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2016年北京海淀高三二模数学（文科）试题及答案（word版）

北京市海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期末练习

数学试卷（文科）
2016. 5

一、选择题共8小题，每小题 5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1、已知全集
U={x|x0}
，
M{x|x1}
则
ð
U
M

A.
{x|x1}

B.
{x|0x1}
C.
{x|x0}

D.
{x|x0或x1}


2、数列
{a
n
}
的首项
a
1
2
，且
(n1)a
n< br>na
n1
，则
a
3
的值为
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8


3、已知 命题
p
和命题
q
，若
pq
为真命题，则下面结论正确的是
A.
p
是真命题 B.
q
是真命题 C.
pq
为真命题 D.
(p)(q)
为真命题

4、已知向量
a(1,2),b(2,t)
, 且
ab0
，则
|b|

A.
5
B.
22

C.
25

D.
5


5、函数
f(x)2x2
x
的零点个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6、在
ABC
中，
cosA,cosB,
则
sin(AB)

A.

22
AB
上7、如图, 抛物线
W:y
2
4x
与 圆
C:(x1)y25
交于
A,B
两点，点
P
为劣弧
»
3
5
4
5
7916
B. C.D.
1

2525

25

不同于
A,B
的一个
动点，与
x
轴平行的直线
PQ
交抛物线
W
于点
Q
，则
PQC
的周长的取值范围是
A.
(10,14)

B.
(12,14)

C.
(10,12)
D.
(9,11)







8、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1
，点
P，Q，R
分别是棱
A
1
A，A
1
B
1
，A
1
D
1
的中点，以< br>P
D
C
R
A
1
Q
B
1
D< br>1
C
1
A
B
PQR
为底面作正三棱柱，若此三棱柱 另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，
则这个正三棱柱的高为
A.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9、已知

10、某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，
抽查了100名同学，统计他们假期参加活动的时间, 绘成
的频率分布直方图如图所示， 则这100名同学中参加活动
时间在
6~10
小时内的人数为






0.05
0.04
24
233
B.
2
C. D.
232
2 i
i
,其中
i
为虚数单位，
aR
，则
a< br>__.
1ai
频率
组距
___.
b
a
0.12
6810
12
小时

11、已知双曲线

x
2
y
2
1
的一 条渐近线与直线
yx1
垂直，则该双曲线的焦距为__.
2
a

xy20,

12、若点
P(x,y)
在不等式组

xy20,
所表示的平面区域内，则原点
O
与点
P
距离的取

y1

值范围是__.

13、在一次调查中，甲、乙、 丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和
与 乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量
大于乙、丙阅读量之 和. 那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为__.

π3ππ
14、已知 点
A(,
若这三个点中有且仅有两个点在函数
f(x)sin

x
的
),B(,1),C(,0)
，
6242
图象上，则正数
．．

的最小值为___.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分13分）
已知等差数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
4n2
,各项都是正数的等比数列
{b
n
}满足
b
1
a
1
,b
2
b
3
a
3
2
.
（Ⅰ）求数列
{b
n
}
的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a
n
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.

16.（本小题满分13分）
已知函数
f(x)2sinxcos2x
.
（Ⅰ）比较
f()
，
f()
的大小；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的最大值.



17.（本小题满分14分）
已知长方形
ABCD
中,
AD2 ，AB2
，将
ADE
沿
DE
折起到
PDE
，
E
为
AB
中点，
所得四棱锥
PBCDE
如图所示 .
（Ⅰ）若点
M
为
PC
中点，求证：
BMP
平 面
PDE
；
（Ⅱ）当平面
PDE
平面
BCDE
时，求四棱锥
PBCDE
的体积；
（Ⅲ）求证:
DEPC
.












π
4
π
6

18.（本小题满分13分）
某家电专卖店试销
A
、
B
、
C
三种新型空调，销售情况如表所示：
第一周
11
10
15

第二周
10
12
8

第三周
15
13
12

第四周 第五周
A
型数量（台）
B
型数量（台）

C
型数量（台）
A
4

A
5

B
4

C
4

B
5

C
5

(Ⅰ)求
A
型空调前三周的平均周销售量；
(Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调
中随机抽取一台，求抽到的空调不是
B
型且不是第一周售出空调的概率？
（ Ⅲ）根据
C
型空调连续3周销售情况，预估
C
型空调连续5周的平均周销量为 10台.
请问：当
C
型空调周销售量的方差最小时， 求
C
4
，
C
5
的值；
(注：方差
s
2

平均数)


19.（本小题满分13分）
322
已知
f(x)xaxax1
,
a0
.
1
[(x
1
x)
2
(x
2
x)2
L(x
n
x)
2
]
，其中
x
为
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的
n
（Ⅰ）当
a2
时，求函数
f(x)
的单调区间； （Ⅱ）若关于
x
的不等式
f(x)0
在
[1,)
上有解，求实数
a
的取值范围；
(Ⅲ)若存在
x
0
既是函 数
f(x)
的零点，又是函数
f(x)
的极值点，请写出此时
a的值. (只需写
出结论)

20.（本小题满分14分）
x
2
y
2
已知曲线
C:1(y0)
, 直线
l:ykx1
与曲线
C
交于
A,D
两点，
A, D
两点
43
在
x
轴上的射影分别为点
B,C
.
（Ⅰ）当点
B
坐标为
(1,0)
时,求
k
的值；
（Ⅱ）记
OAD
的面积
S
1
，四边形
ABCD< br>的面积为
S
2
.
（i） 若
S
1

26
，求
|AD|
的值；
3
S
1
1

.
S
2
2
（ii）求证：

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案


数学（文科）

2016.5
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
答案

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
1
B
2
B
3
C
4
A
5
B
6
D
7
C
8
D
9．
2

12．
[1,2]





10．
58

13． 甲丁乙丙
11.
22

14．
4

三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.解：(Ⅰ) 设数列

b
n

的公比为
q
，
因为b
1
a
1
2
，所以
b
2
b3
2q2qa
3
212
. ……………………….2分
解得
q2
或
q3
（舍）. ……………………….4分
n1n
所以
b
n
b
1
q2
. ……………………….7分
2
(Ⅱ)记

a
n

的前
n
项和为
T
n
,

b
n
< br>的前
n
项和为
H
n
,

所以
Tn

a
1
a
n
24n2
nn2n< br>2
. ……………………….9分
22b
1
(1q
n
)2(12
n
)
H
n
2
n1
2
. ……………………….12分
1q1
所以
S
n
T
n
H
n
2n2

2n1
2
. ……………………….13分

16.解：（Ⅰ） 因为
f(x)2sinxcos2x

所以
f()2sinπ
4
ππ
cos22
…………………2分
44
πππ3
f()2sincos2
…………………4分
6662
因为
2
3
ππ
, 所以
f()f()
…………………6分
246
2
（Ⅱ）因为
f(x)2sinx(12sinx)
…………………9分
2sin
2
x2sinx1

13
2(sinx)
2


22
令
tsinx,t[1,1]
， 所以
y2(t)
2
因为对称轴
t
1
2
3
, …………………11分
2
1
,
2
根据二次函数性质知，当
t1
时，函数取得最大值
3
…………………13分

17解：（Ⅰ）取
DP
中点
F
，连接
EF,FM

因为在
PDC
中，点
F,M
分别是所在边的中点，所以
F MP
又
EBP
1
DC
. …………………1分
2
1
DC
，所以
FMPEB
，…………………2分
2
所以
FEBM
是平行四边形，所以
BMPEF
，………………… 3分
又
EF
平面
PDE
，
BM
平面
PDE
，…………………4分
所以
BMP
平面
PDE
. …………………5分

方法二: 取
DC
中点
N
，连接
MN，BN

在
P DC
中，点
N,M
分别是所在边的中点，所以
MNPPD
. …………………1分
又
DNPBE
，所以
DEBN
是平行四边形，…………………2分
所以
DEPBN
…………………3分
因为
NMINBN,DPI DED,
所以平面
BMNP
平面
EDP
…………………4分
因为
BM
平面
BMN
,

所以
BMP
平面
PDE
. …………………5分

（Ⅱ）因为平面
PDE
平面
EBCD
，
在
PDE
中，作
PO
DE
于
O
，
因为平面
PDEI
平面
EBCDDE
，
所以
PO
平面
EBCD
. …………………7分
在
PDE
中，计算可得
PO
所以
V
PBCDE
6
…………………8分
3
11163
. …………………10分
Sh(12)2
33233
（Ⅲ）在矩形ABCD
中，连接
AC
交
DE
于
I
，
因为
tanDEA2,tanCAB
π
2
，所以
DEA CAB
，
2
2
所以
DEAC
，…………………11分
所以在四棱 锥
PEBCD
中，
PIDE,CIDE,
…………………12分
又
PIICII
，所以
DE
平面
POC
. …………………13分
因为
PC
平面
POC
，所以
DE 
PC
. …………………14分

方法二：
由 （Ⅱ）, 连接
OC
.
在
DOC中，
cosODC
323
，
DO,DC2
，
33
26

OC
2
DC
2
DO
2
2DCDOcosCDO
，得到
OC
3
所以
D C
2
DO
2
OC
2
，所以
DOOC
…………………11分
又
POIOCO
，…………………12分
所以
DE
平面
POC
. …………………13分
因为
PC
平面
POC
，所以
DE 
PC
. …………………14分
18解: (I)(I)
A
型空调前三周的平均销售量
x
111015
12
台…………………2分
5
（ Ⅱ）设抽到的空调不是
B
型且不是第一周售出的空调为事件
P
1
…… ……………
4
分

所以
P
1
10158+123

…………………
7
分

35 30407
（Ⅲ）因为
C
型空调平均周销售量为
10
台， 所以
c
4
c
5
1051581215
… ………………9分
又
s
2
1
[(1510)
2
(810)
2
(1210)
2
(c
4
10)
2
(c
5
10)
2
]

5
2
化简得到
s
11591
[2(c
4
)
2
]
…………………11分
522
2
注意到
c
4
N
，所以当
c
4
7
或
c
4
8时，
s
取得最小值
所以当



19.解： （Ⅰ）当
a2
时，
f(x)x
3
2x
2
4 x1
，
所以
f'(x)3x
2
4x4(3x2)(x 2)
,…………………2分
令
f'(x)0,
得
x
1


c
4
7

c
4
8
2
或

时，
s
取得最小值…………………13分

c
5
8

c
5
7
2
,x2
2
，
3
则
f'(x)
及
f(x)
的情况如下：
x

(,2)



2

0

极大值
2
(2,)

3


2

3
0
极小值
2
(,)

3


f'(x)

f(x)

Z

]

Z

…………………4分
所以函数
f(x)
的单调递增区间为
(, 2)
，
(,)
,
函数
f(x)
的单调递减区间为
(,2)
. …………………6分
（Ⅱ）要使
f(x)0
在
[1,)
上有 解，只要
f(x)
在
[1,)
上的最小值小于等于
0
.
因为
f'(x)3x
2
2axa
2
(3xa)( xa)
，
令
f'(x)0
，得到
x
1
2
3
2
3
a
0,x
2
a0
. …………………7分
3

当
a
1
时，即
a3
时， < br>f(x)
在区间
[1,)
上单调递增，
f(1)
为
[1,)
上最小值
3
所以有
f(1)0
，即
1 aa
2
10
，解得
a1
或
a0
，
所以有
1a3
；…………………9分
当
aa
a
1
时，即
a3
时，
f(x)
在区间
[1,)
上单调递减，在
[,)
上单调递增，
33
3
a
所以< br>f()
为
[1,)
上最小值，
3
a
aa
3
a
3
a
3
10
， 所以有
f()0
，即
f()
32793
3
解得
a
3
27
，所以
a3
. …………………11分
5
综上，得
a1
.

法二：（ Ⅱ）要使
f(x)0
在
[1,)
上有解，只要
f(x)
在
[1,)
上的最小值小于等于
0
.
因为
f(1)1aa
2
1aa
2
，
所以当
aa
2
0
，即
a1
时 满足题意，…………………8分
当
a1
时，
因为
f'(x) 3x
2
2axa
2
(3xa)(xa)
，
令< br>f'(x)0
，得到
x
1

a
,x
2a
，
3
因为
a1
，所以
f(x)
在区 间
[1,)
上的单调递增，
所以
f(x)
在区间
[1 ,)
上的最小值为
f(1)
，
所以
f(1)0
，根据上面得到
a1
，矛盾. …………………11分
综上，
a1
.
（Ⅲ）
a1
…………………13分
20.解：
（Ⅰ）因为B(1,0)
，所以
A(1,y
0
)
，…………………1
分

3
x
2
y
2
代入
 1(y0)
，解得
y
0

，…………………
2
分

2
43

代入直线
ykx1
,
得
k

1
.
…………………
3
分

2
（Ⅱ）解法一：设点
E(0,1)
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
.
x
2
y
2
1


,
所以
( 34k
2
)x
2
8kx80
,
…………………4
分

因为

43


ykx1


96(2k
2
1)

8k

所以

x
1
x
2

2
………… ………6分

34k

8

xx
12

34k
2

又因为
S
1

111< br>|OE|(|x
1
||x
2
|)1|x
1
 x
2
||x
1
x
2
|
,
……………… …7分

222
2
96(2k1)
,
而
|x x|
12
34k
2
2
2
96(2k1)
12 62k1
,
…………………8分

所以
S=
1
234k
2
34k
2
262k
2
126
所以 ，
=
2
34k3
2k
2
11
所以
=
，解得
k0
,…………………9分
34k
2
3
2
所以
|AD|

法二：

解法一：设点
E(0,1)
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
.
26
3

46
. …………………10分
13

x
2
2

y1
,
所以
(34k
2
)x
2
8kx80
,
…………………
4
分

因为

4


ykx1



96(2k
2
 1)

8k

所以

x
1
x
2

2
…………………6分

34k

8
xx
12

34k
2

点
O< br>到直线
AD
的距离为
d
1
1k
2
2,
…………………7分

|AD|1 k|x
1
x
2
|1k|x
1
x
2
|1k
22
96(2k
2
1)
…………………8分

34k
2
2
2
96(2k1)
11262k126< br>
所以
S|AD|d==
1
2234k
2
3 4k
2
3
2k
2
11
所以
=
，解得< br>k0
, …………………9分 < br>2
34k3
2
所以
|AD|
26
3

46
. …………………10分
13
1
(y
1
y
2
)|x
1
 x
2
|
,
…………………
11
分

2（Ⅲ）因为
S
2

所以
S
1
1
< br>,
…………………
12
分

S
2
1
(yy)|xx|
y
1
y
2
1212
2
1< br>|x
1
x
2
|
2
而
y
1
y
2
kx
1
1kx
2
1k(x
1x
2
)2
,
…………………
13
分
S
1
134k
2
31

所以
S
8k
662
.
…………………
14
分

2
k2
34k
2