语录计划-世界因你不同读后感

实用精品文献资料分享
空间向量与立体几何练习题（带答案）
一、选择题 1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定( ) A．有
不同的方向 B．有不相等的模 C．不可能是平行向量 D．不可能都是
零向量 【解析】 若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D． 【答
案】 D
图2－1－7 2． 如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，
在下列选项中，CD→的相反向量 是( ) → B．A1C1→ C.A1B1→
D．AA1→ 【解析】 由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反
向量． 【答案】 C
图2－1－8 3．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉
相等的是( ) A．〈AB→，BC→〉 B．〈BC→，CA→〉 C．〈C1B1→，
AC→〉 D．〈BC→，B1A1→〉 【解析】 ∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，
BC→〉＝〈AB→， AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D． 【答
案】 D 4．在正三棱锥ABCD中， E、F分别为棱AB，CD的中点，设
〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等 于( ) A.π6
B．π4 C.π3 D．π2 【解析】 如图，取BC的中点G，连接EG、
FG， 则EG∥AC，FG∥BD， 故∠FEG＝α，∠EFG＝β. ∵A－BCD是
正三棱锥， ∴AC⊥BD． ∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2. ∴α＋β＝∠FEG
＋∠EFG＝π2. 【答案】 D 5．如 图2－1－9所示，正方体ABCD－
A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量
有( ) 图2－1－9 A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【解析】 与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，
B1A1→，C 1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A. 【答案】
A 二、填空题 6．在正方 体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，
则向量CE→和BD→的夹角为_____ ___． 【解析】 ∵BD→为平面
ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中， ∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，
CE→〉＝90°. 【答案】 90° 7．下列命题正确的序号是
________． ①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4. ②若a，
b是同一个平面的两个法向量，则a＝B． ③若空间向量a，b，c满
足a∥b，b∥c，则a∥c. 【解析】 ①〈a，c〉＝π4或3π4，①
错；②a∥b；②错； ③当c＝0时，推不出a∥c，③错； ④由于异

实用精品文献资料分享
面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答
案】 ④ 8．在棱长为 1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量
的集合P＝{a|a＝P1P2→，P1，P2∈S}，则 在集合P中模为3的向量
的个数为________． 【解析】 由棱长为1的正方体的四条体对角
线长均为3知：在集合P中模为3的向量的个数为8. 【答案】 8 三、
解答题 图2－1－10 9．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为
AB＝3、A D＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点
为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为
5的所有向量； (3)试写出与AB→相等的所有向量． 【解】 (1)
由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对 应的AA1→，A1A→，BB1→，
B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量 都是单位向量，而
其他向量的模均不为1，故单位向量共8个． (2)由于这个长方体的
左右 两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，
DA1→，BC1→，C1 B→，B1C→，CB1→共8个． (3)与向量AB→相等
的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个． 图2
－1－11 10．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面
中心，求 平面SBD的法向量与AD→的夹角． 【解】 ∵正四棱锥底
面为正方形， ∴BD⊥AC，SO⊥AC 又∵BD∩SO＝O ∴AC⊥平面
SBD． ∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.
图2－1－12 11．如图 2－1－12，四棱锥P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD为正方形且PD＝AD，E 、F分别是PC、PB的中点． (1)试
以F为起点作直线DE的一个方向向量； (2)试以F为起点作平面PBC
的一个法向量． 【解】 (1)取AD的中点M，连接MF，连接EF， ∵E、
F分别是PC、PB的中点，∴EF�12BC，又BC�AD，∴EF�12AD， 则
由EF�DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量． (2)∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC， 又BC⊥CD， ∴BC⊥平面PCD， ∵DE�唐矫�PCD，
∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点， ∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，
∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→， ∴FM→
就是平面PBC的一个法向量.

实用精品文献资料分享