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立体几何
一、选择题
1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线 互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等，则
l
1
,l
2
互相平行；④ 若直线
l
1
,l
2
是异面直线，则与
l
1
,l
2
都相
交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C
1
， 这时异面直线AD与BC
1
所成
角的余弦值是（ ）

3.

A．
2

2
B．
1

2
C．
3

4
D．
3

4
一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2
、
3
、
6
,这个长方体对角线的长为（ ）
A．2
3
B．3
2
C．6 D．
6

A
H
J
D
I
B
E
G F
C
4. 如图，在正三角形ABC 中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别
为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC 沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，
GH与IJ所成角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．0°

5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正
方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正 方体的某一个平面平行，
且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个
D．无穷多个
6. 正方体A′B′C′D′ —ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且
|EF|=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四 面体A′—EFQ的体积（ ）
A．与E、F位置有关 B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关 D．与E、F、Q位置均无关，是定值
7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2
14
，
则P到这三个平面的距离分别是（ ）
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
A
8. 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个
面都相切的球）球心O，且与BC ，DC分别截于E、F，如果截面将
四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－
O
D
EFC的表面积分别是S
1
， S
2
，则必有（ ）
F
A．S
1
S
2
B．S
1
S
2

C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定
B
E
9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥
C
是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10. 已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平 行于底面的平面去截这个棱锥，截面
交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与 b的关系是（ ）
A．b=（
2
－1）a B．b=（
2
+1）a
1

C．b=
22a

2
D．b=
22a

2
11. 已知向量
a
=(2，4，x )，
b
=(2，y，2)，若|
a
|=6，
a
⊥
b
，则x+y的值是 ( )
12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6
，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，
这个球的表面积是( )
A.12π B. 18π C.36π D. 6π
13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( )
A．
4000
3
8000
3
cm
B．
cm
C．
2000cm
3

33
D．
4000cm
3


10

20

10
2020

20
正视图 侧视图
俯视图

14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
A.120
0
B.150
0
C.180
0
D.240
0

15. 在一个倒置 的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧
棱和高作截面， 正确的截面图形是( )


D
1
C
1

B
1

A
1
N


P
R
A
M
16. 正四棱柱ABCD–A
1
B1
C
1
D
1
中，1的线段PQ在棱
B
AB=3 ，BB
1
=4.长为
C
Q
D
C
AA
1上移动，长为3的线段MN在棱CC
1
上移动，点R在棱BB
1
上移D
A
动，则四棱锥R–PQMN的体积是( )
B
A．6 B．10 C．12 D．不确定
17. 已知三棱锥O－ABC中，OA、 OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知
三棱锥O－ABC体 积的最大值是 ( )
A.1 B.
3
12
C. D.
3
33
18. 如图，在正四面体A－BCD中，E、F、 G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正
四面体各个面上的射影所有可能的序 号是 ( )
A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
A



F
•
•
E
C
G
•

B
① ② ③ ④
19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( )
D
A.
SSSS
SS
C.
S
B.
S
D.
24
24
20. 已知直线AB、C D是异面直线，AC⊥AB，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB=2，CD=1，则异面直线AB
与CD 所成角的大小为 ( )
A．30
0
B．45
0
C．60
0
D．75
0
r
r
rrrr
a(1,1,0)
b(1 ,0,2)
21. 已知向量，，且
k
ab
与
2ab
互 相垂直，则
k
值是 ( )
2

A．
1
B．
137
C． D．
555
22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )
A.4个 B.2个 C.3个 D.1个
23. 三棱锥A- BCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是
( )
A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形
24. 在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
平面PDF ⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC
25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为 1：3，则此截面把一条侧棱分成的两
线段之比为（ ）
A.1：3 B.1：2 C.1：3 D.1：3 —1
26. 正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ ）
3 3 3 3
A. B. C. D.
2643
27. 一个三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，6 ,3已知该三棱锥的
四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A.16π B.32π C.36π D.64π
a
28. 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是对角线A
1
C上的点，PQ= ,则三棱锥P—BDQ
2
的体积为（ ）
333
A.a
3
B.a
3
C.a
3
D.不确定
182436
29. 若三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为（ ）
6 6 3 3
A. B. C. D.
6363
30. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
3 +26 26 26 43 +26
A. B.2+ C.4+ D.
3333
31. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60°，那么直线PC与平面PAB所成
角的余弦值是（ ）
12 3 6
A. B. C. D.
2233
32. 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，任作平面α与对角线AC
1
垂直，使得α与正方体的每个面 都有公共点，
设得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则( )
A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值
C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值

二、填空题
C
1
D
1
33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为

,则
cos

=______．
34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一
A
1
B
1
个顶点A在平面

内，其余顶点在

的同侧 ，正方体上与顶点A相
C
邻的三个顶点到

的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶
D
点中的一个，则P到平面

的距离可能
B

是：（ ）
A
A
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）
3

35. 如图，已知正三棱柱
ABCA
1
B< br>1
C
1
的底面边长为1，高为8，一质点自
A
点出发，沿着三 棱柱的侧面绕行两周到达
A
1
点的最短路线的长为
.
36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中
的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中
相互异面的有_____对
主视图
A
1
37. 如图是一个长方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
截去一个角后的
C
A
B
B
多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,
A
1
D
1
CC
1
=3.则这个多面体的体积为 .

C
1
B

俯视图

38. 如图， 已知正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长都相等D是 A
1
C
1
的 中点，则直线AD 与平面B
1
DC所
成角的正弦值为_______ ．
39. 如图，在直 三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面为直角三角形，A CB＝90，AC＝6，BC＝CC
1
＝
2
，P
是BC
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值是_________．
40. 已知 平面

和平面

交于直线
l
，P是空间一点，PA⊥

，垂足为A，PB⊥

C
1
A
1
左视图
C
1

，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在

内的射影 与点B在

内的射
A
B
P
C
影重合，则点P到
l
的距离为 ___________ ．
1
C
1
41. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积S= r (a+b+c) ,
A
1
2
根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1
，S
2
，S
3
，S
4
，
B
1
则四面体的体积V=______________．
42. 四面体ABCD中，有如 下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②
若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点 ，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心， 则O在面ABD上的射影为△ABD的外心；④若四个面是
全等的三角形，则ABCD为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题
43. 在长方体< br>ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中， 已知
DADC4,DD
1
3
，求异面直线
A
1
B
与
B
1
C
所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）.








44. 如图 ，
1
、
2
是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在
1
上，C在
2
上，
AMMBMN
.
（1）证明
AC
⊥
NB
；
（2）若
ACB6 0
O
，求
NB
与平面ABC所成角的余弦值.

4
llll

45. 如图，在棱长为1的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
p
是侧棱
CC
1
上的一点，
CPm
.
（1）若直线
AP
与平面
BDD< br>1
B
1
所成角的正切值为
32
，求m
；
（ 2）在线段
A
1
C
1
上是否存在一个定点
Q
，使得 对任意的
m
，
D
1
Q
在平
面
APD
1
上的射影垂直于
AP
.并证明你的结论.



46. 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD
1
的中点，
求证：PB⊥平面 MNB
1
。

47. 如图,在长方体ABCD─A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、P分别是BC、A
1
D
1
的中
点,M、N分别是AE、CD
1
的中点,AD=AA
1
=a,AB=2a.
（1）求证:MN∥面ADD
1
A
1
;
（2）求三棱锥P─DEN的体积.


48. 在四棱锥P-ABCD中，△PB C为正三角形，AB⊥平面PBC，
AB∥CD，AB=
1
DC，
E为PD中 点
.
2
D
A
E
B
P
.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.




C

49. 设空间两个不同的单位向量
a
=(x
1
，y
1
，0)，
b
=(x
2
，y
2
，0)与向量
c
=(1，1，1)的夹角都等于
4
(1)求x
1
+y
1
和x
1
y
1
的值；
(2)求<
a
，
b
>的大小(其中0＜<
a
，b
>＜π
)
.
D
1
C
1

A
1
B
1
50. 如图，棱长为1的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，P、M、N分别为棱
D D
1
、AB、BC的中点.
P
(1)证明：PB⊥MB
1
；
(2)在线段A
1
D
1
上求一点Q,使得QD∥平面B
1
MN；
D
C(3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一
N
个长方形”的条 件，并求出展开图中P、B两点间的距离.
A
MB

51. 矩形ABCD 中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E
落在 BC上．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求三棱锥A-BCD的体积．

5

52.
53.
54.
A
A
D
B
C
BE
C
D
55. 如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=
90
，PA=1，AB=
3
，AC=2，PA⊥面ABC．
(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；
(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；
P




56. 已知三点
A(1,0,0)< br>，
B(3,1,1)
，
C(2,0,1)
，
(1)求
CB
与
CA
的夹角；
(2)求
CB
在
CA
方向上的投影.
C
A
B

57. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接 成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不
计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各 切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方
体，该长方体的高是小正方形的边长．
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V
1
；
(2 )请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容
器的 容积V
2
＞V
1
．

58. 如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，AB＝2，
AA
1
2
，由顶点B沿棱柱
侧面经过棱
AA
1
到顶点
C
1
的最短路线与
AA
1
的交点记为M，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
A
1
C
1


B
1

M

A C
AM
（2）该最短路线的长及
1
的值；
AM
59. 在棱长为1的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E是棱BC的中点，点F是棱
B

CD上的动点．试确定点F的位置，使得D
1
E⊥平面AB
1
F。

P

60. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q- ABCD的高都是2，
AB=4．
(1)证明PQ⊥平面ABCD；
D
C
(2)求异面直线AQ与PB所成的角；
B
A
(3)求点P到平面QAD的距离．



Q









6

1
D
9
B
17
C
25
D
1.
参考答案

2 3 4 5 6 7 8
D D B D D B C
10 11 12 13 14 15 16
C A D B C B A
18 19 20 21 22 23 24
C D C D A B C
26 27 28 29 30 31 32
B A C D C C B
D．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.
2. D． 由题意易知∠ABC
1
是AD与BC
1
所成的角，解△ABC
1，得余弦为
3
.答案：D．
4

ab2

a
2
2



3. D．设长宽高为a、b、c，则< br>
bc3

b
2
1
l=
6
，答案：D．

2
ac6



c3
4. B．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJ
∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.
(A,B,C)
D
'< br>A
'
Q
B
'
C
'
1
FD，GH2
1
FD，
2
G
F
H
M
J
D
I
E
D
A
E F
B
C
R

i.
23
ii. 由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．
5. D． 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个
法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为

1
，考查放入正方体后，面A BCD所在的截面，显然其
2

1

11

面积 是不固定的，取值范围是

,1

，所以该几何体的体积取值范围是

,



2

63

6. D．V
A′
－
EFQ
=V
Q
－
A′EF
.

7. B．
8. 9. C ．连OA、OB、OC、OD则V
A
－
BEFD
＝V
O
－
ABD
＋V
O
－< br>ABE
＋V
O
－
BEFD

b) V
A－
EFC
＝V
O
－
ADC
＋V
O
－< br>AEC
＋V
O
－
EFC
又V
A
－
B EFD
＝V
A
－
EFC
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的< br>半径，故S
ABD
＋S
ABE
＋S
BEFD
＝SADC
＋S
AEC
＋S
EFC
又面AEF公共，故选C
9. 11. B．乙

甲，但甲乙，例如四棱锥S—ABCD
i. 的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.

10. 12. C．由平行锥体底面的截面性质，知
案：C．
PMOM
22
b
22222
=，∴=.∴= .∴b=a.答
2222
POPOa
7



416x
2
36

x4,

x4,



44y2x0


y3y1.


11. A 由题知或

.
12. D.先计算出三条棱的长 度分别为
3,2,1
.所以体对角线长为
6
.所以外接球的直径为
6
,算出表面积
为6π.
13. B. V=20×20×203 .
14. C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL =2πR
2
,解出L=2R.
侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以 扇形的圆心角大小为
2

R


.
2R
15. B.
16. A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可.
11

xy

2
xy

.
6

2

3
17. C.体积为
6
18. C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上， 所以①②不正确，根据射影的
性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平 面上的射影如“③”所示.
19. D.设底面直径为d,则侧面积为πd
2
=S, 所以d=
2
S

.
cos

cosAB,CD
20. C.设AB与CD所成的角为θ，则
ABCD
ABCD

uuuruuu r
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur
ABCD
由于
ABCD(ACCDDB)CDAC CDCDDBCD01
2
01,cos


uuu ruuur
ABCD

11
.由于0
0

< br>90
0
,

60
0
，故异面直线AB与CD所 成角的大小为60
0
.
212
21. D.
k
ab=
k(1,1,0)(1,0,2)(k1,k,2)
，
2ab2( 1,1,0)(1,0,2)(3,2,2)
，
∵两向量垂直 ∴
3(k1)2k220
∴
k
22. A.
23. B.
33.

7
.
5
D
1
C
C
1
A
1
B
1
6
．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角
3
相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,
D

B
A
第16题图

A
26

即为体对角线与该正方 体所成角.故
cos


.
3
3
34. ①③④⑤． 如图，B、D、A
1
到平面

的距离分别为 1、2、4，则D 、
A
1
的中点到平面

的距离为3，所以D
1
到平 面

的距离为6；B、A
1
5
的中点到平面

的距 离为，所以B
1
到平面

的距离为5；则D、B
2
3
的中点到平面

的距离为，所以C到平面

的距离为3；C、A
1
的
2
7
中点到平面

的距离为，所以C
1
到平面

的距离为7；而P为C、
2
C
1
、B
1< br>、D
1
中的一点，所以填①③④⑤．
8

35. 将 正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
沿侧棱CC
1
展开，其侧面展开图如图所示，由图
中路线可得结论．
36. 解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.

37. 60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.
38.


39.
52

40.
5

41.
r (S
1
+S
2
+S
3
+S
4
)

42.
① ③

法一：连接
A
1
D
，


1
3
4
5
A
1
DB
1
C,BA
1
D
为异面直线
A
1
B
与
B
1
C
所成的角.
连接
BD
，在△
A
1
DB
中，
A
1
BA
1
D5,BD42
，
A
1
B
2
A
1
D
2
BD
2
则
cosBA
1
D

2A
1
BA
1
D


2525329
.

25525
9
.
25< br>法二：以
D
为坐标原点，分别以
DA
、
DC
、
DD
1
所在直线为
x
轴、
y
轴、
z
轴， 建立空间直角坐标系.
则
A
1
(4,0,3)、B(4 ,4,0)、B
1
(4,4,3)、C(0,4,0)
，


异面直线
A
1
B
与
B
1
C所成角的大小为
arccos
得
A
1
B(0 ,4,3),B
1
C(4,0,3)
.
设
A
1
B
与
B
1
C
的夹角为

，
则
cos


A
1
BB
1
C
A
1
BB
1
C

9
，
25



A
1
B
与
B
1
C
的夹角大小为
arccos
9
，
2 5
即异面直线
A
1
B
与
B
1
C
所 成角的大小为
arccos
9
.
25
43. （１）AM = MB = MN，说明NM是△ANB的中线且为边AB的一半，所以△ANB是直
角三角形，其中

ANB为直角。所以BN

NA。①
l
1
l
2
且MN

l
2

l
2< br>
面ABN

l
2

BN。②
9

由①、②可推出BN

面NAC。所以AC

BN。
（２）MN

AB且M为AB中点

AN = MN ③
由（１）知，AN、BN、CN两两垂直 ④
由③、④

AC = BC，又

ACB =
60
，所以△ABC
是等边三角形。
设BN长度为1，则AB =
2
，
A
M
图 3
B
C
N
S
ABC

3
4

2< br>
2

1
；
6
1
三棱锥
NAB C
的体积为：
S
ABC
h

3
三棱锥
CABN
的体积为：
3
2

3

3
h3

记NB与平面ABC所成角为
，则
sin


。
NB3
6
从而
cos



3
由
V
CABN
V
AABC
可得 点N到面 ABC的距离
h
实际上，这个题的命题背景是
NABC
是正方体的一个“ 角”。如图3.
44. 法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面
B DD
1
B
1
相交于点，,连结OG，因为PC∥平面
BDD
1
B
1
，
平面
BDD
1
B
1
∩平面APC＝OG,
故OG ∥PC，所以，OG＝
D1
A1
C1
B1
G
O
P< br>1m
PC＝.
22
又AO⊥BD,AO⊥BB
1
，所以AO ⊥平面
BDD
1
B
1
，
故∠AGO是AP与平面
BDD
1
B
1
所成的角. 2
1
在Rt△AOG中，tan

AGO＝
OA
2
32
，即m＝.
3
m
GO
2
A
D
C
B
所以，当m＝
1
时，直线AP与平面
BDD
1
B
1
所成的角的正切值为
32
.
3
（２）可以 推测，点Q应当是A
I
C
I
的中点O
1
，因为
D
1
O
1
⊥A
1
C
1
, 且 D
1
O
1
⊥A
1
A ，所以 D
1
O
1
⊥平面ACC
1
A
1
，
又AP

平面ACC
1
A
1
，故 D
1
O
1
⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D
1
O
1
在平面APD
1
的射影与AP垂直。
法二：(１)建立如图所 示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，
D(0，0，0)，B
1
(1，1，1)，D
1
(0，0，1)
uuuruuuruuuruuur
所以
BD(1,1,0),BB
1
(0,0,1),AP(1,1,m),AC(1,1,0).

uuuruuur uuuruuur
uuur
又由
ACBD0,ACBB
1
0
知，
AC
为
z
D
1
j
C
1
O
1
P
B
1
A
1
D
C
y
AB
10
x

z
D
1
A
1
P
D
B
1
C
1
C
N
M
B
y
平面
BB
1
D
1
D
的一个法向量.
A
x
uuuruuur
APAC

2
设AP 与平面
BB
1
D
1
D
所成的角为

，则< br>sin

cos(

)
uuu
依题意有
ruuur

2
2
APAC
22m

2
22m
2
值为
32
．

11,
解得
m
．故当
m
时，直线AP与平面
BB
1
D
1
D
所成的角的正切
33
1(32)
2< br>32
uuuur
（２）若在A
1
C
1
上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为
x
，则Q(x，1－
x
，1)，
DQ(x, 1x,0)
。
1
依题意，对任意的m要使D
1
Q在平面APD1
上的射影垂直于AP，等价于D
1
Q⊥AP
uuuruuuur
1
APD
1
Q0x(1x)0x.
即Q为A
1
C
1
的中点时，满足题设要求.
2
45. （1）如图，以D为 原点，DA、DC、DD
1
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长
为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B
1
（2，2，2）.

MB
1
=（2，2，－1）·∵
PB
·（0，1，2）=0，
∴MB
1
⊥PB，同理，知NB
1
⊥PB.
∵MB
1
∩NB
1
=B
1
，∴PB⊥平面MNB
1
.
46. 法一：以D为原点,DA,DC,DD
1
所在直线分别
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D─xyz,
则A(a,0,0)、B(a,2a ,0)、C(0,2a,0)、A
1
(a,0,a)、
D
1
(0,0,a) ∵E、P分别是BC、A
1
D
1
的中点,M、
N分别是AE、CD
1
的中点,
∴E(
(1)
MN=( -
uur
uuuur
aa3aa
,2a,0
),P(
,0, a
),M(
,a,0
) ,N(
0,a,
)
22423aa
,0,)
,取
n
42
(0,1,0)
,显然< br>n
⊥面ADD
1
A
1
而
MN?n0
,∴MNn
.又∴MN
Ë
面
uuuurr
ADD
1
A
1,
∴MN∥面ADD
1
A
1
;
(2) 设
n
1
=(x
1
,y
1
,z
1
)
为平面DEN的法向量,
n
1
DE,n
1
DN

又
DE=( ,2a,0)
,
DN=(0,a,)
,
DP=(,0,a)

uuur
a
2
uuur
a
2
uuur
a
2
uuuruur
DP
×
n
1
∴P点到平面DEN的距离为 d=
uur
=
n
1
uuuruuur
uuuruuurDE
×
DN8
∵
cos
<
DE,DN
>=uuu
,
sin
<
ruuur
=
85
DEDN

a
x2qy
1
0,


x4a y
1
,

2
1


即

1
所以面DEN的一个法向量n
1
(4,1,2)


ay
a
z0.

z
1
2y
1
.< br>11

2

2a
+
2a
16
+1
+
421
uuuruuur
uuuruuur
DE
×
DN
DE,DN
>=
uuuruuur
=
DEDN
11
=
4a

21
85
,

ru uuruuuruuur
1
uuu
21
2
DE
鬃
D Nsin
<
DE,DN
>=
a
.
28
1a
3
所以
V
P
-
DEN
=
S
D
D EN
?
d
.
36
法二: (１)证明:取
CD
的中点
K
,连结
MK,NK

∵
M,N,K
分别为
AK,CD
1
,CD
的中点
S
D
DEN
=
∵
MKAD,NKDD
1


∴
MK
面
ADD
1
A
1
,
NK
面
ADD
1
A
1

∴面
MNK
面
ADD
1
A
1


∴
MN
面
ADD
1
A
1

（ 2）
S
NEP
1115
222
S
矩形ECD
1
P
BCCD
1
aa4aa
.
2444
作
DQCD
1
,交
CD
1
于
Q
,由
A
1
D
1
面CDD
1
C
1
,得
A
1
D
1
DQ
,∴
DQ 面BCD
1
A
1
.
CDDD
1
2aa2< br>在
RtCDD
1
中,
DQa
,
CD
1
5a5
∴
V
PDEN
V
DNEP
115
2
2a
3
S
NEP
DQaa
334 6
5
.
48. (1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=
1
DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行
2
四边形 .所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
(2) 因为AB⊥平面P BC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又
AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
49. (1) ∵(2
a
－b
)·
a
=2
a
－
b
·
a
= 2|
a
|－|
a
|·|
b
|·cos120°=2·4－2 ·5(－
22
1
)=13.
2

(2)(1)∵|a
|=|
b
|=1，∴x+y=1，∴x=y=1.又∵
a
与< br>c
的夹角为
4
，∴
a
·
c
=|
a< br>||
c
|cos
4
=
2
1
2
12
2
2
2
2
2
666
22
111
=
2
.又∵
a
·
c
=x
1
+y< br>1
，∴x
1
+y
1
=
2
.另外x
1
+y
1
=(x
1
+y
1
)
2
-2 x
1
y
1
=1，∴2x
1
y
1
=(
2
)
2
－
222
11
1=
2
.∴x1
y
1
=
4
.
(2)cos<
a
，
b
>=
解.
ab
|a||b|
11
66
2
=x
1
x
2
+y
1
y
2
，由(1)知，x
1
+y
1
=2
，x
1
y
1
=
4
.∴x
1
，y
1
是方程x
－
2
x+
4
=0的
 
62626262
x,x,x,,

1

1

2

x
2


4444

62626262

y,y.y,y.
1 122

4444

∴或同理可得或
12