那些说到心坎的文字-实习目的

立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
（一）立体几何中平行问题
证明直线和平面平行的方法有：
①利用定义采用反证法；
②平行判定定理；
③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法
在使用判定定理时关键是确定出面内的
与面外直线平行的直线.
常用具体方法：中位线和相似
例1、 P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证：PC∥面BDQ.

证明：如图，连结AC交BD于点
O
.
∵ABCD是平行四边形，
∴A
O
=
O
C.连结
O
Q，则
O
Q在平 面BDQ内，
且
O
Q是△APC的中位线，
∴PC∥
O
Q.
∵PC在平面BDQ外，
∴PC∥平面BDQ.
例2、在棱长为a的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，设M、N、E、F分别是棱A
1
B
1
、A
1
D
1
、C
1
D
1
、
B
1C
1
的中点.求证：
(1)E、F、B、D四点共面；
（2）面AMN∥面EFBD.
1

证明:(1)分别连结B
1
D
1
、ED、FB，如图，
则由正方体性质得 B
1
D
1
∥BD.
∵E、F分别 是D
1
C
1
和B
1
C
1
的中点，
∴EF∥
11
B
1
D
1
.∴EF∥BD.
22
∴E、F、B、D对共面.
（2）连结A
1
C
1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点
O
，分别连结PA、Q
O.
∵M、N为A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点，
∴MN∥EF，EF

面EFBD.
∴MN∥面EFBD.
∵PQ∥A
O
,
∴四边形PA
O
Q为平行四边形.
∴PA∥
O
Q.
而
O
Q

平面EFBD，
∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN

面AMN，
∴平面AMN∥平面EFBD.
例3如图（1），在直角梯形P
1
DCB中 ，P
1
DBC，CD⊥P
1
D，且P
1
D=8，BC=4， DC=4
6
，
A是P
1
D的中点，沿AB把平面P
1
AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—
CD—B成45°，设E、F分别是线段 AB、PD的中点.
求证：AF平面PEC；

证明：如图，设PC中点为G，连结FG，
2

则FGCDAE，且FG=
∴四边形AEGF是平行四边形
∴AFEG，
1
CD=AE，
2
又∵AF

平面PEC，EG

平面PEC，
∴AF平面PEC
例4、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、 BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥面BCE.

证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,
因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.
又∵AP=DQ,
∴PE=QB.
又∵PM∥AB∥QN,
∴
∴
PMPE
QNBQ
,.


ABAE
DCBD
PM
QN
.

ABDC
∴PM∥QN.四边形PMNQ为平行四边形.
∴PQ∥MN.
又∵MN

面BCE，PQ

面BCE，
∴PQ∥面BCE.
证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.
∵AD∥BC,
∴
DQAQ

.
QBQK
又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，
3

∴
AQ
AP

.则PQ∥EK.
QKPE
∴EK

面BCE，PQ

面BCE.
∴PQ∥面BCE.
例5、正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。
求证：MN 平面BCE

证明：过N作NPAB交BE于P，
过M作MQAB交BC于Q
CMQM

AB

AC

BNNP
NPMQ
BFEF

又 ∵
NPABMQ
MQPN
MNPQ


MN
面
BCE
PQ
面
BCE



例6、



，线段GH、GD、HE交

、
于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，
BH=16，
S
AEC
72
，求
S

BFD
。
G
E
α
A
C
F
β
B
D
H

证明：
GDGHGACBD


EACFBDHEHAHAEBF



ACGA9

BDGB
21

4

AC∥BD

AE∥BF

BFHB16

AEHA
28

S
AEC
S
BFD
∴
1
ACAEsin A
373
2

1
744
BFBDsinB

2
S
BFD
96

5

立体几何每日一练基础部分
线面平行问题（中位线）
1 .在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，P、Q分别是AD
1
、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥
平面DCC1
D
1
。
C
1
B
1
D
1
A
1


P
D
Q
A
B
C

2．如图所示，线段ＡＢ ，ＣＤ所在直线是异面直线，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是线段ＡＣ，ＣＢ，
ＢＤ，ＤＡ的中点.(1) 求证：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面并且所在平面平行于直线ＡＢ和ＣＤ；(2) 设
Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ和ＣＤ上任意一点，求证：ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分


3.如图所示，在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，M、 N分别是BC和A
1
B
1
的中点.求证：MN∥平面
AA
1
C
1
.







4.如图所示，已知S是正三角形
SA=SB=SC，SG为△SAB上
D、E、F分 别是AC、BC、SC
置关系，并给予证明.




5 .正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.（三种方法）
6

ABC所在平面外的一点，且
的高，
的中点，试判断SG与平面DEF的位

6. 如图所示，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，D是BC的中点，试判断A
1
B与
平面ADC
1
的位置关系，并证明你的结论.






7.设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ
１
的面ＡＡ
１
Ｄ
１
Ｄ、面A
1
B
1
C
1
D< br>1
的中心.证明：ＰＱ∥平面AA
1
B
1
B








7

线面平行问题（类中位线）
1、如图，在正四棱锥S—ABCD中 ，底面ABCD的边长为
a
，侧棱长为2
a
，P、Q分别在
BD和S C上，且BP:PD=1:2， PQ∥平面SAD，求线段PQ的长。







D
P
A
B
S
Q
C

2、如图所示,已知正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ不共面，ＡＮ＝ＤＭ.





求证：ＭＮ∥平面ＢＣＥ.


3、如图 所示，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点N在BD上，点 M在B
1
C上，且CM=ND，
求证：MN∥平面AA1
B
1
B.








4、如图所示，正四棱锥P—ABCD
BD上的点，且PM∶MA=BN ∶
求证：直线MN∥平面PBC；

的各棱长均为13，M，N分别为PA，
ND=5∶8.
8

面面平行问题
1、正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中．
(1)求 证：平面
A
1
BD
∥平面
B
1
D
1
C
；
(2)若
E
、
F
分别是
AA
1< br>，
CC
1
的中点，求证：平面
EB
1
D
1< br>∥平面
FBD
．







D
1
A
1
E
A

D
B
C
1
F
G
C
B
9．已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S△A′B′C′：S△ABC .





2.如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H分别是BC、
CC
1
、C
1
D
1
、A
1
A的中 点.求证：
（1）BF∥HD
1
；
（2）EG∥平面BB
1
D
1
D；
（3）平面BDF∥平面B
1
D
1
H.





9.如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为底面ABCD的中心，P是DD
1的中点，设
Q是CC
1
上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D
1BQ∥平面PAO？

9

立体几何中垂直问题
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线 、矩形（含正方形）、
90
o
、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平 行线、射影定理（三垂线定理）、
线面垂直、面面垂直等
1、如图1，在正方体
AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
CC
1
的中点，
AC
交
BD
于点
O
，
求证：
AO
平面
MBD
．
1




2、如图2，
P
是△
ABC
所在平面外的一点 ，且
PA
⊥平面
ABC
，平面
PAC
⊥平面
PBC
．
求证：
BC
⊥平面
PAC
．





3、如图所示，
ABCD
为正方形，
SA< br>⊥平面
ABCD
，过
A
且垂直于
SC
的平面分别交< br>求证：
AESB
，







10

SB，SC，SD
于
E，F，G
．
AGSD
．

4、如图2，在三棱锥
Ａ
－
BCD
中，< br>BC
＝
AC
，
AD
＝
BD
，作
BE
⊥
CD
，
Ｅ
为垂足，作
AH
⊥
BE
于
Ｈ
．
求证：
AH
⊥平面BCD



5、如图３，
AB
是圆
Ｏ
的直径，
Ｃ
是 圆周上一点，
PA
平面
ABC
．若
意一点，
AE
⊥
PC
，
Ｅ
为垂足，
Ｆ
是
PB
上任
求证：平面
AEF
⊥平面
PBC
．




6、ABC—A′B′C′是正三棱
CC′上的一点，BD＝ 12a，
（1）求证：平面ADE⊥平面
（2）求截面△ADE的面积．



7、如图，在三棱锥S—ABC
面SBC．求证：AB⊥BC；


8、如图，PA⊥平面ABCD，四边
N分别是AB、PC的中点．
（1）求平面PCD与平面ABCD
（2）求证：平面MND⊥平面PCD


11

柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，
EC＝a．
ACC′A′；
中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平
形ABCD是矩形，PA= AD=a，M、
所成的二面角的大小；

9、如图，正方 体ABCD—
BC、C
1
D
1
、B
1
C
1
的中点．
（1）求证：平面MNF⊥平面
（2）求二面角M—EF—N的
ENF．
平面角的正切值．
A
1
B
1
C
1
D1
中，E、F、M、N分别是A
1
B
1
、
12

（二）立体几何中垂直问题
证垂直的几种方法：
①勾股定理
②等腰（边）三角形三线合一
③菱形对角线、矩形（含正方形）、90
o
④相似三角形（与直角三角形）
⑤圆直径对的圆周角
⑥平行线
⑦射影定理（三垂线定理）
⑧线面垂直
⑨面面垂直。等
1、如图1，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
CC
1 的中点，
AC
交
BD
于点
O
，求证：
AO
平面
MBD
．
1

证明：连结
MO
，
A
1
M
，
ACA
，
AA
∵
DB
⊥
A
1
A
，
DB
⊥
AC
，
1
∴
DB
⊥ 平面
A
1
ACC
1
，
而
A
1
O 
平面
A
1
ACC
1

∴
DB
⊥
AO
1
．
设正方体棱长为
a
，
3
2
3
a
，
MO
2
a
2
．
24
9
22
AMa
．
在Rt△
AC< br>中，
M
1
11
4
则
A
1
O
2
13

∵
AO
1
2
MO
2
A
1
M
2
，（勾股定理）
∴
A
1
OOM
．
∵
OM
∩
DB
=
O
，
∴
AO
1
⊥平面
MBD
．
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
利用面面垂直寻求线面垂直
2、如图2，
P
是△
ABC
所 在平面外的一点，且
PA
⊥平面
ABC
，平面
PAC
⊥平面
PBC
．
求证：
BC
⊥平面
PAC
．

证明：在平面
PAC
内作
AD
⊥
PC
交
P C
于
D
．
∵平面
PAC
⊥平面
PBC
，且两平面交
于
PC
，
AD
平面
PAC
，且
AD
⊥
P C
，
∴
AD
⊥平面
PBC
．
又∵
BC
平面
PBC
，
∴
AD
⊥
BC
．
∵
PA
⊥平面
ABC
，
BC
平面
ABC
，
∴
PA
⊥
BC
．
∵
AD
∩
PA
=
A
，
∴
BC
⊥平面
PAC
．
3、如图所示，
ABCD
为正方形，
SA
⊥平面
ABCD
，过
A
且垂直于< br>SC
的平面分别交
SB，SC，SD
于
E，F，G
．
求证：
AESB
，
AGSD
．
14

证明：∵
SA
平面
ABCD
，
∴
SABC
．
∵
ABBC
，
∴
BC
平面
SAB
．
又∵
AE
平面
SAB
，
∴
BC
∵
SC

AE
．

平面
AEFG
，
∴
SCAE
．
∴
AE
平面
SBC
．
∴
AESB
．
同理证
AGSD
．
4、如图2，在三棱锥
Ａ
－
BCD
中，
BC
＝
AC
，
AD
＝
BD，作
BE
⊥
CD
，
Ｅ
为垂足，作
AH
⊥
BE
于
Ｈ
．
求证：
AH
⊥平面BCD

证明：取
AB
的中点
Ｆ
，连结
CF
，< br>DF
．
∵
AC
∴
CF
BC
，
AB
．
∵
ADBD
，（等腰三角形三线合一）
∴
DFAB
．
又
CFDFF
，
∴
AB
平面
CDF
．
15

∵
CD
平面
CDF
，
∴
CDAB
．
ABB
， 又
CDBE
，
BE
∴
CD
平面
ABE
，
CD
∵
AH

AH
．
CD
，
AHBE
，
CDBEE
，
∴
AH
平面
BCD
．
5、如图３，
AB
是圆Ｏ
的直径，
Ｃ
是圆周上一点，
PA
平面
ABC
．若
AE
⊥
PC
，
Ｅ
为垂足，
Ｆ
是< br>PB
上任意一点，求证：平面
AEF
⊥平面
PBC
．

证明：∵
AB
是圆
Ｏ
的直径，
∴
ACBC
．（直径对的圆周角）
∵
PA
平面
ABC
，
BC
平面
ABC
，
∴
PABC
．
∴
BC
平面
APC
．
∵
BC
平面
PBC
，
∴平面
APC
⊥平面
PBC
．
∵
AE
⊥
PC
，平面
APC
∩平面
PBC
＝
PC
，
∴
AE
⊥平面
PBC
．
∵
AE
平面
AEF
，
∴平面
AEF
⊥平面
PBC
．
6、ABC—A′B′C′ 是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD
＝12a，EC＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面积．
16

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，
则MN∥A′A∥B′B，（平行证共面）
∴B′、M、N、B共面，
∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，
∴B′M⊥A′C′，
又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′．
设MN交AE于P，
∵CE＝AC，
a
∴PN＝NA＝
2
．
1
又DB＝
2
a，
∴PN＝BD．
∵PN∥BD，
∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，
BN∥B′M，
∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，
而PD

平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，
3
而PD＝B′M＝
2
a，AE＝
2
a．
17

1
∴S
△ADE
＝
2
×AE×PD
1
36
2
2aaa
24
＝
2
×．
7、如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
求证：AB⊥BC；

【证明】作AH⊥SB于H，
∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AH⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，
∴BC⊥SB，（射影定理）
又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．
∴BC⊥AB．
8、如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a， M、N分别是AB、PC的中
点．
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；
（2）求证：平面MND⊥平面PCD

（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，
故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，
18

∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN
∴四边形ENMA是平行四边形，
∴EA∥MN．
∵AE⊥PD，AE⊥CD，（平行证垂直）
∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，
∵MN

平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD．
1
2
CD AM，
9、如图，正方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、 F、M、N分别是A
1
B
1
、BC、C
1
D
1、B
1
C
1
的中
点．
（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．
（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．

（1）【证明】∵M、N、E是中点，
∴
EB
1
B< br>1
NNC
1
C
1
M

∴
ENB
1
MNC
1
45

∴
MNE90
即MN⊥EN，
（角度度证垂直）
又N F⊥平面A
1
C
1
，
MN平面A
1
C
1

∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．
∵MN

平面MNF，
∴平面MNF⊥平面ENF．
（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．
∵MN⊥平面ENF，
NH为MH在平面ENF内的射影，
∴由三垂线定理得MH⊥EF，（射影定理）
19

23
∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt △MNH中，求得MN=
2
a，NH=
3
a，
MN6
6< br>
2
，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为
2
． ∴tan∠MHN=
NH



20