释延能-国泰民安的下联

2010年南宁市中等学校招生考试
数 学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分120分，考试时间120分钟.
注意：答案一律填写在答题 卷上，在试题卷上作答无效.考试结束，
将本试卷和答题卷一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小 题都给出代号为（A）、（B）、
（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔 在答题卷上将选定的答案
标号涂黑.
1.下列所给的数中，是无理数的是：
（Ａ）2 （Ｂ）
2
（Ｃ）
1
（Ｄ）0.1
2
2.下图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是：







圆锥
（A）
圆柱
（B）
球
（C）
正三棱柱
（D）
3.下列计算结果正确的是：
（Ａ）
257

（Ｂ）
3223

（Ｃ）
2510
（Ｄ）
2
510

5
4.图1中，每个小正方形的边长为1，
V

ABC
的三 边a
，
b
，
c的大小关系是：
（Ａ）a
（Ｃ）c5.有“华南第一湖 ”美称的青狮潭，风光秀丽，气候宜人，2010年6月第一周每天的最高气
温（单位：
℃）分别是：23，24，23，24，x，25，25，这周的平均最高气温为
24°
，则 这
组数据的众数是：
（Ａ）23 （Ｂ）24 （Ｃ）24.5 （Ｄ）25
6.不等式组


2x≤4x,
的正整数解有：
x24x1

（Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个
7.如图2所示，在Rt
△ABC
中，
A90°
，
BD
平分
ABC
，交
AC
于点D，且

A


AB4,BD5
，则点
D
到
BC
的距离是：
（Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）6
8.下列二次三项式是完全平方式的是：
（Ａ）
x8x16
（Ｂ）
x8x16

（Ｃ）
x4x16
（Ｄ）
x4x16

9.将分式方程
1
22
22
B

D

图2
C

5x23

去分母，整理后得：
x

x1

x1
（Ａ）
8x10
（Ｂ）
8x30

（Ｃ）
x7x20
（Ｄ）
x7x20

10.如图3，从地面坚直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单位：m）与小
球运动时间t（单位：s）之间的关系式为
h30t5t
，那 么小球从抛出至
回落到地面所需要的时间是：
（Ａ）6s （Ｂ）4s （Ｃ）3s （Ｄ）2s
11.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 将骰子抛
掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为
x
，掷第二次，将朝上一面的点< br>数记为
y
，则点（
x，y
）落在直线
yx5
上 的概率为：
2
22
图3
D

C

111
（Ｂ） （C） （Ｄ）
181294
12 .正方形
ABCD
、正方形
BEFG
和正方形
RKPF
的位 置如
图4所示，点
G
在线段
DK
上，正方形
BEFG
的边长为4，
（Ａ）
则
△DEK
的面积为：
（Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）16



G

F

R

P

K


A

B

图4
E

第Ⅱ卷（非选择题，共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
a

1

d

2
没有意义.
x1
14．如图5所示，直线
a
、
b
被
c
、
d
所截，且
ca，c b，170°
，则
2
_________
°
.
13．当
x
__________时，分式

b

2



c
图5

15.2010年上海世博会中国国家馆，采用极富中国建筑文化元素的红色“斗冠”造型， 建筑
面积46500m
2
，高69m，表现出“东方之冠，鼎盛中华，天下粮
仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质，将数46500用科学记
数法表示为__________.
16.如图6，
OCAB，OD
平分
BOC
，
AB为半圆
O
的直径，
交半圆于点
D，
AD
交
OC
于点
E
，则
AEO
的度数是
____________< br>°
.
17.如图7所示，点
A
1
、
A
2< br>、
A
3
在
x
轴上，且
OA
1
A< br>1
A
2
A
2
A
3
，
分别过点A
1
、
A
2
、
A
3
作
y轴的平行线，与反比例函数
C

D

E


E
A

B

O

图6
y

C
1

C
2

C
3

y
8
B
2
，
B
3
作

x0

的图象分别交于点
B
1
、
B
2
、
B
3
，分别过点
B
1
，< br>x
B
1

B
2

x
轴的平行线，分 别与
y
轴交于点
C
1
，
C
2
，C
3
，连接
OB
1
，
OB
2
，OB
3
，
那么图中阴影部分的面积之和为___________.
18.古希腊数学家把数1， 3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有
一定的规律性.若把第一个三角形数记为
a
1
，第二个三角形数记为
B
3

x

O

A
1

A
2

A
3

图7
a
2
，……，第
n
个三角形数记为
a
n
，计算
a
2
a
1
， a
3
a
2
，a
4
a
3
，
…… ，由此推算，
a
100
a
99

___________ _，
a
100

__________.
考生注意：第三至第八大 题为解答题，要求在答题卷上写出解答过程.如果运算含有根号，
请保留根号.
三、（本大题共2小题，每小题满分6分，共12分）
19．计算：

< br>1



π2010

3tan60°+
2

.
20.先化简，再求值：

ab

ab

4ab
3
8a
2
b
2< br>4ab
，其中a=2，
b1
.
四、（本大题共2小题，每小题满分8分，共16分）
21.某厂房屋顶呈人字架形（等腰三 角形），如图8所示，已知
ACBC8
m，
A30°
，
于点
D．

CDAB，
（1）求
ACB
的大小.
（2）求
AB
的长度.





01

C

A



D

图8
B

< br>22.2010年世界杯足球赛在南非举行.赛前某足球俱乐部组织了一次竞猜活动，就哪一支球队
将在本届世界杯足球赛中夺冠进行竞猜，并绘制了两幅不完整的统计图（如图9-①和9-②
所示）. 请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出参加这次竞猜的总人数；
（2）请你 在图9-①中补全频数分布直方图，在图9-②中分别把“阿根廷队”和“巴西队”
所对应的扇形图表示 出来.









图9-①
图9-②
五、（本大题满分8分）
23．如图10，已知Rt△ABC≌Rt△ADE
，
ABCADE90°
，
BC与
DE
相交于
点
F
，连接
CD，

EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举.
（2）求证：
CFEF.











六、（本大题满分10分）
24．2 010年1月1日，全球第三大自贸区——中国——东盟自由贸易区正式成立，标志着
该贸易区开始步入 “零关税”时代.广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的
A

D

F

C

图10
B

E

A
、
B
两地，现用大、小两种货车共20辆，恰好能一 次性装完这批白砂糖.已知这两种货车
的载重量分别为15吨辆和10吨辆，运往
A
地 的运费为：大车630元辆，小车420元辆；
运往
B
地的运费为：大车750元辆， 小车550元辆.
（1）求这两种货车各用多少辆；
（2）如果安排10辆货车前往
A
地，某余货车前往
B
地，且运往
A
地的白砂糖不少于115

吨.请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.
七、（本大题满分10分）
25．如图11-①，
AB
为
⊙O的直径，
AD
与
⊙O
相切于点
A，DE
与
⊙O
相切于点
E
，
点
C
为
DE
延长线上一点， 且
CECB.

（1）求证：
BC
为
⊙O
的切线；
（2）连接
A E
，
AE
的延长线与
BC
的延长线交于点（如图11-②所示）.若
AB25，AD2
，求线段
BC
和
EG
的长.









A

D

A

D

E

O

E

O

B

图11-①
C

B

C

图11-②
G

八、（本大题满分10分）
26．如图12，把抛物线
yx
（虚线部分 ）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位
长度，得到抛物线
l
1
，抛物 线
l
2
与抛物线
l
1
关于
y
轴对称.点< br>A
、
O
、
B
分别是抛物线
l
1
、< br>l
2
与
x
轴的交点，
D
、
C
分别是 抛物线
l
1
、
l
2
的顶点，线段
CD
交< br>y
轴于点
E
.
（1）分别写出抛物线
l
1
与
l
2
的解析式； < br>（2）设
P
是抛物线
l
1
上与
D
、
O
两点不重合的任意一点，
Q
点是
P
点关于
y
轴的 对称点，
试判断以
P
、
Q
、
C
、
D
为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.
（3）在抛物线
l
1
上是否存在点
M
，使得
S
ABM
S
四边形AOED
，如果存在，求出
M
点的坐
标，如果不存在，请说明理由.










2
y

C

E

D

A

O

x

B

l
2

l
1

图12

2010年南宁市中等学校招生考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
题号 1
答案 B
2
D
3
C
4
C
5
B
6
C
7
A
8
B
9
D
10
A
11
C
12
D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．1 14．70 15．
4.6510
16．67．5
17．
4
49
18．100（1分） 5050（2分）
9
01
三、（本大题共2小题，每小题满分6分，共12分）
19．解：


1



π2010

3tan60°+

2


=
1133
=
23

=

1
……………………………………………………………（4分）
2
1
…………………………………………………………………………（5分）
2
1
………………………………………………………………………………（6分） < br>2
20．解：（1）

ab

ab

4ab
3
8a
2
b
2
4ab

=
abb2ab
……………………………………………………………（3分）
=
a2ab
………………………………………………………………………（4分）
当
a2
，
b1
时，原式=
2221
……………… …………………………………（5分）
=
44

=0………………………………………………………………（6分）
四、（本大题共2小题，每小题满分8分，共16分）
21．解：（1）
QACBC，A30°

，
2
2
222

AB30°

…………………………（1分）
C

QABACB180°

…………………………（2分）
ACB180°-AB

=
180°30°30°

=
120°

…………………………（4分）


A

D

B

（2）
QACBC，CDAB


AB2AD
………………………………………………………………（5分）
在
Rt△ADC
中，
A30°

，AC8．

ADAC

·cosA
，………………………………………………………（6分）
=
8·
cos
30°
=
8
3
43

2

AB2AD83

m

.…………………………………………………（8分）
22．（1）参加这次竞猜的总人数是500人.………………………………………………（2分）
（2）补充图①……………………………………………………………………………（4分）
补充图②…………………………………………………………………………（8分）









五、（本大题满分8分）
23．（1）
ADC≌ABE，CDF≌EBF．
……………………………… …………（2分）
（2）证法一：连接
CE

…………………………………（3分）

QRtABC≌RtADE


ACAE

…………………………………（4分）

ACEAEC

…………………………………（5分）
又
QRt△ABC≌Rt△ADE


ACBAED

…………………………………（6分）

ACEACBAECAED

即
BCEDEC
………………………………………………………………（7分）

CFEF．
………………………………………………………………………（8分）
证法二：
QRt△ABC≌Rt△ADE


ACAE，ADAB，CABEAD

A

D

F

C

B

E

CABDABEADDAB

即
CADEAB

……………………（3分）



△ACD≌△AEB

SAS

．
… ……………………………（4分）

CDEB，ADCABE

………………………………（5分）
又
QADEABC


CDFEBF

………………………………（6分）
又
QDFCBFE



……………………………………………………（7分）
△CDF≌△EBF

AAS

．

CFEF．
………………………………………………………………………（8分）
证法三：连接
AF．
………………………………………………………………（3分）

QRt△ABC≌Rt△ADE，


ABAD，BCDE，ABCADE90°

．
又
QAFAF．


Rt△ABF≌Rt△ADF

HL

．

……………………………（5分）

BFDF．

……………………………（6分）
又
QBCDE．


BCBFDEDF,

………………………………（7分）
即
CFEF．

……………………………（8分）
六、（本大题满分10分）
24．解（1）解法一：设大车用
x
辆，小车用
y
辆.依据题意，得
A

D

F

C

B

E

A

D

F

C

B

E


xy20，
…………………………………………………………………（2分）

15x+10y=240．

解得


x8，


y12．

大车用8辆，小车用12辆.……………………… ……………………………（4分）
解法二：设大车用
x
辆，小车用

20x

辆.依题意，得

15x10

20x

240
…………… ……………………………………………（2分）
解得
x8
.

 20x20812．

大车用8辆，小车用12辆.……………………………………… ……………（4分）
（2）设总运费为
W
元，调往
A
地的大车a
辆，小车

10a

辆；调往
B
地的大车

8a

辆，小车

a2

辆.则… …………………………………………………………………（5分）
W630a420
< br>10a

750

8a

550

a2

，
即：
W10a11300
（
0≤ a≤8，a
为整数），………………………………（7分）


Q15a 10

10a

≥115．
…………………………………………… …………………………………（8分）
a≥3．
又
QW
随
a
的增大而增大，

当
a3
时，
W
最小.
当
a3
时，…………………………………………（9分）
W103 1130011330．
因此，应安排3辆大车和7辆小车前往
A
地；安排5辆 大车和5辆小车前往
B
地.最少
运费为11 330元.……………………………………………………………………………（10分）
七、（本大题满分10分）
25．（1）连接
OE，OC
…………………… ………………………………………………（1分）

QCBCE，OBOE，OCOC，




△OBC≌△OEC

SSS

，

OBCOEC．

………………………（2分）
又
QDE
与
⊙O
相切于点
E
，

OEC90°

．
…………………………（3分）

OBC90°

．

BC
为
⊙O
的切线.…………………………（4分）
（2）过点
D
作
DFBC
于点
F
，

QAD，DC，BG
分别切
⊙O
于点
A

，E，B，

DADE，CECB．

………………………………（5分）
设
BC
为
x
，则
CFx2，DCx2
.
在
Rt△DFC
中，

x2



x 2

25
22
A

D

O

E

B

C

A

D

E

O


2
，

B

F

C

G

5
2

QAD∥BG，


DAEEGC．


QDADE，

解得：
x．
…………………………………………………………………………（6分）
DAEAED.


QAEDCEG，

 EGCCEG，
5
………………………………………………………………（7分）
CGCECB，
2

BG5．
AG
25

2
……………………………………………（8分）
5
2
4535．
解法一：连接
BE，
S
ABG

11

AB·BGAG·BE，
22
25535BE，

BE
10
…………………………………………………………………………（9分）
．
3
2
222
5

10

EG BGBE5

5．
在
Rt△BEG
中，…………………（ 10分）
3

3

解法二：
QDAEEGC，A EDCEG，

…………………………………………………………………（9分）
△ADE∽△GCE，

ADAE235EG
，，

CGEG2.5EG
55
．
………………………………………………………………… （10分）
3
解得：
EG
八、（本大题满分10分）
26．解 ：（1）
l
1
:y

x1

1
（ 或
yx2x
）；………………………………（1分）
2
2
； ………………………………（2分）
l
2
:y

x1

1
（或
yx
2
2x
）
（2）以
P
、
Q
、
C
、
D
为顶点的四边形为矩形或等腰梯形 .………………………（3分）
理由：
Q
点
C
与点
D，点
P
与点
Q
关于
y
轴对称，
2
CD∥PQ∥x
轴.
①当
P
点是
l
2
的对称轴与
l
1
的交点时，点
P
、
Q
的 坐标分别为（

1，

3）和（1，

3），

而点
C
、
D
的坐标 分别为（
1
，
，所以
CDPQ，CPCD，
四边形
C PQD
1
）和（1，1）
是矩形.…………………………………………………………… …………………………（4分）
②当
P
点不是
l
2
的对称 轴与
l
1
的交点时，根据轴对称性质，
有：
CPDQ
（ 或
CQDP
），但
CDPQ
.

四边形
CP QD
（或四边形
CQPD
）是等腰梯形.…………………………………（5分） （3）存在.设满足条件的
M
点坐标为

x，y

，连 接
MA
依题意得：
，MB，AD，
A

2，0

，B

-2，0

，E

0，1

，
S
梯形AOED


12

1

3
.……………………………………………………………（6分）
22
① 当
y0
时，
S
ABM

13

4 y，
22
3
…………………………………………………………………………………（ 7分）
y．
4
331
将
y
代入
l
1
的解析式，解得：
x
1
，

x
2
=．
422

33

13

M
1

，

，
M
2

，

．
……………………………………………………………（8分）
2424

②当
y0
时，
S
ABM

13

4< br>
y

，
22
3
…………………………………… …………………………………………（9分）
y．
4
将
y
7
3
．
代入
l
1
的解析式，解得：
x1
2
4

27

273

3
M
3

，-M，-．
，……………………………………（1 0分）
峻

4


2

4

4

2
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