花千骨经典台词-软件可行性研究报告

北京市西城区
试卷数学文
2013年高三一模

北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）
2013.4

第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40
分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知全集
U{xZ||x|5}
，集合
A{2,1,3,4}
，
B{0, 2,4}
，
那么
AIð
U
B

（D）
{2,1,3,4}

（A）
{2,1,3}
（C）
{0,2}

{2,1,4}
（B）

2．复数
1i

i

（A）
1i
（B）
1i
（C）
1i
（D）
1i


第 2 页 共 21 页

3．执行如图所示的程序框图．若输出
y3
，则输
入
角



（A）
π

6
（B）

π

6
（C）
π

3
（D）

π

3

4．设等比数列{a}
的公比为
q
，前
n
项和为
S
，且
n
n
a
1
0
．若
S
2
2a
3
，则
q
的取值范围是
（B）
(
1
,0)U(0,1)

2
（D）
(,
1
)U(1,)

2
（A）
(1,0)U(0,
1
)

2
（C）
(,1)U(
1
,)

2

第 3 页 共 21 页

5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）
视图是边长为
2
的正方形，该正三棱柱的表
面积是
（A）
63
（B）
123

（C）
1223
（D）
2423


6．设实数
x
，
y
满足条件
值是
（A）
4


7．已知函数
f(x)x
f(x
0
)0
2

x10,


xy 10,

xy20,

则
y4x
的最大
（B）

1

2
（C）
4
（D）
7

bxc
，则 “
c0
”是“
xR
，使
0
”的
（A）充分而不必要条（B）必要而不充分条
件
（C）充分必要条件

第 4 页 共 21 页
件
（D）既不充分也不必
要条件

8．如图，正方体
ABCDABCD
中，
E是棱
BC
的
1111
11
中点，动点
P
在底 面
ABCD
内，且
PAAE
，则
11
点
P
运动形成的图形是

（A）线段
（C）椭圆的一部分
（B）圆弧
（D）抛物线的一部分
110分）
第Ⅱ卷
（非选择题 共
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30
分．
9．已知向量
i (1,0)
，
j(0,1)
．若向量
i

j
与

ij
垂直，
则实数


______． < br>10．已知函数
11．抛物线
y
2

log
2
x,x0,
f(x)

x
x0,

2,
则
f(
1
)f(2)
______．
4
2x的准线方程是______；该抛物线的焦
00
点为
F
，点
M( x,y)
在此抛物线上，且
MF
5
，则
2
______．
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批
元件
的长度数据 (单位：
mm
)全部介于
93
至
105
之间．
将 长度数据以
2
为组距分成以下
6
组：
[93，95)
， < br>[95，97)
，
[97，99)
，
[99，101)
，[101，103)
，
[103,105]
，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在
[97,103)
内的元件为合格品，根据频率分布直
x
0

第 5 页 共 21 页

方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边边长分别为
a
，
b
Ab3
，
c
，且
cos

．若
c 10
，则△
ABC
的面积是
cosBa4
______．
14．已知数列
{a}
的各项均为正整数，其前
n
项和为
n
S
n
．若
1

a
n

, a< br>n
是偶数
,
a
n1


2

3a
n
1, a
n
是奇数
,
3n
且
S
3
29
，

则
a
______；
S
______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数
f(x)sinxacosx
的 一个零点是
3
4
π
．
（Ⅰ）求实数
a
的值；
（Ⅱ）设
g(x)[f(x)]







第 6 页 共 21 页
2
2sin
2
x
，求
g(x)
的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面
CDEF
为正方形，面
ABCD
为等腰梯形，
AB

CD，
AC3
，
AB2BC2
，
ACFB
．
（Ⅰ）求证：
AC
平面
FBC
；
（Ⅱ）求四面体
FBCD
的体积；
（Ⅲ）线段
AC
上是 否存在点
M
，使
EA
平面
FDM
？
证明你的结论．






17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准
为：每辆 汽车一次停车不超过
1
小时收费
6
元，
超过
1
小 时的部分每小时收费
8
元（不足
1
小时的部分
按
1
小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，
两人停车都不超过
4
小时．
（Ⅰ）若甲停车
1
小时以上且不超过
2
小时的概率
第 7 页 共 21 页

5
为
1
，停车付费多于
14
元的概率为，求甲
312
停车付费恰为
6
元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个 时段的可能性相
同，求甲、乙二人停车付费之和为
36
元的概率．



18．（本小题满分13分）
已知函数
f(x)e
x
ax
，
g(x)axlnx
，其中
a0
．
（Ⅰ）求
f(x)
的极值；
（Ⅱ）若存在区间
M
，使f(x)
和
g(x)
在区间
M
上具有
相同的单调性，求
a
的取值范围．


19．（本小题满分14分）
如图 ，已知椭圆
x
2
y
2
1
43
的左焦点为
F
，过点
F
的
直线交椭圆于
A,B
两点，线段
A B
的中点为
G
，
AB
的中垂
线与
x
轴和< br>y
轴分别交于
D,E
两点．
（Ⅰ）若点
G
的横坐标 为

1
，求直线
AB
的斜率；
4
（Ⅱ）记△GFD
的面积为
S
，△
OED
（
O
为原点）的
1
第 8 页 共 21 页

面
积为
S
．试问：是否存在直线
AB
，使得
S
2
1
S< br>2
？说明理
由．








20．（本小题满分13分）
已知集合
S
对于
n
{X|X(x
1
,x
2
,L,x
n
),x
i
N
*
,i1,2,L,n}(n2)
．
A( a
1
,a
2
,L,a
n
)
，
B(b1
,b
2
,L,b
n
)S
n
，定义
uuur
AB(b
1
a
1
,b
2
a
2
,
L
,b
n
a
n
)
；
；< br>A

(a
1
,a
2
,L,a
n
) (

a
1
,

a
2
,L,
a
n
)(

R)
d(A,B)

|ai
b
i
|
i1
n
与
B
之间的距离 为
．
（Ⅰ）当
n5
时，设
A(1,2,1,2,5)
，
B(2,4,2,1,3)
，求
d(A,B)
；
uuuruu ur
（Ⅱ）证明：若
A,B,CS
，且


0
，使
AB

BC
，则
n
d(A,B)d(B,C)d (A,C)
；
2020
（Ⅲ）记
I(1,1,L,1)S
．若
A
，
BS
，且
d(I,A)d(I,B)13
，第 9 页 共 21 页

求
d(A,B)
的最大值．










北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准


2013.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40
分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C；
6．C； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30
分.
9．
0
； 10．

7
；
4
第 10 页 共 21 页

11．
x
1
，
2
；
2
14．
5
，
7n22
．
注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考 生的
解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（
f(
12．
80%
； 13．
24
；
Ⅰ）解：依题意，得
3π
)0
4
，
………………1分

即
sin
3π3π22a
acos0
4422
，

……
…………3分
解
a1
得
．
）解：由（Ⅰ）得
………………5分

（Ⅱ
f(x)sinxcosx
． …


第 11 页 共 21 页
……………6分
g(x) [f(x)]
2
2sin
2
x
(sinxcosx)
2
2sin
2
x

sin2xcos2x

π
2sin(2x)
4
………………8分
．

…

……………10分
由
得
kZ
2kπ< br>πππ
2x2kπ
242
，
k
π

3ππ
xk
π

88
，
． ………
所以 π
的单调递增区间为
[kπ
3
8
π
,kπ
8
]
，
………12分
g(x)
kZ
． ………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在△
ABC
中，
因为
AC3
，
AB2
，
BC1
，
所以
分
又因为
分
（Ⅱ）解：因为
AC
平面
FB C
，所以
ACFC
．
第 12 页 共 21 页
ACBC
． ………………2
，
ACFB
所以
AC
平面
FBC
． ………………4

因
ABCD
为
CDFC
，所以
FC
平面
． ………………6
在等腰梯形
ABCD
中可得
所以△
BCD
CBDC1
分
的面积为
，所以
FC1
．
S
3
4
． …
……………7分
所以四面体
13
V
FBCD
SF C
312
FBCD
的体积为：
． ………………9分
（Ⅲ）解：线段
AC
上存在点
M
，且
M
为
AC
中点时，有
EA
平面
FDM
，证明如下：
……………10分
连结
CE
，与
DF
交于点
N< br>，连接
MN
．
因为
所
EA
CDEF
为正 方形，所以
N
为
CE
中
以
点． ………………11分

因为
FDM
MN
MN
．
，
EA
………………12分
平面
FDM
平面
， ………………13分
第 13 页 共 21 页

所以
EA
平面
FDM
．
所以线段
AC
上存在点
M
，使得
EA
平面
FDM
成
立． ………………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为
6
元”为事件
A
， ………………1分
51
则
P(A)1(
1
)
．
3124
所以甲临时停车付费恰为
6
元的概率是
1
4
． ………………4分
（Ⅱ）解：设甲停车付费
a
元，乙停车付费
b
元 ，其
中
a,b6,14,22,30
． ………………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空
间为：
(6,6),(6,14),(6 ,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6), (22,14),(22,22),

(22,30),(30,6),(30,14),(3 0,22),(30,30)
，共
16
种情
形． ………………10分
其中，
(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)
这
4
种情形符合题
意． ………………12分
第 14 页 共 21 页

故“甲、乙二人停车付费之和为36
元”的概率
41
为
P
16

． ………………13分
4
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
f

(x)e
x
a
f(x)
的定义域为
R
， 且
． ………………2
x
分
① 当
a0
时，
f(x)e
，故
f(x)
在< br>R
上单调递增．
从而
f(x)
没有极大值，也没有极小
值
………………4分
．
② 当
a0
时，令
f

(x)0
，得
xln(a)
．
f(x)
和
f

(x)
的情况如下：

f

(x)

f(x)

x
(,ln(a))

ln(a)

(ln(a),)





0

↗ ↘
故
f(x)
的单调减区间为
(,ln(a))；单调增区间为
(ln(a),)
．
从而
f(x)
的极 小值为
f(ln(a))aaln(a)
；没有极大
值． ………………6分
（Ⅱ）解：
g

(x)a
1ax1

xx
g(x)
的定义域为
(0,)
，且
． ………………8分
第 15 页 共 21 页

③ 当
a0
时，
f(x)
在
R
上单调递增，
g(x)
在
(0,)
上
单调递减，不合题意．

………………9分
④ 当
a0
时，
g

(x)0
，
g(x)
在
(0,)
上单调递减．
当
1a0
时，
ln( a)0
，此时
f(x)
在
(ln(a),)
上单调
递增，由于
意
………………11分
当
a1
时，
ln(a)0
，此时
f(x)
在
(,ln(a))< br>上单调递
综
(,1)
g(x)
在
(0,)
上单调递减，不合题
．
减，由于
f(x)
在
(0,)
上单调递减，符合题意．
上，
a
的取值范围是
． ……
…………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线
AB
的斜率存在，设其方程
为
yk(x1)
． ………………1分
将其代入
x
2
y
2
1
43
，整理得
(4k
2
3)x
2
8k
2
x4k
2
120
． ………………3分
，
B(x
2
, y
2
)
设
8k
2
x
1
x
2< br>
2
4k3
A(x
1
,y
1
)
， 所以
． ………………4分
第 16 页 共 21 页

故点
G
的横坐标为
依
4k< br>2
1

4k
2
34
x
1
x< br>2
4k
2

2
24k3
．
，得题意
，
………………6分
解
k
1
2
得
．
………………7分
（Ⅱ）解：假设存在直线
AB
，使得
不能与
x,y
轴垂直．
由
4k
2
3k
G(
2
,
2
)
4k34k3
S
1
S
2
，显然直线
AB
可得 （Ⅰ）
． …
……………8分
因为
所以
解
k
2
D(< br>2
,0)
4k3
DGAB
，
，
k
2
x
D

2
4k3
3k
4k
2
3
k1
4k
2
x
D
4k
2
3
得 ， 即
． ……………
…10分
因为 △
GFD
∽△
OED
，
第 17 页 共 21 页

所
S
1
S
2
|GD||OD|
以
．
以
， ………
………………11分
所
k
2
4k
2
2
3k< br>2
k
2
(
2

2
)(
2
)
4k34k34k34k
2
3
………12分
整
8k
2
90
理得
．
因为此方程无解，
所以不存在直线
AB
………………13分
，使得
S
1
S
2
． …………
……14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当
n5< br>时，由
d(A,B)

|ab|
，
ii
i1
5
得
所
d(A,B)7
d(A,B )|12||24||12||21||53|7
，
以
．
………………3分
（Ⅱ）证明：设
A(a,a,L,a)
，
B(b,b,L,b)
，
C(c,c,L, c)
．
12n12n12n
因为


0
，使
uuuruuur
AB

BC
，
第 18 页 共 21 页

所
所以
所以
以


0
b
i
a
i



0
，
，
ii
使得
(b
1
a
1
,b
2
a
2
,L,b
n
a
n
)

((c
1
b
1
,c2
b
2
,L,c
n
b
n
)
ii< br>，使得
ba

(cb)
，其中
i1,2,L,n
．
与
cb(i1,2,L,n)
同为非负数或同为负
ii
数． ………………6分
所以
d(A,B)d(B ,C)

|ab|

|bc|

nn
ii ii
i1i1


(|b
i
a
i
| |c
i
b
i
|)
i1
n
n

．


|c
i
a
i
|d(A ,C)
i1
………………8分
（Ⅲ）解法一：
d(A,B)

|ba|
．
20ii
i1
设
ba(i1,2,L,20)
中有
m(m2 0)
项为非负数，
20m
项
ii
为负数．不妨设
i1, 2,L,m
时
ba0
；
im1,m2,L,20
时，ii
b
i
a
i
0
．
所以
d(A,B)

|ba|

ii
i1
20

[(b
1
b
2
Lb
m
)(a
1
a
2
La
m
)][(a
m1
a
m2
La
20
) (b
m1
b
m2
L

因为
d(I,A)d(I,B)13
，
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所以

(a1)

(b1)
， 整理得

a

b
．
iiii
i1i1i1i 1
20202020
所
d(A,B)

|b
i
 a
i
|2[b
1
b
2

L
b
m
(a
1
a
2

L
a
m
)]
i1
20
以
．……………10
分
因为
bb
12
Lb
m
(b
1
b
2
 Lb
20
)(b
m1
b
m2
Lb
2 0
)


(1320)(20m)113m
；
又
aa
12
La
m
m1m
，
所以
d(A,B)2[bb
12
Lb
m
(a
1
a
2
La
m
)]

2[(13m)m]26
．
即
d(A,B)26
．
……………12分
对于
d(I,A)d(I,B) 13
A(1,1,L,1,14)
，
B(14,1,1,L,1)
，有
A
，
BS
，且
20
，
d(A,B)26
．
，
d(A,B)
综
26
上的最大值为
． ……
………13分
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解法二 ：首先证明如下引理：设
x,yR
，则有
|xy||x||y|
．
|x|x|x|
证明：因为
所以
即
，
|y|y|y|
，
，
(|x||y|)xy |x||y|
|xy||x||y|
20
．
20
iiii
i1
所以
d(A,B)

|b a|

|(b1)(1a)|

i1

(|b
i
1||1a
i
|)
i1
20



|a
i
1|

|b
i
 1|26
i1i1
2020
． ……………11分
上式等号成立的条件为
a
d(A,B)26
．
i
1
，或
b1
，所以
i
……………12分
A(1,1,L,1,14)
对于
d(I,A)d(I,B)13
，
B(14,1,1,L,1)
，有
A
，
BS
，且
20
，
d(A,B)26
．
，
d(A,B)
综
26
上的最大值为
． ……
………13分
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