中秋节的由来和习俗-酒店餐饮部实习报告

北京市西城区高二数学上学期期末考试试题 理
试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号
分数

一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的.
一

二

三
15

16

17

18

19

20

本卷总
分

x
2
y
2
1
的一个焦点坐标为（ ） 1. 双曲线
3
（A）
(2,0)


2. 已知椭圆的短轴长是焦距的
2
倍，则椭圆的离心率为（ ）
（A）

3. 设

,

是两个不同的平面，
l
是一条直线 ，以下命题正确的是（ ）
（A）若



，
l
，则
l


（C）若


< br>，
l

，则
l



4. 设
mR
,命题“若
m0
，则方程
xm
有实根”的逆否命 题是（ ）
（A）若方程
xm
有实根，则
m0

（B）若方程
xm
有实根，则
m0

（C）若方程
xm
没有实根，则
m0

（D）若方程
xm
没有实根，则
m0


2
2
2
（B）
(0,2)

（C）
(2,0)
（D）
(0,2)

1

2
（B）
2

2
（C）
1

5
（D）
5

5
（B）若



，
l

，则
l


（D）若



，
l

，则
l


2
2
m
为平面

内的一条直线，5. 已知
,

表示两个不同的平面，则“



” 是“
m

”
的（ ）
（A）充分不必要条件
（C）充要条件
（B）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线的焦点在
x
轴上，焦距为
25
，且双曲线的一条渐 近线与直线
x2y10

平行，则双曲线的标准方程为（ ）
（
（A）
C）（D）
x
y
2
1

4
2
（B）
x
2
y
1

4
2
3x
2
3y
2
1

205
3x
2
3y
2
1

520

7. 已知
A(3,0)
，
B(0,4)
，动点
P(x,y)
在线段
AB
上运动，则
xy
的最大值为 （ ）
（A）
5


8. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
① 正方体的截面不可能是直角三角形；
② 正四面体的截面不可能是直角三角形；
③ 正方体的截面可能是直角梯形；
④ 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
（A）②③

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 命题“
xR
，
使得
x2x50
”的否定是_______ _______________.

10. 已知点
M(0,1)
,
N(2,3)
. 如果直线
MN
垂直于直线
ax2y30
，那么
2
（B）
4

（C）
3

（D）
2

（B）①②④ （C）①③ （D）①④
a
等于_______.

11. 在正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
中，异面直线
AD, BD
1
所成角
的余弦值为_________.
12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的
侧视图的面积为_________.

13. 设
O
为坐标原点，抛物线
y4x
的焦点为< br>F
，
P
为抛物
线上一点. 若
PF3
，则
△OPF
的面积为_________.

俯视图
2
4

2

2

正（主）视图
14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物 线的一部分曲线围绕其对称轴
旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛
定为原点，对称轴 确定为
x
轴，建立如图所示的
系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请
相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出
物线的顶点确
平面直角坐标
你通过对碗 的
抛物线的方程.

你需要测量的数据是__________________ _______（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物
线标准方程为__________ _．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
如图，四棱锥
PABCD
的底面是正方形， 侧棱
PA
底面
ABCD
，
E
是
PA
的中 点.
(Ⅰ)求证：
PC
平面
BDE
；
(Ⅱ)证明：
BDCE
.








16．（本小题满分13分）
如图,
PA
平面
ABC
,
ABBC
,
ABPA2BC2
,< br>M
为
PB
的中点.
(Ⅰ)求证
AM
平面
PBC
；
(Ⅱ)求二面角
APCB
的余弦值.







17．（本小题满分13分）
已知直线
l
过坐标原点
O
，圆
C
的方程为
xy6y40
. < br>(Ⅰ)当直线
l
的斜率为
2
时，求
l
与圆
C
相交所得的弦长；
(Ⅱ)设直线
l
与圆
C
交于两点A,B
，且
A
为
OB
的中点，求直线
l
的方程 .




22
P

E
A
B
C
D
C
A
P
M
B

18．（本小题满分13分）
x
2
y
2
1
的左焦点，过
F
1
的直线
l< br>与椭圆交于两点
P,Q
. 已知
F
1
为椭圆
43（Ⅰ）若直线
l
的倾斜角为
45
，求
PQ
；
（Ⅱ）设直线
l
的斜率为
k
(k0)
，点
P
关于 原点的对称点为
P

，点
Q
关于
x
轴的对称点为< br>Q

，
P

Q

所在直线的斜率为
k

. 若
k

2
，求
k
的值.








19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥
EABCD
中，平面
EAD
平面
ABCD
,
DC
AB
，
BCCD< br>，
EAED
，且
AB4
,
BCCDEAED2
.
（Ⅰ）求证
BD
平面
ADE
；
（Ⅱ）求
BE
和平面
CDE
所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线 段
CE
上是否存在一点
F
，使得
平面
CDE
，请说 明理由.











A
B
E
D
C
平面
BDF

20．（本小题满分14分）
2
2< br>如图，过原点
O
引两条直线
l
1
,l
2
与抛 物线
W
1
:y2px
和
W
2
:y4px
（其中
p
为常数，
p0
）
分别交于四个点
A
1
,B
1
,A
2
,B
2
.
（Ⅰ）求抛物线
W
1
,W
2
准线间的距离；
（ Ⅱ）证明：
A
1
B
1
A
2
B
2
；
（Ⅲ）若
l
1
l
2
，求梯形
A
1
A
2
B
2
B
1
面积的最小值.












y

A
2

A
1

O

B
1

x

B
2

北京市西城区第一学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C； 2.D； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A； 7. C ； 8. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意
xR
,都有
x
2
2x50
； 10.
1
； 11.
12.
83
； 13.
2
；
22
nm
14. 碗底的直径
m
，碗口的直径
n
，碗的高度
h
；
yx
.
4h
2
3
；
3
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
解 (Ⅰ)连结
AC
交
BD
于
O
，连结
OE
，

因为四边形
ABCD
是正方形，所以
O
为
A C
中点.
又因为
E
是
PA
的中点，所以
PCOE
， ………3分
因为
PC
平面
BDE
，
OE
平面
BDE
，
所以
PC
平面
BDE
. ……………6分
(Ⅱ)因为四边形
ABCD
是正方形，所以
BDAC
. ……8分
因为
PA
底面
ABCD
，且
BD
平面
ABCD
，
所以
PABD
. ……………10分
B
P

E
A
O
C
D
又因为
ACIPAA
，所以
BD
平面
PAC
， ……………12分
又
CE
平面
PAC
，
所以
BDCE
. ……………13分

16.（本小题满分13分）
解 (Ⅰ)因为
PA
平面
ABC
，
BC
平面
ABC
，所以
P ABC
.
因为
BCAB
，
PAABA
，
所以
BC
平面
PAB
. ……………2分
所以
AMBC
. ……………3分
因为
PAAB
，
M
为
PB
的中点，
所以
AMPB
. ……………4分
所以
AM
平面
PBC
. ……………5分
(Ⅱ)如图，在平面
ABC
内，作
Az
BC
，
则
AP,AB,AZ
两两互相垂直，
建立空间直角坐标系
Axyz
.
P
x
A
M
y
B
z
C
则
A(0,0,0),P( 2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),M(1,1,0)
.
AP(2, 0,0)
，
AC(0,2,1)
，
AM(1,1,0)
. ……………8分


nAP0,
设平面
APC
的法向 量为
n(x,y,z)
，则




nAC0,

x0,
即

令
y1
，则
z2
.所以
n(0,1,2)
. ……………10分
2yz0.

由(Ⅰ)可知
AM(1,1,0)< br>为平面
BPC
的法向量，
设
n,AM
的夹角为

，
则
cos
< br>
nAM
nAM

110

. ……………12分
52
10
因为二面角
APCB
为锐角， < /p>

所以二面角
APCB
的余弦值为
17.（本小题满分13分 ）
10
. ……………13分
10
解：(Ⅰ)由已知，直线
l
的方程为
y
所以，圆心到直线l
的距离为
2x
，圆
C
圆心为
(0,3)
，< br>半径为
5
，
………3分
3
3
3
. ……………5分
所以，所求弦长为
22
. ……………6分
(Ⅱ) 设
A(x
1
,y
1
)
，
因为
A
为
OB
的中点，则
B(2x
1
,2 y
1
)
. ……………8分
又
A,B
圆
C
上，
所以
x
1
y
1
6y
1
40
，
22
4x
1
2
4y
1
2
12y
1< br>40
，即
x
1
2
y
1
2
3 y
1
10
. ……………10分
解得
y
1
1
，
x
1
1
， ……………11分
即
A(1,1)
或
A(1,1)
. ……………12分
所以，直线
l
的方程为
yx
或
yx
.
……………13分

18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)< br>，由已知，椭圆的左焦点为
(1,0)
，
又直线
l
的倾斜 角为
45
，所以直线
l
的方程为
yx1
， ……………1分
由


yx1,
22

3x 4y12
得
7x8x80
， ……………3分
2
所以
x
1
x
2

88
，
x
1
x
2

. ……………4分
77
8824
|PQ|1k
2
[(x
1
x
2
)
2
4x
1
x
2
] 2()
2
4
. ……………5分
777

yk(x1),
2222
(34k)x8kx4k120
， ……………6分 （Ⅱ）由

2
得
2

3x4y12< br>4k
2
12
8k
2
所以
x
1
 x
2

，
x
1
x
2

. ……………8分
2
2
34k
34k
依题意
P

(x
1
,y
1
),Q

(x
2,y
2
)
，且
y
1
k(x
1
1 )
，
y
2
k(x
2
1)
，
所以，< br>k


y
1
y
2
k(x
1
x
2
)

， ……………10分
x
1
x
2
x
1
x
2

121k
2
其中
x
1
x
2< br>(x
1
x
2
)4x
1
x
2

， ……………11分
34k
2
2< br>31k
2
8k
2
结合
x
1
x
2

，可得
k


2
. ……………12分
2
2k
34k
解得
7k9
，
k

19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由
BCCD
,
BCCD2
.
可得
BD22
.
由
EAED
,且
EAED2
，
可得
AD22
.
又
AB4
. 所以
BDAD
. …………2分
又平面
EAD
平面
ABCD
，
平面
ADE
平面
ABCD
AD
，
A
x
B
y
E
D
C
z
bn
2
3
7
. ……………13分
7
所以
BD
平面
ADE
.
……………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
Dxyz
，
则
D(0,0,0)
，
B(0,22,0)
，
C(2,2,0)，
E(2,0,2)
，
BE(2,22,2)
，
DE( 2,0,2)
,
DC(2,2,0)
. …………6分
设< br>n(x,y,z)
是平面
CDE
的一个法向量，则
nDE0,
nDC0
，
即


xz0,
令
x1
，则
n(1,1,1)
. ……………7分

xy0.
设直线
BE
与平面
CD E
所成的角为

，
则
sin

|cosBE ,n|
|BEn||2222|2
. ……………8分

3
|BE||n|
233
所以
BE
和平面
CDE
所成的角的正弦值
（Ⅲ）设
CF

CE
,

 [0,1]
.
2
. ……………9分
3
又
DC(2,2,0)
,
CE(22, 2,2)
,
BD(0,22,0)
.
则
DFDCCFD C

CE2(2

1,

1,

)
. ……………10分
设
m(x',y',z')
是平面
BDF
一个法向量,则
mBD0
，
mDF0
，
即


y'0,
……………11分
(2

1)x'(

1)y'

z'0.


令
x'1< br>,则
m(1,0,
2

1

)
. ……………12分
2

11
0
，

[0 ,1]
.……13分
3
若平面
BDF
平面
CDE
，则
mn0
，即
1

所以，在线段
CE
上 存在一点
F
使得平面
BDF

平面
CDE
. ……………14分


20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知， 抛物线
W
1
,W
2
的准线分别为
x
所以，抛物 线
W
1
,W
2
准线间的距离为
p
和
x p
， ……………2分
2
p
. ……………4分
2
2p4p
和
2
. ………5分
k< br>1
2
k
1
（Ⅱ）设
l
1
:yk
1
x
，代入抛物线方程，得
A
1
,A
2
的横坐标分别 是
|OA
1
||OB
1
|
1
1

， ……………7分

，同理
22
| OA
2
||OB|2
2
16p16p
2

2
k
1
4
k
1
所以
△OA
1
B
1
△OA
2
B
2
，
所以
A
1
B< br>1
A
2
B
2
. ……………8分
（Ⅲ）设
A
1
(x
1
,y
1)
，
B
1
(x
2
,y
2
)
， 直线
A
1
B
1
方程为
l
A
1
B< br>1
:xtym
1
，
2
代入曲线
y2px，得
y2pty2pm
1
0
，
4p
2
4p
2

2
k
1
4
k
1
2
所以
y
1
y
2
2pt
，
y
1
y
2
2pm
1
. ……………9分
22
由
l
1
l
2
，得
x
1
x
2
y
1
y
2
0
，又< br>y
1
2px
1
，
y
2
2px
2
，
y
1
2
y
2
2
y
1
y
2
0
，由
y
1
y
2
2pm1
，得
m
1
2p
. ……………11分 所以
4p
2
所以直线
A
1
B
1
方程为
l
A
1
B
1
:xty2p
，
同理可求出直线
A
2
B
2
方程为
l
A2
B
2
:xty4p
.
所以
|A
1B
1
|1t
2
y
1
y
2
2p 1t
2
t
2
4
， ……………12分
|A
2
B
2
|4p1t
2
t
2
4
，
平行线
l
A
1
B
1
与
l
A
2
B
2
之间的距离为
d
2p
1t
2
，

所以梯形
A
1
A
2
B
2
B
1
的面积
S
1
(A< br>1
B
1
A
2
B
2
)d6p
2
t
2
4
， ……………13分
2
12p
2

当
t0
时，梯形
A1
A
2
B
2
B
1
的面积达最小，最小值为12p
. ……………14分




2