BB
1< br>的中点. （2013·18）如图，直三棱柱
ABCA
1
BC
11
中，
D
，
E
分别是
AB
，
（Ⅰ）证明：< br>BC
1

平面
ACD
；
1
（Ⅱ）设
AA
1
ACCB2
，
AB22
，求三棱锥
CA< br>1
DE
的体积.









（2012·19）如图，三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
ACBC
1
AA
1
，D是棱AA
1
2
C
1

的中点.
B
1
(Ｉ) 证明：平面BDC
1
⊥平面BDC；
A
1

（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.










（2011· 18）如图，四棱锥P
-
ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB= 2AD，PD⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD=1，求棱锥 D
-
PBC的高.

A
D
C
B
A
1
B
1
A
DB
E
C
1
C

2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——立体几何

一、选择题
（2017·6）B解析：由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形 加上高为4的圆柱，故其体积
为
V
1


3
2
6

3
2
463

，故选B.
2
（2016·4）A解析：因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为
23
，所以正方体的外接球的半
径为
3
，所以球面的表面积为
4
(3)
2
12

，故选A.
（2016·7）C解析：因 为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为
S28

，故选C.
（2015·6）D解析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的
1
，所 以截去部分体积与剩余部
6
分体积的比值为
1
.
5
（20 15·10）C解析：设球的半径为R，则△AOB面积为
距离最大且为R，此时
V
1
2
R
，三棱锥O- ABC体积最大时，C到平面AOB
2
（2014·6）C 解析：原来毛坯体积为：π·3
2
·6=54π (cm
2
)，由三视图得， 该零件由左侧底面半径为2cm，高
为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成， 所以该零件的体积为：π·3
2
·2+π·2
2
·4=34π
22
(cm)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm)，所以切削掉部分的 体积与原来毛坯体积的比值为
20

10
，故选C.

5 4

27
（2014·7）C解析：∵B
1
C
1
BD，∴BD

面AB
1
C
1
，点B和D到面AB
1
C
1
的距离相等，
V
D-ABC
V
B-A BC

1111
1
3
R36R6
，所以球O的表面积
S4

R
2
144

.
6
11
V
C
1
-ABB
1
2331，
故选C.
32
（2013·9）A
解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体O- ABC的直观图，以zOx
平面为投影面，则得到正视图如右图，故选A.

< br>（2012·7）B解析：由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱 锥的高
为3，故其体积为
633
=9，故选B.
（2012·8） B解析：设求圆O的半径为R，则
R1
2
(2)
2
3
，
V
11
32
4

R
3
43

.
3
（2011·8）D解析：由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一 个的三棱锥,后面是一个圆锥，选D.
二、填空题
（2017·15）14π解析：球的直 径是长方体的对角线，所以
2R=3
2
+2
2
+1
2
=14，S4

R
2
14

.

（2013·15）
24

解析：设正四棱锥的高为
h
，则
V(3)
2
h
1
3
32
32
. 则底面正方 形，解得高
h
2
2
的对角线长为
236
，所以
OA(
32
)
2
(
6
)
2
6，所以球的表面积为
4

(6)
2
24

.
22

r3
r3
3
（2011·16）解析：由圆锥底面面 积是这个球面面积的，得 所以，则小圆锥的高


2
16
4
R16
R2
3R
为
R
，大圆锥的高为，所以比值为< br>1
.
2
2
3
2

三、解答题
（2017·18）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，< br>AB=BC=
∠BAD=∠ABC=90°.
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PAD面积为
27
，求四棱锥P-ABCD的体积.

（2017·18）解析：（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90º，所
以BCAD . 又
BC面PAD
，故BC平面PAD .
（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由
AB=BC=AD
B
A
C
D
P
1
AD
，
2
1
2< br>及BCAD，
知四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直 于底面ABCD，平面PAD
∩平面ABCD=AD，所以CM⊥面PAD，因为
PM面PA D
，所以CM⊥PM.设BC=x，
CM底面ABCD
，
则CM=x，CD2x，PM3x
，PC=PD=x。取得中点，连结，因为△PCD的面积为
27
，所以
114
2xx27
，解得x=-2（舍去）x=2，于是AB= BC=2，AD=4，
PM=23
，所以四棱锥
22
12(24)
P-ABCD的体积
V23

43
错误！未找到引用源。.
32

（2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、 F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD
于点H，将△DEF沿EF折到△D´EF的位置.
（Ⅰ）证明：
ACHD'
；

D

5
（ Ⅱ）若
AB5,AC6,AE,OD'22
，求五棱锥D´
—
4ABCEF体积.
（2016·19）解析：（I）由已知得，
ACBD,ADCD .
又由
AECF
A
B
ED
O
H
F
AECF
，故
ACEF.
由此得
EFHD,EFHD

，所

ADCD
以
ACHD

.

得< br>（II）由
EFAC
得
OH

AE

1.
DOAD4

由
AB5,AC6
得
DOBO AB
2
AO
2
4.
所以
C
D

A
B
ED
OH1,D

HDH3.

于是
OD

2
OH
2
(22)
2
12
9D

H
2
,

O
H
F
C
CHD
故
OD

OH.
由（I）知
A

，又
ACBD,BDHD

H
，所以
AC
平面
BHD

,
于是
ACOD

.
9
又由
OD

OH,ACOHO
，所以，
OD


平面
ABC.
又由
EF

DH< br>得
EF.
五边形
ABCFE
的
2
ACDO
面积
S

169232
11969
683.
所以五棱锥
D'ABCEF
体积
V22.

2224
342

（2015·19）如图，长方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中AB=16，BC =10，AA
1
=8，点E，F分别在A
1
B
1
，D
1
C
1
上，A
1
E=D
1
F=4，
过点 E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
（2015·19）解析：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：


（ Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A
1
E=4，EB
1
=12，EM= AA
1
=8.因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH
2
EM
2
6,AH10,HB6
.因为长方体被平 面

分为两个高为10的直棱柱，所以其
97
体积的比值为（也正确）.
79

（2014·18）如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的点.
（Ⅰ）证明：PB 平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=
3
，三棱锥P- ABD的体积V=
3
，求A点到平面
4
PBD的距离.



（2014·18）解析：（Ⅰ）设AC的中点为O， 连接EO. 在三角形PBD中，中位线EOPB，且EO在平面
AEC上，所以PB平面AEC.
< br>（Ⅱ）∵AP=1，
AD3
，
V
P-ABD

11 3
333
，，∴
AB
，作AH⊥PB
V
P-ABD=PAABAD
=AB=
322
464
PAAB313
，

PB13
角PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平 面PBC．又
AH
故A点到平面PBC的距离
313
.
13



BB
1
的中点. （2013·18） 如图，直三棱柱
ABCA
1
BC
11
中，
D
，< br>E
分别是
AB
，
（Ⅰ）证明：
BC
1

平面
ACD
；
1
（Ⅱ）设
AA
1
ACCB 2
，
AB22
，求三棱锥
CA
1
DE
的体积 .

A
1
B
1
A
D
B
E
C
1
C

（2013·18）．解析 ：（Ⅰ）连结AC
1
交A
1
C于点F，则F为AC
1
中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC
1
∥DF.
因为DF⊂平面A
1
CD， BC
1

平面A
1< br>CD，所以BC
1
∥平面A
1
CD.
（Ⅱ）因为ABC－A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，所以AA
1
⊥C D. 由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA
1
∩AB＝A ，于是CD⊥平面ABB
1
A
1
. 由AA
1
＝AC＝CB ＝2，
AB22
得
∠ACB＝90°，
CD2
，
A1
D6
，
DE3
，A
1
E＝3，故A
1< br>D
2
＋DE
2
＝A
1
E
2
，
即DE⊥A
1
D. 所以
V
C－A
1
DE
＝


（2012 ·19）如图，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直 底面，∠ACB=90°，
1
ACBCAA
1
，D是棱AA
1< br>的中点.
2
(Ｉ) 证明：平面BDC
1
⊥平面BDC；
A
1

（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

D
C
B
11
632=1
.
32
C
1

B
1

A


（2012·19）解析：（Ⅰ）由题设知BC⊥CC
1
，BC⊥AC，C C
1
∩AC=C,∴BC⊥面ACC
1
A
1
，又∵DC1

面ACC
1
A
1
，
∴DC
1⊥BC，由题设知∠A
1
DC
1
=∠ADC =45º，∴∠CDC
1
=90º,即DC
1
⊥DC，又∵DC∩BC=C, ∴DC
1
C
1

⊥面BDC，∵DC
1

面BDC
1
，∴面BDC⊥面BDC
1
.
B
1
（Ⅱ）设棱锥B-DACC
1
的体积为
V
1
，
AC
=1，由题意得，
A
1

1121
V
1
11
，由三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积
V1
，∴
322
(VV
1
):V
11:1
，∴平面BDC
1
分此棱柱为两部分体积之比为1:1.


D
C
A
B
（2011·18）如图，四棱锥P< br>-
ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面AB CD.
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD=1，求棱锥 D
-
PBC的高.



（2011·18）解析：（Ⅰ ）因为∠DAB=60º，AB=2AD，由余弦定理得
BD3AD
，从而BD
2< br>+AD
2
= AB
2
，
故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD ，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD.
（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I ）知BC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE

平面PBD，故D E⊥BC，所以DE⊥平面PBC，由题设知PD=1，则BD=
3
, PB=2，由DE·P B=PD·BD
得DE=
33
，即棱锥D
-
PBC的高为.
22