我的理想作文-弟子规全文及解释

2016
年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）


< br>一、选择题（共
8
小题，每小题
5
分，满分
40
分）

1
．已知全集
U=R
，
M=
{
x
|
x
≤
1
}，
P=
{
x
|
x< br>≥
2
}，则∁
U
（
M
∪
P
）
=
（ ）

A
．{
x
|
1
＜
x
＜
2
}
B
．{
x
|
x
≥
1
}
C
．{
x
|
x
≤
2
}
D
．{< br>x
|
x
≤
1
或
x
≥
2
}< br>
2
．数列{
a
n
}的首项
a
1
= 2
，且（
n
+
1
）
a
n
=na
n +1
，则
a
3
的值为（ ）

A
．
5 B
．
6 C
．
7 D
．
8
3
．若点P
（
2
，
4
）在直线
l
：
A
．
3 B
．
2 C
．
1 D
．﹣
1
（
t
为参数）上，则
a
的值为（ ）

4
．在△
ABC
中，
cosA=
，
cosB=
，则
sin
（
A
﹣
B
）
=
（ ）

A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．

5
．在（
x
+
a
）
5
（其中
a< br>≠
0
）的展开式中，
x
2
的系数与
x
3的系数相同，则
a
的值为（ ）

A
．﹣
2 B
．﹣
1 C
．
1 D
．
2
6
．函数< br>f
（
x
）
=lnx
﹣
x
+
1
的零点个数是（ ）

A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
7
．
AB=8
，
BC=4
，
CD=4
，如图，在等腰梯形
ABCD
中，点
P
在线段
AD
上运动，则|+|
的取值范围是（ ）


A
．[
6
，
4
+
4
]
B
．[
4
，
8
]
C
．[
4
，
8
]
D
．[
6
，
12
]

8
．直线
l
：
ax
+
y
﹣
1=0
与
x
，y
轴的交点分别为
A
，
B
，直线
l
与圆
O
：
x
2
+
y
2
=1
的交点为
C
，
D
，给出下面三个结论：

①
∀
a
≥
1
，
S
△
AOB
=
；
②
∃
a
≥
1
，|
AB
|＜|
CD
|；
③∃
a
≥
1
，
S
△
COD
＜．

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A
．
①②
B
．
②③
C
．
①③
D
．
①②③



二、填空题（共
6
小题 ，每小题
5
分，满分
30
分）

9
．已知
=1
﹣
i
，其中
i
为虚数单位，
a
∈
R< br>，则
a=
．

10
．某校为了解全校高中学生五 一小长假参加实践活动的情况，抽查了
100
名学生，统计他
们假期参加实践活动的实 践，绘成的频率分布直方图如图所示，这
100
名学生中参加实践活
动时间在
6
﹣
10
小时内的人数为 ．

11
．如图，
A
，
B
，
C
是⊙
O
上的三点，点
D
是劣弧的中点，过点
B
的切线交弦
CD
的 延
长线于点
E
．若∠
BAC=80
°
，则∠
BED =
．


12
．若点
P
（
a
，
b
）在不等式组所表示的平面区域内，则原点
O
到直线
a x
+
by
﹣
1=0
的距离的取值范围是 ．
< br>13
．已知点
A
（，），
B
（，
1
），C
（，
0
），若这三个点中有且仅有两个点在函
数
f
（
x
）
=sin
ω
x
的图象上，则正数
ω
的 最小值为 ．

14
．正方体
ABCD
﹣
A1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1
，点
P
，
Q
，
R
分别是棱
A
1
A
，
A
1
B
1
，
A
1
D
1
的中
点，以△
PQR
为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都 在该正方体的表面
上，则这个正三棱柱的高
h=
．




三、解答题（共
6
小题，满分
80
分）

15．已知函数
f
（
x
）
=
﹣
2sinx
﹣
cos2x
．

（
1
）比较
f
（），
f
（）的大小；

（
2
）求函数
f
（
x
）的最大值．
16
．某空调专卖店试销
A
、
B
、
C
三种新型 空调，销售情况如表所示：


第二周

第四周


第一周

第三周

第五周

A
型数量（台）

11 10 15 A
4
A
5

B
型数量（台）

10 12 13 B
4
B
5

C
型数量（台）

15 8 12 C
4
C
5

（
1
）求
A
型空调前三周的平均周销售量；

（< br>2
）根据
C
型空调前三周的销售情况，预估
C
型空调五周的平 均周销售量为
10
台，当
C
型空调周销售量的方差最小时，求
C4
，
C
5
的值；

（注：方差
s
2
=
[
x
1
﹣）
2
+（
x
）
2
+
…
+（
x
n
﹣）
2
]，其中为
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的平
均数）

（3
）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随
机 抽取一台，求抽取的两台空调中
A
型空调台数
X
的分布列及数学期望．

17
．如图，等腰梯形
ABCD
中，
AB
∥
C D
，
DE
⊥
AB
于
E
，
CF
⊥< br>AB
于
F
，且
AE=BF=EF=2
，
DE=CF= 2
．将△
AED
和△
BFC
分别沿
DE
，
CF
折起，使
A
，
B
两点重合，记为点
M
，得到< br>一个四棱锥
M
﹣
CDEF
，点
G
，
N
，
H
分别是
MC
，
MD
，
EF
的中点．

（
1
）求证：
GH
∥平面
DEM
；

（
2
）求证：
EM
⊥
CN
；

（
3
）求直线
GH
与平面
NFC
所成角的大小．


18
．已知函数
f
（
x
）
=e
x
（
x
2
+
ax
+
a
）．
（
1
）当
a=1
时，求函数
f
（
x
） 的单调区间；

（
2
）若关于
x
的不等式
f
（
x
）≤
e
a
在[
a
，+
∞
） 上有解，求实数
a
的取值范围；

（
3
）若曲线
y =f
（
x
）存在两条互相垂直的切线，求实数
a
的取值范围．（只需 直接写出结
果）

19
．已知点
A
（
x
1
，
y
1
），
D
（
x
2
，
y
2
）（其中
x
1
＜
x
2
）是曲线
y
2
=4x
（
y
≥
0
）上的两点，
A< br>，
D
两点在
x
轴上的射影分别为点
B
，
C< br>，且|
BC
|
=2
．

（Ⅰ）当点
B
的坐标为（
1
，
0
）时，求直线
AD
的斜率；

（Ⅱ）记△
OAD
的面积为
S
1
，梯形
ABCD< br>的面积为
S
2
，求证：＜．

20
．已知集合
Ω
n
=
{
X
|
X=
（
x
1，
x
2
，
…
，
x
i
，
…，
x
n
），
x
i
∈{
0
，
1
}，
i=1
，
2
，
…
，
n
}，其 中
n
≥
3
．∀
X=
{
x
1
，x
2
，
…
，
x
i
，
…
，x
n
}∈
Ω
n
，称
x
i
为
X
的第
i
个坐标分量．若
S
⊆
Ω
n
，且满足
如下两条性质：

①
S
中元素个数不少于
4
个；

②
∀X
，
Y
，
Z
∈
S
，存在
m
∈ {
1
，
2
，
…
，
n
}，使得
X< br>，
Y
，
Z
的第
m
个坐标分量是
1
；

则称
S
为
Ω
n
的一个好子集．

（
1
）
S=
{
X
，
Y
，
Z，
W
}为
Ω
3
的一个好子集，且
X=
（
1
，
1
，
0
），
Y=
（
1
，< br>0
，
1
），写出
Z
，
W
；

（
2
）若
S
为
Ω
n
的一个好子集，求证：
S
中元素个数不超过
2
n
﹣
1
；

（< br>3
）若
S
为
Ω
n
的一个好子集，且
S
中恰有
2
n
﹣
1
个元素，求证：一定存在唯一一个
k∈{
1
，
2
，
…
，
n
}，使得
S
中所有元素的第
k
个坐标分量都是
1
．

2016
年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共
8
小题 ，每小题
5
分，满分
40
分）

1
．已知全集U=R
，
M=
{
x
|
x
≤
1
}，
P=
{
x
|
x
≥
2
}，则∁
U
（
M
∪
P
）
=
（ ）

A< br>．{
x
|
1
＜
x
＜
2
}
B
．{
x
|
x
≥
1
}
C
．{
x
|
x
≤
2
}
D
．{< br>x
|
x
≤
1
或
x
≥
2
}< br>
【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出
M
∪
P
，从而求出其补集即可．

【 解答】解：
M=
{
x
|
x
≤
1
}，
P=
{
x
|
x
≥
2
}，

∴< br>M
∪
P=
{
x
|
x
≤
1
或
x
≥
2
}，

∁
U
（
M
∪
P
）
=
{
x
|
1
＜
x
＜
2
}，

故选：
A
．


< br>2
．数列{
a
n
}的首项
a
1
=2
，且（
n
+
1
）
a
n
=na
n+1
，则
a
3
的值为（ ）

A
．
5 B
．
6 C
．
7 D
．
8
【考点】数列递推式．

【分析】由题意可得
a
n+1
=a
n
，分别代值计算即可．

【解答】解：数列{
a
n
}的首项
a
1
=2
，且（
n
+
1
）a
n
=na
n+1
，

∴
a
n+1
=a
n
，

∴
a2
=a
1
=2
×
2=4
，

∴
a
3
=
×
a
2
=
×
4=6
，< br>
故选：
B
．



3
．若点P
（
2
，
4
）在直线
l
：（
t
为参数）上，则
a
的值为（
A
．
3 B
．
2 C
．
1 D
．﹣
1
【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】由题意可得：，解得
a
即可得出．

【解答】解：∵，解得
a=
﹣
1
．

故选：
D
．



4
．在△
AB C
中，
cosA=
，
cosB=
，则
sin
（A
﹣
B
）
=
（ ）

A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．


）

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】根 据同角三角函数得到
sinA
，
sinB
的值；然后将其代入两角和与差的正 弦函数中
求值即可．

【解答】解：∵
0
＜
A
＜< br>π
，
0
＜
B
＜
π
，
cosA=，
cosB=
，

∴
sinA=
，
sinB=
，

∴
sin
（
A
﹣
B
）
=sinAcosB
﹣
cos AsinB=
×﹣×
=
．

故选：
B
．



5
．在（
x
+
a
）
5
（其中
a
≠
0
）的展开式中，
x
2
的系数与x
3
的系数相同，则
a
的值为（ ）

A
．﹣
2 B
．﹣
1 C
．
1 D
．
2
【考点】二项式系数的性质．

【分析】通过二项式定理， 写出（
x
+
a
）
5
（其中
a
≠
0
）的展开式中通项
T
k+1
=
用
x
2
的系 数与
x
3
的系数相同可得到关于
a
的方程，进而计算可得结论．
【解答】解：在（
x
+
a
）
5
（其中
a
≠
0
）的展开式中，通项
T
k+1
=
∵
x
2
的系数与
x
3
的系数相同，

∴
a
3
=a
2
，

x
5
﹣
k
a
k
，

x
5
﹣
k
a
k
，利
又∵
a
≠
0
，

∴
a=1
，

故选：
C
．



6
．函数
f
（
x
）
=lnx
﹣
x
+
1
的零点个数是（ ）

A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
【考点】函数零点的判定定理．

【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．

【解答】解：
f
′
（
x
）
=
﹣
1=
，∴当
x=1
时，函数
f
（
x
）取得最大值，
f
（
1
）
=0
﹣
1
+
1=0
，
因此函数f
（
x
）有且仅有一个零点
1
．

故选：
A
．



7
．
AB=8
，
BC=4
，
CD=4
，如图，在等腰梯形
ABCD
中，点
P
在线段
AD
上运动，则|
的取值范围是（ ）

+|

A
．[
6
，
4
+
4C．[
4
]
B
．[
4
，
8
]

【考点】平面向量数量积的运算．

，
8
]
D
．[
6
，
12
]

【分析】可过
D
作
AB
的垂线，且垂足为
E
，这样可分别以
EB
，
ED
为
x
轴，
y
轴，建立平
面直角坐标 系，根据条件即可求出
A
，
B
，
D
的坐标，从而可以得出直 线
AD
的方程为
，从而可设，且﹣
2
≤
x
≤
0
，从而可以求出向量的
坐标，从而得出
2
，
0
]上的值 域，即得出
，而配方即可求出函数
y=16
（
x
2
+
2x
+
4
）在[﹣
的取值范围，从而得出的取值范围．

【解答】解：如图，过
D
作
AB
的垂线，垂足为
E
，分别以
EB
，
ED
为
x
，
y
轴，建立平面
直角坐标系；

根据条件可得，
AE=2
，
EB=6
，< br>DE=
；

∴；

∴直线
AD
方程为：；

∴设，（﹣
2
≤
x
≤
0
）；

∴
∴
∴
=16
（
x
2
+
2x
+4
）

=16
（
x
+
1
）
2
+
48
；

∵﹣
2
≤
x
≤
0
；

∴
48
≤
16
（
x
+
1
）
2
+48
≤
64
；

即
∴
∴的范围为
故选：
C
．

；

；

．

，
；


；




8
．直线
l
：
ax
+y
﹣
1=0
与
x
，
y
轴的交点分别为
A
，
B
，直线
l
与圆
O
：
x
2< br>+
y
2
=1
的交点为
C
，
D
，给出 下面三个结论：

①
∀
a
≥
1
，< br>S
△
AOB
=
；
②
∃
a
≥
1
，|
AB
|＜|
CD
|；
③
∃
a
≥
1
，
S
△
COD
＜．

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A
．
①②
B
．
②③
C
．
①③
D
．
①②③

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】< br>①
当
a
≥
1
时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易 得结论
①
正确；
②
③
由三角形的面积公式可得
S
△
COD
=sin
∠
AOC
≤，当
a
≥
1< br>时，反证法可得结论
②
错误；
可得结论
③
正确．


①
当
a
≥
1
时，【解答】解：把
x=0
代入直线方程可得
y=a
，把
y=0
代入直线方程可得
x=
，
∴
S
△
AOB
=
×
a
×
=
，故结论
①
正确；

②
当
a
≥
1
时，|
AB
|
=
，故|
AB
|
2=a
2
+，

直线
l
可化为
a
2x
+
y
﹣
a=0
，圆心
O
到
l
的距离
d=
==
，故|
CD
|
2
=4
（
1
﹣
d
2
）
=4
[
1
﹣（a
2
+）]，

假设|
AB
|＜|
CD
|，则|
AB
|
2
＜|
CD
|
2
，即< br>a
2
+
整理可得（
a
2
+）
2
﹣< br>4
（
a
2
+
＜
4
（
1
﹣） ，

）+
4
＜
0
，即（
a
2
+﹣
2
）
2
＜
0
，

显然矛盾，故结论
②
错误；

S
△
COD
=
|
OA
||
OC
|
sin
∠
AOC=s in
∠
AOC
≤，

故∃
a
≥
1
，使得
S
△
COD
＜，结论
③
正确．

故选：
C
．



二、填空题（共
6小题，每小题
5
分，满分
30
分）

9
．已知
=1
﹣
i
，其中
i
为虚数单位，
a
∈R
，则
a=

1
．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据复数的代数运算性质，求出
a
的值即可．

【解答】解：∵
∴
a
+
i=
=1
﹣
i
，

∴
a=
﹣
i=
﹣
i=1
．

故答案为：
1
．



10
．某校为了解 全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了
100
名学生，统计他
们假期参 加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这
100
名学生中参加实践活
动 时间在
6
﹣
10
小时内的人数为
58
．


【考点】频率分布直方图．

【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵 坐标乘以组距，求出在
6
﹣
10
小时外的频率；
利用频率和为
1
，求出在
6
﹣
10
小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容 量，求出这
100
名同学中学习时间在
6
﹣
10
小时内的同 学的人数．

【解答】解：由频率分布直方图知：（
0.04
+
0. 12
+
a
+
b
+
0.05
）×
2=1，

∴
a
+
b=0.29
，

∴参加 实践活动时间在
6
﹣
10
小时内的频率为
0.29
×
2=0.58
，

∴这
100
名学生中参加实践活动时间在
6
﹣
10
小时内的人数为
100
×
0.58=58
．

故答案为：
58


11
．如图，
A
，
B
，
C
是⊙
O
上的三点，点
D是劣弧的中点，过点
B
的切线交弦
CD
的延
长线于点
E
．若∠
BAC=80
°
，则∠
BED=

60
°
．


【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】由弦切角定理可得∠
EBC=
∠
A
，再由圆的圆周角定理， 可得∠
BCE=
∠
A
，在△
BCE
中，运用三角形的内角和 定理，计算即可得到所求值．

【解答】解：由
BE
为圆的切线，由弦切角定理可得

∠
EBC=
∠
A=80
°
，

由
D
是劣弧的中点，可得∠
BCE=
∠
A=40
°
，

在△
BCE
中，∠
BEC=180
°
﹣∠
EBC< br>﹣∠
BCE
=180
°
﹣
80
°
﹣
40
°
=60
°
．

故答案为：
60
°
．

12
．若点
P
（
a
，
b
）在不等式组所表示的平 面区域内，则原点
O
到直线
ax
+
by
﹣
1=0< br>的距离的取值范围是
[
，
1]
．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求 出原点
O
到直线
ax
+
by
﹣
1=0
的< br>距离为，结合的几何意义得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，


原点
O
到直线
ax
+
by
﹣
1 =0
的距离为，

由图可知的最小值为|
OA
|
=1
，最大值为|
OB
|
=2
，

∴原点
O
到直线
ax
+
by
﹣
1=0
的距离的取值范围是[，
1
]．

故答案为：[，
1
]．



13
．已知点
A
（，），
B
（，
1
），< br>C
（，
0
），若这三个点中有且仅有两个点在函
数
f
（
x
）
=sin
ω
x
的图象上，则正数
ω
的最小值为
4
．

【考点】正弦函数的图象．

【分析 】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数
ω
的最小值，
从而 得出结论．

【解答】解：
①
若只有
A
、
B
两点在函数
f
（
x
）
=sin
ω
x
的图 象上，

则有
sin
（
ω•
）
=
，
sin
（
ω•
）
=1
，
sin
ω•
≠< br>0
，

则，

即，求得
ω
无解．

②
若只有点
A
（则有
sin
（
ω•
）
=
，），
C
（< br>，
sin
（
ω•
，
0
）在函数
f
（
x
）
=sin
（
ω
x
）的图象上，
）
=0
，
sin
（
ω•
）≠
1
，
故有，

即，求得
ω
的最小值为
4
．

③
若只有点
B
（
则有
sin
ω•
≠
，
1
）、
C
（
，
sin
ω
，
0
）在函数
f
（
x
）
=sin
ω
x
的图象上，

=0
，
=1
，
sin
ω
故有，即
，

求得
ω
的最小正值为
10
，

综上可得，
ω
的最小正值为
4
，

故答案为：
4
．

14
．正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1D
1
的棱长为
1
，点
P
，
Q
，
R
分别是棱
A
1
A
，
A
1
B
1
，
A
1
D
1
的中
点，以△
PQR
为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面
上，则这个正三棱柱的高h=
．


【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】分别取过
C
点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．

【解答】解：连结A
1
C
，
AC
，
B
1
C
，< br>D
1
C
，分别取
AC
，
B
1
C，
D
1
C
的中点
E
，
F
，
G
，连结
EF
，
EG
，
FG
．

由 中位线定理可得
PEA
1
C
，
QFA
1
C
，
RGA
1
C
．

又
A
1
C⊥平面
PQR
，∴三棱柱
PQR
﹣
EFG
是正三棱柱．

∴三棱柱的高
h=PE=A
1
C=
故答案为．

．




三、解答题（共
6
小题，满分
80
分）

15．已知函数
f
（
x
）
=
﹣
2sinx
﹣
cos2x
．

（
1
）比较
f
（），
f
（）的大小；

（
2
）求函数
f
（
x
）的最大值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（
1
）将
f
（），
f
（）求出大小后比较即可．

（
2
）将
f
（
x
）化简，由此得到最大值．

【解答】解：（
1
）
f
（
f
（
∵﹣
∴
f
（）
=
﹣，

＞﹣，

）＞
f
（），

）
=
﹣，

（< br>2
）∵
f
（
x
）
=
﹣
2sinx< br>﹣
cos2x
．

=
﹣
2sinx< br>﹣
1
+
2sin
2
x
，

=2
（
sinx
﹣）
2
﹣，

∴函数
f
（
x
）的最大值为
3
．



16
．某空调专卖店试销
A
、
B
、< br>C
三种新型空调，销售情况如表所示：


第二周

第四周


第一周

第三周

第五周

A
型数量（台）

11 10 15 A
4
A
5

B
型数量（台）

10 12 13 B
4
B
5

C
型数量（台）

15 8 12 C
4
C
5

（
1
）求
A
型空调前三周的平均周销售量；

（< br>2
）根据
C
型空调前三周的销售情况，预估
C
型空调五周的平 均周销售量为
10
台，当
C
型空调周销售量的方差最小时，求
C4
，
C
5
的值；

（注：方差
s
2
=
[
x
1
﹣）
2
+（
x
）
2
+
…
+（
x
n﹣）
2
]，其中为
x
1
，
x
2
，…
，
x
n
的平
均数）

（
3
）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随
机抽取一台，求抽 取的两台空调中
A
型空调台数
X
的分布列及数学期望．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】（
1
）根据平均数公式计算即可，

（
2
）根据方差的定义可得
S
2
=
[
2
（
c
4
﹣）+]，根据二次函数性质求出
c
4
=7
或
c
4
=8
时，
S
2
取得最小值，

（
3
）依题意，随机变量

的可能取值为
0
，
1
，
2
，求出
P
，列出分布表，求出数学期望．

【解答】解：（
1
）
A
型空调前三周的平均周销售量
=（
11
+
10
+
15
）
=12
台，< br>
（
2
）因为
C
型空调平均周销量为
10
台 ，

所以
c
4
+
c
5
=10
×< br>15
﹣
15
﹣
8
﹣
12=15
，

又
S
2
=
[（
15
﹣
10
）< br>2
+（
8
﹣
10
）
2
+（
12﹣
10
）
2
+（
c
4
﹣
10
）
2
+（
c
5
﹣
10
）
2
]，< br>
化简得到
S
2
=
[
2
（
c
4
﹣）+]，

因为
c
4
∈
N
，

所以
c
4
=7
或
c
4
=8
时，
S
2
取 得最小值，

此时
C
5
=8
或
C
5
=7
，

（
3
）依题意，随机变量

的可能取值为
0
，
1
，
2
，

P
（
X=0
）
=
P
（
X=1
）
=
P
（
X=2
）
=
×
×
×
=
+
，

×
=
，

=
，

随机变量的
X
的分布列，

X 0 1 2

P

+
1
×+
2
×
=
．

随机变量的期望
E
（
X
）
=0
×


17
．如图，等腰梯形
ABCD
中，
AB
∥CD
，
DE
⊥
AB
于
E
，
CF
⊥
AB
于
F
，且
AE=BF=EF=2
，
DE= CF=2
．将△
AED
和△
BFC
分别沿
DE
，< br>CF
折起，使
A
，
B
两点重合，记为点
M
， 得到
一个四棱锥
M
﹣
CDEF
，点
G
，
N
，
H
分别是
MC
，
MD
，
EF
的 中点．

（
1
）求证：
GH
∥平面
DEM
；

（
2
）求证：
EM
⊥
CN
；

（
3
）求直线
GH
与平面
NFC
所成角的大小．


【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1
）连结
NG
，
EN
，则可证四边形
ENGH
是平行四边形，于是
GH
∥
EN
，于是
GH
∥平面
DEM
；

（
2
）取
CD
的中点
P
，连结
PH
，则可证明
PH
⊥平面
MEF
，以
H
为原点建立坐标系，求出
=0
得出
EM
⊥
CN
；< br>
和的坐标，通过计算
（
3
）求出和平面
NFC
的法 向量，则直线
GH
与平面
NFC
所成角的正弦值为|
cos
＜
＞|，从而得出所求线面角的大小．

【解答】证明：（
1
）连结
NG
，
EN
，

∵
N
，
G
分别是
MD
，
MC
的中 点，∴
NG
∥
CD
，
NG=CD
．

∵< br>H
是
EF
的中点，
EF
∥
CD
，
E F=CD
，∴
EH
∥
CD
，
EH=CD
，

∴
NG
∥
EH
，
NG=EH
，

∴四边形
ENGH
是平行四边形，

∴
GH
∥EN
，又
GH
⊄平面
DEM
，
EN
⊂平面DEM
，

∴
GH
∥平面
DEM
．

（
2
）∵
ME=EF=MF
，∴△
MEF
是等边三 角形，

∴
MH
⊥
EF
，

取
C D
的中点
P
，连结
PH
，则
PH
∥
DE< br>，

∵
DE
⊥
ME
，
DE
⊥
EF
，
ME
∩
EF=E
，

∴
DE
⊥平面
MEF
，

∴
PH
⊥平面
MEF
．

以
H
为原点，以
HM
，
HF
，
HP
为坐标轴建立空 间直角坐标系，如图所示：

则
E
（
0
，﹣
1，
0
），
M
（
∴
∴
=
（
=< br>，
1
，
0
），
，
0
，
0
） ，
C
（
0
，
1
，
2
），
N
（
=
（﹣，，
1
）．

，﹣，
1
）．

+
1
×+
0
×
1=0
．

∴．

∴
EM
⊥
NC
．

（3
）
F
（
0
，
1
，
0
），< br>H
（
0
，
0
，
0
），
G
（
∴
=
（，，
1
），
=
（
0
，0
，
2
），
，，
1
），

=
（﹣，，
1
），

设平面
NFC
的法向 量为
=
（
x
，
y
，
z
），则
令< br>y=1
得
=
（
∴
cos
＜
，
1，
0
），

＞
==
．

，即．

∴直线
GH
与平面
NFC
所成角的正弦值 为
∴直线
GH
与平面
NFC
所成角为．

，




18
．已知函数
f
（
x
）
=e
x
（
x
2
+
ax
+
a
）．

（
1
）当
a=1
时，求函数
f
（
x
）的单调区间；

（
2
）若关于< br>x
的不等式
f
（
x
）≤
e
a
在[< br>a
，+
∞
）上有解，求实数
a
的取值范围；

（
3
）若曲线
y=f
（
x
）存在两条互相垂直的切线，求 实数
a
的取值范围．（只需直接写出结
果）

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】 （
1
）当
a=1
时，
f
（
x
）
= e
x
（
x
2
+
x
+
1
），求出其 导数，利用导数即可解出单调区间；

（
2
）若关于
x
的不 等式
f
（
x
）≤
e
a
在[
a
，+
∞
）上有解，即
x
2
+
ax
+
a
≤
e
a
﹣
x
，在[
a
，+
∞
）上
有解，构造两个函数
r
（
x
）
=x
2
+< br>ax
+
a
，
t
（
x
）
=e
a
﹣
x
，研究两个函数的在[
a
，+
∞
）上的单调
性，即可转化出关于
a
的不等式，从而求得
a
的范围；
< br>（
3
）由
f
（
x
）的导数
f
′（
x
）
=e
x
（
x
+
2
）（
x
+
a
），当
a
≠﹣
2
时，函数
y=f
′
（
x
）的图象与
x
轴有两个交点，故
f< br>（
x
）图象上存在两条互相垂直的切线．

【解答】解 ：（
1
）当
a=1
时，
f
（
x
）
=e
x
（
x
2
+
x
+
1
），
则
f
′
（
x
）
=e
x
（< br>x
2
+
3x
+
2
），

令
f
′
（
x
）＞
0
得
x
＞﹣
1或
x
＜﹣
2
；令
f
′
（
x
） ＜
0
得﹣
2
＜
x
＜﹣
1
．
∴函数
f
（
x
）的单调增区间（﹣
∞
，﹣
2< br>）与（﹣
1
，+
∞
），单调递减区间是（﹣
2
，﹣< br>1
）；

（
2
）
f
（
x
） ≤
e
a
，即
e
x
（
x
2
+
ax
+
a
）≤
e
a
，可变为
x
2
+
ax
+
a
≤
e
a
﹣
x
，
令
r
（
x
）
=x
2
+
ax
+
a
，
t
（
x
）
=e
a
﹣
x
，

当
a
＞
0
时，在[
a< br>，+
∞
）上，由于
r
（
x
）的对称轴为负，

故
r
（
x
）在[
a
，+
∞
）上增 ，
t
（
x
）在[
a
，+
∞
）上减，

欲使
x
2
+
ax
+
a
≤
e< br>a
﹣
x
有解，

则只须
r
（
a）≤
t
（
a
），即
2a
2
+
a
≤
1
，

解得﹣
1
≤
a
≤，故
0
＜
a
≤；

当
a
≤
0
时，在[
a
，+
∞
）上，由于
r
（
x
）的对称轴为 正，

故
r
（
x
）在[
a
，+
∞
）上先减后增，
t
（
x
）在[
a
，+
∞< br>）上减，

欲使
x
2
+
ax
+
a< br>≤
e
a
﹣
x
有解，只须
r
（﹣）≤
t
（﹣），

即﹣+
a
≤
e
，

+
a
≤
e
显然成立．

当
a
≤< br>0
时，﹣
综上知，
a
≤即为符合条件的实数
a
的取值 范围；

（
3
）
a
的取值范围是{
a
|< br>a
≠
2
，
a
∈
R
}．



19
．已知点
A
（
x
1
，
y< br>1
），
D
（
x
2
，
y
2
） （其中
x
1
＜
x
2
）是曲线
y
2
=4x
（
y
≥
0
）上的两点，
A
，
D两点在
x
轴上的射影分别为点
B
，
C
，且|
B C
|
=2
．

（Ⅰ）当点
B
的坐标为（
1
，
0
）时，求直线
AD
的斜率；

（Ⅱ）记△OAD
的面积为
S
1
，梯形
ABCD
的面积为
S
2
，求证：＜．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析 】（Ⅰ）由
B
的坐标，可得
A
的坐标，又|
BC
|
=2
，可得
D
的坐标（
3
，
2
），运用
直 线的斜率公式，即可得到所求值；

Mm
）（Ⅱ）法一：设直线
AD
的方程为
y=kx
+
m
．（
0
，，运用三角形的面积公式可 得
S
1
=
|
m
|，
将直线方程和抛物线的方程联立 ，运用判别式大于
0
和韦达定理，以及梯形的面积公式可得
S
2
，进 而得到所求范围；

法二：设直线
AD
的方程为
y=kx
+
m
，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到
直线的距离公式可得三角形的 面积
S
1
=
|
m
|，梯形的面积公式可得
S
2
，进而得到所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）由
B
（
1
，
0
），可得
A
（
1
，
y
1），

代入
y
2
=4x
，得到
y
1< br>=2
，

又|
BC
|
=2
，则
x< br>2
﹣
x
1
=2
，可得
x
2
=3，

代入
y
2
=4x
，得到
y
2=2
，

则；

（Ⅱ）证法一：设直线
AD
的方程为
y=kx
+
m
．
M
（
0，
m
），

则
，得
k
2
x
2
+（
2km
﹣
4
）
x
+
m
2=0
，

．

由
所以，

又
又注意到，所以
k
＞
0
，
m
＞
0
，

，

所以
==
，

因为△
=16﹣
16km
＞
0
，所以
0
＜
km
＜< br>1
，

所以．

证法二：设直线
AD
的方程 为
y=kx
+
m
．

由，得
k
2
x
2
+（
2km
﹣
4
）
x
+
m< br>2
=0
，

所以，

，

点
O
到直线
AD
的距离为，

所以
又
又注意到
，

，

，所以
k
＞
0
，
m
＞
0
，

所以，

因为△
=16
﹣
16km
＞
0
，所以
0
＜
km
＜
1
，

所以．



20
．已知集合
Ω
n
=
{
X
|
X=
（
x
1
，
x2
，
…
，
x
i
，
…
，
xn
），
x
i
∈{
0
，
1
}，
i=1
，
2
，
…
，
n
}，其中
n
≥
3
．∀
X=
{
x
1
，
x
2，
…
，
x
i
，
…
，
x
n}∈
Ω
n
，称
x
i
为
X
的第
i
个坐标分量．若
S
⊆
Ω
n
，且满足
如下两条性质 ：

①
S
中元素个数不少于
4
个；

②< br>∀
X
，
Y
，
Z
∈
S
，存在
m
∈{
1
，
2
，
…
，
n
}，使得
X
，
Y
，
Z
的第
m
个坐标分量是
1
；

则称
S
为
Ω
n
的一个好子集．

（
1
）
S=
{
X
，
Y
，
Z
，W
}为
Ω
3
的一个好子集，且
X=
（
1
，
1
，
0
），
Y=
（
1
，
0< br>，
1
），写出
Z
，
W
；

（
2
）若
S
为
Ω
n
的一个好子集，求证：
S
中元素个数不超过
2
n
﹣
1
；

（
3< br>）若
S
为
Ω
n
的一个好子集，且
S
中恰有< br>2
n
﹣
1
个元素，求证：一定存在唯一一个
k
∈{< br>1
，
2
，
…
，
n
}，使得
S
中所有元素的第
k
个坐标分量都是
1
．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】（
1
）根据好子集的定 义直接写出
Z
，
W
，

（
2
）若
S
为
Ω
n
的一个好子集，考虑元素
X
′
=
（
1
﹣
x
1
，
1
﹣
x
2
，
…
，
1
﹣
x
i
，
…
，
1
﹣
x
n
），进行
判断证明即可．

（
3
）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．

【 解答】解：（Ⅰ）
Z=
（
1
，
0
，
0
），
W=
（
1
，
1
，
1
），
…
2
分

（Ⅱ）对于
X
⊆
Ω
，考虑元素
X
′
=
（
1
﹣
x
1
，
1
﹣
x
2
，
…
，
1
﹣
x
i
，
…
，
1
﹣
x
n
），

显然
X
′
∈
Ω
n
，∀
X
，
Y
，X
′
，对于任意的
i
∈{
1
，
2
，< br>…
，
n
}，
x
i
，
y
i
，
1
﹣
x
i
不可能都为
1
，

可得
X
，
X
′
不可能都在好子集
S
中
…
4
分

又因为取定
X
，则
X
′
一定存在 且唯一，而且
X
≠
X
′
，

且由
X
的定义知道，∀
X
，
Y
∈
Ω
，
X
′=Y
′
⇔
X=Y
…
6
分

这样，集合
S
中元素的个数一定小于或等于集合
Ω
n
中元素个数的一半，

而集合
Ω
n
中元素个数为
2
n
，所以
S
中元素个数不超过
2
n
﹣
1
；
…
8分

（Ⅲ）∀
X=
{
x
1
，
x
2
，
…
，
x
i
，
…
，
x
n
}，．∀
Y=
{
y
1
，
y
2
，
…
，
y
i
，
…
，
y
n
}∈
Ω
n
，

定义元素
X
，
Y
的 乘积为：
XY=
{
x
1
y
1
，
x
2
y
2
，
…
，
x
i
y
i
，
…
，
x
n
y
n
}，显然
XY
∈
Ω
n
，．

我们证明：

“
对任意的X=
{
x
1
，
x
2
，
…
，< br>x
i
，
…
，
x
n
}∈
S
，

都有
XY
∈
S
．
”

假设存在
X
，
Y
∈
S
，使得
XY
∉
S，

则由（Ⅱ）知，（
XY
）
′
=
{
1
﹣
x
1
y
1
，
1
﹣
x
2
y
2
，
…
，
1
﹣
x
i
y
i
，
…
1
﹣
x
n
﹣
1
y
n
﹣
1
，
1
﹣
x
n
y
n
}∈
S
，

此时，对于任意的
k
∈{
1
，
2
，
…
n
}，
x
k
，
y
k
，
1
﹣
x
k
y
k
不可能同时 为
1
，矛盾，

所以
XS
∈
S
．

因为
S
中只有
2
n
﹣
1
个元素，我们记< br>Z=
{
z
1
，
z
2
，
…
，
z
i
，
…
，
z
n
}为
S
中所有元素的乘积，

根据上面的结论，我们知道
=
{
z
1
，
z
2
，
…
，
z
i
，
…
，
z
n
}∈
S
，

显然这个元素的坐标分 量不能都为
0
，不妨设
z
k
=1
，

根据
Z
的定义，可以知道
S
中所有元素的
k
坐标 分量都为
1
…
11
分

下面再证明
k
的唯一性：

若还有
z
t
= 1
，即
S
中所有元素的
t
坐标分量都为
1
，

所以此时集合
S
中元素个数至多为
2
n
﹣
2< br>个，矛盾．

所以结论成立
…
13
分

2016
年
9
月
3
日