巴音郭楞职业技术学院-校园歌手大赛主持词

2020年甘肃省高三第二次诊断考试
理科数学试题
一、选择题（每小题5 分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的
序号填涂在答题卡上）
1．集合
Axx
2
x20

，
B
< br>xx10

，则
AUB
= ( ).
A.

xx1

B.

x1x1

C.

xx2

D.

x2x1


2．纯虚数
z
满足

z1

z24i
，则
z
的共轭复 数为（ ）
A.
2i
B.
2i

C.
4i
D.
4i

3．各项均为正数的等比数列

a
n

中，
a
1
2
，数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
,S
3
232.则
a
7

（ ）
A．
82
B．
72
C．
8
D．
15214

uuuuruuuruuuruuurur
4．在
ABC
中，
CM
2
MB
，
AN

C N
0
，则（ ）

uuuur
2
uuur
1
uuuruuuur
2
uuur
7
uuur
A.
MN

ABAC
B.
MN

ABAC


3636
uuuur
1
uuur
2
uuuruuuur
7
uuur< br>2
uuur
C.
MN

AC

AB
D.
MN

AC

AB
6363

5． 把不超过实数
x
的最大整数记为

x

，则函数
f (x)

x

称作取整函数，又叫高斯函数，在

1,4



上任取
x
，则

x



2x

的概率为（ ）
A．
1

4
B.
1

3
C.
1

2
D.
2

3
6．函数
ylg
1
的大致图象为( )
x1



7．设向量
a
3,3

,b

1,1

，若
a

ba

b
，则实数


（ ）

1

A．3 B．1 C．
1
D．
3


1

1

8．已知实数，
b
满足


< br>1
，则（ ）

2

2

A.
ab
11

B.
log
2
alog
2
b
C.
ab
D.
sinasinb

ab


9．已知
cos





1


sin2


，则


（ ）
6

36

B. A.

8

9
8

9
C.
7

9
D.

7

9
x
2
y
2
10．已知双 曲线
2

2
1
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，过右焦点
F
2
作垂直于
x
轴的弦
MN
，交
ab

双曲线于
M
、
N
两点，若
MF
1
N
=，则双曲线的离心率
e
=（ ）
2
A．
2
B．
3
C．
5

2
D．
21

11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过 ：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另
一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可 以把黄金分割比作钻石矿.”黄
金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最 美的三角形，它
是一个顶角为
36
的等腰三角形（另一种是顶角为
108
的等腰三角形）.例
如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个
黄金
ABC
中，
BC51
.根据这些信息，可得
sin 234
（ ）

AC2
A.
125355145
B.

C.

D.


4848

x
2
2x,x2，
12．
f(x)

的值域为
R
，则
f(2 2)
的取值范围是（ ）
1
logx,x2，
a
< br>2

A．

,




1

2

B．

,




5

4

C．



5

,
< br>

4

D．



51

,



42

2

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．将函数
f
< br>x

Asin

wx


(A0,w 0,



2
)
的图象向右平移

个单 位，再将所有点
12
的横坐标扩大为原来的
2
倍，得到
g

x

2sinx
的图象，则
Aw


．
14．已知数列

a
n

，若 数列
3
n1
a
n
的前
n
项和
T
n


1
n
1
6
，则
a
5
的值为 .
55
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类 情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商
品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有4种，则
该网店
这三天售出的商品最少有 种．
16．在三棱锥
ABCD
中，
ABAC,DBDC,ABDB4, ABBD
，则三棱锥
ABCD
外
接球的体积的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列

a
n

中，
a
1
,a
4
,a
8
成等比数列，数列
< br>a
n

的
前10项和为45.（1）求数列

an

的通项公式；（2）若
b
n

为
T
n
，求
T
n
.
18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的所有棱长均
2
，
D
为棱
BB
1
（不包括端点）上一动点，
E
是
AB
的中点．
（Ⅰ）若
ADA
1
C
，求
BD
的长；
（Ⅱ）当
D
在棱
BB
1
（不包括端点）上运动时，求平面
A DC
1
与平面
ABC
的夹角的余弦值的取值范
围．
19． （本小题满分12分）某学校共有
1000
名学生，其中男生
1
，数列

b
n

的前
n
项和
a
n
a< br>n1
400
人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分
层抽样随机抽取 了
100
名学生进行调查，月消费金额分布
在
450~950
之间． 根据调查的结果绘制的学生在校月消
3

费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于
750
元的学生称为“高消费群”．
（1）求
a
的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2） 现采用分层抽样的方式从月消费金额落在
[550,650)
，
[750,850)< br>内的两组学生中抽取
10
人，再从这
10
人中随机抽取
3人，记被抽取的
3
名学生中属于“高消费群”的学生人数为
随机变量
X< br>，求
X
的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有
10< br>人，
完成下列
22
列联表，并判断是否有
97.5%
的把握 认为该校学生属于“高消费群”与“性
别”有关？
n(adbc)
2
（参 考公式：
K
，其中
nabcd
）
(ab)(cd)(ac)(bd)
2

x
2
y< br>2
20．（本小题满分12分）已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的两个焦点与短轴的一个端点连线
ab
构成等边三角形，且椭圆< br>C
的短轴长为
23
．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
uuuuvuuuv
（2）是否存在过点
P

0,2
的直线
l
与椭圆
C
相交于不同的两点
M
，
N< br>，且满足
OMON2
（
O
为坐标原点）若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数
f

x

a

x1

lnx
，aR
．
（1）当
a2
时，求函数
yf

x

在点
P1,f

1

处的切线方程； （2）当
a1
时，令函数
g

x

f< br>
x

lnx2x1m
，若函数
g

x

在区间

,e

上有两个
e
零点， 求实数
m
的取值范围．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（本小 题满分10分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
 4
2


1




x2cos

,
（

为参

y22sin< br>

数），以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ，已知曲线
M
的极坐标方程
2
为

sin2
32

0







.
2

（1）求曲线
C
的极坐标方程；
（2 ）已知

为锐角，直线
l:




< br>R

与曲线
C
的交点为
A
（异于极点），
l
与曲线
M
的交
点为
B
，若
OAOB162< br>，求
l
的直角坐标方程.
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知 函数
f

x

x2ax
1

a 0

.
a
（1）当
a1
时，解不等式
f

x

1
；（2）若不等式
f

x

3
恒成立，求实数
a
的取值范围.











5

参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）

题号
答案

二、填空题（共4小题，每小题5分）
1
C
2
B
3
A
4
C
5
B
6
C

7
D

8
B
9
C
10
D
11
C
12
D
82


13、
4
14、16 15、16，29 16、
3

6
三、解答题（本大题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.
解：设等差数列

a
n

的公差为
d
，
由
a
1< br>,a
4
,a
8
成等比数列可得
，
a
4
2
a
1
a
8
，
即

a
1< br>3d

2
a
1

a
1
7d< br>
，
a
1
6a
1
d9d
2
 a
1
7a
1
d
，
22
d0
，
a
1
9d
． -------------------------3分
（1）
由数列

a

的前10项和为45
，
得
S
n
10
10a
1
45d45
，
即
90d45d45
，
故
d
1
,a
1
3
，------------ --------------------5分
3

n8
；----- -----------------------------6分
3
故数列
< br>a

的通项公式为
a
n
n
（2）
b
n

191

1
9



-------------------8
分
a
n
a
n1
n8

n9

n8n9

11 1111

11



---------10
分
91010111112n8n9
1

9n

1
1
---------------------------------12分

n9n9

9n9


T
n
9


9

（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，
18.
证明：
6

又平面ABC⊥平面ABB
1< br>A
1
，所以CE⊥平面ABB
1
A
1

而A D⊂平面ABB
1
A
1
，∴AD⊥CE，又AD⊥A
1
C所 以AD⊥平面A
1
CE，
所以AD⊥A
1
E．易知此时D为BB
1
的中点，故BD=1．
--------------------------------5分


（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，设 BD=t，则A（-1，0，0），D（1，0，t），C
1
（0，
3
，2），
uuuuv
uuuv
v
n
= （2，0，t），=（1，，2），设平面ADC的法向量=（x，y，z），
AC
1
3
AD
1
v
v
uuu

AD2xtz0< br>12


n·
v

4
n1,,
则

v
uuuu
，取x=1，得
v

， t
3t3
n·ACx3y2z0


1
< br>v
平面ABC的法向量
m
=（0，0，1），
----------- ---------------------9分
设平面ADC
1
与平面ABC的夹角为θ，
vv
m·n
∴ cosθ=
vv
=
m·n
3
=
2
=
21

4

4
t2t7
1

< br>

t
2
3

3t
21
2
，]．
7
2
2
t
3

t1

2
6

由于t∈（02）,故cosθ∈（
21
2
即平 面ADC
1
与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（
7
，
2]．
----------12分

19.
（1）由题意知，
1 00(0.0015a0.00250.00150.001)1
，
解得
a0.0035
，
样本的平均数为：
，
x5 000.156000.357000.258000.159000.10670
（元）
7

所以估计该校学生月消费金额的平均数为
670
元．
--------------------------------4分
（2）由 题意，从
[550,650)
中抽取
7
人，从
[750,850)< br>中抽取
3
人．
随机变量
X
的所有可能取值有
0，
1
，
2
，
3
，
3k
C
3
k
C
7
P

Xk


（k0,1,2,3
），
3
C
10
所以，随机变量
X
的分布列为

随机变量
X
的数学期望
E(X)0
35632119
1 23
．
----------------------------8分

12
（3）由题可知，样本中男生
40
人，女生
60
人，属 于“高消费群”的
25
人，其中女生
10
人；
得出以下
22
列联表：

n(adbc)
2
100(10251550)
2
50
K5.5565.024，
(ab)(cd)(ac)(bd)406025759
2
所 以有
97.5%
的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．
------ --------------12
分



2b23

20.
【解析】（1）由题意得：

a2c
，···········2分

a
2
b
2
c
2

8 < /p>


a2
x
2
y
2

1< br>·解得

，∴椭圆
C
的标准方程是

······· ···4分
43


b3
（2）当直线
l
的斜 率不存在时，
M0,3
，
N0,3


uuuuv uuuv
OMON3
，不符合题意···········5分
当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
ykx2
，
M< br>
x
1
,y
1

，
N

x
2
,y
2



x
2
y
2
1


由

4

消
y
整理得：

34k
2

x
2
16kx4 0
，
3

ykx2

11
2
··· ········6分



16k

16

34k
2

0
，解得
k
或
k< br>，
22
x
1
x
2

16k4
x x
，，···········7分
12
34k
2
34k< br>2
uuuuvuuuv
∴
OMONx
1
x
2y
1
y
2


1k
2

x
1
x
2
2k

x
1
x
2< br>
4


41k
2
34k
2


32k
2
1612k
2
，··········· 9分
4
22
34k34k
uuuuvuuuv
1612 k
2
2
，∵
OMON2
，∴···········10分
34k
2
解得
k
2
，满足

0< br>，···········11分
2
2
x2
．···········12分
2
所以存在符合题意的直线，其方程为
y

1
21.【答案】（1）切线方程为
yx1
；（2）实数
m
的取值范围 是

1,2
2

．
e

【解析】（ 1）当
a2
时，
f

x

2

x1

lnx
2x
2
4xlnx2
． 当
x1
时，
f

1

0
，所以点
P

1,f

1


为
P

1,0

，···········1分
9
2