15
．如图，△ABC
中，
D
，
E
两点分别在
AB
、
BC
上，若
BD
：
BA
＝
BE
：
BC＝
1
：
3
，则△
DBE
的面积：△
ADC的面积＝

．


16
．如图，点
A
在双曲线
y
＝（
k
＜
0
）上，连接
OA< br>，分别以点
O
和点
A
为圆心，大于
OA
E
两 点，
3
）的长为半径作弧，两弧相交于
D
，直线
DE
交x
轴于点
B
，交
y
轴于点
C
（
0，，
连接
AB
．若
AB
＝
1
，则
k< br>的值为

．


三、解答题（本大题共
11
小题，共
102
分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）

17
．计算（﹣
3
）
0
+
﹣
2sin30
°﹣
|
﹣
2|
．

÷（ ﹣），其中
x
是满足不等式组的最
18
．先化简，再求值：
大整数．

19
．节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游 戏，
A
、
B
、
C
分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的 是
a
，
b
，
c
．若主持人分别从三位家长
和三位孩 子中各选一人参加游戏．

（
1
）若已选中家长
A
，则恰好选中孩子的概率是

．

（
2
）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．
< br>20
．关于
x
的一次函数
y
1
＝﹣
2
x
+
m
和反比例函数
y
2
＝
求：（
1< br>）一次函数和反比例函数的解析式；

（
2
）若一次函数和反比例函数 图象的另一个交点
B
的坐标为（，﹣
4
），请结合图象

的 图象都经过点
A
（﹣
2
，
1
）．

直 接写出
y
1
＞
y
2
的
x
取值范围．

21
．
2020
贺岁片《囧妈》提档大年三十网络首播、“乐调查”平台 为了全面了解观众对《囧
A
．

B
．

C
．妈》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：非常满意；满意；基
本满意；
D
．不满意．依据调查数据绘制成图
1
和图
2
的统计图（不完整 ）．


根据以上信息，解答下列问题：

（
1
）本次接受调查的观众共有

人；

（
2
）扇形统计图中，扇形
C
的圆心角度数是

；

（
3
）请补全条形统计图；

（
4
）“乐调查”平台调查了春节期间观看《囧妈》的观众约
5000
人，请估计观众对该
电影的满意（
A
、
B
、
C
类视为满意）的人数．< br>
22
．如图，矩形
ABCD
中，对角线
AC
，BD
交于点
O
，以
AD
，
OD
为邻边作平行四 边形
ADOE
，连接
BE
．

（
1
）求证：四边形
AOBE
是菱形；

（
2
）若∠
EAO
+
∠
DCO
＝
180
° ，
DC
＝
3
，求四边形
ADOE
的面积．


23
．如图，在三角形
ABC
中，
AB
＝
10
，
AC
＝
BC
＝
13
，以
BC为直径作⊙
O
交
AB
于点
D
，
交
AC
于点
G
，直线
DF
⊥
AC
，于点
F
，交
CB
的延长线于点
E
．

（
1
）求证：
DF
是⊙
O
的切线；

（
2
）求
cos
∠
ADF
的值．

24
．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价
8
元

千克，经过市场调
查，该产品的日销售量
y
（ 千克）与销售单价
x
（元

千克）之间满足一次函数关系，该
产品的日 销售量与销售单价几组对应值如表：

销售单价
x
（元

千克）

日销售量
y
（千克）

12

220

16

180

20

140

24

m
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）

（
1
）求
y
关于
x
的函数解析式（不要求写出x
的取值范围）；

（
2
）根据以上信息，填空：

①
m
＝

千克；

②当销售价格
x
＝

元时，日销售利润
W
最大，最大值是

元；

（< br>3
）该公司决定从每天的销售利润中捐赠
100
元给“精准扶贫”对象，为了保 证捐赠后
每天的剩余利润不低于
1500
元，试确定该产品销售单价的范围．

25
．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式，如图
A
，
B
两地被大山阻隔， 由
A
地到
B
地
需要绕行
C
地，若打通穿山隧道由< br>A
地到
O
地，再由
O
地到
B
地可大大缩短路 程、∠
OAC
＝
45
°，∠
OBC
＝
60
°，∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
540
公 里，
BC
＝
400
公里，求隧道打
通后与打通前相比，从
A
地到
B
地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：
≈
1.4
，≈
2.4
）

≈
1.7
，

26
．已知如图
1
，四边形
ABCD
是正方形，
E
，
F
分别在边
BC
、
CD
上，且∠
EAF
＝
45
°，

我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转 是一种常用的方
法．

（
1
）在图
1
中，连接EF
，为了证明结论“
EF
＝
BE
+
DF
“， 小亮将△
ADF
绕点
A
顺时
针旋转
90
°后解答了 这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（
2
）如图
2
，当∠
EAF
绕点
A
旋转到图
2
位置时，试探究
E F
与
DF
、
BE
之间有怎样
的数量关系？

（
3
）如图
3
，如果四边形
ABCD
中，
AB< br>＝
AD
，∠
BAD
＝∠
BCD
＝
90
°，∠
EAF
＝
45
°，
且
BC
＝
7< br>，
DC
＝
13
，
CF
＝
5
，求BE
的长．


27
．如图，二次函数
y
＝﹣
x
2
+2
（
m
﹣
2
）
x
+3
的图象与
x
、
y
轴交于
A
、
B
、
C
三点，其中
A
（
3
，
0
），抛物线 的顶点为
D
．

（
1
）求
m
的值及顶点
D
的坐标；
（
2
）如图
1
，若动点
P
在第一象限内的抛物线上，动 点
N
在对称轴
1
上，当
PA
⊥
NA
，且
PA
＝
NA
时，求此时点
P
的坐标；
（
3
）如图
2
，若点
Q
是二次函数图象上对称轴右侧一 点，设点
Q
到直线
BC
的距离为
d
，
到抛物线的对 称轴的距离为
d
1
，当
|
d
﹣
d
1
|
＝
2
时，请求出点
Q
的坐标．

参考答案

一、选择题（本大题共
8< br>题，每题
3
分，满分
24
分）

1
．实数< br>a
、
b
、
c
、
d
在数轴上的对应点的位置如 图所示，在这四个数中，绝对值最小的数
是（ ）


A
．
a
B
．
b
C
．
c
D
．
d
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．

解：由图可知：
c
到原点
O
的距离最短，

所以在这四个数中，绝对值最小的数是
c
；

故选：
C
．

2
．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．

解：根据中心对称图形的概念，知
A
、
B
、
C
都是 中心对称图形；

D
、旋转
180
°后，中间的花色发生了变化，不是中心对称图形．

故选：
D
．

3
．今年以来，人们对全国多地大范围持续的 雾霾天气记忆犹新，“细颗粒物
PM
2.5
”遂成
PM
2.5
是指大气中直径小于或等于
0.0000025
米为显示度最高的热词之一．（即
2 .5
微米）
的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把
0.0000025
用科学记 数法表示为（ ）

A
．
0.25
×
10
﹣
5

B
．
2.5
×
10
﹣
5

C
．
2.5
×
10
﹣
6

D
．
25
×
10
﹣
7

【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．

﹣
解：
0.0000025
＝
2.5
×
10
6
．

故选：
C
．

4
．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（ ）


A
．①③②

B
．②①③

C
．③①②

D
．①②③

【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．

解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是一个矩形，

故选：
A
．

5
．圆的直径是
8
cm，若圆心与直线的距离是
4
cm
，则该直线和圆的位置关系是（ ）

A
．相离

B
．相切

C
．相交

D
．相交或相切

【分析】由⊙
O
的直径为
8cm
，得出圆的半径是
4
cm
，圆心
O
到直线
l
的距离为
4
cm
，
即
d
＝
4
c m
，得出
d
＝
r
，即可得出直线
l
与⊙
O
的位置关系是相切．

解：∵⊙
O
的直径为
8
cm
，

∴
r
＝
4
cm
，

∵
d
＝
4
cm
，

∴
d
＝
r
，

∴直线
l
与⊙
O
的位置关系是相切．

故选：
B
．

6
．下列运算正确的是（ ）

A
．
3
x
﹣
2
x
＝
x
B
．
3
x
+2
x
＝
5
x
2

C
．
3
x
•
2
x
＝
6
x
D
．
3
x
÷
2
x
＝

【 分析】先根据合并同类项法则，单项式乘以单项式和单项式除以单项式进行计算，再
判断即可．

解：
A
、结果是
x
，故本选项符合题意；

B
、结果是
5
x
，故本选项不符合题意；

C
、结果是
6
x
2
，故本选项不符合题意；

D
、结果是，故本选项不符合题意；

故选：
A
．

7
．若关于
x
的二次三项式
x
2
+
kx
+
b
因式分解为（
x
﹣
1
）（
x
﹣
3
），则
k
+
b< br>的值为（ ）

A
．﹣
1

B
．
1

C
．﹣
7

D
．
7

【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相 等的条件求出
k
与
b
的值，
即可求出所求．

解： 由题意得：
x
2
+
kx
+
b
＝（
x
﹣
1
）（
x
﹣
3
）＝
x
2
﹣< br>4
x
+3
，

∴
k
＝﹣
4
，
b
＝
3
，

则
k
+
b
＝﹣
4+3
＝﹣
1
．< br>
故选：
A
．

8
．如图
1
是一座 立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），
A
为入口，
F
，
G
为出口，其中
直行道为
AB
，
CG
，
EF
，且AB
＝
CG
＝
EF
；弯道为以点
O
为圆心的一 段弧，且所对的
圆心角均为
90
°．甲、乙两车由
A
口同时驶入立交 桥，均以
8
m

s
的速度行驶，从不同
出口驶出，其间两车到 点
O
的距离
y
（
m
）与时间
x
（
s
）的对应关系如图
2
所示，结合
题目信息，下列说法错误的是（ ）


A
．立交桥总长为
168
m
B
．从
F
口出比从
G
口出多行驶
48
m
C
．甲车在立交桥上共行驶
11
s
D
．甲车从
F
口出，乙车从
G
口出

【分析】根据题意、结合图象问题可得．

解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所 用时间均为
3
s
，通过直行道
AB
，
CG
，
EF
时，每段用时为
4
s
．

因此，甲车所用时间为4+3+4
＝
11
s
，故
C
正确；

根据两车运行路线，从
F
口驶出比从
G
口多走
故
B
正确；

，弧长之和，用时为
6
s
，则多走
48
m
，

根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从
G
口驶出，故D
错误；

根据题意立交桥总长为（
3
×
3+4
×
3
）×
8
＝
168
m
，故
A
正确；

故选：
D
．

二、填空题（本大题共
8< br>小题，每小题
3
分，共
24
分）

9
．二次根式有意义，则
x
的取值范围是
x
≥
3
．

【分析】二次根式的被开方数
x﹣
3
≥
0
．

解：根据题意，得

x
﹣
3
≥
0
，

解得，
x
≥
3
；

故答案为：
x
≥
3
．

10
．
9
的平方根是 ±
3
．

【分析】直接利用平方根的定义计算即可．

解：∵±
3
的平方是
9
，

∴
9
的平方根是±
3
．

故答案为：±
3
．

11
．在平面直角坐标系中，点
A
（
2
，
1
）关于
x
轴对称的点的坐标是 （
2
，﹣
1
） ．

【分析】平面直角坐标系中任意一点< br>P
（
x
，
y
），关于
x
轴的对称点的坐标是 （
x
，﹣
y
），
记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种 记忆方法是记住：关于横轴的对称
点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．

解：点（< br>2
，
1
）关于
x
轴对称的点的坐标是（
2
， ﹣
1
），

故答案为：（
2
，﹣
1
）．

12
．分解 因式：
9
x
2
﹣
y
2
＝ （
3
x
+
y
）（
3
x
﹣
y
） ．

【分析】利用平方差公式进行分解即可．

解：原式＝（
3
x
+
y
）（
3
x
﹣
y
），

故答 案为：（
3
x
+
y
）（
3
x
﹣
y
）．

13
．小华
5
次射击的成绩如下：（单位：环）5
，
9
，
7
，
10
，
9
．其 方差为
3.2
，如果他再射
击
1
次，命中
8
环，那 么他的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不
变”）

【分析】根据方差公式求出小华
6
次的方差，再进行比较即可．

解 ：（
5+9+7+10+9
）÷
5
＝
8
（环），

∵前
5
次小华的方差是
3.2
，小华再射击
1
次，分别命中
8
环，

∴小华这六次射击成绩的方差是×
[3.2
×
5+
（
8
﹣
8
）
2
]
＝
2.67
，

∵
2.67
＜
3.2
，

∴小华这六次射击成绩的方差会变小；

故答案为：变小．

14< br>．在半径为
2
cm
的⊙
O
中，用刻度尺（单位：
cm
）测得弦
AB
的长如图所示，则劣弧
的长为
cm
．


【分析】连接
OA
，
OB，过点
O
作
OD
⊥
AB
于点
D
，根据 已知条件得到△
OAB
是等边
三角形，求得∠
AOB
＝
60
°，根据弧长公式即可得到结论．

解：连接
OA
，
OB< br>，过点
O
作
OD
⊥
AB
于点
D
，< br>
∵
OA
＝
OB
＝
2
cm
，
AB
＝
2
cm
，

∴∴△
OAB
是等边三角形，

∴∠
AOB
＝
60
°，

∴劣弧的长＝
．

＝π，

故答案为：

15
．如图，△
ABC
中，
D
，
E
两点分别在AB
、
BC
上，若
BD
：
BA
＝
BE
：
BC
＝
1
：
3
，则△
DBE
的 面积：△
ADC
的面积＝
1
：
6
．


【分析】先证△
BED
与△
BCA
相似，求出△
BED与△
BCA
的相似比，进一步求出其面

积比，然后分别过点
B
，
D
作
AC
的垂线
BM
，
DN
，求出
DN
与
BM
的比值，推出△
DCA
与△
B CA
的面积比，结合△
BED
与△
BCA
的面积比即可求出最终结果 ．

解：∵
BD
：
BA
＝
BE
：
BC
＝
1
：
3
，

又∵∠
DBE
＝∠
ABC
，

∴△
BED
∽△
BCA
，

∴，

分别过点
B
，
D
作
AC
的垂线
BM
，< br>DN
，

则
DN
∥
BM
，

∴△
ADN
∽△
ABM
，

∴，

∵
S
△
ADC
＝
AC
•
DN
，
S
△
BCA
＝
AC
•
BM
，

∴，

∴
故答案为：
1
：
6
．

，


16
．如图，点
A
在双曲线
y＝（
k
＜
0
）上，连接
OA
，分别以点
O和点
A
为圆心，大于
OA
E
两点，
3
）的长为 半径作弧，两弧相交于
D
，直线
DE
交
x
轴于点
B
，交
y
轴于点
C
（
0
，，
连接
A B
．若
AB
＝
1
，则
k
的值为 ﹣ ．

【分析】
BC
交
OA
于
H
，如图，利用基本作图得到
CB
垂直平分
OA
，则
BO
＝
BA
＝
1
，
AH
＝
OH
，在
Rt
△
OCB
中先利用勾股定理计算出
CB
，再利用面积法计算出
OH
＝
则
OA
＝
＝（
，
，设
A
（
m
，
n
），根据•两点间的距离公式得到（
m
+1
）
2
+
n
2
＝
1
2
，
m
2
+
n
2
）
2
，解关于
m
、
n
的方程组得到
A
（﹣，），然后利用反比例函数图象
上点的坐标特征求
k
的值．

解：
BC
交
OA
于
H
，如图，

由作法得
CB
垂直平分
OA
，

∴
BO< br>＝
BA
＝
1
，
AH
＝
OH
，∠OBH
＝
90
°，

∴
B
（﹣
1
，
0
），

在
Rt
△
OCB
中，∵
C
（
0
，
3
），

∴
OC
＝
3
，

∴
CB
＝＝，

∵×
OH
×
BC
＝×
OB
×
OC
，

∴
OH
＝＝，

，

）
2
，

∴
OA
＝
2
OH
＝
设
A
（
m
，
n
），则（
m
+ 1
）
2
+
n
2
＝
1
2
，
m
2
+
n
2
＝（
解得
m
＝﹣，
n
＝，

∴
A
（﹣，），

把
A
（﹣，）代入
y
＝得
k
＝﹣×＝﹣．

故答案为﹣．


三、解答题（本大题共
11
小题，共
102
分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤
.< br>）

17
．计算（﹣
3
）
0
+
﹣< br>2sin30
°﹣
|
﹣
2|
．

【分析】原 式利用零指数幂法则，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，以及绝对值
的代数意义计算即可求出值．

解：原式＝
1+3
﹣
2
×﹣
2

＝
4
﹣
1
﹣
2

＝
1
．

18
．先化简，再求值：
大整数．

【分析】根据分式的减法和除法 可以化简题目中的式子，然后根据
x
是满足不等式组
的最大整数，可以求得
x
的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．

÷（﹣），其中
x
是满足不等式组的最
解：÷（﹣）

＝
＝
＝，



由不等式组
x
＜，

，得

∵x
是满足不等式组
∴
x
＝
0
，

当
x
＝
0
时，原式＝＝
0
．

的最大整数，

19
．节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分 别带自己的孩子参加游戏，
A
、
B
、
C
分别表示一位家长， 他们的孩子分别对应的是
a
，
b
，
c
．若主持人分别从三位 家长
和三位孩子中各选一人参加游戏．

（
1
）若已选中家长
A
，则恰好选中孩子的概率是 ．

（
2
）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．

【分析】（
1
）根据概率公式直接得出答案即可；

（
2< br>）先画出树状图，得出所有等情况数和恰好是同一家庭成员的情况数，然后根据概率
公式即可得出 答案．

解：（
1
）∵有三位孩子，分别是
a
，
b
，
c
，

∴家长
A
恰好选中孩子的概率是；

故答案为：．


（
2
）画树状图如下：


∵共有
9< br>种等情况数，恰好是同一家庭成员的有
3
种情况数，

∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是＝．

20
．关于
x
的一次函数
y
1
＝﹣
2
x
+
m
和反比例 函数
y
2
＝
求：（
1
）一次函数和反比例函数的解析式；< br>
（
2
）若一次函数和反比例函数图象的另一个交点
B
的坐标 为（，﹣
4
），请结合图象
直接写出
y
1
＞
y2
的
x
取值范围．

【分析】（
1
）把两函数 的交点
A
的坐标分别代入
y
1
＝﹣
2
x
+
m
和
y
2
＝
即可得到两函数解析式；

（
2
）先大致画出两函数图象，利用函数图象，写出直线在反比例函数图象上方所对应的
中求出
m
、
n

的图象都经过点
A
（﹣
2
，
1
）．

自变量的范围即可．

解：（1
）把
A
（﹣
2
，
1
）代入
y
1
＝﹣
2
x
+
m
得
4+
m
＝< br>1
，解得
m
＝﹣
3
，

∴一次函数解析式为
y
1
＝﹣
2
x
﹣
3
；

把
A
（
2
，﹣
1
）代入
y
2
＝得
n
+1
＝
2
×（﹣
1
）＝﹣
2
，

∴反比例函数的解析式为
y
2
＝﹣；

（
2
）如图，

当
x
＜﹣
2
或< br>0
＜
x
＜时，
y
1
＞
y
2
．


21
．
2020
贺岁片《囧妈》提档大年三十网络首 播、“乐调查”平台为了全面了解观众对《囧
A
．

B
．

C
．妈》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：非常满意；满意；基
本满 意；

D
．不满意．依据调查数据绘制成图
1
和图
2
的统计图（不完整）．


根据以上信息，解答下列问题：

（
1
）本次接受调查的观众共有
100
人；

（
2
）扇形统计图中，扇形
C
的圆心角度数是
54
° ；

（
3
）请补全条形统计图；

（
4
）“乐调查”平台调查了春节期间观看《囧妈》的观众约
5000
人，请估计观众对该
电影的满意（
A
、
B
、
C
类视为满意）的人数．

【分析】（
1
）利用
B
的人数除以
B
所占百分比可 得答案；

（
2
）用
360
°乘以
C
所占 比例可得扇形
C
的圆心角度数；

（
3
）用总人数减去B
、
C
、
D
三类人数可得
A
类人数，再补图即 可；

（
4
）利用样本估计总体的方法计算即可．

解：（
1
）本次接受调查的观众：
25
÷
25%
＝
100
（人），

故答案为：
100
；


（< br>2
）扇形
C
的圆心角度数是：
360
°×
故答案为：
54
°；


（
3
）
A
类别的人 数：
100
﹣
25
﹣
15
﹣
10
＝
50
（人），

如图所示；


（
4
）
5000
×＝
4500
（人），

＝
54
°

答：估计观众对该电影的满意（
A
、< br>B
、
C
类视为满意）的人数为
4500
人．


22
．如图，矩形
ABCD
中，对角线
AC
，< br>BD
交于点
O
，以
AD
，
OD
为邻边作平行 四边形
ADOE
，连接
BE
．

（
1
）求证：四边形
AOBE
是菱形；

（
2
）若∠
EAO
+
∠
DCO
＝
180
° ，
DC
＝
3
，求四边形
ADOE
的面积．

【分析】（
1
）先证明四边形
AOBE
是 平行四边形，再证明
AB
⊥
OE
即可；

（
2）根据∠
EAO
+
∠
DCO
＝
180
°，以及 矩形性质可求得∠
EAO
＝
120
°，求出△
AEO
面积，利用四边形
ADOE
的面积等于△
AEO
面积的
2
倍即可求解．

解：（
1
）∵四边形
ABCD
是矩形，∴< br>DO
＝
BO
．

∵四边形
ADOE
是平行四边形，

∴
AE
∥DO
，
AE
＝
DO
，
AD
∥
OE．

∴
AE
∥
BO
，
AE
＝
BO
．

∴四边形
AOBE
是平行四边形．

∵< br>AD
⊥
AB
，
AD
∥
OE
，

∴
AB
⊥
OE
．

∴四边形
AOBE
是菱形；


（
2
）设
AB
与
EO
交点为
M
．

∵
AB
∥
CD
，

∴∠
DCO
＝∠
BAO
．

∵四边形
AOBE
是菱形，

∴∠
EAO
＝
2
∠
BAO
．

∵ ∠
EAO
+
∠
DCO
＝
180
°，
∴∠
BAO
＝
120
°，∠
EAM
＝
60°．

又
AM
＝
AB
＝，

∴
EM
＝
∴
EO
＝
3
．

，

×＝
．

，

∴△
AEO< br>面积为×
3
∴四边形
ADOE
面积＝

23
．如图，在三角形
ABC
中，
AB
＝
10
，
AC
＝
BC
＝
13
，以
BC
为直径作⊙< br>O
交
AB
于点
D
，
交
AC
于点G
，直线
DF
⊥
AC
，于点
F
，交
C B
的延长线于点
E
．

（
1
）求证：
DF
是⊙
O
的切线；

（
2
）求
cos
∠
ADF
的值．


【分析】（
1
）连接
OD
和
CD
，根据 圆周角定理求出∠
BDC
＝
90
°，根据等腰三角形的
性质求出AD
＝
BD
，根据三角形的中位线求出
OD
∥
AC，求出
OD
⊥
EF
，根据切线的判
定得出即可；
（
2
）根据余角的性质得到∠
ADF
＝∠
ODC
，等量 代换得到∠
ADF
＝∠
ODC
，根据勾股
定理得到
CD＝
12
，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】（
1
）证明：连接
OD
，
CD
，

∵
BC
为⊙
O
的直径，

∴∠
BDC＝
90
°，即
CD
⊥
AB
，

∵AC
＝
BC
，
AB
＝
10
，

∴
AD
＝
BD
＝
5
，

∵
O
为
BC
中点，

∴
OD
∥
AC
，

∵
DF
⊥
AC
，

∴
OD
⊥
EF
，

∵
OD
过
O
，

∴直线
DF
是⊙
O
的切线；

（
2
）∵∠
ADC
＝∠
BDC
＝
90
°，∠
ODF< br>＝
90
°，

∴∠
ADF
＝∠
ODC
，

∴
OD
＝
OC
，

∴∠
ODC
＝∠
OCD
，

∴∠
ADF
＝∠
ODC
，

∵
BD
＝
5
，
BC
＝
13
，

∴
CD
＝
12
，

∴
cos
∠< br>ADF
＝
cos
∠
BCD
＝＝．


24
．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价
8
元
< br>千克，经过市场调
查，该产品的日销售量
y
（千克）与销售单价
x（元

千克）之间满足一次函数关系，该
产品的日销售量与销售单价几组对应值如表 ：

销售单价
x
（元

千克）

日销售量
y
（千克）

12

220

16

180

20

140

24

m
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）

（
1
）求
y
关于
x
的函数解析式（不要求写出x
的取值范围）；

（
2
）根据以上信息，填空：

①
m
＝
100
千克；

②当销售价格
x
＝
21
元时，日销售利润
W
最大，最大值是
1690
元；

（
3
）该公司决定从每天的销售利润中捐赠
100
元给“精准扶贫”对象，为了 保证捐赠后
每天的剩余利润不低于
1500
元，试确定该产品销售单价的范围．

【分析】（
1
）设
y
关于
x
的函数解析式为< br>y
＝
kx
+
b
，由待定系数法求解即可；

（
2
）①将
x
＝
24
代入一次函数解析式，计算即可得出< br>m
的值；②根据日销售利润＝日
销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式，并将 其配方，写成顶点式，按照二
次函数的性质可得答案；

（
3
）根据 题意，
W
＝﹣
10
x
2
+420
x
﹣2720
﹣
100
≥
1500
，变形得出关于
x
的二次不等式，

然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．
< br>解：（
1
）设
y
关于
x
的函数解析式为
y< br>＝
kx
+
b
，将（
12
，
220
） ，（
16
，
180
）代入得：

，

解得：．

∴
y
＝﹣
10
x
+340
；

（
2
）①∵当
x
＝
24
时，
y
＝﹣
10
×
24+340
＝
100
，

∴
m
＝
100
．

故答案为：
100
；

②由题意得：

W
＝（﹣
10
x
+340
）（
x
﹣
8
）
＝﹣
10
x
2
+420
x
﹣
272 0

＝﹣
10
（
x
﹣
21
）
2< br>+1690
，

∵﹣
10
＜
0
，

∴当
x
＝
21
时，
W
有最大值为
1690
元．

故答案为：
21
，
1690
；

（
3
）由题意得：

W
＝﹣
10
x
2
+420
x
﹣
2720
﹣
100
≥
1 500
，

∴
x
2
﹣
42
x
+4 32
≤
0
，

当
x
2
﹣
42x
+432
＝
0
时，

解得：
x
1< br>＝
18
，
x
2
＝
24
，

∵函数
y
＝
x
2
﹣
42
x
+432
的二次项系数为正，图象开口向上，

∴
18
≤
x
≤
24
，

∴该产品 销售单价的范围为
18
≤
x
≤
24
．

2 5
．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大
缩短了 时空距离，改变了人们的出行方式，如图
A
，
B
两地被大山阻隔，由
A
地到
B
地
需要绕行
C
地，若打通穿山隧道由
A< br>地到
O
地，再由
O
地到
B
地可大大缩短路程、∠OAC
＝
45
°，∠
OBC
＝
60
°，∠ACB
＝
90
°，
AC
＝
540
公里，
BC
＝
400
公里，求隧道打
通后与打通前相比，从
A
地 到
B
地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：
≈
1.4
，≈
2.4
）

≈
1.7
，

【分析 】过点
O
作
OD
⊥
AC
于点
D
，
OE
⊥
BC
于点
E
，设
BE
＝
x
公里，通过解直角三
角形，用
x
表示
CD
和
AD
， 由
AC
的长度列出
x
的方程，求得
x
，进而由勾股定理求得
OA
与
OB
，便可计算出结果．

解：过点
O作
OD
⊥
AC
于点
D
，
OE
⊥
BC
于点
E
，


设
BE
＝
x
公里，则
OD
＝
CE
＝
400
﹣
x
（公里），

∴
CD
＝
OE
＝
BE
•< br>tan
∠
OBE
＝
x
•
tan60
°＝AD
＝
∵
AD
+
CD
＝
AC
＝
540
，

∴
x
+400
﹣
x
＝
540
，

+70
，

+70
，
OE
＝
70+210
，
AD
＝
OD
＝
330
﹣
70
，

，

﹣
70+140+140
＝
672
，

，

，

x
，

∴
x
＝
70
∴
BE
＝
70
∴
AO
＝
OB
＝
∴
AO
+
OB
＝
330
AC
+
CB
＝
540+400
＝
940
，

940
﹣
672
＝
268
，

答：隧道打 通后与打通前相比，从
A
地到
B
地的路程将约缩短
268
公 里．

26
．已知如图
1
，四边形
ABCD
是正方 形，
E
，
F
分别在边
BC
、
CD
上，且∠
EAF
＝
45
°，
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角 模型”问题时，旋转是一种常用的方
法．

（
1
）在 图
1
中，连接
EF
，为了证明结论“
EF
＝
BE< br>+
DF
“，小亮将△
ADF
绕点
A
顺时
针旋 转
90
°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（
2
）如图
2
，当∠
EAF
绕点
A
旋转到图
2
位置时，试探究
EF
与
DF
、
BE
之间有怎样的数量关系？

（
3
）如图
3
，如果四边形
A BCD
中，
AB
＝
AD
，∠
BAD
＝∠
B CD
＝
90
°，∠
EAF
＝
45
°，
且< br>BC
＝
7
，
DC
＝
13
，
CF＝
5
，求
BE
的长．


【分析】（
1
）利用旋转的性质，证明△
AGE
≌△
AFE
即可；
< br>（
2
）把△
ABE
绕点
A
逆时针旋转
90< br>°到
AD
，交
CD
于点
G
，证明△
AEF< br>≌△
AGF
即
可求得
EF
＝
DF
﹣
BE
．

（
3
）如图
3
中，在
DC
上取一点
G
，使得
DG
＝
BE
，证明△
ABE< br>≌△
ADG
（
SAS
），推
出
AE
＝
AG
，∠
BAE
＝∠
DAG
，证明△
AFE
≌△
AFG
（
SAS
），推出
EF
＝
FG
，设
BE
＝
x
，则
CG
＝
13
﹣
x< br>，
EF
＝
FG
＝
18
﹣
x
，在Rt
△
ECF
中，根据
EF
2
＝
EC
2
+
CF
2
，构建方程
求出
x
即可解决问题．
【解答】（
1
）证明：如图
1
中，

由旋转可得
GB
＝
DF
，
AF
＝
AG
，∠
BAG
＝∠
DAF
，

∵四边形
ABCD
为正方形，

∴∠
BAD
＝
90
°，

∵∠
EAF
＝
45
°，

∴∠
BAE+
∠
DAF
＝
45
°，

∴∠
BAG
+
∠
BAE
＝
45
°＝∠
EAF< br>，

在△
AGE
和△
AFE
中，

，

∴△
AGE
≌△
AFE
（
SAS
），

∴
GE
＝
EF
，

∵
GE
＝GB
+
BE
＝
BE
+
DF
，

∴
EF
＝
BE
+
DF
．

（
2
）解：结论：
EF
＝
DF
﹣
BE
，

理由：如图
2
中，把△
ABE
绕点
A
逆时针旋转
90
°到
AD
，交
CD
于点
G
，


同（
1
）可证得△
AEF
≌△
AG F
（
SAS
），

∴
EF
＝
GF
，且
DG
＝
BE
，

∴
EF
＝
D F
﹣
DG
＝
DF
﹣
BE
．

< br>（
3
）解：如图
3
中，在
DC
上取一点
G< br>，使得
DG
＝
BE
，


∵∠
BAD
＝∠
BCD
＝
90
°，
∴∠
ABC
+
∠
D
＝
180
°，∠
A BE
+
∠
ABC
＝
180
°，

∴∠
ABE
＝∠
D
，

∵
AB
＝
AD
，
BE
＝
DG
，

∴△
ABE
≌△
ADG
（
SAS
），
< br>∴
AE
＝
AG
，∠
BAE
＝∠
DAG
，

∵∠
EAF
＝
45
°，

∴∠EAB
+
∠
BAF
＝∠
DAG
+
∠
B AF
＝
45
°，

∵∠
BAD
＝
90
°，

∴∠
FAG
＝∠
FAE
＝
45
°，
∵
AE
＝
AG
，
AF
＝
AF
，

∴△
AFE
≌△
AFG
（
SAS
），

∴
EF
＝
FG
，

设
BE
＝x
，则
EC
＝
EB
+
BC
＝
x
+7
，
EF
＝
FG
＝
18
﹣
x
，

在
Rt
△
ECF
中，∵
EF
2
＝
EC
2
+
CF
2
，

∴
5< br>2
+
（
7+
x
）
2
＝（
18
﹣
x
）
2
，

∴
x
＝
5
，

∴
BE
＝
5
．

27
．如图，二次函数< br>y
＝﹣
x
2
+2
（
m
﹣
2
）
x
+3
的图象与
x
、
y
轴交于
A
、
B
、
C
三点，其中
A
（
3
，
0
），抛物线的顶点为
D
．

（
1
）求
m
的值及顶点
D
的坐标；
（
2
）如图
1
，若动点
P
在第一象限内的抛物线上，动 点
N
在对称轴
1
上，当
PA
⊥
NA
，且
PA
＝
NA
时，求此时点
P
的坐标；
（
3
）如图
2
，若点
Q
是二次函数图象上对称轴右侧一 点，设点
Q
到直线
BC
的距离为
d
，
到抛物线的对 称轴的距离为
d
1
，当
|
d
﹣
d
1
|
＝
2
时，请求出点
Q
的坐标．


【分析】（
1
）将点
A
的坐标代入函数表达式，即可求解；

（
2
）证明△
NMA
≌△
AHP
（
AAS
），则
AN
＝
MN
＝
3
﹣
1
＝
2
，即
y
P
＝
2
＝﹣
x2
+2
x
+3
，即
可求解；

（
3< br>）则
d
＝
DH
＝
MQ
sin
M
＝< br>[
（
3
t
+3
）﹣（﹣
t
2
+2< br>t
+3
）
]
，
d
1
＝
t
﹣
1
，即可求解．

解：（
1
）将点
A
的坐 标代入函数表达式得：
0
＝﹣
3
2
+2
（
m
﹣
2
）×
3+3
，

解得：
m
＝
3
，

故抛物线的表达式为：
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3
，

故点
D
的坐标为：（
1
，
4
）；


（
2
）过点
A
作
y
轴的平行线交过点< br>N
与
x
轴的平行线于点
M
，交过点
P
与x
轴的平行
线于点
H
，


∵∠
NA M
+
∠
PAH
＝
90
°，∠
NAM
+∠
ANM
＝
90
°，

∴∠
PAH
＝∠
ANM
，

∵∠
NMA< br>＝∠
AHP
＝
90
°，
AP
＝
NP
，

∴△
NMA
≌△
AHP
（
AAS
），
< br>∴
AN
＝
MN
＝
3
﹣
1
＝
2
，

即
y
P
＝
2
＝﹣
x
2
+2
x
+3
，

解得：
x
＝
1
故点
P
（
1
（
3
）设直线
BC
的表达式为：
y
＝
kx+
b
，则
由点
B
、
C
的表达式为：
y
＝
3
x
+3
，

如图
2
，过点< br>Q
作
y
轴的平行线交
BC
于点
M
，交
x
轴于点
N
，

，解得：，

（舍去负值），

，
2
）；

则
MN
∥
y
轴，

∴∠
BCO
＝ ∠
M
，而
tan
∠
BCO
＝＝，则
sin
∠
BCO
＝＝
sin
M
，

过点
Q
作
QH
⊥
BM
，设点
Q
（
t
，﹣
t
2
+2
t
+3
），则点
M
（
t
，
3
t
+3
），

则
d
＝
DH
＝
MQ
sin
M
＝
∵
|
d
﹣d
1
|
＝
2
，即
解得：
t
＝
[
（
3
t
+3
）﹣（﹣
t
2
+2
t
+3
）
]
，
d
1
＝
t
﹣
1
，

[
（
3
t
+3
）﹣（﹣
t
2
+2
t
+3
）
]
﹣（
t
﹣< br>1
）＝±
2
，

或﹣
1
（舍去﹣
1
），

，
2
﹣
7
）．

故点
Q
的坐标为：（