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湖南省长沙市2017年中考数学试卷
一、选择题：
1．下列实数中，为有理数的是（ ）
A．
3
B．

C．
3
2
D．1
【答案】D[
【解析】
试题分析：根据实数的意义，有理数为有限小数和有限循环 小数，无理数为无限
不循环小数，可知1是有理数.
故选：D
考点：有理数
2．下列计算正确的是（ ）
A．
235
B．
a2a2a
2
C．
x(1y)xxy

D．
(mn
2
)
3
mn
6

【答案】C

考点：1、同类项，2、同类二次根式，3、单项式乘以多项式，4、积的乘方
3．据国家旅 游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为
82600000人次，数据82600 000用科学记数法表示为（ ）
A．
0.82610
6
B．
8.2610
7
C．
82.610
6
D．
8.2610
8

【答案】B[来~

【解析】
试题分析：由科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位 ，n的绝对值
与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．因此82600000=
8.2610
7
.
故选：B
考点：科学记数法的表示较大的数
4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

【答案】C
考点：1、中心对称图形，2、轴对称图形
5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角
形
【答案】B
【解析】

试题分析：根 据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形
是直角三角形.
故选：B.
考点：直角三角形
6．下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，
2
的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日生”为必然事件
【答案】D
考点：事件发生的可能性
7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）

A．长方形 B．圆柱 C．球 D．正三棱柱
【答案】B【解析】
试题分析：根据三视图的意义，可知这个几何体是圆柱.
故选：B

考点：几何体的三视图
8．抛物线
y2(x3)
2
4
的顶点坐标是（ ）
A．
(3,4)
B．
(3,4)
C．
(3,4)
D．
(2,4)

【答案】A
【解析】试题分析：根据二次函数的顶点式y=a（x-h）
2
+k的顶点为（h，k），< br>可知此函数的顶点为（3，4）.
故选：A
考点：二次函数的顶点式
9． 如图，已知直线
ab
，直线
c
分别与
a,b
相交，则
2
的度数为（ ）
1110
0
，

A．
60
0
B．
70
0
C．
80
0
D．
110
0

【答案】B
考点：1、平行线的性质，2、邻补角
10．如图，菱形
ABCD
的对角线
AC,BD
的长分别为
6cm,8cm
，则这个菱形的周
长为（ ）

A．
5cm
B．
10cm
C．
14cm
D．
20cm

【答案】D

【解析】
试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA=3，OB=4， 根据勾股定理可知
AB=5，所以菱形的周长为4×5=20.
故选：D
考点：菱形的性质
11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里 关，初
健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，
路程3 78里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天
的一半，一共走了六天才到达 目的地，则此人第六天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
【答案】C
考点：等比数列
12．如图，将正方形
ABCD
折叠，使顶点
A
与
CD
边上的一点
H重合（
H
不与端
点
C,D
重合），折痕交
AD
于点
E
，交
BC
于点
F
，边
AB
折叠后与 边
BC
交于点
G
，设正方形
ABCD
的周长为
m< br>，
CHG
的周长为
n
，则
A．
n
的值为（ ）
m
251
1
B． C． D．随
H
点位置的变化而变化
22
2

【答案】B

【解析】
试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，
设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴
CGxMG
CGCMMG
,即


2a xy2ay
DMDEEM
x(2ax)x(2ay)

,MGyy
∴CG=
CG=
4axx
2
△CMG的周长为CM+CG +MG=
y
在Rt△DEM中，DM
2
+DE
2
=EM
2

即（2a-x）
2
+y
2
=（2a-y）2[来#源:@中%国教*育出版~网]

整理得4ax-x
2
=4ay
4axx
2
4ay
4a
=n． ∴CM+MG+CG=
yy
所以
n1


m2
故选：B．
考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理
二、填空题
13．分解因式：
2a
2
4a2
．
【答案】2（a+1）
2

考点：因式分解

xy1
14．方程组

的解是 ．
3xy3


x1
【答案】



y0
【解析】
试题分析：利用加减消元法，用方程①+方程②可得x= 1，代入方程x+y=1可得

x1
y=0，解得方程组的解为

.[
y0


x1
故答案为：



y0
考点：加减消元法解二元一次方程组
15．如图，
AB< br>为⊙
O
的直径，弦
CDAB
于点
E
，已知
CD6,EB1
，则⊙
O
的半径为 ．

【答案】5

考点：1、垂径定理，2、勾股定理
16．如图，ABO
三个顶点的坐标分别为
A(2,4),B(6,0),C(0,0)
，以 原点
O
为位似
中心，把这个三角形缩小为原来的
1
，可以得到
A'B'O
，已知点
B'
的坐标是
2
(3,0)
，则点
A'
的坐标是 ．

【答案】（1，2）
【解析】
试题分析：根据位似变换的性质及位似比
故答案为：（1，2）
考点：位似变换
17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1． 6米，
22
方差分别是
S
甲
1.2,S
乙
0. 5
，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填
1
，可知A′的坐标为（1，2）.
2
“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
试题分析：根据方差的意义，方差越小，数据越稳定，可知乙同学的成绩更稳定.
故答案为：乙.
考点：方差
18．如图，点
M
是函数
y 3x
与
y
则
k
的值为 ．
k
的图象在第一象限内的交点，
OM4
，
x

【答案】
43

考点：一次函数与反比例函数
三、解答题 < br>1
19．计算：
|3|(

2017)
0
2 sin30
0
()
1

3
【答案】6
【解析】
试题分析：根据绝对值的性质、零次幂的性质、特殊角的三角函数值、和负整指数幂的性质可直接额计算.
试题解析：原式=3+1-1+3=6
考点：实数的运算

2x9x
20．解不等式组

，并把它的解集在数轴上表示 出来．
5x13(x1)


【答案】x＞2
【解析】
试题分析：分别接两个不等式，然后画出数轴，再取其公共部分即可求解集.

考点：解不等式组
21．为了传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园 ”活动，
某校园团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学
生的 成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表：

请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中
a
；
b
；
（2）请计算扇形统计图中
B
组对应的圆心角的度数；[来~源:@#*^中教网]
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙
两名同学，学 校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树
状图法求甲、乙两名同学都被选中的概 率．
1
【答案】（1）a=0.3，b=45（2）108°（3）
6
【解析】
试题分析：（1）根据频数的和为样本容量，频率的和为1，可直接求解；
（2）根据频率可得到百分比，乘以360°即可；

（3）列出相应的可能性 表格，找到所发生的所有可能和符合条件的可能求概率
即可.
试题解析：（1）a=0.3，b=45
（2）360°×0.3=108°
（3）列关系表格为：

1
由表格可知，满足题意的概率为：.
6
考点：1、频数分布表，2、扇形统计图，3、概率
22．为了维护国家主权和海 洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，
如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海 里的速度向正东方航行，在
A
处
测得灯塔
P
在北偏东
60< br>0
方向上，继续航行1小时到达
B
处，此时测得灯塔
P
在北偏东
30
0
方向上．
（1）求
APB
的度数；
（2）已知在灯塔
P
的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

【答案】（1）30°（2）安全

（2）只需算出航线上与P点最近距离为多少即可
过点P作PH⊥AB于点H
在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=
3
PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=
3
3
PH
∴AB=AH-BH=
23
3
PH=50
算出PH=25
3
＞25，不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
23．如图，
AB
与⊙
O
相切于C
，
OA,OB
分别交⊙
O
于点
D,E
，求证：
OAOB
；
（2）已知
AB43
，
OA4
，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析（2）
S
2
阴影
=23
3

CDCE
．（1）

试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB
∵
CDCE

∴∠AOC=∠BOC
在△AOC和△BOC中，

AOCBOC



OCOC
OCAOCB90

∴△AOC≌△BOC（ASA）
∴AO=BO


考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积
24．自 从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，
某欧洲客商准备在湖南采购一 批特色商品，经调查，用16000元采购
A
型商品的

件数是用750 0元采购
B
型商品的件数的2倍，一件
A
型商品的进价比一件
B型
商品的进价多10元．
（1）求一件
A,B
型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进
A,B
型商品共250件进行试销，其中
A
型商品的件数不
大于B
型的件数，且不小于80件，已知
A
型商品的售价为240元件，
B< br>型商品
的售价为220元件，且全部售出，设购进
A
型商品
m
件，求该客商销售这批商
品的利润y与
m
之间的函数关系式，并写出
m
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件
A
型商品，就从
一件
A
型商品的利润中捐献慈善资金
a
元，求该客商售 完所有商品并捐献资金后
获得的最大收益．
【答案】（1）A型商品的进价为160元，B型商品的进价为150元
（2）函数关系式为：y=10m+17500（80≤m≤125）
（3）当0＜a＜10 时，当m=125时利润最大，y
max
=1250-125a+17500=18750-1 25a
当a=10时，y=17500，y
max
=17500
当a＞1 0时，当m=80时利润最大，y
max
=800-80a+17500=18300-80a
【解析】
试题分析：（1）设一件A型商品的进价为x元，则B型商品的进价为（x-10） 元，
然后根据“用16000元采购
A
型商品的件数是用7500元采购
B< br>型商品的件数的
2倍”列分式方程求解即可；
（2）设A型商品m件，B型商品（25 0-m）件，然后根据“欧洲客商购进
A,B
型
商品共250件进行试销，其中
A
型商品的件数不大于
B
型的件数，且不小于80
件”列不等式，根据利润 =售价-进价即可求解函数的解析式；

（2）设A型商品m件，B型商品（250-m）件，则

80≤m≤250m



y(240160) m(220150)(250m)
解得80≤m≤125
函数关系式为：y=10m+17500（80≤m≤125）
（3）y=10m+17500-ma=（10-a）m+17500
当0＜a＜10时，y 随m的增大而增大，当m=125时利润最大，
y
max
=1250-125a+17 500=18750-125a
当a=10时，y=17500，y
max
= 17500
当a＞10时，y随m的增大而减小，当m=80时，利润最大，
y
ma x
=800-80a+17500=18300-80a
考点：1、分式方程，2、不等式，2、一次函数及最值
25．若三个非零实数
x, y,z
满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数
的和，则称这三个实数
x, y,z
构成“和谐三数组”．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．
k
（2）若
M(t,y
1
),N(t1,y
2
),M(t1,y
3
)
三点均在函数y=（
k
为常数，
k0
）的
x
图象上，且这三点的纵坐标
y
1
,y
2
,y
3
构成 “和谐三数组”，求实数的值；
（3）若直线
y2bx2c(bc0)
与x
轴交于点
A(x
1
,0)
，与抛物线
yax
2
3bx3c(a0)
交于
B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围.

【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3）
210
且OP≠1
≤OP＜
22
试题解析：（1）由已知1＜2＜3
111
∴
＞＞

123
11
又∵1≠
+

23
∴1,2,3不可以构成“和谐三组数”
kkk
），N（t+1，），R（t+3，）
tt1t3
kkk
，，组成“和谐三组数”
tt1t3
kkk
①若=+，得t=-4
tt1t3
t1tt3
②若，得t=-2

kkk
t3tt1
③若，得t=2

kkk
（2）M（t，

综上，t=-4，-2或2

∴
11
x
2
x
3
b1
 

x
2
x
3
x
2
x
3< br>cx
1
∴
x
1
，x
2
，x
3
构成“和谐三组数”
②∵x
2
=1
∴a+b+c=0
∴c=-a-b
b
2
b
b
2
c
2b
2
(ab)
2
2()2()1


∴OP==
22
aa
aa
∵a＞2b＞3c
3a
∴-＜b＜
52
3b1
∴-＜＜
5a2
b bb
令t=，p=2
()
2
2()1
=
2t
2
2t1

aaa
31
∵-＜t＜且t≠-1或0
52
15
∴＜p＜且p≠1
22
∴
210
且OP≠1
≤OP＜
22
考点：阅读理解题