省份的简称-北京外国语大学研究生院

2015年上海市高考数学试卷（文科）



一 、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果,每个空格 填对得4分,否则一律零分）

1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin
2
x的最小正周期为 ．

2．（4分）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B= ．

3．（4分）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z= ．

4．（4分）设f
﹣
1
（x）为f（x）=的反函数,则f
﹣
1
（2）= ．

解为,则c
1
﹣c
2
= ．

,则a= ．

5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为
6． （4分）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16
7．（4分）抛物线y
2
=2 px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= ．

8．（4分）方程lo g
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
（3< br>x
﹣
1
﹣2）+2的解为 ．

9．（4分）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为 ．

10．（4 分）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、
女教师都有,则不同的选取 方式的种数为 （结果用数值表示）．

11．（4分）在（2x+）
6
的二项式中,常数项等于 （结果用数值表示）．

﹣y
2
=1,若C
2
的一条渐12 ．（4分）已知双曲线C
1
、C
2
的顶点重合,C
1
的方程 为
近线的斜率是C
1
的一条渐近线的斜率的2倍,则C
2
的方程为 ．

13．（4分）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则 |++|
的最大值是 ．

14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1
,x
2
,…,x
m
满足0≤x
1
＜x< br>2
＜…＜x
m
≤6π,
且|f（x
1
）﹣f（x2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）﹣f（x
m
）|=12（m≥2,m
∈N
*
）,则m的最小值为 ．



二、选择题（本大题共4小题, 满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应

在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.

1 5．（5分）设z
1
、z
2
∈C,则“z
1
、z
2
均为实数”是“z
1
﹣z
2
是实数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

＜2解集相同的是（ ）

16．（5分）下 列不等式中,与不等式
A．（x+8）（x
2
+2x+3）＜2
C．＜ D．
B．x+8＜2（x
2
+2x+3）

＞

, 1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至17．（5分）已知点A的坐标为（4
OB,则点B的纵坐标为 （ ）

A． B． C． D．

18．（5分）设 P
n（x
n
,y
n
）是直线2x﹣y=
的交点,则极限
A． ﹣1 B．﹣ C．1


=（ ）

D．2

（n∈N
*
）与圆x
2
+y
2
=2在第一象限
三 、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域内写出必要的 步骤.

19．（12分）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为 半圆弧
的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直< br>线PA和OE所成角的大小．

20．（14分）已知函数f（x）=ax
2
+,其中a为常数

（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；

（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．

21．（14分）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、< br>乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单
位:千米） ．甲的路线是OQ,速度为5千米小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米
小时,乙到达Q地后在原地等 待．设t=t
1
时乙到达P地,t=t
2
时乙到达Q地．

（1）求t
1
与f（t
1
）的值；

（2）已知警 员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t
1
≤t≤t
2
时,求f（t）的表 达
式,并判断f（t）在[t
1
,t
2
]上的最大值是否超过3？说 明理由．


22．（16分）已知椭圆x
2
+2y
2=1,过原点的两条直线l
1
和l
2
分别与椭圆交于点A、
B和 C、D,记△AOC的面积为S．

（1）设A（x
1
,y
1
）,C（x
2
,y
2
）,用A、C的坐标表示点C到直线l
1的距离,并证明
S=
（2）设l
1
:y=kx,
|；

,S=,求k的值；

（3）设l
1
与l
2
的斜率 之积为m,求m的值,使得无论l
1
和l
2
如何变动,面积S保持
不 变．

23．（18分）已知数列{a
n
}与{b
n
}满足 a
n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1
﹣b
n
）,n∈N
*
．

（1）若b
n< br>=3n+5,且a
1
=1,求{a
n
}的通项公式；

（2）设{a
n
}的第n
0
项是最大项,即a
n0
≥a< br>n
（n∈N*）,求证:{b
n
}的第n
0
项是最大
项；

（3）设a
1
=3λ＜0,b
n
=λ
n（n∈N
*
）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N
*
,a
n
≠0,且

．

2015年上海市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、填空题（本大题共14小题,满分5 6分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）

1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin
2
x的最小正周期为 π ．

【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得
函数的最小正周期．

【解答】解:∵函数f（x）=1﹣3sin
2
x= 1﹣3
∴函数的最小正周期为
故答案为:π．

【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题．



2．（4分）（2015•上海）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x |2≤x≤3},则A∩B=
{2,3} ．

【分析】由A与B,找出两集合的交集即可．

【解答】解:∵全集U=R,A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},

∴A∩B={2,3},

故答案为:{2,3}

【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．



3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z= ．

=π,

=﹣+cos2x,

【分析】设z=a+b i,则=a﹣bi（a,b∈R）,利用复数的运算法则、复数相等即可得
出．

【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,

又3z+=1+i,

∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,

化为4a+2bi=1+i,

∴4a=1,2b=1,

解得a=,b=．

∴z=
故答案为:
．

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．



4．（4分）（2015•上海）设f
﹣
1
（x）为f（x）=的反函数,则f﹣
1
（2）= ﹣ ．

【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式 表示,x,y互换求出原函数的反函
数,则f
1
（2）可求．

【解答】解:由y=f（x）=
x,y互换可得,
∴
故答案为:．

,得,

．

﹣
,即f
﹣
1
（x）=
．

【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题．



5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为
c
2
= 16 ．

【分析】根据增广矩阵的定义得到
可．

【解答】解:由题意知,是方程组的解,

,是方程组的解,解方程组即
解为,则c
1
﹣
即,

则c
1
﹣c
2
=21﹣5=16,

故答案为:16．

【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的
关键．



6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16
4 ．

【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．

,则a=
【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为
•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,

∴（•a•a•sin60°）•a=16
故答案为:4．

【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．


7．（4分）（2015•上海）抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离 的最小
值为1,则p= 2 ．

【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．

【解答】解:因为抛 物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,

所以=1,

所以p=2．

故答案为:2．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．



8．（4分）（2015•上海）方程log
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
（3
x
﹣
1
﹣2）+ 2的解为 2 ．

【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可．

【解答】解:∵ log
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
（ 3
x
﹣
1
﹣2）+2,∴log
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
[4×（3
x
﹣
1
,∴a=4,

﹣2）],

∴9
x
﹣
1
﹣5=4（3
x
﹣
1
﹣2）,

化为（3
x
）
2
﹣12•3
x
+27=0,

因式分解为:（3
x
﹣3）（3
x
﹣9）=0,

∴3
x
=3,3
x
=9,

解得x=1或2．

经过验证:x=1不满足条件,舍去．

∴x=2．

故答案为:2．

【点评】本题考查了对数的运算性质 及指数运算性质及其方程的解法,考查了计
算能力,属于基础题．



9．（4分）（2015•上海）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．

【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的
最大值．
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．

由z=x+2y得y=﹣x+z,

平移直线y=﹣x+z,

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,

此时z最大．

由,解得,即B（1,1）,

代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3

故答案为:3．


【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和

最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．



1 0．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义
务献血,要求男 、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表
示）．

【分析 】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组
合数公式可得其选法数目 ,再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．

【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,

在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C
9
5
=126种；

其中只有女教师的有C
6
5
=6种情况；

则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；

故答案为:120．

【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法（间接 法）,可以避免分
类讨论,简化计算．



11．（4分）（2015•上海）在（2x+
用数值表示）．

【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求．

【解答】解:由（2x+）
6
,得

=
由6﹣3r=0,得r=2．

∴常数项等于
故答案为:240．

【点评】本题考查了二项式系数的性质, 关键是对二项展开式通项的记忆与运用,
是基础题．



12．（ 4分）（2015•上海）已知双曲线C
1
、C
2
的顶点重合,C
1
的方程为﹣y
2
=1,
．

．

）
6
的二项式中,常数项等于 240 （结果
若C
2
的一 条渐近线的斜率是C
1
的一条渐近线的斜率的2倍,则C
2
的方程为

．

【分析】求出C
1
的一条渐近线的 斜率,可得C
2
的一条渐近线的斜率,利用双曲线
C
1
、C
2
的顶点重合,可得C
2
的方程．

【解答】解:C
1的方程为﹣y
2
=1,一条渐近线的方程为y=,

因为C
2< br>的一条渐近线的斜率是C
1
的一条渐近线的斜率的2倍,

所以C
2
的一条渐近线的方程为y=x,

因为双曲线C
1
、C
2
的顶点重合,

所以C
2
的方程为．

故答案为:．

【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．



13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={ 1,2,3},
则|++|的最大值是 3+
【分析】分别以
．

所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当
,则x
2
+y
2
=9,则++=（1+x,2+y）,有{||,||}={1,2},||=3,设
||=的最大值 ,其几何意义是圆x
2
+y
2
=9上点（x,y）与定
点（﹣1,﹣ 2）的距离的最大值；其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行
比较即可．

【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,

,

①当{||,||}={1,2},||=3,则
设,则x
2
+y
2
=9,

∴++=（1+x,2+y）,

∴||=的最大值,其几何意义是 圆x
2
+y
2
=9上点（x,y）与

定点 （﹣1,﹣2）的距离的最大值为
②且{||,||}={1,3},||=2,则
∴++=（ 1+x,3+y）

∴||=
,x
2
+y
2
=4,

=3+；

的最大值,其几何意义是圆x
2
+y
2
=4上点（x,y）与
=2+
,

,

定点（﹣1,﹣3） 的距离的最大值为2+
③{||,||}={2,3},||=1,则
设,则x
2+y
2
=1

∴++=（2+x,3+y）

∴||=的最大值,其几何意义是在圆x
2
+y
2
=1

=1+

上取点（x,y）与定点（﹣2,﹣3）的距离的最大值为1+
∵< br>故|++|的最大值为3+
故答案为:3+

,

．

【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外
取一点,使得 其到圆上点的距离的最大值:r+d（r为该圆的半径,d为该点与圆心的
距离）．



14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1,x
2
,…,x
m
满足0≤x
1
＜
x
2
＜…＜x
m
≤6π,且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣< br>1
）﹣f（x
m
）
|=12（m≥2,m∈N
*
）, 则m的最小值为 8 ．

【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x
i
, x
j
（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x
i
）﹣f
（x
j
）|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2,要使m取 得最小值,尽可能多让x
i
（i=1,2,3,…,m）
取得最高点,然后作图可得满 足条件的最小m值．

【解答】解:∵y=sinx对任意x
i
,x
j
（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x
i
）﹣f（x
j
）|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2,

要使m取得最小值,尽可能多让x
i
（i=1,2,3,… ,m）取得最高点,

考虑0≤x
1
＜x
2
＜…＜x
m
≤6π,|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2< br>）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）
﹣f（x
m
）|=12,

按下图取值即可满足条件,


∴m的最小值为8．

故答案为:8．

【点评】本题考查正弦函数 的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查
数学转化思想方法,正确理解对任意x
i
,x
j
（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x
i
）﹣f（ x
j
）|
≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2 是解答该题的关键,是难题．



二、选择题（本大题共4小题,满分20 分）每题有且只有一个正确答案,考生应
在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分 ,否则一律零分.

15．（5分）（2015•上海）设z
1
、z
2
∈C,则“z
1
、z
2
均为实数”是“z
1
﹣z
2
是实数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．

【解答 】解:若z
1
、z
2
均为实数,则z
1
﹣z
2是实数,即充分性成立,

当z
1
=i,z
2
=i,满 足z
1
﹣z
2
=0是实数,但z
1
、z
2
均为实数不成立,即必要性不成立,

故“z
1
、z
2
均为 实数”是“z
1
﹣z
2
是实数”的充分不必要条件,

故选:A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复数的有关概念 是解决
本题的关键．

16．（5分 ）（2015•上海）下列不等式中,与不等式
A．（x+8）（x
2
+2x+3）＜ 2
C．＜ D．
B．x+8＜2（x
2
+2x+3）

＞

＜2解集相同的是（ ）

【分析】根据x
2
+2x+3=（x+1）
2
+2＞0,可得不等式
（x
2
+2x+ 3）,从而得出结论．

【解答】解:由于x
2
+2x+3=（x+1）2
+2＞0,不等式
（x
2
+2x+3）,

故选:B．

＜2,等价于x+8＜2
＜2,等价于x+8＜2
【点 评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,体现了等价转化的数学思想,属
于基础题．



17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4
针旋转
A．
至OB,则点B的纵坐标为（ ）

B． C． D．

,1）, 将OA绕坐标原点O逆时
【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正 弦公
式进行求解即可．

【解答】解:∵点 A的坐标为（4
∴设∠xOA= θ,则sinθ=
将OA绕坐标原点O逆时针旋转
则OB的倾斜角为θ+
,1）,
=,cosθ=
至OB,

,

）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×
=,

,则|OB|= |OA|=
则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+
+
故选:D．

）=+6=,

【点评】本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的定义以及两角和差的

正弦公式是解决本题的关键．



18．（5分）（2015•上海）设 P
n
（x
n
,y
n
）是直线2x﹣y=
在第一象限的交点,则极限
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2

趋近于2x﹣y=1,与圆x
2
+y
2
=2在第一 象限的
=（ ）

（n∈N
*
）与圆x
2
+y< br>2
=2
【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=
交点无限靠近（1,1）,利用 圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．

【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=限的交点无限靠近（1,1）,而
趋近于2x﹣y=1,与圆x
2
+y
2
=2在第一象
可看作点 P
n
（x
n
,y
n
）与（1,1）连线的斜率,其
值会无限接近圆x
2
+y
2
=2在 点（1,1）处的切线的斜率,其斜率为﹣1．

∴
故选:A．

【 点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能
力与计算能力,属于中档题 ．



三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答 题纸相应编号
的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）（2015•上海） 如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为
AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已 知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的
=﹣1．

体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．

【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S
△
AOC
又容易得到, 从而带
入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC,从而找
到异 面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH⊥AC,从而可
在Rt△ PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC．

【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB；

∴
E为劣弧的中点；

；

∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°；

∴OE∥AC；

∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；

在△ACP中,AC=,；

；

如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=
∴在Rt△PA H中,cos∠PAH=；

∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．

【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相 等,能判断两直线
平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角．



20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax
2
+,其中a为常数

（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；

（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．

【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论；

（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．

【解答】解:（1）当a=0时,f（x）=,显然为奇函数,

当a≠0时,f（1 ）=a+1,f（﹣1）=a﹣1,f（1）≠f（﹣1）,且f（1）+f（﹣1）≠0,

所以此时f（x）为非奇非偶函数．

（2）∵a∈（1,3）,f（x）=ax
2
+,

∴f′（x）=2ax﹣=,

∵a∈（1,3）,x∈[1,2],

∴ax＞1,

∴ax
3
＞1,

∴2ax
3
﹣1＞0,

∴f′（x）＞0,

∴函数f（x）在[1,2]上的单调递增．

【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题．



2 1．（14分）（2015•上海）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5
千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离
为f（t） （单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米小时,乙的路线是OPQ,速度
为8千米小时,乙到达 Q地后在原地等待．设t=t
1
时乙到达P地,t=t
2
时乙到达Q
地．

（1）求t
1
与f（t
1
）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t
1
≤t≤t
2
时,求f（t）的表达
式,并判断f（t）在[t
1
,t
2
]上的最大值是否超过3？说明理由．


【分析】（1）用OP 长度除以乙的速度即可求得t
1
=,当乙到达P点时,可设甲到
达A点,连接AP,放 在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f（t
1
）；

（2）求 出t
2
=,设t,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,
,这样根据余 弦定理即可求出BC,即能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos
f（t）,然后求该函数的最大值 ,看是否超过3即可．

【解答】解:（1）根据条件知
OA=；

,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则
∴在△OAP
=AP=
（2）可以求 得
所示:

=
,设t小时后,且
中由余弦定理得,f（t
1
）
（千米）；

,甲到达了B点,乙到达了C点,如图

则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t；

∴
=BC=
即f（t）=< br>设g（t）=25t
2
﹣42t+18,
且
即g（t）的最大值为；

,则此时f（t）取最大值；

,；

,g（t）的对称轴为t=；

在△BCQ中由余弦
=
定理得
；

,f（t）
即f （t）在[t
1
,t
2
]上的最大值不超过3．

【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法．



22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x
2
+2y
2
=1, 过原点的两条直线l
1
和l
2
分别与椭
圆交于点A、B和C、D,记 △AOC的面积为S．

（1）设A（x
1
,y
1
）,C（ x
2
,y
2
）,用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离 ,并证明
S=
（2）设l
1
:y=kx,
|；

,S=,求k的值；

（3）设l
1
与l
2
的斜率 之积为m,求m的值,使得无论l
1
和l
2
如何变动,面积S保持
不 变．

【分析】（1）依题意,直线l
1
的方程为y=x,利用点到直线间的 距离公式可求得
点C到直线l
1
的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证 得

S=|AB|d=|x
1
y
2
﹣x2
y
1
|；

（2）由（1）得:S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=×|x
1
﹣y
1
|=,进而得到答案；

,（3）方法一:设直线l
1
的斜率为 k,则直线l
1
的方程为y=kx,联立方程组
消去y解得x=±,可求得x
1
、x
2
、y
1
、y
2
,利用S=|x
1
y
2
﹣
x
2
y
1
|=•,设=c（常数） ,整理得:k
4
﹣
2mk
2
+m
2
=c
2
[2k
4
+（1+4m
2
）k
2
+2m
2
],由于左右两边恒成立,可得,此时S=；

方法二:设直线l
1
、l
2
的斜率分别为、,则=m,则mx
1
x
2
=﹣y1
y
2
,变形整理,
利用A（x
1
,y
1）、C（x
2
,y
2
）在椭圆x
2
+2y
2< br>=1上,可求得面积S的值．

【解答】解:（1）依题意,直线l
1
的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点
C到直线l
1
的距离d==,

因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x
1
y
2﹣x
2
y
1
|；

（2）由（1）A（x
1< br>,y
1
）,C（x
2
,y
2
）,

S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=×
所以|x
1
﹣y
1
|=
解得A（
或（﹣
由k=< br>,
,﹣
|x
1
﹣y
1
|=．

,由x
1
2
+2y
1
2
=1,

）或（
,
,﹣
）,

）

）或（﹣
,得k=﹣1或﹣；

（3）方法一:设 直线l
1
的斜率为k,则直线l
2
的斜率为,直线l
1
的方 程为y=kx,

联立方程组,消去y解得x=±,

根据对称性,设x
1
=,则y
1
=,

同理可得x
2
=,y
2
=,

所以S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=•
数）,

所以（m﹣k
2
）
2
=c
2
（1+2k
2
）（k
2
+2m
2
）,

,设=c（常
整理得:k
4
﹣2mk
2
+m
2
=c
2
[2k
4
+（1+4m
2
）k
2
+2m
2
],

由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,

综上所述,m=﹣,S=．

、,则=m,

方法二:设直线l1
、l
2
的斜率分别为
所以mx
1
x
2
=y
1
y
2
,

∴m
2
==mx
1
x
2
y
1
y
2
,

∵A（x
1
,y
1
）、C（x
2
,y
2
）在椭圆x
2
+2y
2
=1上,

∴（）（）=
+
+4
）=1,

+2（+）=1,

即（+4m）x
1
x
2
y
1
y
2
+2（
所以
2x
1
x
2
y
1
y
2

=﹣（2m+
所以令2m+
+﹣2x
1
x
2y
1
y
2
=（x
1
y
2
﹣x
2
y
1
）
2
=[1﹣（4m+）x
1
x
2
y
1
y
2
]﹣
+2）x
1
x
2< br>y
1
y
2
,是常数,所以|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|是常数,

+2=0即可,

所以,m=﹣,S=．

．

综上所述, m=﹣,S=
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与
综 合运算能力,属于难题．



23．（18分）（2015•上海）已知数 列{a
n
}与{b
n
}满足a
n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1
﹣b
n
）,n∈
N
*
．

（1）若b
n
=3n+5,且a
1=1,求{a
n
}的通项公式；

（2）设{a
n
}的 第n
0
项是最大项,即a
n0
≥a
n
（n∈N*）,求证: {b
n
}的第n
0
项是最大
项；

（3）设a1
=3λ＜0,b
n
=λ
n
（n∈N
*
）,求 λ的取值范围,使得对任意m,n∈N
*
,a
n
≠0,且
．

【分析】（1）把b
n
=3n+5代入已知递推式可得a
n
+
1
﹣a
n
=6,由此得到{a
n
}是等差数
列,则an
可求；

（2）由a
n
=（a
n
﹣a
n
﹣
1
）+（a
n
﹣
1
﹣a
n
﹣
2
）+…+（a
2
﹣a
1
）+a
1
,结 合递推式累加得到
a
n
=2b
n
+a
1
﹣2b1
,求得,进一步得到

得答案；

（3）由（2）可得,然后 分﹣1＜λ＜0,λ=﹣1,λ＜﹣1三种情况求得a
n
）列式求得λ的范围．
的最大值M和最小值m,再由∈（
【解答】（1）解:∵a
n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1
﹣b
n
）,b< br>n
=3n+5,

∴a
n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1
﹣b
n
）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6,

∴{a
n
}是等差数列,首项为a
1
=1,公差为6,

则a
n
=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；

（2）∵a
n
=（a
n
﹣a
n
﹣
1
）+（a
n
﹣
1
﹣a
n
﹣
2
）+…+（a
2
﹣a1
）+a
1

=2（b
n
﹣b
n
﹣< br>1
）+2（b
n
﹣
1
﹣b
n
﹣
2< br>）+…+2（b
2
﹣b
1
）+a
1

=2b
n
+a
1
﹣2b
1
,

∴
∴
,

．

∴数列{b
n
}的第n
0
项是最大项；

（3）由（2）可得
①当﹣1＜λ＜0时,
,

单调递减,有最大值
单调递增,有最小值m=a
1
=3λ＜0,

∴的最小值为,最大值为,

；

则,解得．

∴λ∈（）．

②当λ=﹣1时,a
2n
=1,a
2n﹣
1
=﹣3,

∴M=3,m=﹣1,不满足条件．

③当λ＜﹣1时,当n→+∞时,a
2n
→+∞,无最大值；

当n→+∞时,a
2n
﹣
1
→﹣∞,无最小值．

综上所述,λ∈（﹣,0）时满足条件．

【点评】本题考查了数列递推式,考查了等 差关系的确定,考查了数列的函数特性,
训练了累加法求数列的通项公式,对（3）的求解运用了极限思 想方法,是中档题．

参与本试卷 答题和审题的老师有:caoqz；sllwyn；沂蒙松；sxs123；maths；刘长
柏；da nbo7801；吕静；wkl197822；whgcn；wfy814（排名不分先后）

菁优网

2017年3月17日