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2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）

第I卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）


一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
A{x |3x1}
，
B{x|x2}
，则
AB
（ ）
A.
{x|2x1}
B.
{x|0x1}
C.
{x|3x2}
D.
{x|1x2}


2. 设
{a
n
}
是等差数列，
a
1
a
3
a
5
9
，
a
6
9
，则这 个数列的前6项和等于（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

yx

3. 设变量
x
、
y满足约束条件

xy2
，则目标函数
Z2xy
的最小值 为（ ）

y3x6

A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

4. 设
Plog
2
3
，
Qlog
3
2
，
Rlog
2
(log
3
2)
，则（ ）
A.
RQP
B.
PRQ
C.
QRP
D.
RPQ


5. 设

、

(< br>
,)
，那么“



”是“
tan
tan

”的（ ）
22
B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 A. 充分而不必要条件

6. 函数
y
A.
y
x
2
11
（
x0
）的反函数是（ ）
B.
yx
2
2x
（
x0
）
x
2
2x
（
x0
）
C.
yx
2
2x
（
x2
） D.
yx
2
2x
（
x2
）

7. 若
l
为一条直线，

、

、

为三个互不 重合的平面，给出下面三个命题：①



，







②



,






；③
l
< br>,l





，其中正确的命题有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

8. 椭 圆的中心为点E（
1,0
），它的一个焦点为F（
3,0
），相应于焦点 F的准线方程为
x
个椭圆的方程是（ ）
7
，则这
2< br>2(x1)
2
2y
2
2(x1)
2
2y
2
(x1)
2
1
B.
1
C.
y
2
1
A.
2132135

(x1)
2
y
2
1
D.
5
9. 已知函数
f(x)asinxbcosx
（
a、b
为常数，
a 0,xR
）的图象关于直线
x

4
对称，则函数
yf (
3

x)
是（ ）
4
3

,0
）对称
2
A. 偶函数且它的图象关于点（

,0
）对称 B. 偶函数且它的图象关于点（
C. 奇函数且它的图象关于点（

3

,0
）对称 D. 奇函数且它的图象关于点（

,0
）对称
2
1

xx2
10. 如果函数
f(x)a(a3a1)< br>（
a0
且
a1
）在区间
[0,)
上是增函数 ，那么实数
a
的取值
范围是（ ）
A.
(0,]
B.
[




2
3
3
3
,1)
C.
(1,3]
D.
[,)

3
2
第II卷（本卷共12小题，共100分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。

11.
(x

12. 设向量
a
与
b
的夹角为

，且
a
=（3，3），
2ba(1,1)
，则
co s


。

13. 如图，在正三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
中，AB=1。若二面角
CAB C
1
的
大小为
60
，则点
C
1
到直线AB的距离为 。
14. 若半径为1的圆分别与
y
轴的正半轴和射线
y
1x
)
7
的二项展开式中
x
的系数是 （用数字作答）
3
x(x0)
相切，
3
则这个圆的方程为 。

15. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
x
吨，运费为4万元次，一年的
总存 储费用为
4x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x
= 吨。

16. 用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个（用数字作答）。
三. 解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知
tan

cot
< br>
5


，

(,)
，求
co s2

和
sin(2

)
的值。
2424



18.（本小题满分12分）
甲、乙两台 机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95。
（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）




19.（本小题满分12分）
如图，在五面体A BCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱
EF
（1）证 明FO平面CDE；
（2）设
BC





1
BC
。

2
3CD
，证明EO⊥平面CDF。
2

20.（本小题满分12分）
1

，其中
xR
，

为参数，且
0


。
322
（1）当
cos

0
时，判断函数< br>f(x)
是否有极值；
（2）要使函数
f(x)
的极小值大于零，求参数

的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数

，函数
f(x)
在区间（
2a1,a
）内都是增函数，求实
数
a
的取值范围。
已知函数
f(x)4x3xcos


32







21.（本小题满分14分）
已知数 列
{x
n
}
满足
x
1
x
2
1
，并且
x
n1
x


n
（
< br>为非零参数，
n
2，3，4，……）
x
n
x
n 1
（1）若
x
1
、x
3
、x
5
成等比数列 ，求参数

的值；
x
1k
x
2k
x
nk

k
*
nN
（2）设
0

1
，常数
kN
且
k3
，证明（）

k
x
1
x
2
x
n
1

*






22.（本小题满分14分）
5
x
2
y
2
如图，双曲线
2

2
1
（
a0,b0
）的离心率为，
F
1
、F< br>2
分别为左、右焦点，M为左准线与
2
ab
1
渐近线在第二象 限内的交点，且
F
1
MF
2
M
。
4
（1）求双曲线的方程；
1
（
0m1
）是
x
轴上的两点，过点A作斜率不为0的直线
l
，使得
l
交
， 0
）
m
双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于< br>x
轴。
（2）设A（
m，0
）和B（


3

2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
参考答案
一. 选择题：1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. D 7. C 8. D 9. D 10. B

二. 填空题：11. 35 12.

三. 解答题
310
13.
10
3
14.
(x1)
2
(y3)
2
1
15. 20 16. 24
5sin

cos

5254
，得

，则

，
sin2



2cos< br>
sin

2sin2

25


3
2
因为

(,)
，所以
2

(,

)
，
cos2

1sin2

 

4225
2322

4


sin(2

)sin2

coscos2

s in

10
444
5252
515
解法二：由
t an

cot


，得
tan

< br>
2tan

2
1

1
解得
ta n

2
或
tan


。由已知

(,)
，故舍去
tan


，得
tan
2

2422
255
3
22
因此，
sin< br>

，
cos


，那么
cos2

cos

sin



55
5< br>4

且
sin2

2sin

cos


，故
sin(2

)sin2

coscos2

sin

5444
42322




525210
22
18.（1）解：任取甲机床的3件产品中 恰有2件正品的概率为
P
3
(2)C
3
0.90.10.2 43

17.解法一：由
tan

cot

< br>（2）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
P(AB)P(A B)P(AB)0.90.950.90.050.10.950.995
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
1P(AB)10.10.050. 995


19. （1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中 11
OMBC
，又
EFBC
，则
EFOM
。连结EM，


2

2
于是四边形EFOM为平行四边形
∴ FOEM
又 ∵ FO

平面CDE，且EM

平面CDE，∴ FO平面CDE
（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边
CDE
中， CM=DM，EM⊥CD且
EM
31
CDBCEF
。因此平行四边形E FOM为菱形，从而EO⊥FM
22
∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO
而FM

CD=M，所以
EO
平面CDF
20. （1 ）解：当
cos

0
时，
f(x)4x
1
， 则函数
f(x)
在（
,
）上是增函数，故无极值。
32< br>cos

2
（2）解：
f

(x)12x6xc os

，令
f

(x)0
，得
x
10,x
2


2
3

4

由
0



2
x

及（1），只考虑
cos

0
的情况
当
x变化时，
f

(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下 表：
(,0)

+
↗
0
0
极大
值
(0,
cos

)

2
－
↘
cos


2
0
极小
值
(
cos

,)

2
+
↗
f

(x)

f(x)

因此，函数
f(x)
在
x
cos
cos

cos

11
处取得极小值
f()
，且
f()cos
3



222432cos

111

要使
f()0
，必有
 cos
3

0
，可得
0cos


，所以




2432232
cos

（3）解：由（2）知，函数
f(x)
在区间
(,0)
与
(, )
内都是增函数
2

2a1a

2a1a
由题设，函数
f(x)
在
(2a1,a)
内是增函数，则< br>a
须满足不等式组

或


1
a0
2a1cos



2

由（2），参数

(

11
,)
时，
0cos

< br>，要使不等式
2a1cos

关于参数

恒成立，必有< br>3222
2a1
1

4
55
a1
， 所以
a
的取值范围是
(,0][,1)

88
x3
x
xx


2
x
3


，
4


3
x
4


3

x
2
x
1
x
3
x
2
综上，解得
a0
或

21.（1）解：由已知
x
1< br>x
2
1
，且
x
5
x
2


4
x
5


6
若
x
1、x
3
、x
5
成等比数列，则
x
3
x
1
x
5
，即

2


6
，而< br>
0
，解得

1

x
4
x< br>3
x
n1
x
n1
x
2
a

n1
，
{a}
（2）证明：设
n
，由已知，数列
n
是以故
1
为首项、

为公比的等比数列，
x
n
x
n
x
1
kn
xxxx
nk2
< br>
nk3


n1


则
n k

nk

nk1

n1


x
n
x
nk1
x
nk2
x
nk(k3)
2

*
因此，对任意
nN
，
k(k3)
2
k(k3)
2
x
1k
x
2 k
x

nk

x
1
x
2
x
n
kn
k(k3)
2


k
< br>
2k




k(k3)
2(



k2k


)


nk
k(k3)
2

k
(1

n k
)

k
1

当
k3
且
0

1
时，
0

k(k3)
2
1< br>，
01

nk
1
，所以
x
1k< br>x
2k
x
nk

k
*
nN
（ ）

k
x
1
x
2
x
n
1


22. （1）解：根据题设条件，
F
1
(c, 0)
，
F
2
(c,0)
，

5


a
2
x


c
设 点M（
x,y
），则
x、y
满足


y
b
x

a

c5
2a2b

,)
， ，解得
M(
a2
55
2a2b2a2b
441
c ,)(c,)
a
2
c
2
b
2
 故
F
1
MF
2
M(
554
5555< br>51
22
2222
22
利用
abc
，得
c
，于是
a1
，
b
，因此，所求双曲线方程为
x4 y1

因
e
44
（2）解：设C（
x
1
,y
1
），D（
x
2
,y
2
），E（
x
3
,y
3
），则直线
l
的方程为
y
y

y
1
y
1
(xm)(1)
xm
(x m)
于是C
(xx

1
,y
1
)
、D< br>(
2
,y
2
)
两点坐标满足

x
1
m

1



x
2
4y2
1(2)
将（1）代入（2）得
(x
2
1
2x
2
1
mm4y
2
1
)x
2
8my< br>2222
1
x4y
1
mx
1
2mx
1
m
2
0
由
x
22
1
4y
1
1
(点C在双曲线上)
，
上面方程可化简为

(m
2
2x
22
1
m1)x
2
8my
2
1
x(x
2
1
2mx
1
mx
1
) 0
m
2
2x
x
2
1
2mx
1
m
2
x
2
由已知，显然
1
1
m10
。于是
x
1
x
2

m
2
2x
。因为
x
1
0
，得
1
m1
x
x1
2mm
2
x
1
2

m
22x

1
m1


y
1
1
同理，C（
x

y(x)
1
,y
1
）、E（
x
3
,y
3
）两点坐标满足

x
1
m
1


m



x
2
4y
2
1
x2
1
(
1
1
)2
x
1
可解得
x
m
2
x
1

3

mm
(
11

2mx
1
12x

2
2
1
m
m
)2x
m< br>1
m
1
所以
x
2
x
3
，故直线 DE垂直于
x
轴

6