落脚点-社会实践报告格式

广东高考文科数学真题模拟汇编
13：立体几何
1. (2009广州一模文数)一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图3所示，则该几何体的侧面积为
cm
2
.
1．
80

3
3
x
x
4
正视图
4
侧视图

图2

2. (2011广州一模文数)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的
体积为
12


俯视图










2
2
2
2
2
2
正(主)视图
侧(左)视图
2
2
俯视图
图1
85
，则正视图中
x
的值为
3
A．
5
B．
4
C．
3
D．
2

2、答案C
3．(2012广州一模文数)如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为
．．．
A．
43
B．
43
C．8
3
D．12
3、答案C
4. (2012广州二模文数)已知两条不同直线
m、l,
两个不同平面

、

，在下列条件中，可得出



的是
A.
ml,l

,l

B.
ml,

l.m


C.
ml,l

,m

D.
ml,m

,l


4、答案C
5．(2012广东文数)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．
72

B．
48

C．
30

D．
24



5、C

6. (2005广东)给出下列关于互不相同 的直线
m
、
l
、
n
和平面

、

，的四个命题：
①若
m

,l

A
，点
Am
，则
l
与
m
不共面；
②若m、l是异面直线,
l

,m

, 且
nl,nm
，则
n

；
③若
l

,m

,



，则
lm
；
④若
l
< br>,m

,lm
点
A
，
l

, m

，则



．
其中为假命题的是
A．① B．② C．③ D．④
l
α

m
β



．解：③是假命题，如右图所示满足
l< br>
,m

,



， 但
l
m
，故选
C
．
C'
B'
7. (2005广东)

已知高为３的直棱锥
ABCA

B

C

的底面是边长为１的正三角形
A'
（如图１所示），则三棱锥
B

ABC
的体积为 （ ）
A．
1

4
3

6
B．
1

2
3

4
A
C．D．
．解:∵
BB

平面ABC,

B
图1
C
∴
V
B

ABC

11133
S
ABC
hS
ABC
BB

3
．故选D.
33344
8、（2006广东）给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
.3 C
8、①②④正确，故选B.
9、（2006广东）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
9、
d33R
33
S4

R
2
27


2
，n
是互不相同的空间直线，

，< br>
是不重合的平面，则下列命题中为真命10．（2007广东文数）若
l，m
题的是（ ）
Ａ．若

∥

，l

，n< br>
，则
l∥n


Ｂ．若



，l

，则
l


Ｄ．若
l

，l∥

，则




，mn
，则
l∥m
Ｃ．若
ln

11．（2008广东文数）将正三棱柱截去三个角（如图1所示 ，
A，B，C
分别是
△GHI
三边的中点）得到
几何体如图2，则该 几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
H
B
A
I
C
G
侧视
B
D
F
图1
11. A
12. （2009广东文科）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
12. D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D

13.（2010广东文理数）如图1，△ ABC为三角形，
E
F
图2
A
C
B
E
A． B．
B
B
B
E
D
E
E
C．
E
D．

AA

BB

CC

CC
< br>AA

3
2
BB

CC

A

B

C

15
C
C
分)
如图4，
A
1
A
是圆柱的母线 ，
AB
是圆柱底面圆的直径，
4
(2009广州一模文数) (本小题满分14

C
是底面圆周上异于
A,B
的任意一点，
AA
1
AB2
．
（1）求证：
BC
⊥平面
A
1
AC
；
（2）求三棱锥
A
1
ABC
的体积的最大值．

16．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础 知识，考查空间想象能力、推理论证能力和
运算求解能力）
（1）证明：∵
C
是底面圆周上异于
A
、
B
的一点，且
AB
为底面圆的直径 ，
∴
BCAC
． …… 2分
∵
AA
1
⊥平面
ABC
，
BC
< br>平面
ABC
，
∴
BCAA
1
. …… 4分
∵
AA
1
ACA,AA
1

平面
A
1
AC
,
AC
平面
A
1
AC
,
∴
BC
平面
A
1
AC
． …… 6分
（2）解法1:设
ACx
,在Rt△
ABC
中，< br>BCAB
2
AC
2
4x
2
（0＜x＜2)
，
1
111
2
故
V
AABC
S
ABC
AA
1
ACBCAA
1
x4x
（0＜x＜2
)
,
1
3
332
11
2
1
222
即
V
AABC
x4x
2
x(4x)(x2)4．
1
333
∵
0x2,0x4
,
∴当
x2
，即
x2< br>时，三棱锥
A
1
ABC
的体积的最大值为

解法2: 在Rt△
ABC
中，
ACBCAB4
,
222
2
2
2
．
3
111
S

ABC
A
1
AA
1
AAC BC

332
1

ACBC

3

V
A
1
ABC

1AC
2
BC
2



32
1AB
2



32


2
.
3
2
. 当且仅当
ACBC
时等号成立，此时
ACBC

∴三棱锥
A
1
ABC
的体积的最大值为

17. (2010广州二模文数)（本小题满分14分）
2
.
3
在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1D
1
中,
ABBC1,AA
1
2
,
点
M
是
BC
的中点,点
N
是
AA
1的中点.
(1) 求证:
MN
平面
A
1
CD
;
(2) 过
N,C ,D
三点的平面把长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
截成
两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.



17. （本小题满分14分）
A
1< br>B
1
N
C
1
D
1
A
B
D< br>M
C
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，
以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) < br>（1）证法1：设点
P
为
AD
的中点，连接
MP,NP
.
∵ 点
M
是
BC
的中点,
∴
MPCD
.
∵
CD
平面
A
1
CD< br>,
MP
平面
A
1
CD
,
∴
MP
平面
A
1
CD
. …2分
∵ 点
N
是
AA
1
的中点,
∴
NPA
1
D
.
∵
A
1
D
平 面
A
1
CD
,
NP
平面
A
1
C D
,
∴
NP
平面
A
1
CD
. …4
分
∵
MP
B
A
P
M
C
D
A
1
B
1
N
C
1
D
1
N PP
,
MP
平面
MNP
,
NP
平面
MNP
,
∴ 平面
MNP
平面
A
1
CD
.
∵
MN
平面
MNP
,
∴
MN
平面
A
1
CD
. …6分
证法2: 连接
AM
并延长
AM
与
DC
的 延长线交于点
P
, 连接
A
1
P
,
B
1
N
A
1
D
1
C
1

∵ 点
M
是
BC
的中点,
∴
BMMC
.
∵
BMACMP
,
MBAMCP90
,
∴
Rt
MBA
Rt
MCP
. …2分
∴
AMMP
.
∵ 点
N
是
AA
1
的中点,
∴
MNA
1
P
. …4分
∵
A
1
P
平面
A
1
C D
,
MN
平面
A
1
CD
,
∴
MN
平面
A
1
CD
. …6分
(2) 解: 取
BB
1
的中点
Q
, 连接
NQ
,
CQ
,
∵ 点
N
是
AA
1
的中点,
∴
NQAB
.
∵
ABCD
,
∴
NQCD
.
B
Q
A
D
M
C
B< br>1
N
A
1
C
1
D
1

∴ 过
N,C,D
三点的平面
NQCD
把长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
截成两部分几何体,
其中一部分几何体为直三棱柱
QBC
NAD
, 另一部分几何体为直四棱柱
B
1
QCC
1
A
1
NDD
1
. …
8分
∴
S
QBC

111
QBBC11
,
222
1
, …
2
∴ 直三棱柱
QBC
NAD
的体积
V< br>1
S
QBC
AB
10分
∵ 长方体
A BCDA
1
B
1
C
1
D
1
的体积
V112
2
,
∴直四棱柱
B
1
Q CC
1
A
1
NDD
1
体积
V
2
VV
1

12分
3
. …
2
1
V
1
∴
1

2

.
3
3
V
2
2
1
∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为. …
3
14分

(说明:
V
2
V
3
也给分)
1
18．(2010广州一模文数)（本小题满分14分）
如图6，正方形
ABCD
所在平面与三角形
CDE
所在平面相交
于
CD
，< br>AE
平面
CDE
，且
AE3
，
AB6
．
（1）求证：
AB
平面
ADE
；
（2）求凸多面体
ABCDE
的体积．

18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数 形
结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证
能力和运算求解能力） < br>（1）证明：∵
AE
平面
CDE
，
CD
平面CDE
，
∴
AE
CD
．
在正方形
ABCD
中，
CDAD
，
∵
ADAEA
，∴
CD
平面
ADE
．
∵
ABCD
，
∴
AB
平面
ADE
．
（2）解法1：在
Rt
△
ADE
中，
AE3
，< br>AD6
，
∴
DEAD
2
AE
2
33
．
过点
E
作
EFAD
于点
F
，
∵
AB
平面
ADE
，
EF
平面
ADE
，
∴
EFAB
．
∵
ADABA
，
∴
EF
平面
ABCD
．
∵
ADEFAEDE
，
∴
EF
AEDE33 33
AD

6

3
2
．
又正方形
ABCD
的面积
S
ABCD
36
，
∴
V
1
ABCDE
V
EABCD

3
S
ABCD
EF



13
3
36
3
2
183
．
故所求凸多面体
ABCDE
的体积为
183
．
解法2： 在
Rt
△
ADE
中，
AE3
，
AD6
，
∴
DEAD
2
AE
2
33
．
连接
BD
，则凸多面体
ABCDE
分割为三棱锥
BCDE

和三棱锥
BADE
．
B
A
C
E
D
图5
B
A
F
C
E
D
B
A
C
E
D

由（1）知，
CD
DE
．
∴
S
CDE

又
AB
∴
AB
11
CDDE6 3393
．
22
CD
，
AB
平面
CDE< br>，
CD
平面
CDE
，
平面
CDE
．
∴点
B
到平面
CDE
的距离为
AE
的长度．
11
S
CDE
AE93393
．
33
∵
AB
平面
ADE
，
∴
V
BCDE

∴
V
BADE

1193
SADE
AB693
．
332
∴
V
ABC DE
V
BCDE
V
BADE
9393183
．
故所求凸多面体
ABCDE
的体积为
183
．


19. (2011广州一模文数)（本小题满分14分）
如图4，在四棱锥PABCD
中，平面
PAD
平面
ABCD
，
AB∥ DC
，
△PAD
是等边三角形，已知
BD2AD4
，
AB2DC25
．
（1）求证：
BD
平面
PAD
；
（2）求三棱锥
APCD
的体积．


19.（本小题满分14分）
P

D
A
C
B
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及
空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明：在
△ABD
中，由于
AD2
，
BD4
，
AB25
，
∴
ADBDAB
. …… 2分
∴
ADBD
．
又平面
PAD
平面ABCD
，平面
PAD
平面
ABCDAD
，
BD< br>平面
ABCD
，
222
∴
BD
平面
PAD
. …… 4分
（2）解：过
P
作
POAD
交
AD
于
O
.
又平面
PAD
平面
ABCD
， ∴
PO
平面
ABCD
． …… 6分
∵
△PAD
是边长为2的等边三角形， ∴
PO3
.
由（1）知，
ADBD
，在
Rt△ABD
中，
斜边AB
边上的高为
h
P
ADBD45

. …… 8分
AB5
D
O
A
C
B

∵
AB∥DC
，∴
S
△ACD

1145
CDh 52
. …… 10分
225
∴
V
APCD
V
PACD

1123
S
△ACD
PO23. …… 14分
333

20．(2011广州二模文数)（本小题满分14分）
一个几何体是由圆柱
ADD
1
A
1
和三棱锥
EABC
组合而成，点
A
、
B
、
C
在圆
O
的圆周上，其正（主）
视图、侧 （左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中
EA
平面
ABC
，
ABAC
，
ABAC
，
AE2
．
（1）求证：
ACBD
；
（2）求三棱锥
EBCD
的体积．
E


C


A
A
1
A
1
O


B

D

D
1
D
1


E
E
O

A

A

D
侧（左）视图

正（主）视图



图2

20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知 识，考查化归与转化的数学思想方法，以
及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）
（1）证明：因为
EA
平面
ABC
，
AC
平面
ABC
，所以
EAAC
，即
EDAC
．
又因为
ACAB
，
ABEDA
，所以
AC
平面
EBD．
因为
BD
平面
EBD
，所以
ACBD
．………………………………………………………………4分
（2）解：因为点
A
、
B
、
C
在圆
O
的圆周上，且
ABAC
， 所以
BC
为圆
O
的直径．
设圆
O
的半径为
r
，圆柱高为
h
，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
1
2rhr210,


2
………………………………… ………6分

1

2rh2r212.

2< br>解得

E
C
A
1
O

B
A

r2,


h2.
D
1
D

所以
BC4
，
ABAC22
．………………………………………………………………………8分

以下给出求三棱锥
EBCD
体积的两种方法：

方法1：由（1）知，
AC
平面
EBD
，
1
S
EBD
CA
．…………………………………………………………… …10分
3
因为
EA
平面
ABC
，
AB平面
ABC
，
所以
EAAB
，即
EDAB
．
所以
V
EBCD
V
CEBD

其中
EDEADA224
，因为
ABAC
，
ABAC22
，
11
 EDAB42242
．…………………………………………………13分
22116
所以
V
EBCD
4222
．…………………… ……………………………………………14分
33
方法2：因为
EA
平面
ABC
，
111< br>所以
V
EBCD
V
EABC
V
DABC< br>S
ABC
EAS
ABC
DAS
ABC
ED
．…………………10分
333
所以
S
EBD

其中
EDEADA224
，因为
ABAC
，
ABAC22
，
所以
S
ABC

所以
V< br>EBCD
11
ACAB22224
．……………………………… …………………13分
22
116
44
．…………………………… ……………………………………………14分
33





20．(2012广州一模文数)（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥< br>PABC
中，
ABBC6
，平面
PAC
平面
ABC
，
PDAC
于点
D
，
AD1
，
CD3
，
PD2
．
（1）求三棱锥
PABC
的体积；
（2）证明△
PBC
为直角三角形．
P


A
C
D


20．（本小题满分14分）
B（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以图5
及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：因为平面
PAC
平面
ABC
，平面
PAC
平面
ABCAC
，
PD
平面
PAC
，
PDAC
，
所以< br>PD
平面
ABC
．…………………………………………………………………… ……………2分
记
AC
边上的中点为
E
，在△
ABC中，因为
ABBC
，
所以
BEAC
．
因为< br>ABBC
所以
BE
2
6
，
AC4
，
2
BCCE

6

2
2
2
2
．………………………………………………………4分

所以△
A BC
的面积
S
ABC

因为
PD2
，
1
……………………………………………………5分
ACBE22
．
2
142
1
．……………………7分
S
ABC
PD
222
33
3
所以三 棱锥
PABC
的体积
V
PABC

（2）证法1：因为
PD
AC
，所以△
PCD
为直角三角形．
因为
PD2
，
CD3
，
所以
PC
P
PD
2
CD
2
2
2
3
2
13
．………………9分
连接
BD
，在
Rt
△
BDE
中，
因为< br>BED90
，
BE
所以
BD
2
，
D E1
，
BEDE
22

2

2
A
13
．…………10分


2
E
D
B

C
由（1）知
PD
平面
ABC
，又
BD
平面
ABC
，
所以
PDBD
．
在
Rt
△
PBD
中， 因为
PDB90
，
PD2
，
BD3
，
所 以
PBPDBD2
222

3

2
7< br>．……………………………………………………12分
在
PBC
中，因为< br>BC
222
6
，
PB7
，
PC13
，
所以
BCPBPC
．……………………………………………………………………… ………13分
所以
PBC
为直角三角形．……………………………………………… ……………………………14分
证法2：连接
BD
，在
Rt
△BDE
中，因为
BED90
，
BE
所以
BD< br>2
，
DE1
，
BE
2
DE
2


2
2
1
2
3
．…………8分
P
在△
BCD
中，
CD3
，
BC
222
6
，
BD3
，
所以
BCBDCD
，所以
BCBD
．………………10分
由（1）知
PD
平面
ABC
，
因为
BC
平面
ABC
，
所以
BCPD
．
因为
BDPDD
，

A
E
D
B

C
所以
BC平面
PBD
．…………………………………………………………………………………12分
因为
PB
平面
PBD
，所以
BCPB
．
所以
PBC
为直角三角形．……………………………………………………………………………14 分



21. (2012广州二模文数)（本小题满分14分）某建筑 物的上半部分是多面体
MNABCD
，下半部分是
长方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1< br>（如图5）.该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6，其中正（主）视图由正方形和等
腰 梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成。
（1）求线段
AM
的长；
（2）证明：平面
ABNM
平面
CDMN
；
（3）求该建筑物的体积.

N
M


C
D

A

B

侧视

D
1

C
1

A
1
B
1
正（主）视图

正视

2
11
44
侧（左）视图
21. （本小题满分14分）
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的
数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）解：作
MO
平面
ABCD
，垂足为
O
，连接< br>AO
，
由于
AB
平面
ABCD
，故
MOAB
.
作
MPAB
，垂足为
P
，连接
PO
，
又
MOMPM
，且
MO
平面
MPO
，
MP< br>平面
MPO
，
∴
AB
平面
MPO
. …………… 1分
由题意知
MOPOAP1,
AA
1
4< br>，
AD2
， …………… 2分
在Rt△
POM
中，
PM
在Rt△
APM
中，
AM
PO
2
MO
2
2
， …………… 3分
AP
2
PM
2
3
， …………… 4分
∴线段
AM
的长为
3
. …………… 5分
（2）解：延长
PO
交
CD
于点
Q，连接
MQ
，
由（1）知
AB
平面
MPO
.
∵
MQ
平面
MPO
，
∴
AB
MQ
.
∵
MNAB
，
∴
MNMQ
. …………… 6分
M
D
A
O
PP
1
Q
N
Q
1
B
C
D
1
A
1
B
1
C
1

在△< br>PMQ
中，
MQMP
∵
MPMQ4PQ
，
222
2,PQ2
，
∴
MPMQ
. …………… 7分
∵
MPMNM,MP
平面
ABNM
，
MN
平面
ABNM
，
∴
MQ
平面
ABNM
. …………… 8分
∵
MQ
平面
CDMN
，
∴平面
ABNM

平面
CDMN
. …………… 9分
（3）解法1：作
NP
1
MP
交
AB< br>于点
P
1
，作
NQ
1
MQ
交
CD< br>于点
Q
1
，
由题意知多面体
MNABCD
可分割为两个等体积的四棱锥
MAPQD
和
NP
1
BCQ
1
和一个直三棱柱
MPQNPQ
11
.
112
APADMO121
， ………… 10分 333
11
直三棱柱
MPQNPQ
的体积为
VMPMQMN 2222
，…11分
11
2
22
210
∴多面 体
MNABCD
的体积为
V2V
1
V
2
2 2
. …………… 12分
33
四棱锥
MAPQD
的体积为
V
1

长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
V
3
ABBCAA
1
42432
. ……… 13分
∴建筑物的体积为
VV
3

106
. ……… 14分
3
Q
D
A
P
MN
Q
1< br>C
B
解法2：如图将多面体
MNABCD
补成一个直三棱柱
ADQBCQ
1
，
依题意知
AQDQBQ
1
CQ
1
2,MQNQ
1
1
，
AD2
.
多面体
MNABCD
的体积等于直三棱柱
ADQBCQ
1
的体 积
减去两个等体积的三棱锥
MADQ
和
NBCQ
1
的 体积.
∵
AQDQ4AD
，
∴
AQD90
.
直三棱柱
ADQBCQ
1
的体积为
V
1


222
O
D
1
A
1
B
1
C< br>1
11
AQDQAB2244
，… 10分
22
11111
AQDQMQ221
. … 11分 三棱锥< br>MADQ
的体积为
V
2

32323

∴多面体
MNABCD
的体积为
V
V
1
2V
2
4
210

. …… 12分
33
长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D< br>1
的体积为
V
3
ABBCAA
1
4243 2
. ……… 13分
∴建筑物的体积为
VV
3

106
. ……………… 14分
3


22．（2007广东文数）已知某几何体的 俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长
为8，高为4的等腰三角形，侧视图（ 或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积
V
；
（2）求该几何体的侧面积
S
．
22解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ；
(1)
V
1


86

464

3
2
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为

8

2

h
1
4

42
， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，

2


6

AB边上的高为
h
2
4

5


2

2
2
1
85)40242

2
23．（2008广东文数）如图5所示，四棱锥
PABCD
的底面ABCD
是半径为
R
的圆的内接四边形，其
因此
S2( 642
中
BD
是圆的直径，
ABD60
，
BD C45
，
PD
垂直底面
ABCD
，
PD22R
，
E，F
分别是
1
2
PEDF
，过点
E
作
BC
的平行线交
PC
于
G
．

EBFC
（1）求
BD
与平面
ABP
所成角

的正弦值；
（2）证明：
△EFG
是直角三角形；
PE1
（3）当

时，求
△EFG
的面积．
EB2
PB，CD
上的点，且
P
E
A
B
C
图5
P
E
G
D
F
G
D
F

23．解：（1）在
RtBAD
中，
ABD60
，
ABR,AD3R

而PD垂直底面ABC D，
PA
22
PDAD(22R)(3R)11R

A
22
2222
PBPDBD(22R)(2R)23R
,
222
C
在
PAB
中，
PAABPB
,即
PAB
为以
PAB
为直角的直角三角形。
图5
设点
D
到面
PAB
的距离为
H
,
由V
PABD
V
DPAB
有
PAABHABADPD,
B

即
H
ADPD3R22R266
，
R
PA11
11R
H66
;

BD11PEDF
PEPG
(2)
EGBC,
,而,

< br>EBFC
EBGC
PGDF
即
,GFPD
,
G FBC
，
GFEG
,
EFG
是直角三角形；
G CDC
PE1
EGPE1GFCF2
（3）

,
,

时
EB2
BCPB3PDCD3
sin


1122242
BC2Rcos45R,GFPD22RR
,
333333
112424
EFG
的面积
S
EFG< br>EGGFRRR
2

22339
24.（2008广东文数）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半 径为R的圆的内接四边形，其中BD
即
EG
是圆的直径，
ABD60, BDC45,ADP~BAD
。
（1）求线段PD的长；
（2）若
PC11R
，求三棱锥P-ABC的体积。
24【解析】（1） BD是圆的直径


BAD90
又
2
2
ADP~BAD
,
BDsin60

AD DP
AD

,
DP


BAAD
BA< br>
BDsin30

(2 ) 在
RtBCD
中，
CDBDcos45

22222
3
4
3R


1
2R
2
4R
2

2R

2

PDCD9R2R11RPC


PDCD
又
PDA90



PD
底面ABCD

S
ABC
11
ABBCsin

6045

R
22
1
S
3

3212

31
2
2R

R


2222


4

PD< br>1
3
31
2
31
3
R3RR
. < br>44
三棱锥
PABC
的体积为
V
PABC

ABC
25. （2009广东文科）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示 ,墩的上半部分是正四棱锥P－
EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该 标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD

平面PEG

25【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：
VV
PEFGH
V
ABCDEFGH



1
40
2
6040
2
20320003200064000


cm
2


3
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
PO
平面EFGH ,
POHF

又
EGHF

HF
平面PEG
又
BDHF

BD
平面PEG；




26、 (2010广东文数)
如图4，弧AEC
是半径为
a
的半圆，
AC
为直径，点
E
为弧AC的中点，点
B
和点
C
为线段
AD
的三
等分 点，平面
AEC
外一点
F
满足
FC

平面
BED
，
FB
=
5a
.
（1）证明：
EBFD
；
（2）求点
B
到平面
FED
的距离.

26．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心

又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴
BCEB
即
BDEB

∵
FC
平面
BDE
，
EB
平面
BDE
， ∴
FCEB

又
BD
平面
FBD
，
FC
平面
FBD
且
BDFCC
∴
EB
平面
FBD

又∵
FD
平面
FBD
， ∴
EBFD

（2）解：设点B到平面
FED
的距离（即三棱锥
BFED
的高）为h
.
∵
FC
平面
BDE
, ∴FC是三棱锥F- BDE的高，且三角形FBC为直角三角形
由已知可得
BCa
，又
FB5a
∴
FC(5a)
2
a
2
2a

在
R tBDE
中，
BD2a,BEa
，故
S
BDE
< br>∴
V
FBDE

1
2aaa
2
,
2
112
S
BDE
FCa
2
2aa< br>3
,
333
又∵
EB
平面
FBD
，故三 角形EFB和三角形BDE为直角三角
∴
EF
形,
6a,DE5a
，在
RtFCD
中，
FD5a
,
∴
S
FED

21
2
a
,
2
121
2
2421
aha
3
，故
ha,
32321
421
a
.
21
∵
V
FBDE
V
BFED
即
即点B到平面
FED
的距离 为
h


27、（2011•广东文数）如图所示的几何体是将高为2，底 面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其
中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B ′分别为的中点，
O
1
，O
1
′，O
2
，O
2
′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
（1）证明：O
1
′，A′，O
2
，B四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长A′O
1
′到H′，使得O
1
′H ′=A′O
1
′．证明：BO
2
′⊥平面H′B′
G
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论。
专题：证明题；综合题。

分析：（1）要证O
1
′，A′， O
2
，B四点共面，即可证四边形BO
2
AO
1
为平面图形 ，根据A′O
1
′与B′
O
2
′在未平移时属于同一条直径
知道AO
1
∥BO
2
即BO
2
∥AO
1
再根据BO
2
=A′O
1
′=1即可得到四边形BO
2
AO
1
是平行四边形，
则证．
（2）建立空间直角坐标系，要证BO
2
′⊥平面H′B′G只需证
据坐标运算算出•，的值均为0即可
，，根
′′ ′′′′′′
′′
27、解答：证明：（1）∵B′，B分别是中点
∴BO
2
∥BO
2

′′与′′
∵
AO1BO2
在未平移时属于同一条直径
′′′′
∴AO
1
∥BO
2

′′
∴BO
2
∥AO
1

∵BO
2
=A′O
1
′=1
′′
∴四边形BO
2
AO
1
是平行四边形
即O
1
′，A′，O
2
，B四点共面

（2）以 D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角
坐标系，
则B（1，1，0），O
2
′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣ 1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，
1，2）
则
∵
=（﹣1，0 ，2），
•=0，
=（﹣2，﹣2，﹣1），
=0
=（0，﹣2，0）
′′
∴BO
2
′⊥B′G，BO
2
′⊥B′H′
即，
∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′
∴BO
2
′⊥平面H′B′G

点评：本题考查了直线与平面垂直 的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本
知识，属于中档题．

28． (2012广东文数)如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB

平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，
F是DC上的点且DF=
1< br>AB,PH为

PAD中AD边上的高．
2
（1） 证明：PH

平面ABCD；
（2） 若PH=1，AD=
2
,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3） 证明：EF

平面PAB．



28. 解：
PH为PAD中的高
（1）：
PHAD
又AB面PAD，
PH 平面PAD
PHAB
ABADA
所以PH平面ABCD

…………………………………………………………………………4分
(2):过B点做BG
BGCD，垂足为G
；
连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是
BPH
的中位线
由(1)知：PH平面ABCD

EM平面ABCD

ＥＭ平面BCF

即EM为三棱锥
E-BCF
底面上的高
11
ＥＭ＝PH

22

S
BCF

1
FC•BG
=
1
1
2
2
2
2
2
………………………………………………………………………6分

1
V
EBCF
•S
BCF
•EM
3
121
322
2

12

………………………………… ………………………………………………………………
……………………8分

（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ

ABCD,C D平面PAD
AB平面PAD，
PA平面PAD
ABPA
又
EN是PAB的中位线
ENPA
ABEN
1
又

DFAB
2
四边形NADF是距形
ABFN
ENFN N

AB平面NEF
又EF平面NEF
EFAB
ABNF
NFNEN
AB平面NEF


四边形NADF是距形< br>…………………………………………………………………………………………

…… …………………13分