日本留学生活费用-奥巴马的开学演讲

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1. 设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，A C为面上的一条
直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (cos∠BAC和cos∠OAB只能是锐角）
通俗点说就是，斜线与平面内一条直线夹角

的余弦值
=斜线与平面所成角< br>
1
的余弦值

射影与平面内直线夹角的
余弦值．

三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）
定理证明：如上图，自点O作OB⊥A B于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，
则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角
ABACAC
形．
cos

1


,cos
2
,cos


OAABOA


cos

cos

1
cos

2

辅助记忆：这三个角中，角

是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之< br>积。斜线与平面所成角

1
是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。



2.设二面角M－AB－N的度数为

，在平面M上 有一条射线AC，它和棱AB
所成角为

，和平面N所成的角为

， 则
sin

=sin

·sin

（如图）

三正弦定理

定理证明：如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直 线OB⊥二面角的棱
于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．
COCOBC
于是，
sin
=，
sin
=，
sin

=
ACBCAC


sin

=
sin

·
sin







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如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，
你会发现出乎意料地 简单，甚至不用作任何辅助线！


例1 如图，已知A1B1C1－ABC是正三 棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，
求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数 .(1994年全
国高考理科数学23题)










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例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三< br>角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海
市1986年高考试题，难度系数0.28)
















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例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角
A-BD-C(如图6)．( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD- B的大小．


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