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衡水万卷作业（五）
三视图
考试时间：45分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
的）
1.（2015安徽高考真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A）
13
（B）
23

（C）
122
（D）
22


2.如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面 的中心）P-ABCD的底面
边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于( )．

A.17cm B.
1195cm
C.16cm D.14cm
3.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．
8
434
3
B．
8
2
3

C．
8
23
32
3
D．
3

4.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是
A.9 B.10 C.12 D. 18

5.如图 ，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，
其直角边长均为1，则该几何体的表 面积为 ( )
A．
12
B．
222
C．
1
3
D．
22

6.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积 尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面
落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料 利用率=
新工件的体积
原工件的体积
）（ ）
A.
8
9


B.
16
9


C.
4(21)
3


D.
12(21)
3



7.在三棱椎P-ABC中，
PA
平面ABC,
ACBC
,D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视 图如图所示，则下列命题正
确的是( )

P
22
D< br>2
4
A
22
C
2
4
B
4
正 视图
侧视图

A.
AD
平面PBC且三棱椎D- ABC的体积为
8
3
B.
BD
平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
8
3

C.
AD
平面PBC且三棱椎D- ABC的体积为
1616
3
D.
BD
平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
3

8.已知某 几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积
V
的大小为（ ）

A.
35
3
B. 12 C.
40
3
D. 16
9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为
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( )

A．4 B．8 C．16 D．20
10.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

11.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )

A．
11

11

11

2
B．
2
＋6 C．11π D．
2
＋3
3

12. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画,出了某多面体的三视图，则这个

多面体最长的一条棱的长为（ ）
A.
3
B.
23
C. 4 D.
22

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.一个正三棱柱的侧 棱长和底面边长相等，体积为
2
3
它的三视图的俯视图如图，左视图
是一个矩 形，则矩形的面积是

14.把边长为1的正方形
ABCD< br>沿对角线
BD
折起形成三棱锥
CABD
的主视图与
俯视图如图所示，则左视图的面积为 ______



15. 一空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为
12


85
3
，则正视图中
h
的值为 。

3
3
3
3
h
O
h
正视图
4

O
侧视图
4
O

俯视图


16.把边长为1的正方形ABCD沿对角线
BD
折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与 俯视图如右上图
所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 ．

17.用小立方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示,这样的几何体至少要 ____
个小立方体,最多只能用____ _个小立方体.

18. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面 积
是___________.
三、解答题（本大题共2小题，共28分）
19. 三棱锥
ABCD
及其侧视图、俯视图如图所
示。设
M
，
N
分别为线段
AD
，
AB
的中
点，
P
为线段
BC
上的点，且
MNNP
。
（1）证明：
P
为线段
BC
的中点；
（2）求二面角
ANPM
的余弦值。


20.一个多面体的直观图和三视图如图所示
（1）求证:
PABD< br>；（2）是否在线段
PD
上存在一
Q
点,使二面角
QAC D

P
的平面角为
30

，设

DQ
DP
，若存在，求

；若不存在，说明理由

A
B
D

C
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7
2
正 视 图
7
7

2
侧 视 图
7
2
2
俯 视 图

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0.
衡水万卷作业（五）答案解析
一、选择题
1.B【命题立意】本题考查三视图以及多面体的表面积，难度中等
【解题思路】由题意知题中的几何图形是如图所示的四面体，
其中
ABADCBCD2,BD2
,
且平面
ABD< br>平面CBD，所以
ABD
与
CBD
都是等腰直角三角形，而
ABC
与
CAD
都是边长是
2
的等边
三角形，所以表 面积是
13
2
2
222
4


2

223
，故选B.
2.D
3.A
4.A
5.
D

6.【答案】B.
解析：由题可得，问题等价 于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有
x2h
1

2
,h 22x,
所以长方体体积
为
x
2
h

2x

2

22x

4x

x


22x

„
4


xx22x

3

3



32
27
，当且仅当
x22x
，
32
既
x
2
27
3
时，等号成立，故利用率为
16
1

，故选B。

π

1
2

2
9
π
3
考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
7.C 解：
PA平面ABC,PABC,又ACBC,PAAC=A

BC平面 PAC，BCAD，
又由三视图可得
在PAC中，PA=AC=4，

D为PC的中点，ADPC，AD平面PBC.

又
BC=4,A DC=90

，BC平面PAC
故
V
1116
D-ABC
=V
B-ADC
=
3

2
22224=3

8.C
9.C
10.C
11.D
12.A

二、填空题
13.
2
3
【解析】设正三棱柱的底面边长 为
a
，利用体积为
2
3
，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱 长都是2，
所以底面正三角形的高为
3
故所求矩形的面积为
23
.
1
14.
4

15.3
16.
2

17.9, 14
18.
22


三、解答题
19.解：（1）由三棱锥
ABCD
及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥
ABCD
中：
平 面
ABD
平面
CBD
，
ABADBDCDCB2

设
O
为
BD
的中点，连接
OA
，
OC

于是
OABD
，
OCBD
所以
BD
平面
OAC

BDAC

因为
M
，
N
分别为线段
AD
，
AB
的中点，所以MNBD
，
又
MNNP
，故
BDNP

假设
P
不是线段
BC
的中点，则直线
NP
与直线
A C
是
平面
ABC
内相交直线
从而
BD
平面< br>ABC
，这与
DBC60

矛盾
所以
P
为线段
BC
的中点
（2）以
O
为 坐标原点，
OB
、
OC
、
OA
分别为
x
、
y
、
z
轴建立空间直角坐标系，
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DQO
中,
PDO60
,且
QOD30
. 所以
DPOQ,

所以OD2,QD
DQ
1
2
=


2
DP
4


则
A(0,0 ,3)
，
M(
1
2
,0,
3
2
)
，
N(
1313
2
,0,
2
)
，
P(< br>2
,
2
,0)

于是

AN

(
13

3

2
,0,
2
)
，
PN(0,
3
2
,
2
)，
MN(1,0,0)

设平面
ANP
和平面
NPM
的法向量分别为

m

(x

1
,y< br>1
,z
1
)
和
n(x
2
,y
2< br>,z
2
)




1
x 
3
z
1
0
由





AN

m

0


21
2
，设
z


PNm0

1
1
，则
m(3,1,1)





3
2
y
1

3
2
z
1
 0
由




MN



n0

x
2
0






PNn0


3


2
y
3
，设
z
2
1
，则
n(0,1 ,1)

2

2
z
2
0
cos

m

,


n
m



n210
|

m

||

n|
52

5

所以二面角
ANPM
的余弦值
10
5

20. 解：（1）由三视图可知
PABCD
为四棱锥,底面
ABCD
为正方形,且
PAPBPCPD

连接
AC,BD
交于点
O
,连接
PO
，
因为
BDAC,BDPO
,所以
BD
平面
PAC
，即
BDPA
；
（2）由三视图可知,
BC2,PA22
,假设存在这样的D点
因为< br>ACOQ,ACOD
,所以
DOQ
为二面角
QACD
的平面角,

PDO
中,
PD22,OD2
,则
PDO60
,
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