高考数学2017-2018高三专题复习-立体几何(3)空间直角坐标系与空间向量典型例题
安全生产责任状-高考录取名单
2017-2018高三数学专题复习-
立体
几何（3）空间直角坐标系与空间向
量
一、建立空间直角坐标系的几种方法
构建原则：
遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。
立空间直角坐标系，则
C
1<
br>（０，1，2）、
B
（2，4，０），
∴
BC
1
(2，3，2)
，
CD(0，1，0)
．
设
BC
1
与
CD
所成的角为
，
BC
1
CD
317
则
cos
．
17
BC
1
CD
（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系
作法：
例2
如图2，在三棱柱
充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系
来建立空间直角坐标系．
类型举例如下：
（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直
知
AB2，
BB
1
＝2，
BC
＝1，∠
BCC
1
＝
角坐标系
例1 已知直四棱柱
ABC
－
A
1B
1
C
1
中，
AB
⊥侧面
BB
1C
1
C
，
E
为
棱
CC
1
上异
于
C
、
C
1
的一点，
EA
⊥
EB
1
．已
．求二面角
A
－
EB
1
－
A
1
的平面角的正切
3
值．
ABCD
－
A1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
＝2，底面
ABCD
是
直角梯形，∠
A
为直角，
A
B
∥
CD
，
AB
＝4，
解析：如图2，以
B<
br>为原点，分别以
BB
1
、
BA
所在直线为
y
轴、
z
轴，过
B
点垂直于平
面
AB
1
的直
线为
x
轴建立空间直角坐标系．
由于
BC
＝1，
BB
1
＝2，
AB
＝
2
，∠
AD
＝2，
DC
＝1，求异面直线
BC
1
与
DC
所
成角的余
弦值．
解析：如图1，以
D
为坐标原点，分别
以
DA
、
DC
、
DD
1
所在直线为
x
、
y
、
z
轴建
BCC
1
＝，
3
∴在
三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中
，有
B
（０，
０，０）、
A
（０，０，
2
）、B
1
（０，2，
1
3
1
33
，0
，0
０）、c
2
，
、
C
1
2
，
．设
22
3
13
a
E
，a，0
且，
2
22
ABCD
是正方形，侧面
VAD
是正三角形，平
面
VAD
⊥底面
ABCD
．
（1）证明
AB
⊥平面
VAD
；
（2）求面
VAD
与面
VDB
所成的二面
角的余弦值．
解析：（1）取
AD
的中点
O
为原点，建
立如图3所示的空间直角坐
标系．
设
AD
＝2，则
A
（1，０，０）、
D
（
－
1，０，０）、
B
（1，2，０）、
V
（０，０，
3），
由
EA
⊥
EB
1
，得
EA
EB
1
0
，
33
即
a
，
2
2a
，
0
2
，
2
，
33
a(a2)a
2
2a0
，∴
44
1
3
a
a
0
，
2
2
即
a
13
或
a
（舍去）．故
22
31
E
，0
2
，
．
2
由已知有
EAE
B
1
，
B
1
A
1
EB
1
，故二
面
角
A
－
EB
1
－
A
1
的平面角
的大小为向量
∴
AB
＝（０，2
，０），
VA
＝（1，０，
－
3
）．
B
1
A
1
与
EA
的夹角．
由
AB
VA(0
，
2，
0)
(10
，，
3)0
，得
AB
⊥
VA
．
又
AB
⊥
AD
，
从而
AB
与平面
VAD
内两
条相交直线
VA
、AD
都垂直，
∴
AB
⊥平面
VAD
；
13
0，
（2）设
E
为
DV
的中点，则
E
2
，
2
3
33
3
0，2，
∴
EA
2
，
，
EB
2
，
，
22
因
B
1
A
1
BA(0，0，2)
，
31
EA
，，2
2
2
EA
B
1
A
1
2
2
故
cos
，即
tan
2
3<
br>EAB
1
A
1
（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱
锥
V
－
ABCD
中，底面
<
br>DV(1，0，3)
．
2
33
∴
EB
DV
2
，
0
，
3)0
，
2
，
(1
，
2
3ah
∴
BE
a，，
，
22
2
a3h
DE
，a，
．
222
∴
EB
⊥
DV
．
又
EA
⊥
DV
，因此∠
AEB
是所求二面角<
br>的平面角．
EA
EB21
∴
cosEA
．
，
EB
7
EAEB
BE
DE
6a
2
h
2
∴
cosBE
，
，
D
E
22
10ah
BEDE
6a<
br>2
h
2
即
cos∠DEB
；
22
10ah
故所求二面角的余弦值为
21
．
7
（2）因为
E
是
VC
的中点，又
BE
⊥
VC，
VC0
，即
所以
BE
ah
3
a
，
，
(
a
，
a
，
h)0
，
222
3
2
a
2
h
2
∴
a0
，∴
h2a
．
222
（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建
直角坐标系
例4 已
知正四棱锥
V
－
ABCD
中，
E
为
VC
中
点，正四棱锥底面边长为
2
a
，高为
h
．
（1）求∠
DEB
的余弦值；
（2）若
BE
⊥
VC
，求∠
DEB
的余弦值．
解析：（1）如图4，以
V
在平面
AC
的
射影
O
为
坐标原点建立空间直角坐标系，其
中O
x
∥
BC
，O
y∥
AB
，则由
AB
＝2
a
，
OV
＝<
br>h
，有
B
（
a
，
a
，０）、
C（-
a
，
a
，０）、
6a
2
h
2
1
DE
这时
cosBE，
，即10a
2
h
2
3
1
cos∠DEB
．
3
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问
题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只
需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如
何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关
键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建
立空间直角坐标系的三条途径．
（五）利用图形中的对称关系建立坐标系
D
（-
a
，-
a
，０）、
V
（0，0，
h
）、
E
，，
3
aah
222
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但
有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），
利用
自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥
P
－
ABCD<
br>与
Q
－
d
n
AQ0，
2xz0，
则
得
取
x
＝1，得
xy0，<
br>
n
AD0，
n=(1，1，2)
．点<
br>P
到平面
QAD
的距离
PQ
n
n
22
．
ABCD
的高都为2，
AB
＝4．
（1）证明：
PQ
⊥平面
点评：利用图形所具备的对称性，建立
空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应
容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求
距离．
ABCD
；
（2）求异面直线
AQ
与
PB
所成的角；
（3）求点
P
到面
QAD
的距离．
简解：（1）略； <
br>（2）由题设知，
ABCD
是正方形，且
AC
⊥
BD
．由（1），
PQ
⊥平面
ABCD
，故可分别
，DB，QP
为
x
，
y
，
z
轴建立空间以直线
CA
直角
坐标系（如图1），易得
AQ(22，0，2)，PB(0，22，
2)
，
AQ
PB1
cosAQ
，
PB
．
AQPB
3
1
所求异面直线所成的角是
arccos
．
3
（3）由（2）知，点
D(0，22，，0)AD(
22，22，，0)PQ(0，0，4)
设
n
=（
x
，y
，
z
）是平面
QAD
的一个法向量，
4
二、向量法解立体几何
（一）知识点
向量的数量积和坐标运算
a,b
是两个非零向量，它们的夹角
为
成的角或其补角（如图1所示），
|ab|
则
c
os
.
|a||b|
2.
直线
L
与平面
所成的角
在
L
上取定
A
B
，求平面
，则数
|a||b|cos
叫做
a
与
b
的数量
的法向量
n
（如图2所示），<
br>积（或内积），记作
ab
，即
再求
cos
A
L
B
n
|ABn|
|AB||n|
ab|a||b|cos
.
其几何意义是
a
的
长度与
b
在
a
的方向上的投影的乘积. 其
坐标运算是：
若
a
(
x
1
,
y
1
,
z
1
),
b
(
x
2
,
y
2,
z
2
)
，则
，则
图
2
为所求的角.
3． 二面角
方法一：构造二
面角
l
n
1
n
2
①
abx
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
；
222222
的
l
的两个半平面
、
n
2
（都取向
上的方
②
|a|x
1
y
1
z
1
,|
b|x
2
y
2
z
2
；
法向量
n<
br>1
、
③
abx
1
x
2y
1
y
2
z
1
z
2
④
cosa,b
x
1
x
2
y
1
y<
br>2
z
1
z
2
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
222222
图3甲
向，如图3所示），则
① 若二面角
l
是“钝角型”的如
图3甲所示，那么其大小等于两法向
（二）例题讲解
题型：求角度相关
1. 异面直线
m,n
所成的角
分别在直线<
br>m,n
上取定向
量
n
1
、n
2
的夹角的补角
，即
cos
n
1
n
2
|n
1
||n
2
|
.
n
2
n
1
图
量
a,b,
则异面直线
m,n<
br>所
成的角
等于向量
a
,
b<
br>所
C
a
A
n
m
l
②
若二面角
l
是“锐角型”的如图
n
D
图1
b
B
5
3乙所示，那么其大
n
2
B
l
A
n
1
图4
小等于两法向量
n
1
、n
2
的夹
角，即
cos
n
1
n
2
|n
1
||n
2
|
.
.
CDCAABBD
CDn(CAABBD)n
|CD
n||ABn|
方法二：在二面角的棱
l
上确定两个点
A、B
，过
A、B
分别在平面
、
内求出与
l
d|CD|
|ABn|
|n|
设直线
m,n
所成
的角为
，显然
垂直的向量
n
1
、n
2
（
如图4所示），则二面
角
l
的大小等于向量
n1
、
即
n
2
的夹角，
cos
<
br>n
1
n
2
|n
1
||n
2
|<
br>.
|ab|
.
cos
|a||b|
2.
平面外一点
p
到平面
的距离
求平面
的法向量
n
，在
面内任取一定点
A
，点
p
A
pn
题型：求距离相关
1. 异面直线
m、n
的距离
分别在直
线
m、n
上取
到平面
的距离
d
等于<
br>AP
在
n
上的射影长，
定向量
a,b,
求与向量
a、b
都垂直的向量
C
a
A
n
m
即
d
|APn|
|n|
.
n
D
图1
b
B
n
，分别在
m、n
上各取
一个定点
A、B
，则异面直线
m、n
的距离
d等于
AB
在
n
上的射影长，即
d
|ABn|
|n|
.
证明：设
CD
为公垂线段，取
C
Aa,DBb
6
三、法向量
例题解析
题型：求空间角
1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为
n
=（x, y,
1)，则直
线AB和平面α所成的角θ的正弦值为
sinθ=
cos(
2
-θ)
=
|cos<
AB
,
n
>| =
AB
n
AB
n
2、运用法向量求二面角
设二面
角的两个面的法向量为
n
1
,n
2
，则
<
n
或π-<
n
<
br>1
,n
2
>
1
,n
2
>是所求角。这时要借
助
图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定
<
n
n
1
,n
2
>是所求，还是π-<
n
1
,
2
>是所求角。
题型：求空间距离
1、求两条异面直线间的距离
设异面直线a、b的公共法向量为
n(
x,y,z)
，在a、b上任取一点A、B，则
异面直线a、b的距离：d =AB〃cos
∠BAA
＇
=
|AB
n|
|
n|
略证：如图，EF为a、b的公垂线段，
a
＇
为过F与a平行的直线，
在a、b上任取一点A、B，
过A作AA
＇
EF，交a
＇
于A
＇
， <
br>则
AA
¡
¯
n
，
所以∠BAA
＇
=<
BA
,
n
>（或其补角）
∴异面直线a、b的距离d =AB〃cos∠BAA
＇
=
|
AB
|
n|n|
*
其中，
n
的坐标可利用a、b上的任一向量
a,b
（或图中的
AE
,
BF
），及
n
的定义得
n
a
na0
①
nb
<
br>
b
n0
解方程组可得
n
。
2、求点到面的距离
7
求A点到平面α的距离，设平面α的法向设平面外的直线a和平面α、β，两
个面α、
量法为
n(x,y,1)
，在α内任取一点B，则A
点
到平面α的距离：
β的法向量为
n
1
,n
2
，则
a
an
1
a
a
1
n
n
1
n
2
n
1
n
2
|ABn|
d =
，
|n|
n
的坐标由
n
与平面α内的两个不共线向
量的垂直关系，得到方程组
（类似于前面所
述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平
行，此时可改设n(1,y,0)
，下同）。
3、求直线到与直线平行的平面的距离
求直线
a到平面α的距离，设平面α的法
向量法为
n(x,y,1)
，在直线a
上任取一点A，
在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的
距离：
|ABn|
d =
|n|
4、求两平行平面的距离
设两个平行设平面α、β的公共法向量法
为
n(x,y,1)
，在平面α、β内各任取一点A、
B，则平面α到平面
β的距离：
|ABn|
d =
|n|
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
8