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大连市2018年高三第二次模拟考试
数学（文科）能力测试
命题人：安道波 卢永娜 薛达志 王爽 校对人：安道
波
本 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其
中第II卷第22题～第24题为选考题， 其它题为必考题．考生作
答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，
将本 试卷和答题卡一并交回．

第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分 ，共60分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合A

2,3

，
B

x|x
2< br>4x30

，则
AB
等于（ ）
（A）{2} （B）{3} （C）{1} （D）{1，
3}
（2）已知复数
z
的共轭复数为
z
，若|
z
|＝4，则
z
·
z
＝( )
（A）4 （B）2 （C）16 （D）±2
（3）对变量
x
，
y
有观测数据(
x
i
，
y
i
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点
图 1；对变量
u
，
v
有观测
数据(
u
i
，
v
i
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图< br>可以判断( )

第3题图

（A）变量
x
与
y
正相关，
u
与
v
正相关 （B）变量
x
与
y
正
相关，
u
与
v
负相关
（C）变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
正相关 （D）变量
x
与
y
负
相关，
u与
v
负相关
（4）已知命题
p:xR,sinx1,
则
p
是（ ）
（A）
xR,sinx1
(B)
xR,sinx1

(C)
xR,sinx1
(D)
xR,sinx1

(5)已知数列{
a
n
} 的前
n
项和
S
n
＝
n
－9
n
，第
k
项满足5<
a
k
<8，则
2
k
＝( )
(A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8
（6）在△
ABC
中，
D
为
BC
边的 中点，若
BC(2,0)
，
AC(1,4)
,则
AD
（ ）（A）
(2,4)

（D）
(0,4)

（B）
(0,4)
（C）
(2,4)

(7) 对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程
为
y0.8x155



x

196 197 200 203 204

y

1 3 6 7
m

则实数
m
的值为（ ）
（A）
8
（B）
8.2
（C）
8.4
（D）
8.5

（8）如图所示的流程图，最后输出的
n
的值是( )
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
第8题图
（9）设
F
为抛物线
C:y
2
2px
的焦点， 过
F
且倾斜角为
60
0
的直线交
曲线
C
于
A,B

两点（
B
点在第一象限，
A
点在第四象限 ），
O
为
坐标原点，过
A
作
C
的准线的垂线，垂足 为
M
， 则
|OB|
与
|OM|
的比为（ ）
（A）
3
（B） 2 （C） 3 （D） 4
S
n
＋64
（10）已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
2
＝4，
S
1 0
＝110，则
a
n
的最小值为( )[:学高考
1517
（A）7 （B） （C） （D）8
22
（11) 已知三棱锥
PABC
的外接球的球心
O
在
AB
上，且
PO
平面
ABC
，
2AC3AB< br>，若三棱锥
PABC
的体积为
3
2
，则该三棱锥的
外接球的体积为（ ）

（A）
83

(B)
63

（C）
43

（D）
23


（12）设点
P
在曲线
yx
2
1(x0)
上，点Q
在曲线
y
则
|PQ|
的最小值为( )
（A）
2
2
x1(x1)
上，
（B）
32
4
（C）
2
（D）
32
2

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题~第21题为必考题，
每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据
要 求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在
答卷纸的相应位置上）
（13）已知圆
O
的方程是
x
＋
y
－8
x
－2
y
＋10＝0，过点
M
(3,0)的
最短弦所在的直线 方程是 ．
（14）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样 的方法
从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样
本中男生人数为 ．

y2x2
(15) 已知变量
x,y
满足约数条件

yx1

y1x
2

22，则
zxy
的最小值
为 ．
（16）如图在边长为1的正方形网格中用粗
画出了某个多面体的
三视图，则该多面体的表面积为 .



线

第16题
三.解答题 ：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
（17）(本小题满分12分)
如图，跳伞塔
CD
高4，在塔顶测得地面上 两点
A,B
的俯角分别是
30，45
，又测得
ADB30
,求
AB
两地的距离.

















（18）(本小题满分12分)
第17题
某企业有两个分厂生 产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）
的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从 两个分厂生产的零

件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：
甲厂：
分
组
[29.86[29.90[29.94[29.98[30.02[30.06[30.10
,,2 9.94,29.98,30.02,30.06,30.10,30.14
2)
9
.
9
0
)
频
数
乙厂：
分 [29.86[29.90[29.94[29.98[30.02[30.06[30.10
组 ,,29.94,29.98,30.02,30.06,30.10,30.14
2)
9
.
9
0

) ) ) ) )
15 30 125 198 77 35 20
) ) ) ) )

)
频
数
（Ⅰ）由以上统计数据填下面
22
列联表，并问是否有99 .9%的把
握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”.

优质品
非优质品
合计
2
40 70 79 162 59 55 35
甲 厂



乙 厂



合计



n(adbc)
2
附：



(ab)(cd)(ac)(bd)
P(K
2
k)

0.100 0.050 0.025 0.010
0.001
k

2.706 3.841 5.024 6.635
10.828
（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂
抽取五 件零件，求从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优
质品的概率.

（19）(本小题满分12分)
在四棱锥
PABCD
中，
PA 
平面
ABCD
，
ABC
是正三角形，
AC
与< br>BD
的交点
M
恰好是
AC
中点，又
PAAB4< br>，
CDA
P
120
，点
N
在
2
线段
PB
上，且
PN
．
N
（Ⅰ）求证：
BDPC
；
（Ⅱ）求证：
MN
平面
PDC
.


















A
M
B
C
D
第19题图

（20） （本小题满分12分）
已知定点
F
1
(1,0),F
2
(1,0)
，
P
为圆
F
1
:(x1)
2
y
2
8
上一动点，点
M
满足
(MPMF
2< br>)F
2
P0
，
FM

F
1
P (0

1)
.
1
(Ⅰ)求动点
M
的轨迹
C
的方程；
(Ⅱ)设点
M
坐标为
(x,y)
，求证：
|MF
2
|2< br>2
x
；
2
（Ⅲ）过点
F
2
作直线
l
交
C
于
A,B
两点，求




11

的值.
|AF
2
||BF
2
|

（21）（本小题满分12分）
设函数
f(x)
ex
3
，
g(x)2x
2
axlnx
（
aR
） x
e
1

（Ⅰ）若函数
g(x)
在区间

,2

上不单调，求实数
a
的取值范围；

4

（Ⅱ）若对任意
x

0,e

，都有唯一 的
x
0


e
4
,e

，使得
f

x

g

x
0

2x
0
2
成立，求实数
a
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做 ，则按
所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对
应的标号涂黑．
(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙
O
内切 于△
ABC
的边于
D
，
E
，
F
，
AB
=
AC
，连接
AD
交⊙
O
于点
H，直线
HF
交
BC
的延长线于点
G
.
（Ⅰ）求证：圆心
O
在直线
AD
上；
（Ⅱ）求证：点
C
是线段
GD
的中点.




H

第22题图

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 
x22cos

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为

（


y2sin

为参数），
曲线
C
2
的参数方程为


x 2cos


y22sin

（

为参数） ，以
O
为极点，
x
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求
C
1
和
C
2
的极坐标方程；
( Ⅱ)已知射线
l
1
:



(0


)
，将
l
1
逆时针旋转

得到< br>l
2
:





，
2< br>6
6
且
l
1
与
C
1
交于
O ,P
两点，
l
2
与
C
2
交于
O,Q
两点，求
|OP||OQ|
取最大值
时点
P
的极坐标.

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知
a
和
b
是任意非零实数.
（Ⅰ）求
|2ab||2ab|
的最小值．
|a|

（Ⅱ）若不等式
|2ab||2ab||a|(|2x||2x|)
恒成立， 求实数
x
的
取值范围.

大连市2018年高三第二次模拟考试参考答案
数学（文科）
说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相
应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如 果后
继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后
继部分的给分，但不得超过 该部分正确解答应得分数的一半；如
果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累
加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）B；（2）C；（3）C； （4）B；(5) D；（6）D；(7) A；（8）
B；（9）C；（10）C；
（11) C；（12）B．
二.填空题
（13）.
x
＋
y
－3＝0；（14）160； (15)

三.解答题
（17）解：

BCD904545
,

2
；（16）
8122
.


在
RtBCD
中,
BD4tan454
，
又

ACD903060
,

在
RtACD
中,
AD4tan6043

在
ABD
中，
AB
2
BD
2
AD
2
2ADBDcosADB
4
2
(43)
2< br>2443cos30
16

故
AB4


（18）解： (Ⅰ)列联表如下

优质品
非优质品
合计
2
甲 厂
400
100
500
乙 厂
300
200
500
合计
700
300
1000
n(adbc)
2
1000 (400200300100)
2
47.61910.828


(ab)(cd)(ac)(bd)500500700300
所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”.
6分
（Ⅱ）乙厂 抽取3件优质品，2件非优质品，优质品记为
a,b,c
，非
优质品记为
1, 2
8分
从中任意抽取2件，抽取的情况构成的集合为
{ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12}
，
至少有一件 优质品的情况为为
{ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2}
，所以从这五

件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率为
（19）
9
. 12
10
分
解： (Ⅰ)证明：取
BC
中点
O
， 因为底面
ABC
是等边三角形，则
AOBC
，
又因为面
BCC'B'
底面
ABC
，所以
AO
面
BCC'B'< br>，所以
AOBB'
，
又因为
BB'AC
，
AO ACA
，所以
BB'
面
ABC
，
又因为底面
ABC
是等边三角形，
所以三棱柱
ABCA'B'C'
为正三棱柱， 4分
四棱锥
BACFE
的体积为
1

(12)2

32
33
8分
(Ⅱ)在
A'B'
如果存在一点
M
使得
C'M
面
BEF
，则过
MNBB'
交
BE< br>于
N
，连接
FN
，
因为
C'M
面
BEF
，所以
C'MFN
，所以
C'MNF
为平行四边形，所以C'FMN2
，所以
M
为
A'B'
的中点. 12分


（20） 解（Ⅰ）因为点
M
满足
(MPMF
2
)F
2
P0
，
(MPMF
2
)( MPMF
2
)MPMF
2
0
，即
|MP|=|MF
2
|

22
又
FM

F
1P
，
F
1
,M,P
三点共线，由题意知M在线段
F< br>1
P
上，
1
|FM||MP|22

1
又
|MP|=|MF
2
||F
1
M||MF
2
|2

M
2
，的轨迹是以
F
1
,F
2
为焦点，长轴长为
分
x
2
22
的椭圆，所以
M< br>的轨迹
C
的方程为
y
2
1
4
2

（Ⅱ）设
M(x,y)
，|MF
1
|(x1)
2
y
2
，
222
x
2
又因为
y
2
1
，
|MF
1
|(x1)
2
1
x

x4 x4

(x2)
2
|x2|

2
2
222
2x2

|MF
2
|2
2
x

22
2
（Ⅲ）（1）当直线
l
斜率不存在时，
|AF
2< br>|
=
|BF
2
|

11
22
，8
|AF
2
||BF
2
|
，
分
（1） 当直线
l
斜率存在时，设直线
l:yk(x1)
，A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

x
2
直线
l
与
y
2
1< br>联立得：
(12k
2
)x
2
4k
2
x 2k
2
20
，
2
4k
2
2k
22
,x
1
x
2
,

0
恒成立 韦达定理得：
x
1
x
2

12k
2
12k
2
由（Ⅱ）问结论知
|AF
2
|2
22
x
1
,|BF
2
|2x
2
,

22
2
(x
1
x
2
)
1111
2

1
|AF
2
||BF
2
|
22
2(xx)x
1
x
2
2x1
2x
2
12
2
22
22
24k
2
22()
2
22(1k
2
)
212k

=
22

4k
2
12k
2
2
1 k
2
2()()
12k
2
212k
2

综上
11
22
12
|AF
2
||BF
2
|
'
分
4x
2
ax1
1

（21）解：（Ⅰ）
g
x


且
g

x

在区间


,2

上不单调，
x

4


4x
2
ax10
区间
1


,2


4

上有两不等实根 或有一
根，……………….3分
1

即
a4x
1区间


,2

上有两不等实根或有一根
x

4

11

1

令

x

4x
1
，


x

在区间


,

上单调递减，在区间

,2

上单调
x

42

2

递增， < br>171

1




5,
< br>(2),

()4
22

4

，
a
的取值范围是
[4,
17
)
………………….6
2< br>分
（Ⅱ）
在

1,e

上单调递减，

f
'
(x)e
1x
(1x),f

x< br>
在

0,1

上单调递增，
且
f

0

3,f(1)4,f(e)e
2e
33,f< br>
x

的值域为

3,4

，
记
h(x)g(x)2x
2
axlnx,mf(x)
，
原问题等价于：
m

3,4

，存在唯一的
x
0


e
4
,e

，使得
h< br>
x
0

m
成
立．
h
'
x

a
1ax1
,xe
4
,e

xx
1
时，
h
'

x

0
恒
a
e

① 当成立，
h

x

单调递减，由
h

x

max
he< br>4
ae
4
44
，

h
x

min
h

e

ae13
，解得：
0a
1
…………………..8
e
分
② 当
ae
4
时，
h
'

x

0< br>恒成立，
h

x

单调递增，
分
h

x

min
he
4
ae
4
 44
，不合题意，舍去…………………10



1

4
1

③ 当
1
a e
4
时，
h

x

在

上单调递 减，在
e,

,e

上单调递增，
e
a

a

且
h

e
4

ae
4
44,h(e)ae1
，
要满足条件则
ae13,
1
a
4
．
e e
4

综上所述：
a
的取值范围是

0,

．……………………12分

e

(22)解：（Ⅰ）
ABAC,AFAE
，
CFBE
。
又CFCD,BDBE< br>，
CDBD
又ABC是等腰三角形,

AD是CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上．5分
（II）连接 DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
DFH90,FDHFHD90
，
，
O与AC相切于点F
，
FDHG
，
G FHD90
AFHGFCFDH
，
GFCG
，< br>CGCFCD
，
∴点C是线段GD的中点． 10分

( 23)解：（1）曲线
C
1
的直角坐标方程为
(x2)
2
y
2
4
，所以
C
1
极坐标
方程为
< br>4cos


曲线
C
2
的直角坐标方程为
x
2
(y2)
2
4
，所以
C
2
极坐 标方程为

4sin

4分
（2）设点
P
极点坐标
(

1
,4cos

)
，即< br>
1
4cos


点
Q
极坐标为
(

2
,4sin(



))
即

2
4sin(



)

66

则
|OP||OQ|
< br>1

2
4cos

4sin(


)
=
16cos

(
6
31
si n

cos

)

22
8sin(2

)4
8分
6


7


(0,)
，
2

(,)
，
2666

当
2

< br>
(23,)
．10
6
6


2
,
即



时
|OP||OQ|
取最大值，此时< br>P
极点坐标
6

分
(24)解：（I）
|2a b||2ab||2ab2ab|4|a|
对于任意非零实数
a
和b
恒成立，
当且仅当
(2ab)(2ab)0
时取等号，


|2ab||2ab|
的最小值等于4． 5分
|a|
（II）
|2x||2x|
|2ab||2a b|
恒成立，故
|2x||2x|
不大于
|a|
|2ab| |2ab|
的最小值,由（I）可知
|2ab||2ab|
的最小值等于< br>|a|
|a|
4．

实数
x
的取值范围即为不等式
|2x||2x|4
的解．
解不等式得
2x2.
10分

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