
M，N分别是AB，A 1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；
(3)求三 棱锥M－A1B1C的体积．
2 10

9. 如图所示，在四 棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且
AB=2，SC=SD=< br>2
. 求证：平面SAD⊥平面SBC.

10. 如图所示，在直三棱柱< br>．．．．
ABC-A
1
B
1
C
1
中，AC⊥ BC．(1) 求证：平面AB
1
C
1
⊥平面AC
1
；
(2) 若AB
1
⊥A
1
C，求线段AC与AA
1
长度之比；(3) 若D是棱CC
1
的中点，问在棱AB上是
否存在一点E，使DE∥平面AB
1
C
1
？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

A
A
1




11. 如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC,
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.
B
C
D
B
1
C
1


12. 如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABC D
是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平3 10

面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.

13．如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,PA⊥平面ABC,A在PB,PC上的射影分别为E,F,< br>求证:PB⊥平面AFE.


14．
在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC =1,DC=2,点E在
PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PAD.(2)当PD∥平面AEC时 ,求PE∶EB的值.





15. 如图，已知三 棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
点，AB=4AN，M，D，S分别 为PB，AB，BC的中点．
(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.
1
AB，N为AB上一
2

16. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．
(1)求证：CM⊥平面FDM；
(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

4 10

1．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，
E，F分别为线段AD，PC的中点 ．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．


2．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB
1
A1
和ACC
1
A
1
都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC
1
A
1
； （Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC
1
的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线D E∥
平面A
1
MC？请证明你的结论．


3．（20 14•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，
底面 ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．
5 10

4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中， D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，
已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证 ：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．


5．（2014•黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2< br>F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积．
，E、


6．（2014•南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底 面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，
△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4， O为BD的中点，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
6 10

7．（2014•天津模拟）如图，在四 棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，下 底ABCD是边长为2的正
方形，上底A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为1的正方形，侧棱DD
1
⊥平面ABCD，DD
1< br>=2．
（1）求证：B
1
B∥平面D
1
AC；
（2）求证：平面D
1
AC⊥平面B
1
BDD
1
．


8．（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥ AD，CD=2AB，平面PAD⊥
底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证 ：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．


9．（2013•天津）如图，三 棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱A
1
A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，
E，F分别为棱AB，BC，A
1
C
1
的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面A
1
CD；
（Ⅱ）证明：平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
；
（Ⅲ）求直线BC与平面A
1
CD所成角的正弦值．
7 10

10．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．
，


11．（20 13•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠ BAC=90°，AB=AC=，AA
1
=3，
D是BC的中点，点E在棱BB
1
上运动．
（1）证明：AD⊥C
1
E；
（2）当异面直线AC，C
1
E 所成的角为60°时，求三棱锥C
1
﹣A
1
B
1
E的体积．


12．（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正 三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．
8 10

13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，
CC
1
上的点（点 D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B
1
C
1
的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
（2）直线A
1
F∥平面ADE．


14．（201 1•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，
AD=A C=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．


15．（201 1•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
AB=2，∠ BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
9 10

16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中 ，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底
面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．


17．（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，P C=AC=2，AB=BC，D是
PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．


10 10