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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题 2018.3
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．
1.已知集合
A{1,1}
，
B{3,0,1 }
，则集合
AB
．
2.已知复数
z
满足
zi34i
（
i
为虚数单位），则
z
．
x
2
y
2
1
的渐近线方程为 ． 3.双曲线
43
4.某中学共有
1800
人，其中高二年级的人数为600
.现用分层抽样的方法在全校抽取
n
人，其中高二年级被抽取的
人 数为
21
，则
n
．
5.将一颗质地均匀的 正四面体骰子（每个面上分别写有数字
1
，
2
，
3
，
4
）先后抛掷
2
次，观察其朝下一面的数字，
则两次数字之和等于
6
的概率为 ．
6.如图是一个算法的流程图，则输出
S
的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为
2cm
，侧面积为
8cm
2
， 则它的体积为
cm
3
．
8.设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
a< br>2
a
4
2
，
S
2
S
4
1
，则
a
10

．
23
ab
，则
ab
的最小值是 ．
ab
tanA3cb
10.设三角形
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知，则
cosA
．

tanBb9.已知
a0
，
b0
，且

ae
x,x1

11.已知函数
f(x)

（
e
是自然对数的底）.若函数
yf(x)
的最小值是
4
，则实数
a< br>的取值范围
4

x,x1
x

为 ．
学习资料

. . . .
12.在
ABC
中，点
P
是边
AB
的中点， 已知
CP3
，
CA4
，
ACB
2

，则
CPCA
．
3
22
13.已知直 线
l
：
xy20
与
x
轴交于点
A
， 点
P
在直线
l
上，圆
C
：
(x2)y2上有且仅有一个点
B
满
足
ABBP
，则点
P
的横坐标的取值集合为 ．
f(1)
的取值范围为 ．
a
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证 明
．．．．．．．
14.若二次函数
f(x)axbxc
(a0)< br>在区间
[1,2]
上有两个不同的零点，则
2
过程或演算步骤. 15.已知向量
a(2sin

,1)
，
b(1,sin(



4
))
.
（1）若角

的终边过点
(3,4)
，求
ab
的值；
（2）若
ab
，求锐角

的大小.





16.如图，正三棱柱
ABCA
1
B
1C
1
的高为
6
，其底面边长为
2
.已知点
M< br>，
N
分别是棱
A
1
C
1
，
AC的中点，点
D
是棱
CC
1
上靠近
C
的三等分点 .

求证：（1）
B
1
M
平面
A
1BN
；
（2）
AD
平面
A
1
BN
.



学习资料

. . . .





x
2
y
2
3
1
)
， 点
A
是椭圆的下顶点. 17.已知椭圆
C
：
2

2
1
(ab0)
经过点
(3,)
，
(1,
2
ab
2
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）过点
A
且互相垂直的两直线
l
1
，
l
2
与直线
yx
分别相交于
E
，
F
两点，已知
OEOF
， 求直线
l
1
的斜率.







18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径
AB
为
6
，
O
是圆心，且
OCAB
.在
OC
上有一座观 赏亭
Q
，其中
AQC
2


.计划在
BC
上再建一座观赏亭
P
，记
POB

(0

)
.
32

（1）当



3
时，求
OPQ
的大小；
（2）当
OPQ
越大，游 客在观赏亭
P
处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭
P
处的观赏效果最佳时，角

的正弦值.




学习资料

. . . .







19.已知函数f(x)xaxbxc
，
g(x)lnx
.
（1）若
a0
，
b2
，且
f(x)g(x)
恒成立，求实数
c
的取值范围；
（2）若
b3
，且函数
yf(x)
在区间
(1,1)
上是单调递减函数.
①求实数
a
的值；
②当
c2
时，求函数
h(x)












*
2 0.已知
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n项和，
a
1
3
，且
2S
n
a
n 1
3
(nN)
.
32

f(x),f(x)g(x)
的值域.

g(x ),f(x)g(x)
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式； （2）对于正整数
i
，
j
，
k(ijk)
，已知< br>
a
j
，
6a
i
，

a
k
成等差数列，求正整数

，

的值；
n1
（3 ）设数列
{b
n
}
前
n
项和是
T
n
，且满足：对任意的正整数
n
，都有等式
a
1
b
n
a
2
b
n1
a
3
b
n2
 a
n
b
1
3
3n3
学习资料

. . . .
成立.求满足等式
T
n
1

的所有正整数
n< br>.
a
n
3






2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区< br>域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修4-1：几何证明选讲
如图，
AB
是圆
O
的直径，
D
为圆
O上一点，过点
D
作圆
O
的切线交
AB
的延长线于点C
，且满足
DADC
.

（1）求证：
AB2BC
；
（2）若
AB2
，求线段
CD
的长.





B. 选修4-2：矩阵与变换
学习资料

. . . .
已知矩阵
A


40

12
< br>
a

，，列向量.
B
X



01

05


b

（1） 求矩阵
AB
；
（2）若
B
1
A
1
X 

，求
a
，
b
的值.



C. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆
C
经过点
P(22,
D. 选修4-5：不等式选讲
已知
x
，
y
都是正数，且
xy 1
，求证：
(1xy)(1yx)9
.
22

5


1


圆心为直线

sin(
)3
与极轴的交点，求圆
C
的极坐标方程.
)
，
43

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指 定区域内作答，解答时应写出
．．．．．．．
文字说明、证明过程或演算步骤.
22 .如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PD垂直于底面
ABCD
，
PDAD2AB
，点
Q
为线 段
PA
（不含端点）上一点.

（1）当
Q
是线段
PA
的中点时，求
CQ
与平面
PBD
所成角的正弦值；
（2）已知二面角
QBDP
的正弦值为
2PQ
，求的值. 3PA
a
2
，
a
n
）23.在含有
n
个元素的集合
A
n
{1,2,,n}
中，若这
n
个 元素的一个排列（
a
1
，…，满足
a
i
i(i1,2, ,n)
，
则称这个排列为集合
A
n
的一个错位排列（例如：对 于集合
A
3
{1,2,3}
，排列
(2,3,1)
是A
3
的一个错位排列；排列
学习资料

. . . .
(1,3,2)
不是
A
3
的一个错位排列）.记集合
A
n
的所有错位排列的 个数为
D
n
.
（1）直接写出
D
1
，
D
2
，
D
3
，
D
4
的值；
（2） 当
n3
时，试用
D
n2
，
D
n1
表 示
D
n
，并说明理由；
*
（3）试用数学归纳法证明：
D
2n
(nN)
为奇数.
学习资料

. . . .
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题
1.
{1}
2.
5
3.
y
3
3
x
4.
63
5.
2
16
6.
25
7.
43
1
8.
8
9.
26
10.
3
3

1

3


11.
ae4
12.
6
13.

,5

14.
[0,1)

二、解答题
15.解：（1）由题意
sin


所以ab
43
，
cos


，
55
2sin

sin(a)2sin

sin

co scos

sin

444



< br>42423232

.
552522
（2）因为
a b
，所以
2sin

sin(a

4
)1，即
2sin

(sin

cos

cos

sin)1
，所以
44

sin
2

sin

cos

1
，
则
sin< br>
cos

1sin
2

cos
2< br>
，对锐角

有
cos

0
，所以
tan

1
，
所以锐角



4
.
16.证明：（1）连结< br>MN
，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1中，
AA
1
CC
1
且
AA
1
CC< br>1
，则四边形
AAC
11
C
是平行四边形，
因为点< br>M
、
N
分别是棱
A
1
C
1
，
AC
的中点，所以
MNAA
1
且
MNAA
1
，
又正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中AA
1
BB
1
且
AA
1
BB
1，所以
MNBB
1
且
MNBB
1
，所以四边形
MNBB
1
是平行
四边形，所以
B
1
MBN
，又
B
1
M
平面
A
1
BN
，
BN
平面
A
1
BN
，
所以
B
1
M
平面
A
1
BN
；
学习资料

. . . .

（2）正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AA
1

平面
ABC
，
BN
平面
ABC
，所以
BNAA
1
，
正
ABC
中，
N
是
AB
的中点，所以
BNA C
，又
AA
1
、
AC
平面
AAC
11< br>C
，
AA
1
所以
BN
平面
AAC
11
C
，又
AD
平面
AAC
11
C
，
所以
ADBN
，
由题意，
AA
1
6
，
AC2
，
AN1
，
CD
又
A
1
ANACD
ACA
，
AA
1
AN
6
，所以
ACCD
3
3
，
2

2
，所以
A
1
AN
与
ACD
相似，则
 AA
1
NCAD
，
所以
ANA
1
CA D
ANA
1
AA
1
N
则
ADA
1
N
，又
BN
所以
AD
平面
A
1BN
.

2
，
A
1
NN
，BN
，
A
1
N
平面
A
1
BN
，
1

3

11
1

a
2
4b
2

a
2
4
17.解：（1 ）由题意得

，解得

，

1

31

1
1



a
2
4 b
2

b
2
x
2
y
2
1； 所以椭圆
C
的标准方程为
4
（2）由题意知
A(0,1)
，直线
l
1
，
l
2
的斜率存在且不为零，
设直线
l
1
：
yk
1
x1
，与直线
yx
联立方程有


yk
1
x1
11
,)
， ，得
E(
k
1
1k
1
1

yx
学习资料

. . . .
设直线
l
2
：
y
1
11
x1
，同理
F(,)
，
11
k
1
11
k
1
k
1
因为< br>OEOF
，所以
|
11
|||
，
1
k
1
1
1
k
1
①
1
11
0
无实数解； ，
k
1


k
1
k
1
1

1
1
k
1
1
11
2< br>，
k
1
2
，
k
1
2k
110
，解得
k
1
12
，

k
1
k
1
1

1
1
k
1
②< br>综上可得，直线
l
1
的斜率为
12
.
18.解： （1）设
OPQ

，由题，
RtOAQ
中，
OA3
，
AQO

AQC



所以< br>OQ
2


，
33
3
，在
 OPQ
中，
OP3
，
POQ

2




2


3


6
，
由正弦定理得
OQOP

，
sinOPQsinOQP< br>即
33

5

，所以
3sin

 sin(



)sin(



)
，

sin

sin(



)
66
6
13
5

5

sin

，所以
3sin

cos

，
cos

cossin

cos


22
663

，得


；
3
6
则
3 sin

sin
因为

为锐角，所以
cos
< br>0
，所以
tan


（2）设
OPQ

，在
OPQ
中，
OP3
，
POQ
2




2


3

6
，
由正弦定理得
OQOP
33


，即，

sinOPQsinOQP
sin

sin(



(

))
2
所以
3sin

sin (



(



))sin((



))
cos(



)
cos

cos

sin

sin

，
22

从而
(3sin

)sin

cos

cos

，其中
3sin

0
，
cos

0
，
学习资料

. . . .
所以
tan


cos

，
3s in

记
f(

)
cos


13sin

，
f'(

)
，

( 0,)
；
2
2
3sin

(3sin
)
33

，存在唯一

0
(0,)
使得sin

0

，
33
2
令
f'(< br>
)0
，
sin


当

(0 ,

0
)
时
f'(

)0
，
f (

)
单调增，当

(

0
,
所以当



0
时，
f(

)
最 大，即
tanOPQ
最大，
又
OPQ
为锐角，从而
 OPQ
最大，此时
sin



2
)
时< br>f'(

)0
，
f(

)
单调减，
3
.
3
答：观赏效果达到最佳时，

的正弦值为
3
.
3
3
19.解：（1）函数
yg(x)
的定义域为
(0,)< br>.当
a0
，
b2
，
f(x)x2xc
，
∵
f(x)g(x)
恒成立，∴
x
3
2xclnx
恒成立，即
clnxx
3
2x
.
12x3x< br>3
(1x)(13x3x
2
)
1
2

令

(x)lnxx2x
，则

'(x)3x2

，
xx
x
3
令

'(x)0
，得
x1
，∴

(x)
在
(0,1]
上单调递增，
令

'(x)0
，得
x1
，∴

(x )
在
[1,)
上单调递减，
∴当
x1
时，
[

(x)]
max


(1)1
.
∴
c1
.
（2）①当
b3
时，
f(x) xax3xc
，
f'(x)3x2ax3
.
由题意，
f'(x)3x2ax30
对
x(1,1)
恒成立，
2
322

f'(1)32a30
∴

，∴
a0
，即实数
a
的值为
0
.

f'(1)32 a30
②函数
yh(x)
的定义域为
(0,)
.
当
a0
，
b3
，
c2
时，
f(x)x 3x2
.
3
f'(x)3x
2
3
，令
f '(x)3x
2
30
，得
x1
.
学习资料

. . . .
x

f'(x)

f(x)

(0,1)

-

1

(1,)

+

0

极小值
0

∴当
x (0,1)
时，
f(x)0
，当
x1
时，
f(x)0
，当
x(1,)
时，
f(x)0
.
对于
g(x)lnx
，当
x(0,1)
时，
g(x)0
，当
x1
时，
g(x)0
，当
x(1,)
时，
g( x)0
.
∴当
x(0,1)
时，
h(x)f(x)0，当
x1
时，
h(x)0
，当
x(1,)
时 ，
h(x)0
.
故函数
yh(x)
的值域为
[0,)
.
**
20.解：（1）由
2S
n
a
n1
3
(nN)< br>得
2S
n1
a
n2
3
，两式作差得
2a
n1
a
n2
a
n1
，即
a
n2
3a
n1
(nN)
.
a
1
3，
a
2
2S
1
39
，所以
a
n 1
3a
n
(nN
*
)
，
a
n
0
，则
比为
3
的等比数列，
n
所以
a
n
3
(nN)
；
a
n1
3
(nN
*
)
，所以数列
{a
n}
是首项为
3
公
a
n
*
jki
（2） 由题意

a
j


a
k
26a
i
，即

3

3263
，
所以

3
ji


3
ki
12
，其中
ji1
，
ki2
，
ki
所以

3
ji
3

3
，

39
9
，
12

3
ji


3< br>ki
12
，所以
ji1
，
ki2
，


1
；
n1
（3）由
a
1
b
n
a
2
b
n1
a
3
b< br>n2
a
n
b
1
3
3n3
得，
a
1
b
n1
a
2
b
n
a
3
b
n1
a
n
b
2
a
n1
b
1
3
n2
3(n1)3
， < br>a
1
b
n1
3(a
1
b
n
a
2
b
n1
a
n1
b
2
a
n
b
1
)
3
n2
3(n1)3
，
a
1
b
n1
3(3
n1
3n3)< br>3
n2
3(n1)3
，
n2
所以
3b
n1
33(n1)
33(3
n1
3n3)
，即
3b
n1
6n3
，
*
所以
b
n1
2n1
(nN)
，
*
11
又因为
a
1
b
1
33133
，得
b
1
1
，所以
b
n
2n1(nN)
，
学习资料

. . . .
T
n
n
2
12n1
*
2
从而
T
n
13 5(2n1)
nn
(nN)
，

n
(n N
*
)
，
2
a
n
3
当
n1
时
T
1
T
1
1
T
4

； 当
n2
时
2

；当
n3
时
3

；
a
1
3a
2
9
a
3
3T
n
1

，
a
n
3
nn1
下面证明：对任意正整数
n3
都有
T
n1
T
n

1


(n1)
2

a
n1
a
n

3

2
n1

1

1

n




3

3

2
2

1

((n1)3n )


3

22
n1
(2n
2< br>2n1)
，
当
n3
时，
2n2n1(1n )
n(2n)0
，即
T
n1
T
n
0< br>，
a
n1
a
n
所以当
n3
时，
T
n
TT
1
递减，所以对任意正整数
n3
都有
n

3

；
a
n
a
3
3
a
n
综上可得，满足等式
T
n
1

的正整数n
的值为
1
和
3
.
a
n
3
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21.【选做题】
A. 选修4-1：几何证明选讲
证明：（1）连接
OD
，
BD
.因为
AB
是圆O
的直径，所以
ADB90
，
AB2OB
.
因为
CD
是圆
O
的切线，所以
CDO90
，
又因为
DADC
，所以
AC
，
于是
ADBCDO
，得到
ABCO
，
所以
AOBC
，从而
AB2BC
.

（2） 解：由
AB2
及
AB2BC
得到
CB1
，所以
CD
CA3
.由切割线定理，
CD
2
CBCA13 3
，
学习资料
3
.

. . . .
B. 选修4-2：矩阵与变换
解：（1）
AB


40

12

48


05



05

；
01


5

1


5


1

48

5

28


a

，又因为


X

，所以
a28
，b5
.


05

1

5


b

（2）由
B
1
A
 1
X

，解得
XAB



C. 选修4-4：坐标系与参数方程
解：在

sin(



3
)3
中，令

0
，得

2，
所以圆
C
的圆心的极坐标为
(2,0)
.
因为圆
C
的半径
PC
(22)
2
2
2
2 222cos

4
2
，
于是圆
C
过极点， 所以圆的极坐标方程为

4cos

.
D. 选修4-5：不等式选讲
证明：因为
x
，
y
都是正数，
所以
1xy
2
3
3
xy
2
0
，< br>1yx
2
3
3
yx
2
0
，
(1xy
2
)(1yx
2
)9xy
，又因为
x y1
，
所以
(1xy)(1yx)9
.
22
【必做题】
22.解：（1）以
D
为原点，
DA，
DC
，
DP
为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设
AB t
，则
D(0,0,0)
，
A(2t,0,0)
，
B(2 t,t,0)
，
C(0,t,0)
，
P(0,0,2t)
，
Q(t,0,t)
；
所以
CQ(t,t,t)
，
DB(2t ,t,0)
，
DP(0,0,2t)
，


DBn< br>1
0
设平面
PBD
的法向量
n
1
(x, y,z)
，则

，


DPn
1
0

2txty0

2xy0
即

，解得< br>
，所以平面
PBD
的一个法向量
n
1
(1,2 ,0)
，
2tz0z0

cosn
1
,CQ
n
1
CQ
n
1
CQ

3t
15

，
5
53t
15
.
5
则
CQ
与平面
PBD
所成角的正弦值为
学习资料

. . . .
（2）由（1）知平面
PBD
的一个法向量为
n
1
( 1,2,0)
，设
PQ


(0

1)，则
PQ

PA
，
DQDPPQ
PA
 (0,0,2t)

(2t,0,2t)(2t

,0,2t(1< br>
))
，
DB(2t,t,0)
，设平面
QBD
的 法向量
n
2
(x,y,z)
，则


2t

x2t(1

)z0


x(1

)z0

DQn
2
0
，即

，解得

，所以平面
QBD
的一个法向量

2txty02x y0



DBn
2
0
n
2< br>(1

,2

2,

)
，
由题意得
1()cosn
1
,n
2


2
3
2
n
1
n
2
n
1
n
2

5(1

)
5(1

)(2

2)(

)
222
，
55(1

)
2
2
所以

，即
(

2)(

)0
，
96

2
10

5
3
因为
0

1
，所以


2 PQ2
，则

.
3PA3
23. 解：（1）
D
1
0
，
D
2
1
，
D
3
2
，
D
4
9
，
（2 ）
D
n
(n1)(D
n1
D
n2
)，
理由如下：
对
A
n
的元素的一个错位排列（
a< br>1
，
a
2
，…，
a
n
），若
a1
k(k1)
，分以下两类：
若
a
k
1
，这种排列是
n2
个元素的错位排列，共有
D
n2
个； 若
a
k
1
，这种错位排列就是将
1
，
2，…，
k1
，
k1
，…，
n
排列到第
2< br>到第
n
个位置上，
1
不在第
k
个位置，
其他 元素也不在原先的位置，这种排列相当于
n1
个元素的错位排列，共有
D
n 1
个；
根据
k
的不同的取值，由加法原理得到
D
n(n1)(D
n1
D
n2
)
；
（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，
D
n
均为自然数；
当
n3
，且
n
为奇数时，
n1
为偶数，从而
D
n
(n1)(D
n1
D
n2
)
为偶数，
又
D
1
0
也是偶数，
故对任意正奇数
n
，有
D
n
均为偶数.
学习资料

. . . .
下面用数学归纳法证明
D
2n
（其中
nN
*
）为奇数.
当
n1
时，
D
2
1
为奇数； < br>假设当
nk
时，结论成立，即
D
2k
是奇数，则当
nk1
时，
D
2(k1)
(2k1)(D
2k1
D
2k
)
，注意到
D
2k1
为偶数，
又D
2k
是奇数，所以
D
2k1
D
2k
为奇 数，又
2k1
为奇数，所以
D
2(k1)
(2k1)(D< br>2k1
D
2k
)
，即结论对
nk1
也成立；
根据前面所述，对任意
nN
*
，都有
D
2n
为奇 数。


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