湄公河行动豆瓣-农大金山学院

绝密★考试结束前

数学（四）
考生须知：
1.
本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.
答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.
所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.
考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知
a, b  R, i
是虚数单位，若
A.
a  b  0


a  i
i
B.

a  b  0

与
1 bi
互为共轭复数，则（ ）
C.
a  1

D.
b  1


x  2 y  2


2. 已知实数
x, y
满足

x  y  1
，则

x  y
的最大值为（ ）

y  0

A.
4
B.
3

a b
C.
2
D.
1

3. 已知
a, b  R
，则 “
e e
”是“
a b
”成立的（ ）
A．充分非必要条件
C．充要条件
B．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
4.在正三棱柱
ABC  A
1
B
1
C
1
中，
AB  AA
1
 2
，
M
是棱
AA
1
上的动点，则三棱锥
M  BCB
1
的体积为
（ ）

A
．
不确定
2


3

B
．

3
2


2

C
．

3
4


D
．
3
5．已知函数
f (x)  2sin(

x  )(


 0)
和
g(x)  cos(3x 

)(|


| )
的图象的对称轴完全相




6 2
同，则（ ）


 2
，



A.





 3
，


 2
，


 3
，







B.




C.





D.
3 3 6 6
x

 x
2
在区间

a, b

6．若函数
f

上的值域为
t, t 1
A.有最大值，但无最小值
C.无最大值，但有最小值


t  R

，则
b  a
（ ）

B. 既有最大值，也有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
第1页（共 4 页）

3
2019



2
2

2

2019
2

7.设
a
n
是

2  x

(
n  2
，且
n  N
)的展开式中
x
项的系数，则
 

的

a
2019

2018

a
2
a
3

n
2
值 为 （ ）
A.
4

B.

2006


2017
C.
8

D.

1003


2017
8．如图，点
P
在正方体
ABCD  A
1
B
1
C
1
D
1
的表面上运动，且
P
到直线
BC
与点
D
1
的距离相等．如
果将正方体在平面内展开，那么动点
P
的轨迹在展开图中的形状是（ ）
D
1


C
1

P
B
1
A
1




D
A
C
B

9. 已知平面向量
a, b, c
满足：
a  b

 4
，且
(a  c)  (b  c)  3
，则
c  (a  b)
的最小值为（ ）
A.


2
1
4

B.
1
2
C.



1
4
D.



1
2
10.已知抛物线
C : y x
，以
M (1,1)
为直角顶点作该抛物线的内接直角
MAB
，则点
M
到直线
AB
的距离的最大值为（ ）
A．
3

B．
5

C．
6

D．
7


非选择题部分
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每小题 6 分, 单空题每小题 4 分,共 36 分．

11.集合
A 

x | 1  x  2

,B 

x |1  x  4

A  (C
R
B) 
．

，
则
A

B 
，
第2页（共 4 页）

12.若圆
x y 2x  4 y  4  0
关于直线
y  3x  b
对称，则圆的半径为


2 2
b
的值为 ，
.
13.已知正数
x, y
满足
2
8



 1
，则
x  y
的最小值是
x 1 y

，此时

x, y




.
5

， 则

ABCD
14. 在矩形 中，
AB  2, AD  1
，
E, F
分别是边
AB, AD
上的动点， 且
S
CEF
6

，当
ECF
最大时，
DF • BE

DF
的长为

．
15．用红黄蓝三种颜色给如图所示的六个圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜

色不能相同，则不同的涂色方案共有 .
A
D
B
E
C
F
第 16 题图 第 15 题图
16.已知点
A
、
B
是曲线
C : y  x 
1


x  0

上任意的两个不同点，分别过
A
、
B
作曲线
C
的切

x
线交
y
轴和直线
y  x
于
P
、
Q
、
M
、
N
（如图），记这两条切线的交点为
G
，则
S
PMG
: S
QNG


的取值所构成的集合为
2
．
x )
17．设函数
f (x) | ax bx  3 |
，若对任意的负实数
a
和实数
b
，总有 使得
f (x
0
，
0


[1, 2]
，

 mx
0

则实数
m
取值范围是

．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）

18．（本题满分 14 分）设函数
f (x)  3 sin

x cos

x  cos
2

x
．其中
1 


 3
.
（Ⅰ）若
f (x)
的最小正周期为


，求
f (x)
的单调增区间；
（Ⅱ）若函数
f (x)
的图象的一条对称轴为
x 

，求函数
f (x)
的对称中心．

3


第3页（共 4 页）

19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥
P  ABCD
中，底面
ABCD
为直角梯形，
AB

CD
，
AB  AD  1
，
BC  BD
，
PA  3EA
．
（Ⅰ）求证：
PC
平面
DBE
；
（Ⅱ）若
PD  PC  2
且二面角
P  DC  B 
与平面
PCD
所成角的正弦值.



20. （本题满分 15 分）对任意的正整数
n
，数列

a
n

和

b
n

满足：
a
1
 1
，且

5


6
，求
PB

a
a
aa


n

a


n1


n2


2


1
 T
n

b b b b b
1 2 3
n1 n
n2
33



n 9
 n
T   


，试问：

b
a
，
是否为等比数列，若是，求公比
q
的值；

（I）若
n



n


n


4 2 4

1

a
 a
 3
n

n1
，求满足
4T
n

 3a
（II）若
b
n




，
n
n
 2020
的正整数
n
的最小值.

3



2 2
xy

21 ．（ 本 题 满 分 15 分） 如图 所示 ， 已知 椭圆
C
：
2

2
 1(a  b  0)
，圆
O
：
ab
6
x
2
 y
2
 r
2
(0  r  b)
．椭圆
C
的离心率为

且过点
(0, 2)
．
P
为椭圆上的一动点，过点
P
3
作圆
O
的两条切线
l
1
, l
2
，且两切线的斜率之积
k
1
k
2
为定值．
n
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程与
r
的
值；

（Ⅱ）若
1
l

与椭圆
C
交于
P, Q
两点，与圆
O
切于点
A
，
与
x
轴正半轴交于点
B
，且满足
| PA || QB |
，求
l
1

的方程．


22．（本题满分 15 分）已知
f (x)  e
xa1

l
1

y
l
2
A
P

O


B
Q
x

, g

x

 x
2
 bx 1
．

（Ⅰ）当
b  0
时，证明：对任意的实数
a
，
方程
f

x

 g

x

恒有解；

（Ⅱ）当
a  b
时，
f

x

 g

x

对任意的
x  0
恒成立，求实数
a
的取值范
围．

第4页（共 4 页）

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