李玄霸-事业单位工作人员年度考核

上海市静安区2018届高三一模数学试卷
2018.01


一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 计算
lim(1
n
n
)
的结果是
n1
2. 计算行列式
1i2
的值是 （其中
i
为虚数单位）
3i11i
x
2
y
2
1
有公共的渐近线，且经过点
A(3,23)
的双曲线方程是 3. 与双曲线
916
4. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工
作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）
5. 已知函数
f(x )a2
x
3a
（
aR
）的反函数为
yf
1
(x)
，则函数
yf
1
(x)
的图
像经 过的定点的坐标为
6. 在
(xa)
10
的展开式中，
x
7
的系数是15，则实数
a

7. 已知点
A(2,3)
到直线
ax(a1)y30
的距离不小于3，则 实数
a
的取值范围是
8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相 交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴
的原点重合于
O
点且单位长度相同）称为斜 坐标系，在斜坐标系
xOy
中，若
OPxe
1
ye
2< br>（其中
e
1
、
e
2
分别为斜坐标系的
x轴、
y
轴正方向上的单位向量，
x,yR
），则点
P
的
坐标为
(x,y)
，若在斜坐标系
xOy
中，
xOy 60
，点
M
的坐标为
(1,2)
，则点
M
到原点
O
的距离为
9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为

，则该圆锥的侧面积等于
10. 已知函数
f(x)

取值范围为
11. 已知函数
f(x)|sin
2
x3cosxcos(
8
3

(5a)x1x1
（
a0
，
a1< br>）是
R
上的增函数，则实数
a
的
x
ax1

3

1
若将函数
yf(x)
的图像向左平移
x)|
，
22
a
个单位（
0a

），所 得图像关于
y
轴对称，则实数
a
的取值集合为
2
12. 已知函数
f(x)ax4x1
，若对任意
xR< br>，都有
f(f(x))0
恒成立，则实数
a
的
取值范围为


1

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知无穷等比数列
{a
n
}
的各项之和为
A.
31
，首项
a
1

，则该数列的公比为（ ）
22
12112
B. C.

D. 或
33333
B
（ ） 14. 设全集
UR
，
A{x|ylog
3
(1x)}
，
B{x||x1|1}
，则
(C
U
A)
A.
(0,1]
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.
[1,2)


15. 两条相交直线
l
、
m
都在平面

内，且都 不在平面

内，若有甲：
l
和
m
中至少有一条
直线 与

相交，乙：平面

与平面

相交，则甲是乙的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

x
2
y
2
1
恰有两个不同交点，则实数
取值范围为（ ） 16. 若曲线
|y|x2
与
C:
4

4
A.
(,1](1,)
B.
(,1]

C.
(1,)
D.
[1,0)

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
中，
AA
1< br>4
，异面直线
BC
1
与
AA
1
所成角的大 小为
（1）求正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1的体积；
（2）求直线
BC
1
与平面
AAC
11C
所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）












(1,)


.
3
2

c
，
n(b,cosA)
，18. 在
ABC
中，角
A
、设向量
m(a,cosB)
， < br>b
、
C
的对边分别是
a
、
B
、
且< br>m
∥
n
，
mn
.
（1）求证：
AB

2
（2）若
xsinAsinBsinAsinB
，试确定 实数
x
的取值范围.










19. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD
，在点
A
处有一个可转动的探照灯，
其照射角
PAQ
始终为45°（其中点
P
、
Q
分别在边
BC
、CD
上），设
PAB

，
；
tan

t
.
（1）当三点
C
、
P< br>、
Q
不共线时，求直角
CPQ
的周长；
（2）设探照灯照射在正方形
ABCD
内部区域
PAQC
的面
积为
S
（平方百米），试求
S
的最大值.
















3

20. 如图，已知满足条 件
|z3i||3i|
（其中
i
为虚数单位）的复数
z
在复平面
xOy
对应
点的轨迹为圆
C
（圆心为
C
），设复平面
xOy
上的复数
zxyi
（
xR
，yR
）对应的
点为
(x,y)
，定直线
m
的方程为< br>x3y60
，过
A(1,0)
的一条动直线
l
与直线
m
相交于
N
点，与圆
C
相交于
P
、
Q
两点，
M
是弦
PQ
中点.
（1）若直线
l< br>经过圆心
C
，求证：
l
与
m
垂直；
（2）当
|PQ|23
时，求直线
l
的方程；
（3）设
tAMAN
，试问
t
是否为定值？若为定值，
请求出
t
的值，若
t
不为定值，请说明理由.




























4

n
（
n,aN
*
）.
na
（ 1）若
a
1
、
a
2
、
a
4
成等差 数列，求
a
的值；
21. 已知数列
{a
n
}
的 通项公式为
a
n

（2）是否存在
k
（
k10< br>且
kN
*
）与
a
，使得
a
1
、< br>a
3
、
a
k
成等比数列？若存在，求出
k

的取值集合，若不存在，请说明理由；
（3）求证：数列
{a
n
}
中的任意一项
a
n
总可以表示成数列
{a
n
}中的其它两项之积.































5

参考答案

一. 填空题
x
2
y
2
1
1. 0 2.
6i
3.

4. 60 5.
(3,0)

9164
3
1
6.

7.
(,3]U[,)
8.
7
9.
42


7
2

7

5

10.
[3,5)
11.
{,,,}
12.
a3

123126

二. 选择题
13. B 14. D 15. C 16. A

三. 解答题
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
A
1

B
1

A
B
C

C
1

解：（1）

B
1
BC
1
是
异面直线
BC
1
与
AA
1
所成的角，所 以

B
1
BC
1
=
因为
BB
1< br>AA
1
4
，所以
B
1
C
1
4 3
，
…………
4分
于是，三棱柱体积
VSHS
A BC
AA
1


………
2分
3
3
1634483
………
6分
4
（2 ）过B作BD

AC，D为垂足，则BD

平面
AAC
11
C
，

BC
1
D
是
直线
BC< br>1
与平面
AAC
11
C
所成的角， ………………8分
BD
6,
BC
1
8
，（
D C
1
27
），
所以
直线
BC
1
与平面
AAC
11
C
所成的角为
arcsin
(
arct an
3
………………14分

4
7
37
，
arccos
)
4
7
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解 ：（1）
m(a,cosB),n(b,cosA),
且
mn
，
acosAbcosB0
………2分
6

又
a

b
2R

sinAcosAsinBcosB
, 即
sin2Asin2B
< br>sinAsinB
又
ABC
中
02A,2B2


2A2B
或
2A2B

即
AB
或
AB
若
AB
，则
ab
且
cosAco sB
，
mn
，

……5分
2
mn

AB

………………………………6分
2
（2）由
xsinAsinBsinAsinB
可得
x
sinAsinBsinAcosA
………………8分

sinAsinBsinAcosA
设
sinAcosAt
，则
t2sin(A

)
，
4
0A



A


3

2
444


12sinA(
4
分
)
………………10
2
t
2
1

t12sinAcosA

sinAcosA
……………11分
2
2
x
1
2t2
t22
t
t(1,2]
，在上单调增

x22
2
2
1
1
t
t1
t
t1
t< br>1
2
t
t
2
2

实数
x
的取值范围为
[22,)
………………………………14分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
D
QC
P
45
A

B

解：（1 ）
PAB

,tan

t
，所以
BPt< br>，
CP1t
；
因为点
C、P、Q
不共线，所以
0t1
，
DQtan(45

)
22

1t1t
,
CQ1
;
1t1t
1t
2
;………………5分
PQCPCQ=
1t
1t1t
2
)
直角△
CPQ
的 周长=
(1t)(1
=2………………6分
1t1t
t11t
(2)
S=1
………………8分
221t
12
=2(t1)22
………………12分
2t1
当
t12
时，等号成立． ………………13分
7

探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为
22
平方百米 ．……14分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
y
l
C
M
P
O
N
x
Q
A
m

解: (1) 由已知，圆心
C
(0,3)
,
k
m

则
k
l

1
, ……………………2分
3
30
3
.故
k
m
k
l
1
，所以直线
l
与
m
垂直. …………………4分
01
（直线
l
经过点（-1，0）和（0，3），所 以方程为
3xy30
）
(2) 当直线
l
与
x
轴垂直时,易知
x1
符合题意; ………………5分
当直线与
x
轴不垂直时,设直线
l
的方程为yk(x1)
. …………6分
由于
PQ23
,所以
CM1.
………………7分
由< br>CM
k3
k
2
1
1
,解得
k< br>4
. ………………9分
3
故直线
l
的方程为
x1
或
4x3y40
. ………………10分
(3)当
l
与
x
轴垂直时,易得
M(1,3)
,
N(1,)
,又
A(1,0)
，则
AM(0,3),

5
3
5
AN(0,)
,故
tAMAN5
. ………………11分
3
当
l
的斜率存在时,设直线
l
的方程为
yk(x1)
,代入圆的方程
x(y3)4
得
22
x
1
x
2
 k
2
3k
(1k)x(2k6k)xk6k50
.则
x
M
,

2
2
1k
3k
2
kk
2
3k3k
2
k
y
M
k(xM
1),)
,………13分
,即
M(
222
1 k1k1k
2222

yk(x1),
3k13k
2k3k1
,)=（1,k)
.又由

AM
(
< br>1k
2
1k
2
1k
2
x3y60,
得
N(
3k65k55k5
,)
,则
A N(,)=(1,k)
.
13k13k13k13k13k
15k 55k(3k
2
k)5(13k)(1k
2
)
（） 5
. 故
t
AMAN
222
(1k)(13k)(1 k)(13k)(13k)(1k)
8

综上,
t
的 值与直线
l
的斜率无关,且
tAMAN5
. ……16分 < br>（3）另解:连结
CA
并延长交直线
m
于点
B
,连结
CM,CN,
由(1)知
ACm,
又
CMl
,
所以四点
M,C,N,B
都在以
CN
为直径的圆上,由相交弦定理得
tAMANAMANACAB5
. ……………16分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）
解：(1)
a
1

124
，
a
2

，
a
4

，
1a2a4a
∵
a
1
，
a
2
，
a
4
成等差数列，∴
a
1
a
4
2a
2
， …………2分
化简得
a
2
2a
，∵
a
N*，∴
a 2
． ……………………4分
(2) 假设存在这样的
k
，
a
满足条件，
a
1

13k
，
a3

，
a
k

，
1a3aka
2
∵
a
1
，
a
3
，
a
k
成等比数列，∴
(a
3
)a
1
a
k
， ………………6分
去分母,展开得
9a
2
9ka9aka
2
6ka
,化简得
(3k9)a(k9)a
,
∵
a 
N*，∴
(k9)a3k9,(a3)k99a
，
当
k10
时,
a39
;当
k11
时,
a21
；等等． ………………8分
一般的,设
tk9N *
,
la3N*
,则
a3
2
3636
,
k9
. ……9分
tl
∵
a
N*，∴
l,t
需为36的公约数,
k
的取值集合为
36
kk9,l1,2,3,4,6,9,12,18,36


l

(或者列举

10，11，12，13，15，18，21， 27，45

) ……………………11分
(3) 即证存在
k
，
tn
，使得
a
n
a
k
a
t
……………………12分
即证：
nktaaa111a


1(1)(1)





nakatanktnktkt
knkaknkan(ka)


，
t
…………15分

nkktntkn

令
kn1
，则
tn(ka)n(n1a)
∴对任意
n
，
a
n
 a
n1
a
n(n1a)
,
即数列中的任意一项
a
n
总可以表示成数列中的其它两项之积．………18分
注:直接构造出
a
k
与
a
t
亦可，例如：
所以
a
n
a
2n
a
2na
.

9
n2n2n2na

，
na2n2a2na(2na)a