创业策划书模板-初中教学工作计划

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
[基础题组练]
1．已知异 面直线
a
，
b
分别在平面
α
，
β
内，且< br>α
∩
β
＝
c
，那么直线
c
一定( )
A．与
a
，
b
都相交
B．只能与
a
，
b
中的一条相交
C．至少与
a
，
b
中的一条相交
D．与
a
，
b
都平行
解析：选C.若
c
与
a
，
b
都不相交，则
c
与
a
，
b
都平行，根据公理4，知
a
∥
b
，与
a
，
b
异面矛盾．
2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形
C．菱形
解析：选B.
如图所示，易证四边形
EFGH
为平行四边形．
因为
E
，
F
分别为
AB
，
BC
的中点，
所以
EF
∥
AC
.
又
FG
∥
BD
，
所以∠
EFG
或其补角为
AC
与
BD
所成的角．
而
AC
与
BD
所成的角为90°，
所以∠
EFG
＝90°，故四边形
EFGH
为矩形．
3． 已知直线
a
，
b
分别在两个不同的平面
α
，
β内，则“直线
a
和直线
b
相交”是“平
面
α
和 平面
β
相交”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B．矩形
D．正方形
解析：选A.若直线
a
，
b
相交，设交点为
P
，则
P
∈
a
，
P
∈
b
.又
a
⊂
α
，
b
⊂
β
，所以
P
∈
α，
P
∈
β
，故
α
，
β
相交．反之，若
α
，
β
相交，则
a
，
b
可能相交，也可能 异面或平行．故
“直线
a
和直线
b
相交”是“平面
α
和平面
β
相交”的充分不必要条件．
4．(2019·广州市高中综合测试(一) )在四面体
ABCD
中，
E
，
F
分别为
AD
，
BC
的中点，
AB
＝
CD
，
AB
⊥< br>CD
，则异面直线
EF
与
AB
所成角的大小为( )
A.
C.
π

6
π

3
B.
D.
π

4
π

2
1

解析：选B.取
BD
的中点
O，连接
OE
，
OF
，因为
E
，
F
分别 为
AD
，
BC
的中点，
AB
＝
CD
，1
所以
EO
∥
AB
，
OF
∥
CD，且
EO
＝
OF
＝
CD
，又
AB
⊥< br>CD
，所以
EO
⊥
OF
，∠
OEF
为异面直 线
EF
与
2
AB
所成的角，由△
EOF
为等腰直角 三角形，可得∠
OEF
＝，故选B.
5．已知棱长为
a
的正方体< br>ABCD
­
A
′
B
′
C
′
D
′中，
M
，
N
分别为
CD
，
AD
的中点 ，则
MN
与
A
′
C
′的位置关系是___________ _____________________________________________．
解析：如图，由题意可知
MN
∥
AC
.又因为
AC
∥A
′
C
′，
所以
MN
∥
A
′
C
′.
π
4

答案：平行
6．给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面
α
内的一条直 线
a
与平面
β
内的一条直线
b
相交，则
α
与
β
相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．
其中真命题的序号是________． 解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一
个公共点．② 正确，
a
，
b
有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直
线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直
线也 在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．
答案：①②③ < br>7.如图，在正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
O
为正方形
ABCD
的中心，
H
为直
线
B
1
D
与平面
ACD
1
的交点．求证：
D
1
、
H
、
O
三点共线．
证明：如图，连接
BD
，
B
1
D
1
，
则
BD
∩
AC
＝
O
，
因为
BB
1
綊
DD
1
，
所以四边形
BB
1
D
1
D
为平行四边形，
又
H
∈
B
1
D
，
B
1
D
⊂平面
BB
1
D
1
D
，
则
H
∈平面
BB
1
D
1
D
，
2

因为平面
ACD
1
∩平面
BB
1
D
1
D
＝
OD
1
，
所以
H
∈
OD
1
.
即
D
1
、
H
、
O
三点共线．
8 ．在正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1D
1
中，
(1)求
AC
与
A
1
D
所成角的大小；
(2)若
E
，
F
分别为
AB
，
AD
的中点 ，求
A
1
C
1
与
EF
所成角的大小．
解 ：(1)如图，连接
B
1
C
，
AB
1
，由
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1< br>是正方体，易知
A
1
D
∥
B
1
C
， 从而
B
1
C
与
AC
所成的角就是
AC
与< br>A
1
D
所成的角．
因为
AB
1
＝
AC
＝
B
1
C
，
所以∠
B
1
CA
＝60°.
即
A
1
D
与
AC
所成的角为60°.
( 2)连接
BD
，在正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AC
⊥
BD
，
AC
∥
A
1
C
1
.
因为
E，
F
分别为
AB
，
AD
的中点，
所以
EF
∥
BD
，所以
EF
⊥
AC
.
所以
EF
⊥
A
1
C
1
.
即
A
1
C
1
与
EF
所成的角为90°.
[综合题组练]
1．如图所示，平面
α
∩平面
β
＝
l
，
A
∈
α
，
B
∈
α
，
AB
∩
l
＝
D
，
C
∈
β
，C
∉
l
，则平面
ABC
与平面
β
的交线是( )

A．直线
AC

C．直线
CD

B．直线
AB

D．直线
BC

解析：选C.由题 意知，
D
∈
l
，
l
⊂
β
，所以
D
∈
β
，
又因为
D
∈
AB
，所以
D
∈平面
ABC
，
所以点
D
在平面
ABC
与平面
β
的交线上． 又因为
C
∈平面
ABC
，
C
∈
β
，
所以点
C
在平面
β
与平面
ABC
的交线上，
所以平面
ABC
∩平面
β
＝
CD
.
2． 在正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，|
AB
|＝2|
BB
1
|，则
AB
1
与
BC
1
所成角的大小为( )
A.
C.

π

6
5π

12
B.
D.
π

3
π

2
3

解析：选D.将正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
补为四棱柱
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
，连接
C< br>1
D
，
BD
，则
C
1
D
∥
B
1
A
，
∠
BC
1
D
为所求角或其补角． 设|
BB
1
|＝2，则|
BC
|＝|
CD
|＝2，
∠
BCD
＝120°，|
BD
|＝23，
π
又因 为|
BC
1
|＝|
C
1
D
|＝6，所以∠
BC
1
D
＝.
2
3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC
­
A
′
B
′
C
′中，点
E，
F
，
H
，
K
分别为
AC
′，
CB
′，
A
′
B
′，
B
′
C
′ 的中点，
G
为△
ABC
的重心．从
K
，
H
，
G
，
B
′四点中取一点作为
P
，使得该棱柱恰有2条棱与 平面
PEF
平行，
则
P
为________．
1
解析：取
A
′
C
′的中点
M
，连接
EM
，
MK
，
KF
，
EF
，则
EM
綊
CC
′綊
2
KF
，得四边形
EFKM
为平行四边形，若取点
K
为
P
，则
AA
′∥
BB
′∥
C C
′∥
PF
，故与平面
PEF
平行的棱超过2条；因为
HB
′∥
MK
，
MK
∥
EF
，所以
HB
′∥
EF
，若取点
H
或
B
′为
P
，则平 面
PEF
与平面
EFB
′
A
′为同一平面，与平面
EFB
′
A
′平行的棱只有
AB
，不符合题意；连接
BC< br>′，
则
EF
∥
A
′
B
′∥
AB，若取点
G
为
P
，则
AB
，
A
′B
′与平面
PEF
平行．
答案：
G

4．如 图，已知圆柱的轴截面
ABB
1
A
1
是正方形，
C
是圆柱下底面弧
AB
的中点，
C
1
是圆柱
上底面弧
A
1
B
1
的中点，那么异面直线
AC
1
与
BC
所成角的正切值为________．

解析：取圆柱下底面弧
AB< br>的另一中点
D
，连接
C
1
D
，
AD
，
因为
C
是圆柱下底面弧
AB
的中点，
所以
AD
∥
BC
，
所以直线
AC
1与
AD
所成角等于异面直线
AC
1
与
BC
所成 角，因为
C
1
是
圆柱上底面弧
A
1
B
1< br>的中点，
所以
C
1
D
⊥圆柱下底面，所以
C
1
D
⊥
AD
，
因为圆柱的轴截面
ABB
1
A
1
是正方形，
所以
C
1
D
＝2
AD
，
所以直线
AC
1
与
AD
所成角的正切值为2，
所以异面直线
AC
1
与
BC
所成角的正切值为2.
答案：2
4

5.如图所示，
A
是△
B CD
所在平面外的一点，
E
，
F
分别是
BC
，AD
的
中点．
(1)求证：直线
EF
与
BD
是异面直线；
(2)若AC
⊥
BD
，
AC
＝
BD
，求
EF< br>与
BD
所成的角．
解：(1)证明：假设
EF
与
B D
不是异面直线，则
EF
与
BD
共面，从而
DF
与
BE
共面，即
AD
与
BC
共面，所以
A
，
B
，
C
，
D
在同一平面内，这与
A
是△< br>BCD
所在平面外的一点相矛盾．故
直线
EF
与
BD
是异面直线．
(2)取
CD
的中点
G
，连接
EG
，
FG
，则
AC
∥
FG
，
EG
∥
BD
，所以相交直
线
EF
与
EG
所成的角，即为异面直线< br>EF
与
BD
所成的角．
又因为
AC
⊥
BD
，则
FG
⊥
EG
.
1
在Rt△
EGF< br>中，由
EG
＝
FG
＝
AC
，求得∠
FEG< br>＝45°，即异面直线
EF
2
与
BD
所成的角为45°. < br>6.(综合型)如图，
E
，
F
，
G
，
H分别是空间四边形
ABCD
各边上的
点，且
AE
∶
EB
＝
AH
∶
HD
＝
m
，
CF
∶FB
＝
CG
∶
GD
＝
n
.
(1)证 明：
E
，
F
，
G
，
H
四点共面；
(2)
m
，
n
满足什么条件时，四边形
EFGH
是平行四 边形？
(3)在(2)的条件下，若
AC
⊥
BD
，试证明：
EG
＝
FH
.
解：(1)证明：因为
AE
∶
E B
＝
AH
∶
HD
，所以
EH
∥
BD
.
又
CF
∶
FB
＝
CG
∶
GD
，所以
FG
∥
BD
.所以
EH
∥
FG
.
所以
E
，
F
，
G
，
H
四点共面．
(2)当
EH
∥
FG
，且
EH
＝
FG时，四边形
EFGH
为平行四边形．
因为＝
EHAEmm
＝，所以
EH
＝
BD
. BDAE
＋
EBm
＋1
m
＋1
BD
，由
EH
＝
FG
，得
m
＝
n
.
n
＋1
n
同理可得
FG
＝
故当
m
＝
n
时，四边形
EFGH
为平行四边形．
(3)证明：当
m
＝
n
时，
AE
∶
EB
＝
CF
∶
FB
，所以
EF
∥
AC
，又
EH
∥
BD
，所 以∠
FEH
是
AC
与
BD
所成的角(或其补角)，因为AC
⊥
BD
，所以∠
FEH
＝90°，从而平行四边形
EFGH
为矩形，
所以
EG
＝
FH
.


5