节约粮食-大学专业解读它知道

江苏省南通市2019届高三适应性考试
数学Ⅰ
参考公式：球体体积公式： (
R
为球的半径).
样本数据
x
1
，x
2
，
其中
x
1

x
i
．
L，x
n
的方差
s
1

(x
i
x)
2
，
n
i1
n
i1
2
nn一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直
接填在 答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
357

，
B

0，，13

，则集合
A
1. 已知集合
A

1，，，
B
= ▲ ．
2. 若
a
+bi=1
，其中
i
为虚数单位，
a，bÎR
，则
ab
的值为 ▲ ．
1-i
3. 已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为 ▲ ．
4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的
a
的值为 ▲ ．
5. 函数
f(x)=ln(4-x
2
)
的定义域为 ▲ ．
6. 一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的
两段绳子的长度有一段大于3米的概率为 ▲ ．
1a>0）
7. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线
x
2
 y
2
（
a

2
的离心率为
23
，则该双曲线的焦距为 ▲ ．
3
8. 某长方体的长、宽、高分别为2 cm，2 cm，4 cm，则该
长方体的体积与其外接球的体积之比为 ▲ ．
9. 已知等差数列

a
n

满足
a
4
4
，且
a
1
，
a
2
，
a
4
成等比数列，则
a
3
的所有值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy中，圆O
1
：
x
2
y
2
9
与圆O
2
：
x< br>2
y
2
4x2y30
的

公共弦的长为 ▲ ．
11． 若函数
f(x)ax
2
a1(a R)
存在零点，且与函数
f

f(x)

的零点完全相同 ，则实数
a的值为 ▲ ．
12．如图，在直角△ABC中，
ACB90 
，
BAC60
，
AB4
．以
BC
为直径向△ABC外作半圆，点
P
在半圆
弧
BC
上，且满足
BPBA=6
，则
ACAP
的值为 ▲ ．
1
，
1
，
1
成等差数列，则
AB

tanAtanCtanB
13. 在△
ABC
中，已知AB边上的中线CM
1
，且
的长为 ▲ ．
x
14. 已知函数
f(x)=e-1
，若存在实数
a，b( ab)
使得
f(a)=f(b)
，则a+2b的最大值
为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必< br>．．．．．．．
要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥BC，
AB=BC=42
， BE⊥AC，点F是
CD
的
中点，
EF=3
，
BF=5
．
求证：（1）EF∥平面ABD；
（2）平面ABC⊥平面ADC．

16．（本小题满分14分）
在△
ABC
中，已知AB = 2 ，
cosB=
2
，
C=
p
．
10
4
（1）求
BC
的长；
（2）求
sin(2A+
p
)
的值．
3




17．（本小题满分14分）
如图所示，现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚
线 剪去三个全等的四边形ADA
1
F
1
，BD
1
B
1
E，CE
1
C
1
F（剪去的四边形均有一组对角为直角），
然后把三个矩形A
1
B
1
D
1
D，B
1
C
1
E
1
E，A
1
C
1
FF
1折起，构成一个以A
1
B
1
C
1
为底面的无盖正三棱< br>柱．
（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；
（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值．

18．（本小题满分16分）
23
y
2
x
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
C:2

2
=1
(a>b>0)
经过点.设椭
（1，）ab
2
圆C的左顶点为A，右焦点为
F
，右准线与x轴交于点
M
，且F为线段AM的中点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点A的直线< br>l
与椭圆C相交于另一点P（P在
x
轴上方），直线PF与椭圆C相
交 于另一点Q，且直线
l
与
OQ
垂直，求直线
PQ
的斜率.

19．（本小题满分16分）
x
设函数
f(x)=e-alnx(a?R)
，其中e为自然对数的底数．
（1）当
a<0
时，判断函数
f(x)
的单调性；
（2）若直线
y=e
是函数
f(x)
的切线，求实数a的值；
（3）当
a>0
时，证明：
f(x)≥2a-alna
．







20．（本小题满分16分） 定义：从数列

a
n

中抽取
m(mN，m≥3)< br>项
按其在

a
n

中的次序排列形成一个新数列 < br>则称

b
n

为

a
n

的子数列；若

b
n

成等差（或等比），则称

b
n

为

a
n

的等差（或

b
n

，
等比）子数列．
（1） 记数列
a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
S
n
2
n
1
．
① 求数列

a
n

的通项公式；
② 数列

a
n

是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请

说明理由．
（2） 已知数列

a
n
< br>的通项公式为
a
n
na(aQ
+
)
，证明：< br>
a
n

存在等比子数列．
2019届高三适应性考试
数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字 说明、证明过
．．．
程或演算步骤．
A．[选修4
-
2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

a1< br>
已知1是矩阵
A

的一个特征值，求点（1，2）在矩阵
A
对应的变换作用下得
02

到的点的坐标．





B．[选修4
-
4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为

2sin

．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立 平
1

xt，

2

面直角坐标系，直线l的参 数方程为

（t为参数）．
3

yt2

 2
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．




C．[选修4－5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知关于
x
的不等式
x
2
mxn0
的解集为

x|1x2

，其中
m，nR
．
求证：
(m1)x3(n1)4x≤5
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．
．．．．．．．．
22．(本小题满分10分)
已知正四棱锥
PABCD
的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机
选取3个点构成三角形，设随机变量
X
表示所得三角形的面积．
（1）求概率
P(X2)
的值；
（2）求随机变量
X
的概率分布及其数学期望
E(X)
．

23．(本小题满分10分)
y
2
2px
(p0)
的焦点为F， 已知抛物线C：过F且斜率为
B两点，B在x 轴的上方，且点B的横坐标为4．
（1） 求抛物线C的标准方程；
4
的直线
l
与抛物线C交于A，
3
（2） 设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，
G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG

HE为定值，并求出定值．

2019届高三适应性考试
数学参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
357

，B

0，，13

，则集合
A
1. 已知集合
A

1，，，
B
= ▲ ．
3

【答案】

1，
a
+bi=1
，其 中
i
为虚数单位，
a，bÎR
，则
ab
的值为 ▲ ．
1-i
2. 若
【答案】-2
3. 已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为 ▲ ．
【答案】10
4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的
a
的值为 ▲ ．
【答案】9
5. 函数
f(x)=ln(4-x
2
)
的定义域为 ▲ ．
【答案】
(-2，2)

6. 一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的
两段绳子的长度有一段大于3米的概率为 ▲ ．
【答案】
4

5
2
x
1a>0）
7. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
y
2
（
a

的离心率为
23
，则该双曲线的焦距为 ▲ ．
3

【答案】
4

8. 某长方体的长、宽、高分别为2 cm，2 cm，4 cm，则该长方体的体积与其外接球的体
积
之比为 ▲ ．
3p
【答案】
6：
9. 已知等差数列

a
n

满足
a
4
4
，且a
1
，
a
2
，
a
4
成等比数列，则< br>a
3
的所有值为 ▲ ．
【答案】3，4
10． 在平面直角 坐标系xOy中，圆O
1
：
x
2
y
2
9
与圆O
2
：
x
2
y
2
4x2y30< br>的
公共弦的长为 ▲ ．
【答案】
125

5
11． 若函数
f(x)ax
2
a1(aR)
存 在零点，且与函数
f

f(x)

的零点完全相同，则实数
a
的值为 ▲ ．
【答案】1
12．如图，在直角△ABC中，

ACB90
，
BAC60
，
AB4
．以
BC
为直径向△ABC外作半圆，点
P
在半圆
弧
BC
上，且满足
BPBA=6
，则
ACAP
的值为 ▲ ．
【答案】
7

13. 在△
ABC
中，已知AB边上的中线CM
1
，且
1
，
1
，
1
成等差数列，则
AB

tanAtanCtanB
的长为 ▲ ．
【答案】
23

3

解析：在△
ABC< br>中，根据中线长公式
CM
2

a
2
b
2

c
2
2
，得
a
2
b
2
c
2
．
2
2
由
1
，
1
，
1
成等差数列，
tanAtanCt anB
得
2

1

1
，从而
tanCt anAtanB
2
sinCsin(AB)
sinCcosAcosBsinC

2
cosCsinAsinBcosCsinAsinBs inAsinBcosC


c
2
，
222
abc
ab
2ab
解得，
c
23
．
3
x
14. 已知函数
f (x)=e-1
，若存在实数
a,b(ab)
使得
f(a)=f(b)，则a+2b的最大值
为 ▲ ．
【答案】
ln
32

27
ab
解析：
f(a)f(b)t
，则
e-1=e- 1=t
，解得
a=ln(1-t)
，
b=ln(1+t)
，
2
所以
a+2b=ln(1-t)+2ln(1+t)=ln(1-t)(1+t)
．
2
(t)=(1-3t)(1+t)
． 设
g(t)=(1-t)(1+ t)(0，则
g
¢
(t)>0
，
g(t)
单调递增，
时，
g
¢
(t)<0
，
g( t)
单调递减， 因为
0时，
g
¢
所以
g( t)
max
=g()=

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
1
3
1
3
1
33232
，所以
a+2b
的最大值为
ln
．
2727
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥BC，
AB=BC=42
， BE⊥AC，点F是
CD
的

中点，
EF=3
，
BF=5
．
求证：（1）EF∥平面ABD；
（2）平面ABC⊥平面ADC．
【证】（1）在△ABC中，
因为
AB=BC
，BE⊥AC，
所以E为AC的中点．…………………2分
又因为点F是
CD
的中点
所以EF∥AD． …………………4分
又
AD平面ABD，EF平面ABD，

所以EF∥平面ABD． ………………6分
（2） 在RT△ABC中，
因为
AB=BC=42
，
所以AC=8．
又因为AE=CE，
所以
BE=4
． …………………8分
又因为
EF=3
，
BF=5
，
222
所以
BF=BE+EF
，即BE⊥EF． …………………10分
又因为BE⊥AC，AC

平面ACD，EF
平面ACD，
ACEFE
，
所以BE⊥平面ACD， …………………12分
又因为BE

平面ABC，

所以平面ABC⊥平面ADC． …………………14分

16．（本小题满分14分）
在△
ABC
中，已知AB = 2 ，
cosB=
2
10
，
C=
p
4
．
（1）求
BC
的长；
（2）求
sin(2A+
p
3
)
的值．
解：（1）因为
cosB=
2
10
，
0＜B＜π
，
所以
sinB=1-cos
2
B=1-(
2
)
2< br>=
72
1010
．
在△
ABC
中，
A+B+C=p
，所以
A=p-(B+C)
，
于是
sinA=sin(p-(B+C))=sin(B+C)

=sinB cosC+cosBsinC=
72
?
22
4
10210
?
2
25
．
在△
ABC
中，由正弦定理知
BC

AB
sinAsinC
，
所以
BC
AB
 sinA=
2

4
sinC
2
5
=
82< br>5
．
2
（2）在△
ABC< br>中，
A+B+C=p
，所以
A=p-(B+C)
，
于是
cosA=cos(p-(B+C))=-cos(B+C)

=-(cosBcosC-sinBsinC)=-(
2
?
272
1 0210
?
2
2
)
于是
sin2A=2sinAcosA= 2创
43
55
=
24
25
，
…………………2分
…………………4分
…………………6分
3
5
，………………8分
…………………10分

cos2A=cos
2
A-sin
2
A= (
3
)
2
-(
4
)
2
=-
7． …………………12分
5525
因此，
sin(2 A+
p
)=sin2Acos
p
+cos2Asin
p
< br>333
=
24
?
1
(-
7
)?
3< br>252252
24-73
． …………………14分
50

17．（本小题满分14分）
如图所示，现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚
线剪去三个全等的四边形ADA
1< br>F
1
，BD
1
B
1
E，CE
1
C< br>1
F（剪去的四边形均有一组对角为直角），
然后把三个矩形A
1
B< br>1
D
1
D，B
1
C
1
E
1
E，A
1
C
1
FF
1
折起，构成一个以A
1
B
1
C
1
为底面的无盖正三棱
柱．
（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比
为3，求该三棱柱的高；
（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值．
解：（1）设A
1
D=x，则
AD3x
，
A
1
B
1
1023x
．………………2分
因为
A
1
B
1
1023x
3
，
A
1
Dx
所以
x
10(233)
（cm）．
3
………………4分
答：该三棱柱的高为
10(233)
cm．
3
（2）因为
A
1
B
1
1023x0
，所以
0x
53
． ………………6分
3

三棱柱的体积
V(x)
13
(1023x)
2
x

22
3(3x
3
103x
2
25x)(0x
53
)
， ………………10分
3
所以
V

(x)3(9x
2203x25)3(33x5)(3x5)
．
因为当
0x
53
时，
V

(x)0
，
V(x)
单调递增，
9
当
5353
时，
V

(x)0
，V(x)
单调递减， ………………12分
x
93所以
x
500
53
3
时，
V(x)
max< br>
（cm）．
9
27
答：该三棱柱的体积为
500
3
cm． ………………14分
27

18．（本小题满分16分）
2
3< br>y
2
x
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
C:
2< br>
2
=1
(a>b>0)
经过点.设椭
（1，）
ab
2
圆C的左顶点为A，右焦点为
F
，右准线与x轴交于点
M
，且F为线段AM的中点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点A的直线
l
与椭圆C相交于另一点P（P在
x
轴上方），直线PF与椭圆C相
交于另一点 Q，且直线
l
与
OQ
垂直，求直线
PQ
的斜率.

a
2
0)，
M(，
0)
，
F(c，
【解】（1）因为
A(a，
0)
，且F为AM的中点
c
a
2
22
所以
a2c
，则
2c+ac-a=0
．
c
即
(2ca)(ac)0
，所以
a2c
．
b
2< br>a
2
c
2
3c
2
………………2分
3
因为点在椭圆上，
（1，）
2
9
1
=1
， ………………4分 所以
2
+
4
ab
2
又因为
b< br>2
a
2
c
2
3c
2
，所以
c =1
，则
a
2
=4
，
b
2
=a
2
c
2
=3
．
x
2
y
2
所以椭圆的标准方程为
=1
． ………………6分
43
（2）由题意直线AP的斜率必存在且大于
0
，
设直线AP的方程为：
yk(x2)
，
(k0)

代入椭圆方程并化简得：
(34k
2
)x
2
 16k
2
x16k
2
120
，
16k
2
12
因为
2x
P

，
34k
2
68k
2
68k
2
12k
得
x
P

，， ………………8分
yk(2)
P
34k
2
34k
2
34k
2
当
k
2

1
时 ，PQ的斜率不存在，此时
OQAP0
不符合题意．
4
1
4k
时，直线PQ的方程为：
y(x1)
，
2
14k
4
当
k
2

1
因为
OQAP0
，所以直线OQ的方程为：
yx
， ……………12分
k
4k)
，因为
Q
在椭圆上， 两直线联立解得：
Q(4k
2
，
6
16k
4
16k
2
22
所以，
=1
，化简得：
( 2k3)(6k1)0
，即
k
43
6

因为
k0
，所以
k
6
， ……………14分
6
226
此时
Q(，)
.
33
直线
PQ
的斜率为
26
. ……………16分

19．（本小题满分16分）
x
设函数
f(x)=e-alnx(a?R)
，其中e为自然对数的底数．
（1）当
a<0
时，判断函数
f(x)
的单调性；
（2）若直线
y=e
是函数
f(x)
的切线，求实数a的值；
（3）当
a>0
时，证明：
f(x)≥2a-alna
．
x
+?)
．

解：(1) 函数
f(x)=e-alnx( a?R)
的定义域为
(0，
(x)=e
x
-
因为
a <0
，所以
f
¢
a
>0
，
x
所以
f(x)
在区间上单调递增 ………………2分
(2) 设切点为
(x
0
，e
x
0
-alnx0
)
，则
e
x
0
-alnx
0
=e< br>，
a
a
x
因为
f
¢
=0
，得
a=x
0
e
0
，
(x)=e
x-
，所以
e
x
0
-
x
0
x
x x
所以
e
0
-x
0
e
0
lnx
0
=e
． ………………4分
(x)=(-x-1)e
x
lnx
， 设
g(x)=e
x
-xe
x
lnx
，则
g
¢
(x)>0
，
g(x)
单调递增， 所以当
0< x<1
时，
g
¢

(x)<0
，
g(x)单调递减， 当
x>1
时，
g
¢
所以
g(x)
max
=g(1)=e
． ………………6分
因为方程
e
x
0
-x
0
ex
0
lnx
0
=e
仅有一解
x
0
=1
，
所以
a=e
． ………………8分
x
axe-a
(3) 因为
f
¢
，
(x)=e-=
xx
x
(x)=(x+1)e
x
>0
，所以
h(x)
单调递增． 设
h(x)=xe
x
-a(x≥0)
，则
h
¢
因为
h(0)=-a<0
，
h(a)=ae
a
-a=a(e
a
-1)>0
， ………………10分
所以存在
0 0
，使得
h(x
0
)=x
0
e< br>x
0
-a=0
．
(x)<0
，
f
¢
(x)<0
，
f(x)
单调递减， 当
0时，
h
¢
(x)>0
，
f
¢
(x)>0
，
f( x)
单调递增， 当
x>1
时，
h
¢
所以
f(x)
min
=f(x
0
)=e
x
0
- alnx
0
． ………………12分
因为
x
0
e
x
0
-a=0
，所以
e
x
0
=
a
，
lnx
0
=lna-x
0
， ………………14分
x
0
所以
f(x)
min
=e
x
0
-alnx
0=
aa
-a(lna-x
0
)=+ax
0
-alna≥ 2a-alna
．……16分
x
0
x
0

20．（本小题满分16分）
定义：从数列

a
n
中抽取
m(mN，m≥3)
项
按其在

a
n

中的次序排列形成一个新数列
则称

b
n

为

a
n

的子数列；若

b
n

成等差（或等比），则称

b
n

为

a
n

的等差（或

b
n

，
等比）子数列．

（1） 记数列

a
n

的前
n< br>项和为
S
n
，已知
S
n
2
n
1
．
① 求数列

a
n

的通项公式；
② 数列

a
n

是否存在等差子数列，若存在，求出等差 子数列；若不存在，请
说明理由．
（2） 已知数列

a
n
的通项公式为
a
n
na(aQ
+
)
， 证明：

a
n

存在等比子数列．
解：(1) ①因为< br>S
n
2
n
1
，所以当
n1
时，
a
1
2
1
11
，
当
n≥2
时，
S
n1
2
n1
1
， 所以
a
n
(2
n
1)(2
n1
1)2
n1
．
综上可知：
a
n
2
n1
． ………………2分
②假设从数列

a
n

中抽
3
项
a
k
，
a
l
，
a
m

(k成等差，
则
2a
l
a< br>k
a
m
，即
22
l1
2
k12
m1
，
化简得：
22
lk
12
mk
． ………………4分
因为
k，所以
l-k>0
，
m -k>0
，且
l-k
，
m-k
都是整数，
所以
2 2
lk
为偶数，
12
mk
为奇数，所以
22lk
12
mk
不成立．
因此，数列

a
n

不存在三项等差子数列． ………………6分
若从数列

a
n

中抽
m(m N,m4)
项，其前三项必成等差数列，不成立．
综上可知，数列

a
n

不存在等差子数列． ………………8分
(2) 假设数列

a
n

中存在3
项
n
0
a
，
n
0
ak
，
n
0
al

(k成等比．

设
n
0
ab
，则
bQ
+
，故可设
b
q
（p与q是互质的正整数）．
p
则需满足
(n
0
ak)
2
(n
0
a)(n
0
al)
， ………………12分
k
2
pk
2
即需满足
(bk)b(bl)
，则需满足
l2k
．
2k
bq
2
取
kq
，则
l2kpq
． ………………14分
qq
2
q
2
2
此时
(bq )(q)
2
2q
2
，
ppp
2
qqq
2
q
2
b(bl)(2qpq)
2
2q2
．
pppp
故此时
(bk)
2
b(bl)
成立．
因此数列

a
n

中存在
3
项n
0
a
，
n
0
ak
，
n
0
al

(k成等比，
所以数列

a
n

存在等比子数列． ………………16分

数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．
．．．．．．．．．．．．．．．．．

a1

已知1是矩阵
A

的一个特征值，求点（1，2）在矩阵
A
对应的变换作用下得
02

到的点的坐标．
【解】因为矩阵A的特征多项式为
f(< br>
)

a
0
1
(

a) (

2)
，

2
因为1是矩阵
A
的 一个特征值，所以
f(1)0
，


11

解得
a=1
，所以矩阵
A

． ………………6分
02


1


11


1

3

因此
A




2



4

．
02
2



所以点（1，2）在矩阵
A
对应的变换作用下得到的点为（3，4）．………10分

B．[选修4
-
4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为

2sin

．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立 平
1

xt，

2

面直角坐标系，直线l的参 数方程为

（t为参数）．
3

yt2

 2
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．
【解】（1）因为曲线C的极坐标方程可化为

2
2

sin

．
y

sin

， 且
x
2
y
2


2
，
所以曲线C的直角坐 标方程为
x
2
y
2
2y0
．
1

xt3

2

直线l:
（t为参数）的普通方程为
y3x2
．…………6

y
3
t

2
分
12
13
2
1)
到直线l:
y3x2
的距离为
d
（2）圆心
(0，

1
，
2
1
又因为半径为1，所以弦长为
21()
2
3
． ………………10分
2

C．[选修4－5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知关于
x< br>的不等式
x
2
mxn0
的解集为

x|1x 2

，其中
m，nR
．
求证：
(m1)x3(n1)4x≤5
．
【解】因为关于
x
的不等式
x
2
mxn0
的解集为

x|1x2< br>
，
所以
······························ ····················
m=1+2=3，n=12=2
． ·
···3分
所以
(m1)x3(n1)4x2x34x
，
由柯西不 等式可得，
(2x34x)
2
≤(2
2
1
2
)[(x3)
2
(4x)
2
]5
，
4]
时取等号． 当且仅当
2x34x
，即
x
16
[3，
5
所以，
(m1)x3(n1)4x≤5
． ········································10
分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．
．．．．．．．．
22．(本小题满分10分)
已知正四棱锥
PABCD
的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机
选取3个点构成三角形，设随机变量
X
表示所得三角形的面积．
（1）求概率
P(X2)
的值；
（2）求随机变量
X
的概率分布及其数学期望
E(X)
．
解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，

3
=10
种取法．其中
X2
的三角形如△ABD， 共有
C
5
3
=4
个． 这类三角形共有
C
4
因此
P

X2


42
……4分

．
105
（2）由题意，
X
的可能取值为5
，2，
22
．
其中
X5
的三角形是侧面，这类三角形共有4个；
其中
X22
的三角形有两个，△PAC和△PBD．
因此
PX5

21
，
PX22
． ……8分
55

所以随机变量
X
的概率分布列为：
X

P

X


所求数学期望
5

2

5
2
22

1

5
2

5
E(X)
=
5222=

23．(本小题满分10分)
2
5
2
5
125+22+4
． ……10分
55
y
2
2px
(p0)
的焦点为F， 已知抛物线C：过F且斜率为
B两点，B在x 轴的上方，且点B的横坐标为4．
（3） 求抛物线C的标准方程；
4
的直线
l
与抛物线C交于A，
3
（4） 设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，

G 两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG

HE为定值，并求出定值．
【解】（1）由题意得：
F(
p
2
，0)
，
因为点B的横坐标为4，且B在x 轴的上方，
所以
B(4，8p)
，
因为
AB
的斜率为
4
3
，
所以
8p

4
，整理得：
p32p80
，
4 
p
3

2
即
(p2)(p42)0
，得
p2
，
抛物线C的方程为：
y
2
4x
．
（2）由（1）得：
B(4，4)
，
F(1，0)
，准线方程x1
，
直线
l
的方程：
y
4
3
(x1)
，

由


y
4
3
(x1)，
解得x
1
或
x4
，于是得
A


y< br>2
4x
4
(
1
4
，1)
．
分
P(
n
2
设点
4
，n)
，又题意n1
且
n4
，
所以直线
PA
：
y1 
41n4
n1
(x
4
)
，令
x1< br>，得
y
n1
，
即
HE
n4
n 1
，
同理可得：
HG
4n4
n4
，
HG
HE

n4
n1

4n4
n4
4
．
……4分
……6
……8分
……10分