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2015年上海市高考数学试卷（理科）



一 、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空 格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4} ，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁
U
Β= ．

2．（4分）若复数z满足3z+ =1+i，其中i是虚数单位，则z= ．

3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为





解为

则c
1
﹣c
2
= ．


，


4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16

，则a= ．

5．（4分）抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的 最小值为1，则
p= ．

6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的
大小为 ．

7．（4分）方程log
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
（3
x
﹣
1
﹣2）+2的解为 ．

8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求
男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．

9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨
迹分别为双曲线C
1
和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±

x，则C
2
的渐近线方程
为 ．

10．（4分）设f（x）为f（x）=2
（x）的最大值为 ．

11．（4分）在（1+x+

）
10
的展开式中，x
2
项的系数为 （结果用数值

表示）．

12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则 是：赌客先在标记有1，2，3，4，
5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元 ）；随后放回
该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖
金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金和 奖金，
则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= （元）．

13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1
，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜x
2
＜…＜x
m
第1页 （共18页）

﹣
1x
﹣
2

+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
﹣
1

≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）| +|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）﹣f（x
m
）|=12（m
≥2，m∈N
*
），则m 的最小值为 ．


14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面

积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则 • = ．



二、选择题（本大 题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的 小方格涂黑，选对得5分，否则一
律得零分．

15．（5分）设z
1
，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是 “z
1
﹣z
2
是虚数”的
（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件


16．（5分）已知点A的坐标为（4

，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至


OB，则点B的纵坐标为（ ）






A． B． C． D．


17．记方程①：x
2
+a
1
x+1=0，方程②：x
2
+a
2
x+2=0，方程 ③：x
2
+a
3
x+4=0，其中a
1
，
a
2
，a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
根的是（ ）

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根

18．（5分）设 P
n
（x
n
，y
n
）是直线2x﹣y=

限的交点，则极限



=（ ）



（n∈N
*
）与圆x
2
+y
2
=2在第 一象



A．﹣1 B．﹣ C．1

D．2



三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列 各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）如图， 在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F分别
第2页（共18页）

是AB、BC的中点，证明A
1
、C
1
、 F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE所成的角的大小．


20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB =5千米，AC=3千米，BC=4千
米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时， 他们之间的距
离为（ft）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米小时，乙的路线是ACB，
速度为8千米小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C地．

（1）求t
1
与f（t
1
）的值；

（2）已知警 员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的
表达式，并判 断f（t）在[t
1
，1]上的最大值是否超过3？说明理由．


21．（14分）已知椭圆x
2
+2y
2
=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别于椭圆交于A、B
和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面 积为S．

（1）设A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并
证明S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|；< br>

（2）设l
1
与l
2
的斜率之积为﹣，求面积S的值．


22．（16分）已知数列{a
n
}与{b
n
}满足a< br>n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1﹣b
n
），n∈N
*
．

（1）若b
n
=3n+5，且a
1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；

（2）设{a
n
}的第n
0
项是最大项，即a
项是最大项；

（3）设a
1
=λ＜0，b
n
=λ
n
（n∈N
*
），求λ的取值范围，使得{a
n
}有最大值M与最

小值m，且∈（﹣2，2）．




≥a
n（n∈N
*
），求证：数列{b
n
}的第n
0
23．（ 18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是
第3页（共18页）

以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余 弦周期．已知f
（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）
=0，f（T）=4π．


（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；


（2 ）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x
0
∈[a，b]，使得f（x< br>0
）
=c；

（3）证明：“u
0
为方程cosf（ x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u
0
+T为方
程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）
=f（x）+f（T） ．




第4页（共18页）

2015年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、填空题（本大题共有14题，满分4 8分．）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁
U
Β=
{1，4} ．

【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，

∴（∁
U
B）={x|x＞3或x＜2}，

∴A∩（∁
U
B）={1，4}，

故答案为：{1，4}．



2．（4分）若复数z满足3z+ =1+i，其中i是虚数单位，则z=
【解答】解：设z=a+bi，则 =a﹣bi（a，b∈R），

又3z+ =1+i，

∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，

化为4a+2bi=1+i，

∴4a=1，2b=1，


解得a=，b=．



∴z=
．



故答案为：
．








．





解为

则c
1
﹣c
2
= 16 ．


，





【解答】解：由题意知


，是方程组

的解，




即


，




3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为

则c
1
﹣c
2
=21﹣5=16，

故答案为：16．

第5页（共18页）

4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16

，则a= 4 ．

【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为

•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，



∴（•a•a•sin60°）•a=16

，∴a=4，


故答案为：4．



5．（4分）抛物线y
2
= 2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=
2 ．

【解答】 解：因为抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，


所以=1，


所以p=2．

故答案为：2．



6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的
大小为


．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，

则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，

∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，

∴l=2h，

设母线与轴的夹角为θ，


则cosθ==，



故θ=，



故答案为：．




7．（4分）方程log
2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
（3
x
﹣
1
﹣2）+2的解为 2 ．

【解答】解：∵log
2
（9
x
﹣
1﹣5）=log
2
（3
x
﹣
1
﹣2）+2，∴log< br>2
（9
x
﹣
1
﹣5）=log
2
[4×第6页（共18页）

（3
x
﹣
1
﹣2）]，

∴9
x
﹣
1
﹣5=4（3
x
﹣
1
﹣2），

化为 （3
x
）
2
﹣12•3
x
+27=0，

因式分解为：（3
x
﹣3）（3
x
﹣9）=0，

∴3
x
=3，3
x
=9，

解得x=1或2．

经过验证：x=1不满足条件，舍去．

∴x=2．

故答案为：2．



8．（4分） 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求
男、女教师都有，则不同的选取方式 的种数为 120 （结果用数值表示）．

【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，

在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C
9
5
=126种；

其中只有女教师的有C
6
5
=6种情况；

则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；

故答案为：120．



9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的 纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨
迹分别为双曲线C
1
和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±

x，则C
2
的渐近线方程为
．

【解答】解：设C
1< br>的方程为y
2
﹣3x
2
=λ，

设Q（x，y），则 P（x，2y），代入y
2
﹣3x
2
=λ，可得4y
2
﹣3 x
2
=λ，

∴C
2
的渐近线方程为4y
2
﹣3x
2
=0，即．

故答案为：．




10．（4分）设f
﹣
1
（x）为f（x）=2
x
﹣
2
+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
﹣
1

（x）的最大值为 4 ．

【解答】解：由f（x）=2

x
﹣
2

+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[
，
]，


第7页（共18页）

﹣
可得y=f
1
（x）在[
，
]上为增函数，



因此y=f（x）+f
﹣
1
（x）在[
，
]上为增函数，


∴y=f（x）+f
﹣
1
（x）的最大 值为f（2）+f
﹣
1
（2）=1+1+2=4．

故答案为：4．




11．（4分）在（1+x+

）
10
的展开式中，x
2
项的系数为 45 （结果用数值

表示）．

【解答】解：∵（1+x+


10
）=









，







∴仅在第一部分中出现x
2
项的系数．


再由





，令r=2，可得，

x
2
项的系数为


．

故答案为：45．



12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局 的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，
5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单 位：元）；随后放回
该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖< br>金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的 赌金和奖金，
则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= 0.2 （元）．

【解答】解：赌金的分布列为

ξ
1

P

1

2

3

4

5

















所以 Eξ
1
=（1+2+3+4+5）=3，


奖金的分布列为：若两 张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），
（3，4），（4，5），4种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，

若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，

第8页（共18页）

若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，


则P（ξ
2
=1.4）=

=，P（ξ
2
=2.8）=

=，P（ξ
2
=4.2）=

=，P（ξ
2
=5.6）=

=










ξ
2

P

1.4

2.8

4.2

5.6














所以 Eξ
2
=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，


则 Eξ
1
﹣Eξ
2
=3﹣2.8=0.2元．

故答案为：0.2



13．（4分）已知函数f（x）=sin x．若存在x
1
，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1< br>＜x
2
＜…＜x
m
≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（xm
﹣
1
）﹣f（x
m
）|=12（m
≥2，m∈N*
），则m的最小值为 8 ．

【解答】解：∵y=sinx对任意x
i
，x
j
（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x
i
）﹣f （x
j
）
|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
= 2，

要使m取得最小值，尽可能多让x
i
（i=1，2，3，…，m）取得 最高点，

考虑0≤x
1
＜x
2
＜…＜x
m
≤6π，|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣ f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）﹣f（x
m
）|=12，

按下图取值即可满足条件，


∴m的最小值为8．

故答案为：8．




14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面

第9页（共18页）

积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则 • = ﹣
【解答】解：如图，


．







∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴
， ，



可得



，

，∴


．











22
又tanA=，∴

，联立sinA+cosA=1，得

，cosA=．






由
，得

．






则


．








∴ • =

＜

，

＞
=

．



故答案为： ．




二、选择题（本大 题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的 小方格涂黑，选对得5分，否则一
律得零分．

15．（5分）设z
1
，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是 “z
1
﹣z
2
是虚数”的
（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【解答】解：设z
1
=1+i，z
2< br>=i，满足z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数，则z
1
﹣z
2
=1
是实数，则z
1
﹣z
2
是虚数不成立 ，

若z
1
、z
2
都是实数，则z
1
﹣z
2
一定不是虚数，因此当z
1
﹣z
2
是虚数时，

则z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数，即必要性成立，
< br>故“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣ z
2
是虚数”的必要不充分条件，

第10页（共18页）

故选：B．



16．（5分）已知点A的坐标为（4

，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至

OB，则点B的纵坐标为（ ）






A． B． C． D．


【解答】解：∵点 A的坐标为（4

，1），






∴设∠xOA=θ，则sinθ=

=，cosθ==，














将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，




则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=





，







则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）= 7（×+

）


=+6=，




故选：D．



17．记方程①：x2
+a
1
x+1=0，方程②：x
2
+a
2
x +2=0，方程③：x
2
+a
3
x+4=0，其中a
1
，< br>a
2
，a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
根的是（ ）

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根

【解答】解：当方 程①有实根，且②无实根时，△
1
=a
1
2
﹣4≥0，△
2
=a
2
2
﹣8＜0，

即a
1
2
≥4，a
2
2
＜8，

∵a
1
，a
2
，a
3
成等比数列，

∴a
2
2
=a
1
a
3
，

即a
3
=





，




2





则a
3
=（）=

＜
，






2
第11页（共18页）

即方程③的判别式△
3
=a
3
2
﹣16＜0，此时方程③无实根，

故选：B



18．（5分）设 P
n
（x
n
，y
n
）是直线2x﹣y=

限的交点，则极限



=（ ）



（n∈N
*
）与圆x
2
+y
2
=2在第 一象



A．﹣1 B．﹣ C．1

D．2


趋近于2x﹣y=1，与圆x
2
+y
2
=2在第




一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 P
n
（x
n
，y
n
）与（1，1）连线



【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=
的斜率，其值会无限接近圆x
2
+y
2
=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．


∴



=﹣1．



故选：A．



三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答 下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）如 图，在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F分别
是AB、BC的中点，证明A
1
、C
1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE
所成的角的大小．


【解答】解：连接 AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中
位线，所以EF∥AC．由长方体 的性质知AC∥A
1
C
1
，

所以EF∥A
1
C
1
，

所以A
1
、C
1
、F、E四点共面．

以D为坐标 原点，DA、DC、DD
1
分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求
得

第12页（共18页）

，

，





，

，
，


，

，


设平面A
1
C
1
EF的法向量为

，

，




，

，

，

，







则



，所以

，即



，

，

，

，







，

z=1，得x=1，y=1，所以

，

，
，





，

，

，

，

所以
＜

，



＞



=

，















所以直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE所成的角的大小ar csin．




20．（14分）如图，A，B，C三地有直 道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千
米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地， 经过t小时，他们之间的距
离为（ft）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米小时，乙的路 线是ACB，
速度为8千米小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C地．

（1）求t
1
与f（t
1
）的值；

（ 2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的
表 达式，并判断f（t）在[t
1
，1]上的最大值是否超过3？说明理由．



【解答】解：（1）由题意可得t
1
==h，


乙


设此时甲运动到点P，则AP=v
甲
t
1
=5×=千米，


∴f（t
1
）=PC=













=








=千米；




（2）当t
1
≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，


∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

第13页（共18页）

∴f（t）=PQ=







=



=



，


当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，



∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t





，





∴f（t）=



，

＜




∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，


故f（t）的最大值没有超过3千米．



21．（14分）已知 椭圆x
2
+2y
2
=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别于椭圆交于A、B
和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
< br>（1）设A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并
证明S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|；


（2）设l
1
与l
2
的斜率之积为﹣，求面积S的值．




【解答】解：（1）依题意，直线l
1
的方程为y= x，由点到直线间的距离公式得：














点C到直线l
1
的距离d==，














因为|AB|=2|AO|=2







，所以S=|AB|d=2|x
1
y
2
﹣x
2< br>y
1
|；

当l
1
与l
2
时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；

（2）方法一：设直线l
1
的斜率为k，则直线l
2
的斜率为﹣设直线l
1
的方程为y=kx，联立方程组



，



，消去y解得x=±，










根据对称性，设x
1
=，则y
1
=，







同理可得x
2
=





，y
2
=







，所以S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=

．

第14页（共18页）

方法二：设直线l
1
、l
2
的斜率分别为、，则=﹣，


















所以x
1
x
2
=﹣2y
1
y
2
，

∴





=4





=﹣2x
1
x
2
y
1
y
2，

∵A（x
1
，y
1
）、C（x
2
，y
2
）在椭圆x
2
+2y
2
=1上，

∴（





）（





）=





+4





+2（





+





）=1，

即﹣4x
1
x
2
y
1
y
2
+2（





+





）=1，




所以（x
1
y
2
﹣x
2
y
1
）
2
=，即|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=，


所以S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=

．



22．（16分）已知数列{a
n
}与{b
n
}满足a
n
+
1
﹣a
n< br>=2（b
n
+
1
﹣b
n
），n∈N
*
．

（1）若b
n
=3n+5，且a
1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；

（2）设{a
n
}的第n
0< br>项是最大项，即a
项是最大项；

（3）设a
1
=λ＜0，b
n
=λ
n
（n∈N
*
），求λ的取值范围，使得{a
n
}有最大值M与最
小值m，且∈（﹣2，2）．


【解答】（ 1）解：∵a
n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1
﹣b
n
），b
n
=3n+5，

∴a< br>n
+
1
﹣a
n
=2（b
n
+
1﹣b
n
）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，

∴{a
n
}是等差数列，首项为a
1
=1，公差为6，

则a
n
=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；

（2）∵a
n
=（a
n
﹣a
n
﹣
1
）+（a
n
﹣
1
﹣a
n
﹣
2
）+…+（a
2
﹣a1
）+a
1

=2（b
n
﹣b
n
﹣< br>1
）+2（b
n
﹣
1
﹣b
n
﹣
2< br>）+…+2（b
2
﹣b
1
）+a
1

=2b
n
+a
1
﹣2b
1
，


∴









，


∴



















．




≥a
n
（n∈N
*
），求证：数列{b
n
}的第n
0
∴数列{b
n
}的第n
0
项是最大 项；

（3）由（2）可得



，

第15页（共18页）

①当﹣1＜λ＜0时，

单调递减，有最大值



；





单调递增，有最小值m=a
1
=λ，

∴
∈（﹣2，2），



∴λ∈

，

，


∴

，
．




②当λ=﹣1时，a
2n
=3，a
2n﹣
1
=﹣1，

∴M=3，m=﹣1，



（﹣2，2），不满足条件．

③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a
2n
→+∞，无最大值；

当n→+∞时，a
2n
﹣
1
→﹣∞，无最小值．


综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．




23．（ 18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是
以T为周期的函数， 则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f
（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数， 其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）
=0，f（T）=4π．

（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；


（2 ）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x
0
∈[a，b]，使得f（x< br>0
）
=c；

（3）证明：“u
0
为方程cosf（ x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u
0
+T为方
程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）
=f（x）+f（T） ．

【解答】解：（1）g（x）=x+sin；


∴

= =cosg（x）




∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；

（2）∵f（x）的值域为R；

第16页（共18页）

∴存在x
0
，使f（x
0
）=c；

又c∈[f（a），f（b）]；

∴f（a）≤f（x
0
）≤f（b），而f（x）为增函数；

∴a≤x
0
≤b；

即存在x
0
∈[a，b]，使f（x
0
）=c；

（3）证明：若u
0
+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；

则：cosf（u
0
+T）=1，T≤u
0
+T≤2T；

∴cosf（u
0
）=1，且0≤u
0
≤T；

∴u
0
为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；

∴“u< br>0
为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u
0
+T为 方程cosf（x）
=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+ T）=f（x）+f
（T）：

①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；

②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；

∴f（2T）=2k1
π，（k
1
∈Z），f（T）=4π，且2k
1
π＞4π，∴ k
1
＞2；

1）若k
1
=3，f（2T）=6π，由（2 ）知存在x
0
∈（0，T），使f（x
0
）=2π；

co sf（x
0
+T）=cosf（x
0
）=1⇒f（x
0
+T ）=2k
2
π，k
2
∈Z；

∴f（T）＜f（x
0
+T）＜f（2T）；

∴4π＜2k
2
π＜6π；

∴2＜k
2
＜3，无解；

2）若k
1
≥5，f（ 2T）≥10π，则存在T＜x
1
＜x
2
＜2T，使得f（x
1）=6π，f（x
2
）
=8π；

则T，x
1
，x
2
，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；

但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；

3）当k
1
=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；

③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；

设其解为f（x
1
），f（x
2
），…，f（x
n
），（x
1
＜x
2
＜…＜x
n
）；
则f（x
1
+T），f（x
2
+T），…，f（x
n
+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；

第17页（共18页）

又f（x+T）∈（4π，8π）；

而f（x
1
）+4π，f（x
2
）+4π，…，f（x
n
）+4π∈ （4π，8π）为方程cosf（x）=c在
（T，2T）上的解；

∴f（x
i
+T）=f（x
i
）+4π=f（x
i
）+f（T）；

∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．



第18页（共18页）