大公鸡和漏嘴巴-清朝皇帝列表及简介

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（3）不等式
(1x)(1|x|)0
的解集是（ ）
A.
{x|0x1}
B.
{x|x0且x1}
C.
{x|1x1}
D.
{x|x1且x1}

（4）在
(0,2

)
内，使
sinxcosx
成立的x取值范围为（ ）
5



5

,) (

,)
B.
(,

)
C.
(,)
D.
424444

5< br>
3
(,

)(,

)

442
k1k1
（5）设集合
M{x|x,kZ},N{x|x,kZ}< br>，则（ ）
2442
A.
(
A.
MN
B.
MN
C.
MN
D.
MN


（6）一个圆锥 和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这
个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （ ）。
A.

3433
B. C. D.


4555
（7）函数
f(x)x|xa|b
是奇函数的充要条件是（ ）
=0 B. a+b=0 C. a=b D.
a
2
b
2
0

（8）已知
0xya1
，则有（ ）。
A.
log
a
(xy)0
B.
0log
a
(xy)1
C.
1log
a
(xy)2
D.
log
a
(xy)2

（9）函数
y1
1

x1
A. 在（
1,
）内单调递增 B. 在（
1,
）内单调递减
C. 在（
1,
）内单调递增 D. 在（
1,
）内单调递减

cos


（10） 极坐标方程

cos

与



1
的图形是（ ）。
2




11
O x O x

22
11

O x O x
22

A B C D

（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）。
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A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“200 1年国内生产总值
达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“
十五
”期间 （2001年—2005年）每年的国
内生产总值都按此年增长率增长，那么到“
十五
”末，我国国内生产总值约为（ ）。
A. 115 000 亿元 B. 120 000亿元 C. 127 000亿元 Ｄ. 135 000亿元
第II卷（非选择题共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）椭圆
5 x
2
ky
2
5
的一个焦点是（0，2），那么k= 。
（14）
(x
2
1)(x2)
7
的展开式中
x
3
项的系数是 。
（15）已知
sin< br>
cos2

(

(

2
,< br>
))
，则
tg


。
x
2
111
f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()< br>,
（16）已知函数
f(x)
那么
234
1x
2
= 。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知复数
z1i
，求实数a, b使
az2bz(a2z)
2

（18）（本小题满分12分）
设
{a
n
}
为等差数列，
{b
n
}
为等比数列，
a
1
b
1
1,a
2
 a
4
b
3
,b
2
b
4
a
3< br>，分别求出
{a
n
}
及
{b
n
}
的 前10项的和
S
10
及
T
10
。
（19）（本小题满分 12分）
四棱锥
PABCD
的底面是边长为a的正方形，PB

面ABCD
（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为
60
，求这个四棱锥的体积；


P





B A
（II）证明无论四棱锥的高怎样变化， 面
PAD
与面
PCD
所成的二面角恒大于
90
。


C D


（20）（本小题满分12分）
y
2
1
上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。 设A、B是双曲线
x
2
2
（I）求直线AB的方程。（II）如果 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，
那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个
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正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三 角形的面积相等，
请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。）
如果 给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它
的全面积与给出的三角 形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图


3中，并作简
要说明。




（22）（本小题满分14分）


已知
a0
，函数
f(x)axbx
2

图1 图2
（I）当b>0时，若对任意< br>xR
都有
f(x)1
，证明
a2b

（ II）当b>1时，证明：对任意
x[0,1]
，
|f(x)|1
的充要 条件是
b1a2b
；
（III）当
0b1
时，讨 论：对任意
x[0,1]
，
|f(x)|1
的充要条件。
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图3

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2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答
案

说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生 的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）
C （10）B （11）B （12）C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16 分。
（13）1 （14）1 008 （15）

7
3
（16）
2
3
三. 解答题
（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分12分。
解：因为
z1i


az2bz(a2b)(a2b)i

因为
a,b
都是实数，
2
(a
2
2z)(a2) 44a(
2
2i)a(a4)a4(i2)

a2ba2
4a
2
所以由
az2bz(a2z)
得
两式相加，整理得
a6a80


a2b4(a2)
2
解得：
a
1
2,a
2
4
对应得
b
1
1,b
2
2

所以，所求实数为
a2
，
b1
或
a4,b2

（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。满分
12分。
解：因为
{a
n
}
为等差数列，
{b
n< br>}
为等比数列。
a
2
a
4
2a
3
,b
2
b
4
b
3

已知
a
2
a
4
b
3
,b
2
b
4
a
3

b
3
2a
3
,a
3
b
3
得：
b
3
2b
3

因为
b
3
0

b
3

22
2
11
,a
3


24
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由
a
1
1,a
3


S
10< br>13
知
{a
n
}
的公差为
d

48
10955
10a
1
d

281
22
知
{b
n
}
的公比为
q

或q
2
22
由
b
1
1,b
3

b
1
(1q
10
)
31
2
当
q
时，
T
10
(22)

2
1 q32
b
1
(1q
10
)
31
2
当
q
时，
T
10
(22)

2
1q32
（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分
12分。
（I）解：因为
PB
面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD上的射影
又
DAAB
， 所以
PADA



PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角

PAB 60


P
而PB是四棱锥
P ABCD
的高，PB=AB
tg60

3a




E
B A
O
C D


V
锥

13
3
3aa
2
a

33
（II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面
PAD
与
P CD
恒为全等三角形。
作
AEDP
，垂足为E，连结EC，则
ADECDE


AECE,CED90

故
CEA
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角
设AC与DB相交于点O，连结EO，则
EOAC




2
aOAAEADa

2
在三角形AEC中，
AE
2
EC
2
(2OA)
2< br>(AE2OA)(AE2OA)

cosAEC
0

2
2AEEC
AE
所以，面
PAD
与面PCD所成的二面角恒大于90度。
（20）本小题主 要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运
算能力和分析解决问题的能力。满 分12分。
解：（I）依题意，可设直线AB的方程为
yk(x1)2

y
21
，整理得
(2k
2
)x
2
2k(2k)x (2k)
2
20
（1） 代入
x
2
2
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记
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
x
1< br>,x
2
是方程(1)的两个不同的根
2k(2k)

2
2k
1
由N（1，2）是AB的中点得：
(x
1
x
2
)1

k(2k)2k
2

2
所以
2k
2
0
，且
x
1
x
2

解得k=1，所以直线AB的方程为
yx1

（II）将k=1代入方程 (1)得
x
2
2x30
解出
x
1
1,x
2
3

由
yx1
得
y
1
0,y
2
4
即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为
y(x1)2
即
y3x

代入双曲线方程，整理得：
x
2
6x110
（2）
记
C(x
3
,y
3
)
，D
(x
4
,y
4
)
，以及CD的中点为M（
x
0
,y
0
）
则
x
3
,x
4
是方程（2）的两个根，所以
x
3
 x
4
6,x
3
x
4
11

从而
x
0

1
(x
3
x
4
) 3
，
y
0
3x
0
6

2
2
(
3
x
4
x
2
)(
3
y y
4
)
2
2(
3
x
4
x)2[(x
3
x
4
)
2
4x
3
x
4]410

|

|CD
|MC||MD|


1
|CD|210

2
又
|MA| |MB|
(x
0
x
1
)
2
(y
0< br>y
1
)
2
436210

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。
（21）本小题主 要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解
决现实问题的能力，满分12分， 附加题4分。
解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边
长的
1
4
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱， 而剪
出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
（II）依上面剪拼的方法，有
V
柱
V
锥

推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1 的正
三角形，其面积为
3
，现在计算它们的高：
4
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h
锥
1(
236

2
)
323
13
hh)
3
锥柱
4
(
h
柱
6
9
13
tg30

26
33
223
)0

64
24

V
锥
V(
柱

所以
V
柱
V
锥

（III）（附加题，满分4分）
如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶
点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作
垂线，沿六条 垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成
为一个缺上底的直三棱柱， 即可得到直三棱柱模型。
注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。







图1 图 2 图 3

（22） 本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和
灵活、综合应用数学知识 解决问题的能力。满分14分。
（I）证：依设，对任意
xR
，都有
f(x)1

a
2
a
2
因为
f(x)b(x)
22b
4b
aa
2
1
因为
a0,b0

f()
2b4b
a2b

（II）证： 必要性：
对任意
x[0,1],|f(x)|11f(x)
，据此可以推出
1f(1)
即
ab1


ab1
对任意
x[0,1],|f(x)|1f(x)1

因为b>1，可以推出
f(
1
b
)1
即
a
1
b
11

a2b

b1a2b

充分性：因为
b1,ab1
， 对任意
x[0,1]
，可以推出：
axbx
2
b(xx2
)xx1

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即
axbx
2
1

因为
b1,a2b
，对任意
x[0,1]
，可以推出
axbx2bxbx1
即
22
axbx
2
1


1f(x)1

综上，当b>1时，对任意
x[0,1]
，
|f(x)|1
的充要条件是
b1a2b

（III）解：因为
a0,0b1
时，对任意
x[0,1]
：
f(x)axbx
2
b1
，
即
f(x)1
；

f(x)1f(1)1ab1
即
ab1


ab1f(x)(b1)xbx
2
1
，即
f(x)< br>1

所以，当
a0,0b1
时，对任意
x [0,1]
，
|f(x)|1
的充要条件是
ab1


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