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江苏省2013年普通高校对口单招文化统考
数 学 试卷

本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分。第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷 3
页至 8 页。两卷满分150分。考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（共48分）

注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目。
2．用2B铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑。答案不涂写在答题卡上无效。
一 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正
确答案，请在答 题卡上将所选的字母标号涂黑）
1． 若集合
M{x|x20}
，
N {x|x30}
，则
MN
等于 （ C ）
A．（-∞，-2） B．（-∞，3） C．（-2，3） D．（3，+∞）
2．如果向量
a(2,3)
，
b(3,2)
，那么 ( B )
0
A．
ab
B．
ab
C．
a
与
b
的夹角为
60
D．
|a|1

3．在△ABC中，“
sinA
1
0< br>”是“
A30
”的 ( B )
2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若实数
a,b,c
成等比数列，则函数
yaxbxc
的图 像与
x
轴的交点个数是 ( A )
A．0 B．1 C．2 D．1或者2
5．若
ab0
，则下列不等式成立的是 ( A )
A．
33
B．
ab
2
11
11

C．
3
a
4
a
D．
()
a
()
b

44
ab
3x2
倾斜角的2倍，且过点（0，5）,则直线
l
的方程是
( B ) 6．若直线
l
的倾斜角是直线
y
A．
3xy50
B．
3xy50

C．
3x3y150
D．
3x3y150

3
，那么
cos2

等于 ( D )
5
167167
A．

B．

C． D．
25252525
7．如 果
sin(



)
8．若抛物线
y2px< br>
(p0)
的准线与圆
(x3)y16
相切，则
p< br>的值为( C )
2
22

A．
1
B．1 C．2 D．4
2
3
9．在二项式
(2x
1
x
)
7
的展开式中，常数项等于 ( D )
A．-42 B．42 C．-14 D．14
10．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么其母线与底面所成角的大小是 ( C )
A．
30
B．
45
0
C．
60
D．
75

11．如函数
f(x )2sin(wx
A．关于点
(
C．关于点
(
000

3
)

(w0)
的最小正周期为

，则该函数的图像 ( A )

3
4
,0)
对称 B．关于直线
x
,0)
对称 D．关于直线
x
2

4
对称
对称

3
12．已知点
M
的坐标为
(3,2)
，
F
为抛 物线
y2x
的焦点，点
P
在抛物线上移动。当
|PM||PF|
的值最小时，点
P
的坐标为 （ D ）
A．
(0,0)
B．
(,1)
C．
(,3)
D．
(2,2)

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若
a,b
是 方程
x30x1000
的两个实根，则
lgalgb
2 。
14．已知角

的终边过点
P(3,m)
，且
sin


2
1
2
9
2
43
，则
cos




。
55
15．若函数
f(x)

16．当
a


1x0
，则
f(f(x))
1

0x0
22
21
时，直线
l:xy3 0
被圆
C:(xa)(y2)4(a0)

截得的弦长为
23
。
x
2
y
2
17．设
a,b{1,2,3,4}
，事件
A
｛方程
2

2
1
表示焦点在
x
轴上的椭圆｝，那么
ab
P(A)

3
。
8
x
18．已知函数< br>f(x)()
的反函数是
f
1
3
1
(x)
，若
f
1
(a)f
1
(b)2
，则
1 1
的

a
2
b
2
最小值是
2
。
9

三、解答题（本大题7小题，共78分）
19．（6分）已知复数
(m1)(|2m1|2)i(mR)
在复平 面上对应的点位于第三象
限，求
m
的取值范围。


m10
解 由题意得

-----------------------2分
2m120


由①得
m1
-----------------------1分
由②得
22m12,
由上得


13
m
-----------------------2分
22
1
m1
-----------------------1分
2

20．（10分）已知
ABC
的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若
tanAtanB 33tanAtanB,a2,c19

求：（1）角C的值； （2）
ABC
的面积S

解 （1）由题意得
tan(AB)
tanAtanB33tanAtanB
3
-----------------------2分
1tanAtanB1tanAtanB
又
0AB

,
所以
AB
222

3
,C
2

---------------------2分
3
（2）因为
(19)2b22bcos
解得
b3,
2

2
,b2b150
----------------3分
3
b5
（舍去） -------------------1分
33

-------------------2分
2

S
12

23sin
23
21．（10分）已知
{a
n
}是各项为正数的等比数列，若
a
2
a
3
8a
1
（1）求
a
4

lg
（2）设
b
n
o
2
b
n
}
的前
n
项和
S
n

a
n
，
{b
n
}
是等差数列；①求证：② 设
b
1
9
，求数列
{
a
4
8
--------------------------4分 解（1）由题意得
a
2a
3
8a
1
a
1
a
4
,a< br>1
0,
（2）设数列
{a
n
}
的公比为
q0
，则
b< br>n1
b
n
log
2
a
n1
log
2
a
n
log
2
a
n1
log2
q
是一个常数，
a
n

所以数列
{b
n
}
是等差数列 -----------------------------3分
因为
b
4log
2
a
4
log
2
83
，又
b
1
9,
设数列
{b
n
}
的公差为
d

则
b
4
b
1
3d,d2
------------------------------1分
S
n
9n

n(n1)
(2)n
2
10n
-----------------------------2分
2
2
22．（ 12分）设二次函数
f(x)ax(b2)x2b3a
是定义在
[6,2 a]
上的偶函数
（1）求
a,b
的值
（2）解不等式
( )
1
2
f(x)
2
2x
；
（3）若函数g(x)f(x)mx4
的最小值为
4
，求
m
的值
解 （1）由题意得


b20
-----------------------3分
2a60

解得
b2,a3
----------------------1分
（2）由（1）知
f(x)3x
，于是有
5

()
2
1< br>2
2x
()
2x
,3x
2
52x
-----------------------2分
2
5
解得
1x
----------------------2分
3
3x
2
5
2
1
2
（3）由题意得
g(x)3xmx1,
12m
2
4,
12
--------------------2分

m6
-------------------2分


23．（14分）某职业学校毕 业生小王参加某公司招聘考试，共需回答4个问题。若小王答对
每个问题的概率均为
2
，且每个问题回答正确与否互不影响
3
（1）求小王答对问题个数

的数学 期望
E

和方差
D

；
（2）若每答对一题得10分，答错或不答得0分，求小王得分

的概率分布；
（3）若达到24分被录用，求小王被录用的概率。
解 （1）
E

4
28

-----------------------2分
33

（2）由题意得

的取值为40,30,20,10,0 ----------------1分
228
D

4(1)
-----------------2分
339
所以

的概率分布为


40
P
16
4
2
4
P(

40)C
4
()
-----------------1分
381
232
3
2
3
-----------------1分
P(

30)C
4
()(1)
3381
224
2
2
2
P(
20)C
4
()(1)
2

-----------------1分
3381
28
1
2
1< br>P(

10)C
4
()(1)
3

-----------------1分
3381
21
0
P(

0)C
4
(1)
4

-----------------1分
381
30 20 10 0
16

81
32

81
24

81
8

81
1

81
--------------------------------1分
（3）
P(< br>
24)P(

40)P(

30)
1 6
-------------------------------3分
2 7
24.（12分）在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，底面边长为2，侧棱长为
3
，
D
是
AC
的 中
点
（1） 求三棱锥
A
1
ABC
的体积
（2） 求证：直线
B
1
C
平面
A
1
BD

（3） 求二面角
A
1
BDA
的大小
解：(1)∵正 三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
底面边长为2 ∴
S
ABC

又
A
1
A
1

∴
V
A
1
ABC

1
22si n60
0
3

2
3

1
.S
ABC
.AA
1
1
-----------------------------4分
3
（2）连结
AB
1
，交
AB
1
于
O

∵正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
∴
O
为
AB
1
的中点，又
D
为
AC< br>的中点
∴
OD
为
AB
1
C
的中位线，∴
ODB
1
C

又
OD
平面
A
1
BD

∴
B
1
C
平行平面
A
1
BD
-------------------------------4分
(3) ∵正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
，∴
BDAD
又
AA
1

平面
ABC

∴
ADA1
为三面角
A
1
BDA
的平面角
又
AA
1
3
，
AD1
，∴
ADA
1
60
0
-------------------4分
y
2
x
2
25.（ 14分）设双曲线
2
1
的焦点分别为
F
1
,F
2
,离心率为2
a3
（1）求双曲线的标准方程及渐近线
l
1,l
2
的方程；
（2）若A,B分别是
l
1
,l2
上的动点，且
2AB5F
1
F
2
.求线段AB中点 M的轨迹方程，并
说明轨迹是什么曲线。
解 （1）设焦点坐标分别为
F
1
(0,c),F
2
(0,c)
,则

c

2
---------------------------2分

a

a
2
3c
2

解得
c2,a1

2
x
2
1
----------------------2分 双曲线的标准方程
y
3
渐近 线
l
1
,l
2
的方程分别为
x3y0,x3y0
--------------------2分
（2）因为
F
1
F
2
4
，所以
2AB5F1
F
2
20,
设
A(3y
1
,y
1
),
AB10
---------------1分
B(3y
2
,y
2
)

22
所以
3(y
1
y
2
)(y
1
y
2
) 10
① -----------2分
设AB的中点
M(x,y)
，则
x
3y
1
3 y
2
,
2
y
y
1
y
2

2
所以
y
1
y
2

2
x,y
1
y
2
2y
② -------------2分
3

x
2
y
2
把②带人①，得
1
------------------2分
25
75
3
因此AB的中点
M
轨迹为椭圆。 ------------------1分