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2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（文科）
2015.4

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸 相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分
．
1

2
1
．已知集合
A=

1,2，

，集合
B=y|yx,xA
，则
AIB
．

2



2．若复数
z12i(i< br>为虚数单位），则
zzz
．
r
3．已知 直线
l
的一个法向量是
n1,3
，则此直线的倾斜角的大小为 ．

4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体
800
名学生中 抽取
50
名学生进行体能测试．现将
800
名学
生从
1到
800
进行编号，求得间隔数
k
800
16
．若 从
1~16
中随机抽取
1
个数的结果是抽到了
7
，则在编号
50
为
33~48
的这
16
个学生中抽取的一名学生其编号 应该是 ．
5．已知函数
ycosx
与
ysin( 2x

)(0



)
的图像有一个横坐标为
为 ．
1
x
6．设函数
f(x)log< br>2
(21)
，则不等式
2f(x)
f(log
2
5)
的解为 ．

的交点，则常数

的值3
7．设等差数列

a
n

的前
n
项 和为
S
n
，若
S
15
15
，则
a
8
的值为 ．
8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动 ，假设每位同学选到的可能
性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是 ．（结果用最简分数表示）
9
．执行如图所示的程序框图，输出的结果
a
．


1


2
10．矩阵

3


M

n

a
1n


a
2n

a
32
L
a
3i
L< br>a
3n

中每一行都构成公比为2的等比数列，

MMMMM

a
n2
L
a
ni
L
a
nn

S
第
i
列各元素之和为
S
i
，则
lim
2
n
n

．

n
n2
11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是 ．
a
12
L
a
22
L
a
1i
L
a
2i
L
1
2
主视图
左视图
俯视图
12．设
f(x)
是定义域为R的奇函数，
g(x)
是定义域为R的偶函数 ，若函数
f(x)g(x)
的值域为
[1,3)
，则函
数
f(x)g(x)
的值域为 ．
1 8

u uuruuuruuur
13．
ABC
所在平面上一点
P
满足PAPCAB
，若
ABP
的面积为
6
，则
AB C
的面积为 ．
14．对于曲线
C
所在平面上的定点< br>P
0
，若存在以点
P
0
为顶点的角

，使得

AP
0
B
对于曲线
C
上的任意两
个 不同的点
A,B
恒成立，则称角

为曲线
C
相对于点
P
0
的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线
C
相对于
点P
0
的“确界角”．曲线
C:y

x
2
1
相对于坐标原点
O
的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸< br>的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分
．
11
15
．“

arcsin
”是“
sin

< br>”的（

）

3
3
（
A
）充分不必要条件

（
B
）必要不充分条件

（
C
）充要条件

（
D
）既不充分也不必要条件

x3
0
同解的是（

）

2x（A）

x3

2x

0
（B）

x3

2x

0

16
．下列不等式中，与不等式
（C）
2x
3x
0
（D）
0

x3
x2
17
．曲线
xy与直线
x3
围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（

）


xy0

xy0

xy 0

xy0

（
A
）

x y0

（
B
）

xy0

（
C
）

xy0

（
D
）

xy0


x3

x3

x3

x3

2
1 8
．已知函数
f

x

xsinx
．给出下列 三个命题：

(1)
f

x

是定义域为
R
的奇函数；

(2)
f

x

在





，

上单调递增；

22

(3)
对于任意的
x
1
,x
2






，

，都有< br>
x
1
x
2



f

x
1

f

x
2



0
．

22

其中真命题的序号是（

）

（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题， 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤
．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如 图，在
RtAOB
中，
OAB

6
，斜边
A B4
，
D
是
AB
的中点．现将
RtAOB
以直 角边
AO
为轴旋转一周得到一个圆锥，点
C
为圆锥底面圆周上的一
点 ，且
BOC

2
．
2 8

（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线
AO
与
CD
所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）



20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
在
ABC
中，角A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且
acosCccosA2 bcosA
．
（1）求角
A
的大小；
（2）若
a3,c2
，求
ABC
的面积．




21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图 所示，它的外框是一个等腰梯
形
PQRS
，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶 点与梯形上底中点
是焊接点
O
，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、 抛物
线以及横梁的焊接点
A,B
，抛物线与梯形下底的两个焊接点为
C,D< br>．已知
A
B
P
OQ
梯形的高是
40
厘米，< br>C、D
两点间的距离为
40
厘米．
（1）求横梁
AB
的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
R
S
CD
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）


22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数
f (x)
1

1

x

，
g(x)
2

x

1

1

x

．
2

x

（1）求函数
h(x)f
x

2g

x

的零点；
（2 ）设
F(x)f
2
，求
F

x

的最小 值；

x

mf

x

（其中常数< br>m0
）
（3）若直线
l:axbyc0a,b,c为常数
与< br>f(x)
的图像交于不同的两点
A、B
，与
g(x)
的图像交 于不同
的两点
C、D
，求证：
ACBD
．

3 8

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
(
nN
)，令
S
n
a
1
a
2
a< br>3
a
n
，如果存在
a
p
(
p

1,2,3L,n

)，
*
使得
|a
p
||S
n
a
p
|
，那么称
a
p
是该 向量组的“
h
向量”．
uur
（1）设
a
n
( n,xn)
(
nN
)，若
a
3
是向量组
a1
,a
2
,a
3
的“
h
向量”，
*
求实数
x
的取值范围；
uur
1
n1
*
（2）若
a
n
((),0)
(
nN
)，向 量组
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
是否存在“
h
向量”？
3
给出你的结论并说明理由；
uruu r
uruuruurur
2
uur
2
uur
2
e< br>x
e
x
,0)
，
a
2
(,0)
，（3）已知
a
1
、、
，其中
a
1
(
求 证：
|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|a
2
a
3
均是向量组
a
1
,a
2
,a
3
的“
h
向量”
22
可以写成一个关于
e
的二次多 项式与一个关于
e
的二次多项式的乘积．





文科参考答案
一、填空题：（每题4分）
1.

1

2.
62i
3.
6.
x0
7.
1
8.
10.
x
x

4.
39
5.
66
29
9.
3

45
1

11.
3
12.

3,1

13.
12
14.
4
2

二、选择题：（每题5分）
15. A 16. D 17. A 18. D

三、解答题
19、解：（1）
RtAOB
中，
OB2

即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积
S
侧


rl 8

……………….4’
4 8

故圆锥的全面积S
全
=S
侧
+S
底
8

+4

12

……………….6’
（2）过
D
作
DMAO
交
BO
于
M
，连
CM

则
CDM
为异面直线
AO
与
CD
所成角……………….8’
DM平面OBC
DMMC


在
RtAOB
中，
AO23
DM3


QD
是
AB
的中点
M
是
OB
的中点
OM1
CM5

QAO平面OBC
在
RtCD M
中，
tanCDM
5
3

15
，…………… ….10’
3
CDMarctan
15
15
，即异面直线< br>AO
与
CD
所成角的大小为
arctan
……………….12 ’
3
3


20、解：（1）
sinAcosCsin CcosA2sinBcosA
……………….3’
所以
sin

AC

2sinBcosA
，即
sinB2sinBcosA

由
sinB0
cosA
由于
0A

，故
A
1
……………….6’
2

3
3
……………….7’

2
（2
）由余弦定理得，

2
2
AC
2
2 2ACcos

3

所以
AC1
……………….12’

故
S
AB C

1

3
21sin
……………….14’
232


21、解：（1）如图，以
O
为原点，梯形的上 底所在直线为
x
轴，建立直角坐标系
设梯形下底与
y
轴交于点M
，抛物线的方程为：
y
P
O
Q
x
x2py

p0


2
A
B
5 8
S
CMD
R

2
由题意
D

20, 40

，得
p5
，
x10y
……….3’
取
y20x102
，
即
A102,20,B102,20


AB20228

cm


答：横梁
AB
的长度约为28cm………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设
l
RQ
:y20kx102


k0

………………. .7’


y20kx102
x
2
10kx 10022k0


x
2
10y




得
Q

52,0

,R< br>
152,40

OQ52,MR152,RQ30
梯形周 长为
2

52152302

1002141
< br>cm


答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’


22、解：（1）由
h(x)
则
100k
2
40022k0k22
，即
l
RQ
:y22x 20
…………..10’

2

3x133
0x 
，函数
h(x)
的零点为
x
………4’
22x3 3
2
m

m
2

（2）则
F(x)
f

x




……………..5 ’
2

4

函数
f

x
的值域为

,1

U

1,
……………..6’
m
2
mm
若


 ,1

，即
m

2,

，
f
x


时，有
F(x)
min

……………..8’
4
22
若

m


1,0

，即
m

0,2

，
f< br>
x

1
时，有
F(x)
min
1 m

2
综上所述：
F(x)
min

m
2
m

2,





4< br>…………….10’

1mm

0,2

< br>（3）设
A

x
1
,y
1

,B< br>
x
2
,y
2

,C

x
3
,y
3

,D

x
4
,y
4< br>

6 8


axbyc0
2c< br>
2
……………..14’
1

1

< br>
2ab

x2cxb0
，则
x
1
x
2


2ab

y
2

x
x




axbyc0
2c
2
同理由


1

1



2ab

x2cxb0
，则
x
3
x
4

yx
2ab


2x


则
AB
中点与
CD
中点重合，即
ACB D
……………..16’

23、解：(1)由题意，得：
|a
3
||a
1
a
2
|
，则
9(x3)
解得：
2x0
……………..4’
(2)
a1
是向量组
a
1
,a
2
,a
3
,, a
n
的“
h
向量”，证明如下：
2
9(2x3)
2
……………..2’
a
1
(1,0)
，
|a
1
|1
11
[1()
n1
]
111
3
,0)(()
n1
,0)
……………..7’ 而
a
2
a
3
a
n
(
3
1
223
1
3
11111111
0()
n1

，
0[()
n1
]
2
,

22322234
故
|a2
a
3
a
n
|
[
111
n 12
()]0
2

223
1
1

4
即
|a
1
||a
2
a
3
a
n
|

所以
a
1
是向量组
a
1< br>,a
2
,a
3
,,a
n
的“
h
向 量”……………..10’
(3)由题意得：
|a
1
||a
2< br>a
3
|
，
|a
1
||a
2
a
3
|
，即
a
1
(a
2
a
3< br>)

22
2
2
a
1
a
2
a
3
2a
2
a
3
，同理
a
2
a
1
a
3
2a
1
a
3
，
a
3
a
1
a
2
2a
1
a
2

三式相加并化简，得：
0a
1
a
2
a
3
2a
1
a
2
2a
1
a
3
2a
2
a
3

即
(a
1
 a
2
a
3
)
2
0
，
|a
1< br>a
2
a
3
|0
，所以
a
1
 a
2
a
3
0
……………..13’
222
2 22222222
uur
e
x
e
x
,0)
由
a
1
a
2
a
3
0
，则
a< br>3
(
2
7 8

ur
2x2x
|
2
+|
u
a
ur
2
uur
2
ee(e
x
e
x
)
2
|a
12
|+| a
3
|
2

2

2

e
2x
e
2x

2

2

1
2
(e
2x
e
2x
2)

e
2x
e
2x
1
……………..15’
(e
x
e
x
)
2
1

 (e
x
e
x
1)(e
x
e
x
 1)

(e
x

1
e
x
1)(
1
e
x
e
x
1)

(e
2x
e
x
1)(e
2x
e
x
1)
……………..18’

8 8

（注：分解结果不唯一）