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辽宁省高考数学考试(理科)

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2

2011年辽宁省高考数学试卷（理科）


一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1

2．（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相 等，若N∩C
1
M=∅，则M∪N=（ ）
A．M B．N C．I D．∅

3．（2011•辽宁）已知F是抛物线y
2
=x的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y
轴的距离为（ ）


4．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos
2
A=a则=（ ）
A． B．1 C． D．
A．2 B．2 C． D．

5．（2011•辽宁）从1.2.3.4 .5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均
为偶数” ，则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．

6．（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（ ）



A．8 B．5 C．3 D．2
7．（2011•辽宁）设sin（
A．﹣
+θ）=，则sin2θ=（ ）
C． D． B．﹣

8．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底 面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

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A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
9．（2011•辽宁）设函数f（x）=


A．[﹣1，2] B．[0，2]
则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
C．[1，+∞） D．[0，+∞）
10．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2

11．（2011•辽宁）函数f （x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）

12．（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC
的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2 011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为 _________ ．

14．（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位 ：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入
x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调 查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方
程可知，家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加 _________ 万元．

15．（2011•辽宁）一 个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图
是一个矩形， 则这个矩形的面积是 _________ ．

16．（2011•辽宁）已知函数（fx）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜

），y=f（x）的部分图象如图，则（f）= _________ ．
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三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（2011•辽宁）已知等差数列{a
n
}满足a
2
=0，a
6
+a
8
=﹣10
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（II）求数列{

18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=P D．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．
}的前n项和．


19．（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物 ，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间
试验．选取两大块地，每大块地分成 n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地
种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷 产量（单位：
kghm
2
）如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果 ，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x
1
，x
2
，…，x< br>a
的样本方差s
2
=[（x
1
﹣）
2
+（x
1
﹣）
2
+…+（x
n
﹣）
2
]，其中为 样本平均数．

20．（2011•辽宁）如图，已知椭圆C
1
的中心在原 点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C
2
的短轴为MN，
且C
1，C
2
的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C
1
交于两点，与C
2
交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、
B、C、D．
（Ⅰ）e=，求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
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21．（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax
2
+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）若函数y= f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x
0
，证明：f′（ x
0
）＜0．

22．（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同 一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．


23．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方 程为
为
（φ为参数），曲线C
2
的参数方程
（a＞b＞0，φ为参数 ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C
1
，C
2< br>时，这两个交点重合． 各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=
（I）分 别说明C
1
，C
2
是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当 α=时，l与C
1
，C
2
的交点分别为A
1
，B
1
，当α=﹣时，l与C
1
，C
2
的交点为A
2
，B
2
，求四边形
A
1
A
2
B
2
B< br>1
的面积．

24．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|
（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集．

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2011年辽宁省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，
A．2 B． C．
考点：复数代数形式的混合运算。
分析：根据复数的运算法则，我们易将
D．1
化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一
，则a=（ ）
个关于a的方程，解方程即可得到a的值．
解答：解：∵
∴||=|1﹣ai|=
=1﹣ai
=2
即a
2
=3
由a为正实数
解得a=
故选B
点评：本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题
的关键．

2．（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不 相等，若N∩C
1
M=∅，则M∪N=（ ）
A．M B．N C．I D．∅
考点：交、并、补集的混合运算。
专题：图表型。
分析：利用韦恩图分别 画出满足题中条件：“N∩C
1
M=∅，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合 之间
的关系即可选出正确的选项．
解答：解：利用韦恩图画出满足题意的集合．
由图可得：
M∪N=M．
故选A．

点评：本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．

3 ．（2011•辽宁）已知F是抛物线y
2
=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF| +|BF|=3，则线段AB的中点到y
轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
考点：抛物线的定义。
专题：计算题。
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分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方
程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点 到y轴的距离．
解答：解：∵F是抛物线y
2
=x的焦点
F（）准线方程x=
设A（x
1
，y
1
） B（x
2
，y
2
）
∴|AF|+|BF|=
解得
=3
∴线段AB的中点横坐标为
∴线段AB的中点到y轴的距离为
故选C
点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距 离转化为到准线的距离．

4．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos
2
A=a则=（ ）
A．2 B．2 C． D．
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：利用正弦定理把题设等式中的边转 化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理
求得a和b的比．
解答：解：∵asin AsinB+bcos
2
A=a
∴由正弦定理可知 sin
2
AsinB+sinBcos
2
A=sinA
∴sinB（sin
2
A+cos
2
A）=sinB=sinA
∴==
选D
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．

5．（2011•辽宁）从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”， 事件B=“取到的2个数均
为偶数”，则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．
考点：条件概率与独立事件。
专题：计算题。
分析：用列举法求出事件A= “取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），
根据条件概 率公式P（B|A）=即可求得结果．
解答：解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本 事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），
∴p（A）=，
事件B=“ 取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=
∴P（B|A）=．

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故选B．
点评：此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．

6．（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（ ）

A．8 B．5 C．3 D．2
考点：循环结构。
专题：图表型。
分析：根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体 ，依次类推，当k=4，不满足条件k＜4，
则退出执行循环体，求出此时p的值即可．
解答：解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3
故选：C
点评：根据 流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分
析 出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．

7．（2011•辽宁）设sin（
A．﹣
+θ）=，则sin2θ=（ ）
C． D． B．﹣
考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
分析：根 据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本
关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．
解答：解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
点评：此题考查学生灵活运用二 倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求
值，是一道基础题．

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8．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正 确的是（ ）

A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
考点：直线与平面垂直的性质。
专题：综合题；探究型。
分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂 线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理
易证AB∥平面SCD，，根据直线与平面所成角的 定义，可以找出∠SAD是SA与平面SBD所成的角，∠SCD是
SC与平面SBD所成的角，根据三 角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∠SAD是SA与平面SBD所成的角，∠SCD是SC与平面SBD所成的角，
而△SAD≌△SBD，
∴∠SAD=∠SCD，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
点评：此题是个中档题．考查线面 垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所
成的角等问题，综合性强 ．

9．（2011•辽宁）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
考点：对数函数的单调性与特殊点。
专题：分类讨论。
分析：分类讨论：①当x≤ 1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
解答：解：当x≤1时，2
1x
≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
﹣
当x＞1时，1﹣log
2
x≤2的可变形为x≥，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选D．
点评：本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．

10．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C．
考点：平面向量数量积的运算；向量的模。

D．2
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专题：计算题；整体思想。
分析：根据
的最大值，只需求
解答：解：∵即
又∵
∴
而
=3﹣2
∴
=
≤3﹣2=1．
的最大值为1．
﹣+≤0，
=0，
及为单位向量，可以得到，要求
的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．
，
为单位向量，且
，

故选B．
点评：此题是个中档 题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解
决，考查学 生灵活应用知识分析、解决问题的能力．

11．（2011•辽宁）函数f（x）的定义域 为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）
考点：其他不等式的解法。
专题：函数思想。
分析：把所求的不等式的右边移项到 左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由
f（﹣1）=2出F（ ﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R
上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．

12 ．（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30 °，则棱锥S﹣ABC
的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：设球心为点O，作AB中 点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求
出S
△SC D
，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．
解答：解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
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所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===
==
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S
△SCD
，
因为：SD=，CD=
=
，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD< br>2
+CD
2
﹣SC
2
）
=
=（+﹣16）
则：sin∠SDC==
=3
=
由三角形面 积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC=
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB• S
△SCD
=
故选C
点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法 ，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C：
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据：﹣=1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求 出焦点坐标，根据双曲线的定义
﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为 2 ．
可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．
解答：解：∵﹣=1，C的焦距为4，
∴F
1
（﹣2，0），F
2
（2，0），
∵点（2，3）在双曲线C上，
∴2a=
∴a=1，
∴e==2．
故答案为2．
点评：此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同 时也考查了学生的运算能力．

=2，
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14．（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x （单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入
x与年饮食支出y具有线性相关关系， 井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方
程可知，家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加 0.254 万元．
考点：线性回归方程。
专题：计算题。
分析：写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加 1万元，
年饮食支出平均增加的数字，得到结果．
解答：解：∵对x的回归直线方程
∴
∴
=0.254（x+1）+0.321，
﹣=0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254，
．
故答案为：0.254
点评：本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当 自变量取某一个数值时对应的y的值，注意
本题所说的是平均增，注意叙述正确．

15．（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示， 左视图
是一个矩形，则这个矩形的面积是 2 ．
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：由题意求出正三棱柱的侧棱长，然后求出左视图矩形的边长，即可求出左视图的面积．
解答：解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，，所以a=2，底面三角形的高为：，所以左视
图 矩形的面积为：2×=2．
故答案为：2．
点评：本题是基础题，考查正三棱柱的三视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．

16．（2011•辽宁）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜） ，y=f（x）的部分图象如图，则f（）= ．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。
专题：计算题；作图题。
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分析：根 据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（
确定A的值，求出函数的解析式，然 后求出f（
解答：解：由题意可知T=，所以ω=2，
，0）所以0=Atan（
）则f（
+φ）所以φ=
）=tan（
，
）=
）即可．
，0）求出φ的值，图象经过（0.1）
函数的解析式为： f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（
图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以A= 1，所以f（x）=tan（2x+
故答案为：
点评：本题是基础题，考查正切函数的图象的 求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．

三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（2011•辽宁）已知等差数列{a
n
}满足a
2
=0，a
6
+a
8
=﹣10
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和．
考点：等差数列的通项公式；数列的求和。
专题：综合题。
分析：（I）
根据等差数列的通项公式化简a
2
=0和a
6
+a
8
=﹣ 10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列
的首项和公差，根据首项和公差写出 数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①， 然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②
后，利用a
n
的通项公式及等比数 列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．
解答：解：（I）设等差数列{a
n
}的公差为d，由已知条件可得，
解得：，
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2﹣n；
（II）设数列{}的前n项和为S
n
，即S
n
=a
1++…+①，故S
1
=1，
=++…+②，
当n＞1时，①﹣②得：
=a
1
++…+﹣
=1﹣（++…+

）﹣
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=1﹣（1﹣）﹣=，
所以S
n
=，
综上，数列{}的前n项和S
n
=． 点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．

18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥Q A，QA=AB=PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

考点：与二面角有关的立体几何综合题 ；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向
量求平面间的夹角。
专题：计算题；证明题。
分析：首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣
xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出则、、的坐标 ，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，
PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可 得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ 法向量，进而
求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
解答：解： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则
所以
=（1，1，0），
•=0，•
=（0，0，1），
=0；
=（1，﹣1，0），
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；
设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
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则即，
因此可取=（0，﹣1，﹣2）；
设是平面PBQ的法向量，则，
可取=（1，1，1），
所以cos＜，＞=﹣，
． 故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣

点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂 直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的
坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的 交点处，这样才有助于下一步的计算．

19．（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作 物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间
试验．选取两大块地，每大块地分 成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地
种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷 产量（单位：
kghm
2
）如下表：
品种甲
品种乙
403
419
397
403
390
412
404
418
388
408
400
423
412
400
406
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷 产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x
1
，x
2
，…，x
a
的样本方差s
2
=[（x
1
﹣）
2
+（x
1
﹣）
2
+…+（x
n
﹣）
2
]，其中为样本平均数．
考点：离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征。
专题：计算题；应用题。
分析：（I）根据题意得到变量X的可能取值是0，1，2，3，4 ，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，列出分
布列，算出变量的期望值．
（II）根据 条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把
两 个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差< br>异不大，应选择种植品种乙．
解答：解：（I）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
P（X=0）==
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P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=，
P（X=4）=
∴X的分布列为


∴X的期望是
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数
=400，
方差是
品种乙每公顷的产量的样本平均数
=412，
方差是=56
=57.25

有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，
且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．
点评：本题考查离散型随机变量的分 布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且针对于所得的结果进行比较，
本题考查利用概率统计知 识解决实际问题．

20．（2011•辽宁）如图，已知椭圆C
1
的中心 在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C
2
的短轴为MN，
且C
1
，C
2
的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C
1
交于两点，与C< br>2
交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、
B、C、D．
（Ⅰ）e=，求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
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考点：圆锥曲线的综合。
专题：计算题；综合题。
分析：（Ⅰ）先利用离心率相同 ，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性
求出|BC|与|A D|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）BD∥AN，即是BO的斜率k
BO< br>与AN的斜率k
AN
相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利
用 |t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．
解答：解：（I）因为C
1
，C
2
的离心率相同，
故依题意可设，
设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C
1
，C
2
的方程联立，
求得
当，
，（4分）
，分别用y
A
，y
B
表示的A，B的纵坐标，
可知（6分）
（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，
BO∥AN当且仅当BO的斜率k
BO
与AN的斜率k
AN
相等，
即，
解得
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以，解得
所以当
当
时，不存在直线l，使得BO∥AN；
时，存在直线l，使得BO∥AN．
点评：本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充 分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，
减少了变量的引入，把问题变的简单化．

21．（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax
2
+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
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（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）若函数y= f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x
0
，证明：f′（ x
0
）＜0．
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想。
分析：（I）求导，并判断 导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），利用导
数求 函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点 的横坐
标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．
解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）==﹣，
①若a＞0，则由f′（x）=0，，得x=，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x）， 则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）==，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，
不妨设A（x
1
，0），B（x
2
，0），0＜x
1
＜x
2
，
则0＜x
1
＜＜x
2
，
由（II）得，f（﹣x
1
）﹣f（
从而f（x）在（，+∞）单调递减，∴
）＞f（x
1
） ﹣f（x
2
）=0，
﹣x
1
＜x
2
，，于是x
0
=，
由（I）知，f′（ x
0
）＜0．
点评：此题是个难题．考查利用导数研 究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．
考查了学生观察、推理以及创 造性地分析问题、解决问题的能力．

22．（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点 在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．
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考点：圆內接多边形的性质与判定。
专题：证明题。
分析：（I）根据两条边相等 ，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻
的一个内角，高考 等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．
（II）根据第一问做出的边 和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性
质定理，等量代换 ，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．
解答：解：（I）因为EC=ED，
所以∠EDC=∠ECD
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA
故∠ECD=∠EBA，
所以CD∥AB
（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，
因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四点共圆

点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直 线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，
考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．

23．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方 程为
为
（φ为参数），曲线C
2
的参数方程
（a＞b＞0，φ为参数 ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C
1
，C
2< br>时，这两个交点重合． 各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=
（I）分 别说明C
1
，C
2
是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当 α=时，l与C
1
，C
2
的交点分别为A
1
，B
1
，当α=﹣时，l与C
1
，C
2
的交点为A
2
，B
2
，求四边形
A
1
A
2
B
2
B< br>1
的面积．
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考点：参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合。
分析：（I）有曲线C1
的参数方程为（φ为参数），曲线C
2
的参数方程为（a＞b＞0，φ为参时，这两个交点重数），消去参数的C
1
是圆，C
2
是椭圆，并利用．当 α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=
合，求出a及b．
（II）利用C
1< br>，C
2
的普通方程，当α=时，l与C
1
，C
2
的交 点分别为A
1
，B
1
，当α=﹣时，l与C
1
，C
2
的交点
为A
2
，B
2
，利用面积公式求出面积．
解答：解：（Ⅰ）C
1
是圆，C
2
是椭圆．
当α=0时， 射线l与C
1
，C
2
交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
因为这两点间的距离为2，所以a=3
当时，射线l与C
1
，C
2
交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），
因为这两点重合
所以b=1． < br>（Ⅱ）C
1
，C
2
的普通方程为x
2
+y
2
=1和
当时，射线l与C
1
交点A
1
的横坐标为
．
．
，
与C
2
交点B
1
的横坐标为
当时 ，射线l与C
1
，C
2
的两个交点A
2
，
B2
分别与A
1
，B
1
关于x轴对称，因此四边形A
1< br>A
2
B
2
B
1
为梯形．
故四边形A
1
A
2
B
2
B
1
的面积为．
点评：此 题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利
用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．

24．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|
（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集．
考点：绝对值不等式的解法。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）=，然后即可证明﹣3≤f（x）≤3 < br>（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=
当2＜x＜5时，﹣3≤2x﹣7≤3
所以，﹣3≤f（x）≤3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当x≤2时，f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集为空集；
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当2＜x＜5时，f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤5}
当x≥5时，f（x）≥x
2
﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}
点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．

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参与本试卷答题和审题的老师有：
涨停；371146915；qiss；394 782；邢新丽；sllwyn；庞会丽；wdnah；Mrwang；danbo7801；minqi5；z hwsd。（排名
不分先后）
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2012年4月18日
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