上海电机学院招生网-好好学习的名言

上海交通大学附属中学
高二第二学期期末考试数学试卷
（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1. 设复数
z< br>满足
(1i)z2i
,则
z
______
1i______。
2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。
3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形，则这个圆锥的体积是
4. 如图,在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1< br>中,
AA
1
6
,异面直线
BC
1
与
AA
1
所成角
的大小为
2
3

。
3
A
1

C
1

B
1


,该三棱柱的体积为
183
。
6
1
5.
(2x)
6
的展开式中的常数项是 60 。
x
A
B
C
第4题
6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。
7. 将三个1、 三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法
共有 12 种。
8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能 用相同的颜色，那么不同的
染色方法共有_____24________种。
9. 从< br>n
个正整数
1,2,L,n
中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于< br>5
的概率为
10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为
1
,则
n
8 。
14
13
。
25

A
B
11. 设复数
zxyi(x,yR ,y0)
，
z2zR
，
z
在复平面上所对应点在
直线
yx
上，则
z
=
2
。
12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，
则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为
2
C
D
10
。
5
第12题
13. 在直三棱柱< br>A
1
B
1
C
1
ABC
中，底面ABC为直 角三角形，
BAC

2
，
ABACAA
1
1
. 已知Ｇ
与Ｅ分别为
A
1
B
1
和
C C
1
的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段
AC
和
AB
上的动点（不包 括端点）. 若
GDEF
，
则线段
DF
的长度的最小值为
5
。
5

1

【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为
ｘ
轴，ＡＣ为
ｙ
轴，ＡＡ< br>１
为ｚ轴，则
F(t
1
,0,0)
uuur
111< br>（
0t
1
1
），
E(0,1,)
，
G( ,0,1)
，
D(0,t
2
,0)
（
0t
21
）。所以
EF(t
1
,1,)
，
222uuur
uuur
11
GD(,t
2
,1)
。因 为
GDEF
，所以
t
1
2t
2
1
， 由此推出
0t
2

。又
DF(t
1
,t< br>2
,0)
，
22
uuur
uuur
2
21
5
2
22

DFt
1
t
25t
2
4t
2
15(t
2
)
，从 而有
DF
。
min
55
5
14. 一个半径为1的小球 在一个内壁棱长为
46
的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球
表面永 远不可能接触到的容器内壁的面积是
723
．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为
r
，作平面A
1
BC
平面
ABC
，与
11
小球相切于点< br>D
，则小球球心
O
为正四面体
PA
1
B
1
C
1
的中心，
PO面A
1
B
1
C
1
，垂足
D
为
A
1
BC
的中心．
11
1
因
V
PABC
S
ABC
PD

111
3
111

4V
OABC

111
1
4S
A< br>1
B
1
C
1
OD
，
3
故
PD4OD4r
，从而
POPDOD4rr3r
．
记此时小球与面
PAB
的切点为
P
，连接
OP
，则
1
1
2222
．
PP
1
POOP
1
(3r)r22r
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
PAB
)相 切时的情况，易知小球在
上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为
PEF
，如答1 2图2．记正四面体
1
的棱长为
a
，过
P
作
PM PA
于
M
．
1
1
因
MPP
1


面
PAB

6
，有
PMPP
1
cosMPP
1
22r
3
6r
2
，故小三角形的边长
PEPA2PMa26r
．
1
小球与面
PAB
不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
S
PAB
S
PEF

1
3
2
2
(a(a26r)
2
)
32ar63r
．
4
又
r1
，
a46
，所以
S
PAB
S
PEF
24363183
．
1

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
723
．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）


2

15. 已知
m,n
为异面直线,
m
平面
,
n
平面

.平面α与β外的直线
l
满足
lm,ln
,则（D ）
A．



,且
l


C．

与

相交,且交线垂直于
l

B．



,且
l


D．

与

相交,且交线平行于
l

16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器
口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,
则球的体积为 （ A ）
A．



17. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为
A．

500

cm
3

3
B．
866

cm
3

3
C．
1372

cm
3

3
D．
2048

cm
3

3
第16题
（ B ）
2977
27
B． C． D．
2002518
100
(C ) 18.
81
2014
除以100的余数是
B．79
2014
A．1
解：
81
C． 21 D． 81

(801)
2014
C
2014
80
92< br>C
2014
80
91
...C
2014
80C
2014

=
m102014801(mN)

=
m101611201
4
即
81

2014
2
2
除以100的余数为21。
三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。
（1）求证：OB⊥AC；
（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解：（1）连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O
上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。
（2）在RtΔOA B中，AB＝
3
．
又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，
ACB 30,BC3,AC23
,
V
ABOC

113
ABS
VBOC
ABOBBC

362

3

20. 如图,已知正三棱柱ABC－A
1
B
1< br>C
1
的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。
（1）求证：直线AB
1
∥平面C
1
DB；
（2）求异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值。
证明：（1）连B
1
C交
BC
1
于E，连DE, 则DE∥
AB
1
，
而DE

面C
1
DB ，
AB
1

面C
1
DB， ∴
AB
1
∥平面C
1
DB



D
A
1

B
1

A
C
1

C
B
（2）由（1）知∠DEB为异面直线AB
1
与BC
1
所成的角，在
DEB中，DE5，BD4 3，BE5

cosDEB

50481
。

25525
21. 已知：对于任意的多项式
f(x)
与任意 复数z，
f(z)0
xz
整除
f(x)
。利用上述定理解决下 列
问题：
（1）在复数范围内分解因式：
xx1
；
（2）求 所有满足
xx1
整除
x
2
22n
2
x
n
1
的正整数n构成的集合A。
13
i

22
1313
22
i)(xi)
所以
xx1( x

)(x

)(x
2222
解：（1）令xx10
解得两个根

,

2
，这里


2nn
2
（2）记
f(x)xx1
。
x x10
有两个根

,

2
，这里


13
i
，

3
1

22



n0122n1n1nn
22. 设
f(x)(1x) C
n
C
n
xC
n
xLC
n
x C
n
x
（
n
是正整数），利用赋值法解决下列问题：
012n
（1）求
S
1
C
n
C
n
C
n
C
n
；

4

135n1
（2）
n
为偶数时，求
S
2
C
n
C
n
C
n
C
n< br>；
258n1
（3）
n
是3的倍数时，求
S
3
C
n
C
n
C
n
C
n< br>。
n01nn
解：令
f(x)(1x)C
n
Cn
xC
n
x
，
n01n
（1）
f (1)2C
n
C
n
C
n
，所以
S
1
2
n

n01n1n
（2）
f(1)0 C
n
C
n
C
n
C
n
，
所以
S
1
C
n
C
n
C
n< br>C
n
（3）记


135n1
f(1)f(1)
2
n1

2
13
|n
时，
x
2n
x
n
10
，当
3|n
时，
x
2n
x
n
13
，
i
，则

3
1
。当
3

22
03n14n2 25n1
记
t
0
C
n
C
n
 C
n
，
t
1
C
n
，
t
2C
n

C
n
C
n
C
n
C
n
01n
f(1)2
n
C
n< br>C
n
C
n
，
01n012345n
f (

)(1

)
n
C
n


C
n


n
C
n
C
n


C
n


2
C
n
C
n


C
n


2
C
n
C
n
，
01n012345n
f(
2
)(1

2
)
n
C
n

2
C
n


2n
C
nC
n


2
C
n


C< br>n
C
n


2
C
n


C
n
C
n



t
0
t
1
t
2
2
n

2n2nn
则

t
0


t
1

t
2
(1

)(

)(1)< br>

22nnn
t

t

t(1< br>
)(

)(1)
012

从上到下各式分 别乘以
1,

,

2
，求得
2
n
(1)
n
1
n
1
n
25n1
nn2n
t
2
(2(1)

(1)

) (2(1))
。即
S
3
C
n
C
n
C
n

3
33

23. 宇宙深处有一颗美丽的 行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表
面同样的经纬度系统。 已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；
C点落在北纬60 °，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。
（1）求AC两点间的球面距离；
（2）求P点的经度；
（3）求AP两点间的球面距离。
解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’， < br>（1）那么OO’=
rsin60
所以AC=
3
1
r。O’A=O’C=
r
。又因为∠AO’C=60°。
2
2
1
17
r
。那么∠AOC=
2arcsin
（
arccos< br>）
2
48
17
两点间的球面距离为
2rarcsin
（
rarccos
）
48
（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。
可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。
（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。
由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么
DADO'1

。而O’C平行
DBDO2

5

OP且等于O P的一半，所以D、P、C共线且
可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。
DCDO'1

。
DPDO2



6

华东师大三附中第二学期期末考试
高二数学试题
时间：120分钟 满分：150 分
[来源:Z+xx+]

一．填空题 （本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每
个空格填 对得4分，否则一律得零分．
1.
iiii
232015
=__________________.
2. 在
(3x1)
5
的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系 数和为b，则
a
= ．
b

x12t
3. 直线
l
的参数方程是

(tR)
，则
l
的方向向 量
d
可以是__.
y2t

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是 ．
5. 从一 副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，
则概率
P(AB)
（结果用最简分数表示）.
6. 在极坐标系中，曲线

cos

1
与

cos

1
的公共点到极点的距离为____.
7. 给出下列四个命题： < br>(1)若平面

上有不共线的三点到平面

的距离相等，则



；
(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线； (3)两条异面直线中的一条平行于平面

，则另一条必定不平行于平面

；
(4)
a,b
为异面直线，则过
a
且与
b
平 行的平面有且仅有一个．
其中正确命题的序号是_______________________
8. 已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为
的距离为r ，则A、B两点间的球面距离为 ．
9. 边长分别为
a
、
b
的矩形，按图中所示虚线剪裁后，
可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接
成该正四棱锥的4个侧面，则



r
2
，又球心O到平面α
b
的取值范围是 ．
a

7

10.在锐角的二面角

EF

，
AEF
，
AG

，


GAE45

，若
AG
与

所成角为
30

，则二面角
F
A
E
G

EF

为__________.


11. 已知随机变量

所有的取值为
1,2,3
，对应的概率依次 为
p
1
,p
2
,p
1
，若随机变量
的方差
D


1
，则
2
p
1
p
2
的值是 ．
12. 如图，在极坐标系中， 过点
M(2,0)
的直线
l
与极轴的夹角


的形 式，则
f(

)
.



13.对于曲线
C
所在平面上的定点
P
0
，若存在以点
P
0
为顶点的角

，使得

AP
0
B< br>对于曲线
C
上的任意
两个不同的点
A,B
恒成立，则称角
为曲线
C
相对于点
P
0
的“界角”，并称其中最小的 “界角”为曲线
2


x1(x0)
相对于坐标原点
O
的“确界角”的大小
C
相对于点
P
0
的“确界角”．曲线< br>C:y

2


21x(x0)

6
，若将
l
的极坐标方程写成

f(

)
是 ．
14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
46
的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球
表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有 且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编
号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为 了解该校学生
健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中 的高三学生
人数为 （ ）
A. 84 B. 78 C. 81 D. 96
16. 正四面体
ABCD
的表面积为
S
，其中四个面的中心 分别是
E
、
F
、
G
、
H
.设四面体
EFGH
的表面
[来源:]
积为
T
，则
A.
T
等于 ( )
S
41
11
B. C. D.
94
93
17. 甲乙两人一起去游园，他 们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小
时，则最后一小时他们同在 一个景点的概率是 ( )
A.



8
151
1
B. C. D.
36366
9

18.
设
l
1
,l
2
,l
3
为空间中三条互相平行且两 两间的距离分别为
4
，
5
，
6
的直线
.
给 出下列三个结论：

①存在
A
i
l
i
(i1, 2,3)
，使得
A
1
A
2
A
3
是直角三 角形；
②存在
A
i
l
i
(i1,2,3)
， 使得
A
1
A
2
A
3
是等边三角形；
③ 三条直线上存在四点
A
i
(i1,2,3,4)
，使得四面体
A< br>1
A
2
A
3
A
4
为在一个顶点处的三条棱两 两互相垂直的
四面体
.
其中，所有正确结论的序号是

A．① B．①③

（

）

D．②③ C．①②
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必
要的步骤 .
19．（本题满分12分）
在直三棱柱
A1
B
1
C
1
ABC
中，底面
ABC
为直角三角形，
BAC

2
，
ABACAA
11
. 已知Ｇ与Ｅ
分别为
A
1
B
1
和
CC
1
的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段
AC
和
AB
上的动点（ 不包括端点）. 若
GDEF
，求线
段
DF
的长度的最小值.







20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
如 图过圆锥轴的截面为等腰直角三角形
SAB
，
Q
为底面圆周上一点，已知S
8
BQ23
，圆锥体积为

，点Ｏ为底面圆的圆心．
3
（1）求该圆锥的侧面积；
[来源:]

A
Q
O
B
（2）设异面直线
SA
与
BQ
所成角的大小为

，求
tan

的值．





9

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA
平面
ABCD
，
P
APAB2
，
A D4
，
E、F
依次是
PB、PC
的中点．
（1）求直线
EC
与平面
PAD
所成的角(结果用反三角函数值表示)；
（2）求三棱锥
PAFD
的体积.














B
E
A
C
F
D
22．（本题满分16 分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点． 已知曲线
C
上任意一点P(x,y)
（其中
x0
）到定点
F(1,0)
的距离比它到
y
轴的距离大1．
（1）求曲线
C
的轨迹方程；
uuu ruuur
（2）若过点
F(1,0)
的直线
l
与曲线
C< br>相交于A、B不同的两点，求
OAOB
的值；
uuuuruuuur
uuur
（3）若曲线
C
上不同的两点
M
、
N
满 足
OMMN0
，求
ON
的取值范围．










10

< br>23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 .
如图，点
P
为斜三棱柱
ABCA
1
B
1C
1
的侧棱
BB
1
上一点，
PMBB
1交
A
B

P

C

M
< br>AA
1
于点
M
，
PNBB
1
交
C C
1
于点
N
．
（1）求证：
CC
1
MN
；
（2）在任意
DEF
中有余弦定理：
B
1
A
1
C
1
N

DEDFEF2DFE FcosDFE
．拓展到空间，类比三
角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以
证明．
（3）在（2）中，我们看到了平面图形 中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观
察平面勾股定理的条件和结论特征，试 着将勾股定理推广到空间去．
勾股定理的
类比
条件
结论
三角形
ABC
四面体
O
-
ABC

222
AB
⊥
AC

AB
2
+
AC
2
=
BC
2
OA
、
OB
、
OC
两两垂直
？
请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．




















11

华东师大三附中第二学期期末考试
高二数学试题答案
一．

1.
1
2. 1 3.

1，


1

7
5


或

2,1

4.

5.
4
2

26
6.
15
7. (2)(4) 8.
2

2

r
1
9.
(,)
10.
3
2
4
5

14.
723

12
11.
3
12.
4
1
sin(

6
13


)
二． 15. B 16. B 17. D 18. C
三．
19．
.
5

5
20． （1）
SAR
2
R
2
22,
RSA42


SHSA
2
AH
2< br>515
（2）
tan

,

AHAH33
z
轴建立空间直角坐标系，21．（1）解法一：分别以
AB、AD、AP为
x
轴、
y
轴、各点坐标分别是
A(0，， 0 0)
，
B(2，， 0 0)
，
C(2， 4， 0)
，
D(0， 4， 0)
，
P(0，， 0 2)
，
uuur
，， 1)
， （2分） ∴
E(1 0，， 1)
，
F(1 2，， 1)
，
EC(1 4
ruuur
又∵
AB
平面
PAD
，∴平面
PAD
的法向量为
nAB(2,0,0)
， （4分）
uuurr
EC
r
n
r

2

2
，（6分） 设直线
EC
与平面
PAD
所成的角为
，则
sin


uuu
|EC||n|
1 82
6
∴直线
EC
与平面
PAD
所成的角为
ar csin
2
. （7分）
6
P
G
E
A
B
C
H
解法二：∵
PA
平面
ABCD
，∴
CDPA
，又CDAD
，
∴
CD
平面
PAD
，取
PA< br>中点
G
，
CD
中点
H
，联结
1
EG 、GH、GD
，则
EGABCD
且
EGAB=1
，
EG HC
2

12
F
D
是

平行四边形，
∴
HGD
即为直线
EC
与平面
PAD
所成的角. （3分）
在
RtGAD
中，
GD1
2
+4
2
=17
，
HD

1

17
，（6分）
GD
17
17
17
. （7分） ∴直线
EC
与平面
PAD
所成的角为
arctan
17
在
RtGH D
中，
tanHGD
（2）
，， 1)
，
AD(0， 4， 0)
， 解法一：由（1）解法一的建系得，
AF(1 2
r
设平面
AFD
的法向量为
n(x,y,z)
，点
P
到平面
AFD
的距 离为
d
，
uuuruuur
uuurruuurr
由
AF n0
，
ADn0
得
x2yz0
且
4y0< br>，
r
取
x1
得
n(1,0,1)
， （9分）
uuurr
AP
r
n

2
2
， （11分） ∴
d
2
n
uuuruuur
又
AFFD 6
，∴
S
△AFD
26422
，（13分）
∴
V
PAFD
222
1
3
4
. （14分）
3
解法二：易证
PE
即为三棱锥
PAFD
底 面上的高，且
PE
底面
△AFD
边
AD
上的高等于
AE
，且
AE
2
， （11分）
2
，∴
S
△AFD
22
（13分）
V
PAFD

1

1
422
4
. （14分）
323
解法三：依题意，
EF
平面
PAD
，∴
V
PAFD
V
FPAD
V
EPAD
V
DPAE
（11分）
[来源:学科网]

V
D PAE

1

1

1
PAABAD1
224
4
. （14分）
3221 23
22．（1）依题意知，动点
P
到定点
F
(1,0)
的 距离等于
P
到直线
x1
的距离，
曲线
C
是以原点为顶点，
F
(1,0)
为焦点的抛物线
∵
p
1
∴
p2
∴ 曲线
C
方程是
y
2
4x
（4分）
2
（2）当
l
平行于
y
轴时，其方程为
x1
，由


x1
解得
A(1,2)
、
B(1,2)

2

y4x
uuuruuur
此时< br>OAOB=14=3
（6分）

13

当
l
不平行于
y
轴时，设其斜率为
k
，
则由


yk(x1)2222
kx(2k4)xk0
得
2

y4x2k
2
4
设
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，则有
x
1
x
2
1
，
x
1
+x
2

（8分）
2
k
uuuruuur
222
∴
OAOB=x
1
x
2
y
1
y
2
=x
1
x
2
k(x
1
1)k(x
2
1)
(1 k)x
1
x
2
k(x
1
x
2
)k< br>
2k
2
4
2
=1+kkk143
（10分）
2
k
22
22
uuuuruuuur
y
1
2
y
2
y
1
2
y
2
y1
2
,y
2
y
1
)
（3）设
M(,y
1
),N(,y
2
)
∴
OM(,y
1
),MN(
4444
2
uuuuruuuury
1
2
(y
2
y
1
2
)
 y
1
(y
2
y
1
)0
∵
OMMN0
∴
16
∵
y
1
y
2
,y
1
0
，化简得
y
2
(y
1

16
)
（12分）
y
1
∴
y
2
y
1

22
256
3222563264
（14分）
y
1
2
256
2
,y
1
1 6,y
1
4
时等号成立
2
y
1
当且仅当y
1

2
2
uuur
y
2
1
222
∵
|ON|()
2
y
2
(y
2
8)
2
64，又Qy
2
64

44
uuuruuur
2
∴当
y
2
64,y
2
8，|ON|
min
85，故|ON|
的取值范围是
[85,)
（16分）
[来源:]

23．（1）证：
CC
1
BB
1
CC
1
PM,CC
1
PN,CC
1
平面PMNCC
1
MN
；（4分）
222
（2） 解：在斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，有S
ABB
S
BCC
S
ACC
2S
BCC B
S
ACCA
cos


1
A
11B
11
A
1
1111
其中

为平面
C C
1
B
1
B
与平面
CC
1
A
1< br>A
所组成的二面角. （7分）
CC
1
平面PMN,
上述的二面角为
MNP
， < br>在
PMN
中，
PM
2
PN
2
MN2
2PNMNcosMNP

222

PM
2< br>CC
1
PN
2
CC
1
MN
2
C C
1
2(PNCC)(MNCC)cosMNP
，
11
由于
S
BCC
1
B
1
PNCC,S
ACC1
A
1
MNCC,S
ABB
1
A
1
PMBB
1
，
11

14

222

有
S
ABB
S
BCC
S
ACC2S
BCCB
S
ACCA
cos

. （10分）
1
A
11
B
11
A
1
111 1
（3）空间勾股定理的猜想：
已知四面体O- ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，则有
2222
S
OAB
 S
OAC
S
OBC
S
ABC
（14分）
证法一：作OD⊥AB，垂足为D，连结CD
1111
2
S< br>
AB
2
CD
2
AB
2
(OC< br>2
OD
2
)AB
2
OC
2
AB
2
OD
2

ABC

4444
111< br>22222
(OA
2
OB
2
)OC
2
S

OA
2
OC
2
OB
2
 OC
2
S
AOB

AOB
S
AOC
S
COB
S
AOB
444
（18分）
证法二：作OH⊥平面ABC，垂足为H，易得H为△ABC的垂心。
连结CH并延长交AB于E，连结OE，则有OE⊥AB。
在△OAB中，
S
OAB


11
2< br>ABOES

AB
2
OE
2

OAB

24
在Rt△EOC中，
OE
2
EHEC

2
S
OAB

111
AB
2
(EH EC)(ABEH)(ABEC)S
HAB
S
CAB
< br>422
22
同理，
S
OAC
S
HAC
S
BAC
，
S
OBC
S
HBC
S
ABC

2222
于是
S
OAB
S
OAC
S
OBC
(S
HAB
S
HAC
S
HBC
)S
ABC
S
ABC
（18分）





15

上海市高二年级
第二学期
数学学科期终考试试卷

（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。）

题号
分值
得分

一、 填空题（本大题共14道小题，每小题3分，满分42分）
一
42

二
12

19
8

20
8

21
8

22
10

23
12

总分
100

P
5
3
C
6
4

1. 计算：
5!
2．已知
z43i
，则
2z


1i

3. 计算：


1i

2014


4. 设
mR
，
mm2m1i
是实数，其中
i< br>是虚数单位，则
m

5. 某学校高一年级男生人数占该年级 学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，
则这次考试该年级学生平均分 数为 ．
6. 若球
O
1
与
O
2
的 体积之比
2

2

V
1
S
2
， 则它们的表面积之比
1


V
2
S
2
7. 圆柱的侧面展开图是边长为
2
< br>和
3

的矩形，则圆柱的体积为
a

7
8. 设常数
aR
．若

x< br>2


的二项展开式中
x
项的系数为
10
，则
a
．
x

76
9. 若

3x1

a
7
xa
6
xLa
1
xa
0
则
a
7
a
6
La
1
a
0


7
5
10. 若圆锥的全面积是底面积的
3
倍，则它的侧面展开图的圆心角是 ．
11. 有
n

nN*

件不同的产品排成一排，若其中
A
、则
n
B
两件产品必须排在一起的不同排法有
48种，

12. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为
偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．

13. 用
1, 2,3,4,5,6
组成没有重复数字的六位数，要求
1
与
2
相邻，
3
与
4
相邻，
5
与
6
不相邻，这样的六位
数共有 个
14．某班新年联欢会原定的
5
个节目已排成节目单 ，开演前又增添了两个新节目，如果将两

16

个新节目插入原节目单中，则不同的插入种数为

二、选择题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）
15．如果直线
a和直线
b
是异面直线，直线
ca
，那么直线
b
与
c
( )
A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交
16．复数
z
和它的共轭复数
z
在复平面内所对应的点关于（ ）对称
A.原点 B.实轴 C.虚轴 D.直线
xy

17．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的 ( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
18．以下命题：

1

zz
是纯虚数

2

z
1
z
2
Rz
1< br>z
2


3

z
1
z
2
0z
1
z
2


4

zRzz


5

z为纯虚数zz0

其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、 解答题（本大题共5道小题，满分46分）
53
19．(8分)已知
P
n< br>nP
n
，求
n















20.（8分）已知复数
zabia、bR



是 方程
x
2
4x50
的根，
复数

u3 i

uR

满足

z25
，求
u< br>的取值范围。







17

21．（8分）如图，已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为
1
的正四棱柱，高
AA1
2
.求：
(1)异面直线
BD
与
AB
1
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
A
（2）四面体
AB
1
D
1
C
的体积














22
D
B
C
A
1

D
1

B
1
C
1

22．(10分)关于
x
的方程
2x3axa a0

aR

至少有一个模为
1
的根，
求实数
a
的值。














18

23．(12分)过棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AD、CD、A
1
B
1
的中点
E、F、G
作截面，求：（ 1）
棱锥
CEFG
的体积，（2）点
C
到平面
EFG的距离，（3）直线
B
1
C
到平面
EFG
的距离。











D
1

A
1

C
1

B
1
1
D
A B
C

19

第二学期
高二年级数学学科期终考试试卷《参考答案》

（注意事项：本试卷共2页，满分100分，答题时间90分钟。）
题号
分值
得分

三、 填空题（本大题共14道小题，每小题3分，满分42分）
一
42

二
12

19
8

20
8

21
8

22
10

23
12

总分
100

P
5
3
C
6
4
5

1. 计算：
5!
8
2．已知
z43i
，则
2z

63i


1i

3. 计算：


1i

2014


1

4. 设
mR
，
mm2m1i是实数，其中
i
是虚数单位，则
m

1
．
5. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别 为75、80，
则这次考试该年级学生平均分数为 78 ．
6. 若球
O
1
与
O
2
的体积之比
2

2

V
1
S
2
，则它们的表面积之比
1


3
4

V
2
S
2
7. 圆柱的侧面 展开图是边长为
2

和
3

的矩形，则圆柱的体积为
5
9
2

或
3

2

2
a

7
8. 设常数
aR
．若
< br>x
2


的二项展开式中
x
项的系数为
1 0
，则
a

2
．
x

76
9. 若

3x1

a< br>7
xa
6
xLa
1
xa
0
则
a
7
a
6
La
1
a
0


129

7
10. 若圆锥的全面积是底面积的
3
倍，则它的侧面展开图的圆心角是

．
11. 有
n

nN*

件不同的产品排成一排，若 其中
A
、则
n
B
两件产品必须排在一起的不同排法有
48
种，

5


12. 盒子中装有编号为1,2, 3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是
5
（结果用最简分数表示）．
7
13. 用
1,2,3, 4,5,6
组成没有重复数字的六位数，要求
1
与
2
相邻，
3
与
4
相邻，
5
与
6
不相邻，这样的六位

20

数共有
48
个
14．某班新年 联欢会原定的
5
个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将两个新节目插入原< br>节目单中，则不同的插入种数为
42

二、选择题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）
15．如果直线
a和直线
b
是异面直线，直线
ca
，那么直线
b
与
c
( D )
A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交
16．复数
z
和它的共轭复数
z
在复平面内所对应的点关于（ B ）对称
A.原点 B.实轴 C.虚轴 D.直线
xy

17．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的 ( C )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
18．以下命题：

1

zz
是纯虚数

2

z
1
z
2
Rz
1< br>z
2


3

z
1
z
2
0z
1
z
2


4

zRzz


5

z为纯虚数zz0

其中正确命题的个数是（ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
四、 解答题（本大题共5道小题，满分46分）
53
19．(8分)已知
P
n< br>nP
n
，求
n

解：
Qn

n 1

n2

n3

n4

 nn

n1

n2




n3

n4

n
即
n
2
8n120L4分

n6
或
n2

n5

（舍）---2分
n6
---2分





20 .（8分）已知复数
zabia、bR

是方程
x4x50的根，
复数

u3i

uR

满足< br>
z25
，求
u
的取值范围。

2
解：z2iLL4分

Qa、bR

z2iLL2分

Q

zu3i2i25LL2分


21

2u6LL2分







21．（8分）如图，已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为
1
的正四棱柱，高
AA
1
2
.求：
(1)异面直线
BD
与
AB
1
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
（2）四面体
AB
1
D
1
C
的体积
解： （1）
AB
1
D
1
是异面直线
BD
与
A B
1
所成的角---2分
B
A
D
C
AB
1
2
B
1
D
1
2
AD
12
10
cosBCA
2AB
1
B
1
D10
10
BCAarccos2分
10

B
1

A
1

D
1

C
1

（2）连
AC、CB
1
、CD
1
，则所求四面体的体积 < br>12
VV
ABCDA
1
B
1
C
1D
1
4V
CB
1
C
1
D
1
244分

33



22．(10分 )关于
x
的方程
2x3axaa0

aR
至少有一个模为
1
的根，求实数
a
的值。
22
解：若 两根为实根时，不妨设
x
1
1
，则
x
1
1< br>，
当
x
1
1
时，
a2a20aR 2分

当
x
1
1
时，
a4a20 a223分

若两根为虚根时，则
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
2
2
2
a
2
a
1LL2分

1
，即
2
 a
2
a20a2或a12分

Q0a11分
综上：
a22或a1

23．(12分)过棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B< br>1
C
1
D
1
的棱
AD、CD、A
1
B
1
的中点
E、F、G
作截面，求：（1）

22
D
1
C
1

棱锥
CEFG的体积，（2）点
C
到平面
EFG
的距离，（3）直线
B
1
C
到平面
EFG
的距离。
解：(1)
V
C EFG
V
GEFC

111
14分

326
6，GF22，EF2

(2)取
AB
的中点
H
，
则
EH62,HF 2EG
GF
2
EG
2
EF
2
GEF 90
0

S
EFG

11
EGEF623

22
1
3
3
1
hLL4分

6
6
设
C
到平面
EFG
的距离为
h
V
C EFG
V
GEFC
S
EFG
h
（3）
QGFB
1
CB
1
C平面EFG


直线B
1
C
到平面
EFG
的距离，即为点
C
到平面
EFG
的距离，

为






3
LL4分

6

23

24