倾听大自然的声音-素质教育标语

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学三模试卷
一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．如图所示，为了测量
A
、
B
两座岛屿间的距离，小船从初始位置
C
出发，已知
A
在
C
的北偏西
45
的
方向上，
B
在
C
的北偏东
15
的方向上，现在船往东开< br>2
百海里到达
E
处，此时测得
B
在
E
的北偏 西
30°
的方向上，再开回
C
处，由
C
向西开
26
百海里到达
D
处，测得
A
在
D
的北偏东
2 2.5
的方向上，则
A
、
B
两座岛屿间的距离为（

）


A
．
3
【答案】
B
【解析】

【分析】

B
．
32
C
．
4 D
．
42

先根据角度分析出
CBE, ACB,DAC
的大小，然后根据角度关系得到
AC
的长度，再根据正弦定理计算出
BC
的长度，最后利用余弦定理求解出
AB
的长度即可
.
【详解】

由题意可知：
ACB60,ADC67.5,AC D45,BCE75,BEC60
，

所以
CBE18 0756045
，
DAC18067.54567.5，

所以
DACADC
，所以
CACD26
，
又因为
BCCE
3

，所以
BC226
，

sinBECsinCBE
2
所以
AB
故选：
B.
【点睛】

AC
2
BC
2
2ACBCco sACB2462266
1
32
.
2
本题考查解 三角形中的角度问题，难度一般
.
理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键< br>.
2
．以
A

3,1

，
B< br>22

2,2

为直径的圆的方程是

B
．
xyxy90

D
．
xyxy90

22
22
A
．
xyxy80

C
．
xyxy80

【答案】
A
22

【解析】

【分析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出
a,b,r
，从而求出圆的方程
.
【详解】

设圆的标准方程为
(xa)
2
(yb)< br>2
r
2
，

由题意得圆心
O(a,b)
为
A
，
B
的中点，

根据中点坐标公式可得
a321121

，
b
，

2222
(32)
2
(12)
2
|AB|34
又
r
，所以圆的标准方程为：


222
1117
(x)
2
(y)
2

，化简整理得
x
2
y
2
xy80
，

222
所以本题答案为
A.
【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题
.
3
．半径为
2
的球
O
内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的 侧面积的最大值为（

）

A
．
93

【答案】
B
【解析】

【分析】

设正三棱柱上 下底面的中心分别为
O
1
，O
2
，底面边长与高分别为
x, h
，利用
OAOO
2
O
2
A
，可得
2 22
B
．
123
C
．
163
D
．
183

4
h
2
16x
2
，进一步得到侧面积
S3xh
，再利用基本不等式求最值即可
.
3
【详解】

如图所示
.
设正三棱柱上下底面的中心分别为
O
1
，O
2
，底面边长与高分别为
x,h
，则O
2
A
3
x
，

3

4
2
h
2
x
2
2
h16x
，

在
RtOAO
2
中，，化为
4
3
43
QS3xh
，


x
2
12x
2

22222
S9xh12x12x
„
12
 
432
，

2

2

当且仅当
x
故选：
B.
【点睛】

6
时取等号，此时
S123
.
本题 考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题
. 
2x1,x0
4
．已知函数
f(x)

,则方程
f

f(x)

3
的实数根的个数是（

）

lnx,x0

A
．
6

【答案】
D
【解析】

【分析】

B
．
3
C
．
4
D
．
5


2x1,x0
,
将方程
f

f(x)

3
看作
tf

x
,f

t

3
交点个数，运用图象判断根画出函数
f(x)

lnx,x0

的个数．

【详解】


2x1,x0

画出函数
f(x )

lnx,x0

令
tf

x

,f

t

3
有两解
t
1


0,1

,t
2


1,+


，则
t
1
f

x

,f< br>
x

t
2
分别有
3
个，
2个解，故
方程
f

f(x)

3
的实数根的 个数是
3+2=5
个

故选：
D

【点睛】

本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学 结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中
档题．

5
．函数
f< br>
x

的图象如图所示
,
则它的解析式可能是
( )

x
2
1
A
．
f

x


x
2
C
．
f

x
lnx

【答案】
B
【解析】

【分析】

B
．
f

x

2< br>x

x1


x
D
．
f

x

xe1
< br>根据定义域排除
C
，求出
f

1

的值，可 以排除
D
，考虑
f

100

排除
A< br>.
【详解】

根据函数图象得定义域为
R
，所以
C
不合题意；

D
选项，计算
f

1

e1
，不符合函数图象 ；

对于
A
选项，

f

100

99992
100
与函数图象不一致；

B
选项符合函数图象特征
.
故选：
B
【点睛】

此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法
. 6
．第
24
届冬奥会将于
2022
年
2
月4
日至
2
月
20
日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗 中五环
所占面积与单独五个环面积之和的比值
P
，某学生做如图所示的模拟实验：通过 计算机模拟在长为
10
，宽
为
6
的长方形奥运会旗内随机取
N
个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为
n
个，已知圆环半径
为1
，则比值
P
的近似值为
( )

A
．

n
8N
B
．
12n


N
C
．
8n


N
D
．

n
12N

【答案】
B
【解析】

【分析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值
P
.
【详解】

设会旗中五环所占面积为
S
，

Sn60n

，所以
S
，

60NN
S
12n

.
故可得
P
5< br>

N
由于
故选：
B.
【点睛】

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题
.
7
．设
m
，
n
是空间两条不同的直线，

，

是空间两个不同的平 面，给出下列四个命题：

①若
m

，
n

，



，则
mn
；

②若
< br>

，
m

，
m

，则
m

；

③若
mn
，
m

，



，则
n

；

④若



，

I

l
，
m
，
ml
，则
m

.
其中正确的是（
）

A
．①②

【答案】
C
【解析】

【分析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可
.
【详解】

解：①：
m
、
n
也可能相交或异面，故①错

②： 因为



，
m

，所以
m

或
m

，

因为
m

，所以
m

，故②对

③：
n

或
n

，故③错

④：如图
B
．②③
C
．②④
D
．③④

因为



，

I

l
，在内

过点
E
作 直线
l
的垂线
a
，

则直线
a

，
al

又因为
m

，设经过
m
和

相交的平面与

交于直线b
，则
mb

又
ml
，所以
bl

因为
al
，
bl
，
b

,a

所以
bam
，所以
m

，故④对
.
故选：
C
【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题
.
8
．数学中的数形结合，也可以组成 世间万物的绚丽画面
.
一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美
的结合产物，曲 线
C:(xy)16xy
恰好是四叶玫瑰线
.
22322
< br>给出下列结论：①曲线
C
经过
5
个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ；②曲线
C
上任意一点到坐标原点
O
的距离都不超过
2
；③ 曲线
C
围成区域的面积大于
4

；④方程
(xy)16 xy
线
C
在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( )
A
．①③

【答案】
B
【解析】

【分析】

B
．②④
C
．①②③
D
．②③④

22322

xy0

表示的曲< /p>

利用基本不等式得
xy4
，可判断②；
xy4
和
x
2
y
2
断①③；由图可判断④
.
【详解】

22
22

3
16x
2< br>y
2
联立解得
x
2
y
2
2
可判

x
2
y
2
2
3


x
2
y
2

22
16xy16

，

2

2
2
解得
xy4
（当且仅 当
xy2
时取等号），则②正确；

将
xy4
和< br>x
2
y
2
22
22
22

3< br>16x
2
y
2
联立，解得
x
2
y
2
2
，

即圆
xy4
与曲线
C
相 切于点

2,2
，
2,2
，
2,2
，


2,2
，


则①和③都错误；由
xy0
，得④正确
.
故选：
B.
【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判 断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定
难度的题
.
9
．已知函数
f(x)xsinxln

3

1x


，若
f(2a1)f(0)
，则
a
的取值范围为（< br>
）

1x


1

C
．

,1



2


1

A
．

,



2

【答案】
C
【解析】

【分析】

B
．

0,1



1

D
．

0,



2

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．

【详解】

由
1x
0
得
1x1
，

1x
3
在
x(1,1)
时，
yx
是增函数，
y sinx
是增函数，
yln
1x2
ln(1)
是增函数，
1x1x
∴
f(x)xsinxln

3
1x


是增函数，

1x

∴由f(2a1)f(0)
得
02a11
，解得
故选：
C .
【点睛】

1
a1
．

2
本题考 查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，

在定义域内求解．

x
2
y
2
10
．已 知双曲线
C:
2
1

a0,b0

的左， 右焦点分别为
F
1
,F
2
，
O
为坐标原点，
P
为双曲线在
2
ab
第一象限上的点，直线
PO
，
PF
2
分别交双曲线
C
的左，右支于另一点
M,N,若PF
1
3PF
2
，且
MF
2
N60
o
，则双曲线的离心率为
( )
A
．
5

2
B
．
3 C
．
2 D
．
7

2
【答案】
D
【解析】

【分析】

本 道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于
a
与
c
的等式，计算离心率， 即可．

【详解】


结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到< br>PO=MO
，而
F
1
OF
2
O
，结合四边 形对角线平分，可得四边
0
0
形
PF
1
MF
2为平行四边形，结合
MF
2
N60
，故
F
1MF
2
60

222
对三角形
F
1
MF
2
运用余弦定理，得到，
F
1
MF
2
MF
1
F
2
2MF
1
MF
2
cos F
1
MF
2

FF2c
，代入上式子中，得到

而结合
PF
1
3PF
2
，可得
MF
1< br>a,MF
2
3a
，
12
a
2
9a2
4c
2
3a
2
，结合离心率满足
e
【 点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．

c
c7
，即可得出
e
，故选
D
．
< br>a
a2

11
．某设备使用年限
x
（年）与所支 出的维修费用
y
（万元）的统计数据

x,y

分别为
2,1.5

，

3,4.5

，
ˆ
＝
ˆ
，若计划维修费用超过
15
万元将该设备
1.6x a

4,5.5

，

5,6.5

，由 最小二乘法得到回归直线方程为
y
报废，则该设备的使用年限为（

）

A
．
8
年

【答案】
D
【解析】

【分析】

B
．
9
年
C
．
10
年
D
．
11
年

$$< br>，求解
$$
根据样本中心点
(x,y)
在回归直线上，求出
a< br>y15
，即可求出答案
.
【详解】

依题意
x3.5,y4.5,(3.5,4.5)
在回归直线上，
$$$$
ˆ
＝4.51.63.5a,a1.1,y1.6x1.1
，

ˆ
＝
1.6
x
1.1

15,
x
10
由
y
1
，

16
估计第
11
年维修费用超过
15
万元
.
故选
:D.
【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题
.
12
．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为
a
的正方形及正方 形内一
段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（

）





2
A
．

3

a
4

【答案】
C
【解析】

【分析】



2

6
B
．< br>
a

2



2

6
C
．

a

4

3
< br>
6
D
．

4


2

a


画出直观图，由球的表面积公式求解即可

【详解】

这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉< br>1
个球而形成的，所以它的表面积为
8

2

a2

1



22
S3a3
< br>a4

a


6

a
.
484


2
故选：
C

【点睛】

本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力
.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数
f

x

Acos
2


x


1


A0,







的最大值为3，
f

x
< br>的图象与y轴的
2

交点坐标为

0,2

，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
f

1

f
2

f

2015



【答案】
4030

【解析】
f(x)Acos
2
(

x

)1
AA
cos(2

x2

)1
，由题意，得
22


A1 3

AA

f(0)cos2

10
,

22



T
2

22



A2



解得



，则
f(x)cos(x)22sinx
的周期为4，且
4
222

4





f(0)2,f(1)1,f(2)2,f(3)3
，所 以
f(1)f(2)f(3)f(2015)5038f(1)f(2)f( 3)4030
.
考点：三角函数的图像与性质.
（

x
）
14
．已知函数
f(x)2sin
，对于任意
x
都有
f(
______________.
【答案】
2或2


+x)f(x)
，则
f ()
的值为
66
6



【解析】

【分析】

由条件得到函数的对称性，从而得到结果

【详解】

∵f






x

＝
f

x

，


6

6

∴x
＝

是函数
f(x)
＝
2sin(ωx
＋
φ)
的一条对称轴．

6
∴f




2.

＝
±

6

【点睛】

本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题
.
15
．函数
yaxe
x
的图象在
x0
处的切线与直线
yx
互相垂直
,
则
a
_____
．

【答案】
1.
【解析】

【分析】

求函数的导 数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．

【详解】

Q
函数
yaxe
x
的图象在
x0
处的切线与直线
yx
垂直
,

函数
y axe
x
的图象在
x0
的切线斜率
k1

Q f


x

ae
x
axe
x

f


0

a1

本题正确结果：
1

【点睛】

本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．

16
．若
(3x)
的展开式中各项系数之和为
32
，则展 开式中
x
的系数为
_____
【答案】
2025
【解析】

【分析】

利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方 程，由此求得
n
的值
.
再利用二项式展开式的通项公式，求得
展开式 中
x
的系数
.
【详解】

5
x
n


5

依题意，令
x1
，解得
2
n
32
，所以
n5
，则二项式

3x
< br>的展开式的通项为：


x


5

T
r1
C
5
r



x

令
5r
13r
5

5rrr


3x
2

5(3)C
5
x
2


r
5
3
r51
，得
r4
， 所以
x
的系数为
5
54
(3)
4
C
5
4
2025
.
2
故答案为：
2025
【点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数 的求法，属于基础题
.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民 使用移动支
付的年龄结构，随机对
100
位市民做问卷调查得到
22
列联表如下：


（
1
）将上
22
列联表补充 完整，并请说明在犯错误的概率不超过
0.01
的前提下，认为支付方式与年龄是
否有 关？

（
2
）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取
10
人做进一步的问卷调查，从这
10
人随机中选
出
3
人颁发参 与奖励，设年龄都低于
35
岁（含
35
岁）的人数为
X
，求
X
的分布列及期望
.

n

adbc

（参考公式：
k
（其中
nabcd
）


ab

cd

ac

bd
2
2
【答案】（
1
）列联表见解析，在犯错误的概率不超过< br>0.01
的前提下，认为支付方式与年龄有关；（
2
）分
布列见解析， 期望为
【解析】

【分析】

（
1
）根据题中所给 的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在
犯错误的概率不超过
0.01
的前提下，认为支付方式与年龄有关
.
（
2
）首 先确定
X
的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望
.
【详解】

（
1
）根据题意及
22
列联表可得完 整的
22
列联表如下：

12
.
5

使用移动支付

不使用移动支付

合计

35
岁以下
35
岁以上

（含
35
岁）
40
10
50
10
40
50
2
合计

50
50
100
根据公式可得
k
2

100

4 0401010

50505050
366.635
，
所以在犯错误的概率不超过
0.01
的前提下，认为支付方式与年龄有关
.
（
2
）根据分层抽样，可知
35
岁以下（含
35
岁 ）的人数为
8
人，
35
岁以上的有
2
人，

所以获得奖励的
35
岁以下（含
35
岁）的人数为
X
，< br>
则
X
的可能为
1
，
2
，
3
，且

1213
C
8
C
2
C
8
2
C
2
C
8
85656
P

X1


3
PX3
，
P

X2


，，


33
C
10
120C10
10C
10
120
其分布列为

X

1 2 3
P

8

120
56

120
56

120
EX1
8565612
23
.
1201201205
【点睛】

独立性检验依据
K
2的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注
意变量的取值以 及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目
.
18．设函数
f

x

x1xa

aR

.
（
1
）当
a4
时，求不等式
f< br>(
x
)
³5
的解集；

（
2
）若< br>f

x

4
对
xR
恒成立，求
a
的取值范围
.
【答案】（
1
）
{x|x0
或
x5}
；（
2
）
a3
或
a5
.
【解析】

试题分析：（
1
）根据绝对值定义将不等式化为三个不等 式组，分别求解集，最后求并集（
2
）根据绝对值
三角不等式得
f

x

最小值，再解含绝对值不等式可得
a
的取值范围
. < br>
x1

1x4

x4
试题解析：（
1
）
x1x45
等价于

或

或

，

2x552x55
35



解得：
x0
或
x5
.
故不等式
f
x

5
的解集为
{x|x0
或
x5}
.
（
2
）因为：
f

x

x 1xa

x1



xa

a1

所以
f

x

min
a1
，由题意得：
a14
，解得
a3
或
a5
.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意 义求
解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立 交汇、
渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

19
．
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，已知
ab

c
2
ab
.
（
1
）求角
C
；

（
2
）若4ccos

A
【答案】（
1
）
（
2
）
3

【解析】

【分析】

（
1）利用余弦定理可求
cosC
，从而得到
C
的值
.
（
2
）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得
b4a
，得到b
值后利用面积公式可求
S
ABC
.
【详解】
< br>（
1
）由

ab

c
2
ab
，得
a
2
b
2
c
2
ab
.
2
2





bsinC0
，
a1
，求
ABC
的面积
.
2



3
a
2
b
2
c
2
1
所以由余弦定理，得
cosC
.
2ab2< br>又因为
C

0,


，所以
C
（
2
）由
4ccos

A

3
. 




bsinC0
，得
4csi nAbsinC0
.
2

由正弦定理，得
4cabc
，因为
c0
，所以
b4a
.
又因
a1
，所以
b4
.
所以
ABC
的面积
S
【点睛】

在解三角形中 ，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是
关于边的齐次 式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边
113
absinC143
.
222

和角的混合关系式，那么 我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式
.
20
．
a,b,c
分别为
VABC
的内角
A,B,C
的对边
.
已知< br>a

sinA4sinB

8sinA
.
（< br>1
）若
b1,A
（
2
）已知
C
，求
sinB
；

6

3
，当
VAB C
的面积取得最大值时，求
VABC
的周长
.
【答案】（
1
）
sinB
【解析】

【分析】

1
（
2
）
513

8
（
1
）根据正弦定理，将
a

sinA4sinB
8sinA
，化角为边，即可求出
a
，再利用正弦定理即可求出sinB
；

（
2
）根据
C

3< br>，选择
S
1
absinC
，所以当
VABC
的面积 取得最大值时，
ab
最大，

2
结合（
1
）中条件
a4b8
，即可求出
ab
最大时，对应的
a,b
的值， 再根据余弦定理求出边
c
，进而得
到
VABC
的周长．

【详解】

（
1
）由
a

sinA4s inB

8sinA
，得
a

a4b

8a
，

即
a4b8
.
因为
b1
，所以
a4
.
4
由
sin

6

1
1
sinB
.
，得
sinB
8
（
2
）因为
a4b824ab4ab
，

所以
ab4
，当且仅当
a4b4
时，等号成立
. < br>因为
VABC
的面积
S
11
absinC4sin 3
.
223

13
，则
c13
，

3
所以当
a4b4
时，
VABC
的面积取得最大值，< br>
此时
c41241cos
所以
VABC
的周长 为
513
.
【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解 三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和
数学运算能力．

21
．
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c，若
2sin
2
222
ABAB
2cos
22cosAcosB1

22

（
1
）求角
C
的大小

uuuruuur
（
2
）若
c4,CACB38
，求的周长

【答案】（
1
）
C60

（
2
）
11
【解析】

【分析】

（
1
） 利用二倍角公式将式子化简成
1cos

AB

1cos< br>
AB

2cosAcosB
，再利用两角和与差
的余弦 公式即可求解
.
uuuruuur
（
2
）利用余弦定理可得
cabab16
，再将
CACB38
平方，利用向量数量积可得
222
a
2
b
2
ab38
，从而可求周长
.
【详解】


1

由题
2sin
2< br>ABAB
2cos
2
2cosAcosB

221cos

AB

1cos

AB

2cosAcosB

22cos

AB

22cosC1

解得
cosC
1
，所以
C60


2

2

由余弦定理，
c
2
a
2
b
2
ab16
，

uuuruuur
2
22
再由
CACBabab38

解得：
ab27,ab11

所以

ab

49,ab7

故
ABC
的周长为
11

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题
. 2
22
r
r
rr
A,B,C
a,b,c
nm2bc,cosC
22
．在锐角
VABC
中，

分别是角的对边，
n
．

，


a,cosA< br>
，且
m
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
）求函数
y2sinBcos

2


2B

的值域．


3
【答案】（
1
）
A
【解析】



3

；（
2
）

,2


3

2


【分析】

（
1
）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得
cosA
， 进而得到
A
；

（
2
）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅 助角公式化简函数为
y1sin

2B
定
2B
< br>



，根据
B
的范围可确
6


6
的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域
.
【详解】

（
1
）
Qmn
，


2bc

cosAacosC0
，

由正弦定理得：

2sinBsinC

cosAsinAcosC0
，
即
2sinBcosAsin

AC

2si nBcosAsinB0
，

rr
1


< br>QB

0,

，
sinB0
，
co sA
，

2

2




A
又

0,

，
A
. 3

2

（
2
）在锐角
VABC
中，
A

3
，


6
B
2
．

13



y2sin
2
Bcos

2B

1cos2Bcos2Bsin2B
22

3

1
31


s in2Bcos2B1sin

2B

．

226

Q

6
B

2
，

6
2B

6

1


5

3

，
sin

2B

1
，
y2
，

26

62
< br>
3





函数
y2sin 2Bcos

2B

的值域为

,2

．


3


2

【点睛】

本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三
角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识
.
23
．已知数列

a
n

满足
123nn
…
．

2a
1
52a
2
52a3
52a
n
53
（
1
）求数列

a
n

的通项公式；


1

11
（
2
）设数列

的前
n
项和为
T
n< br>，证明：
T
n

．

226

a
n
a
n1

【答案】（
1
）
a
n

3n5
（
2
）证明见解析

2

【解析】

【分析】

123nn
…
（
1
），①当
n2
时，
2a
1< br>52a
2
52a
3
52a
n
53
1 23n1n1
…
，②两式相减即得数列

a
n

的通项公式；（
2
）先求出
2a
1
52a
2
52a
3
52a
n1
53
144

11





，再利用裂项相消法求和证明
.
a
n
a
n1

3n5

3n 8

3

3n53n8

【详解】

（
1
）解：
123nn
…
，①

2a
1
52a
2
52a
3
52a
n
53
当
n1
时，
a
1
4
．

123n1n1
…
当
n2
时，，②
2a
1
52a
2
52a
3
52a
n1
53
3n5

n2

，

2
3n5
因为
a
1
4
符合上式，所以
a
n
．

2
由①
-②，得
a
n

（
2
）证明：
144

11


< br>


a
n
a
n1

3n5< br>
3n8

3

3n53n8

T
n

111
…

a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1
4
11

11

1



1









…





3


81 1

1114

3n53n8


4
11






3

83n8

因为
0
1111

，所以
T
n

．

3n811226
【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
.