国际电汇-奠基仪式主持词

平面
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里 所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出
来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？
之后教师加以肯定，解 说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成
0
一个平行四边形，锐角画 成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）


D C


α

A B


平面通常用希腊字母α、β、γ等表示 ，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四
边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表 示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时 ，应画成虚线或不画（打
出投影片）


β
β




α

α


·B


课本P41 图 2.1-4 说明
·A

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
α
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B

α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上 的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，
用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

B

α
·

·
L
A∈α

B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
·

α
·

C
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
P
α

·

L

空间中直线与直线之间的位置关系
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：



2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

（投影）





让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
0
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把
a'与b'所成的锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：
① a'与b'所成的 角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点
O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。





空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种
位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为


α
L



α β
β


α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。





空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试
一、选择题
1. a,b是两条异面直线， （ ）
A．若
P
为不在
a
、
b
上的一点，则 过
P
点有且只有一个平面与
a
，
b
都平行
B．过直线
a
且垂直于直线
b
的平面有且只有一个
C．若
P
为不在
a
、
b
上的一点，则过
P
点有且 只有一条直线与
a
，
b
都平行
D．若
P
为不在< br>a
、
b
上的一点，则过
P
点有且只有一条直线与
a< br>，
b
都垂直
2. a、b是异面直线，下面四个命题：
①过a至 少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至少有一条直线与a、

b都垂直；④至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直
线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )
A. 90° B .60° C. 45° D.30°
4、下面四个命题：
①
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等
②一个平面内两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行
③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
1. 已知直线m，n，平面

,

，给出下列命题：
①若
m

,m

,则



；②若
m

,m

,则



；
③若m

,m

,则



；④若异面 直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其
中正确的命题的题号为 _______
2. 设
l、m、n
是三条不同的直线，

、

、

是三个不同的平面，下面有四个命题：
①
若l∥

,

∥

,则l∥

；
②
若l∥n,m∥n,则l∥m；

③
若



,l∥

,则l

；
④
若l

,m

,



, 则lm.

其中假命题的题号为__________
3. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：
①AB与EF所在的直线平行 ；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；
④MN与CD所在的直线互相垂 直.其中正确的命题是_____________
三、解答题
D
1. 下列 五个正方体图形中，
l
是正方体的一条对角线，点
M
，
N
，
P
分别为其所在棱的中点，求能得出
l
⊥面
MNP
的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)
F C B
E N A
M

2. 如图，正三棱柱ABC —A
1
B
1
C
1
的底面边长的3，侧棱AA
1=
33
,
D是CB延长线上一点，
2
且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC
1
平面AB
1
D；
（Ⅱ）求二面角B
1
—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
—ABB
1
的体积.















3. 如图，已知四棱锥
S
－
ABCD
的底 面
ABCD
是正方形，
SA
⊥底面
S
ABCD
，
E
是
SC
上的一点.
(1)求证：平面
EBD
⊥平面
SAC
；
E
< br>(2)设
SA
＝4，
AB
＝2，求点
A
到平面
SBD
的距离；

D

A


C

B











答案：
一、1.D 2.A 3.C 4.B
二、1.③、④ 2.①、③ 3.②、④
三、1. 为了得到本题答案， 必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，
l
位置固
定，截面MNP变动，< br>l
与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三

条线中，若有一条不垂直
l
，则可断定
l
与面MNP不垂直；若有两条与
l
都垂直，则可断定
l
⊥面MNP；若有l
的垂面∥面MNP，也可得
l
⊥面MNP．
解法1 作正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面
BA
1
D、EFGHKR和C B
1
D
1
都是对角线
l
(即 AC
1
)的垂面．
对比图①，由MN∥BA
l
，MP∥BD，知面MNP∥面BA
l
D，故得
l
⊥面MNP．
对比图②，由MN与面CB
1
D
1
相交，而过交点且与
l
垂直的直线都应在面CB
l
D< br>l
内，所以
MN不垂直于
l
，从而
l
不垂直于面MN P．
对比图③，由MP与面BA l D相交，知
l
不垂直于MN，故
l
不垂直于面MNP．
对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA
1
D，故
l
⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故
l
⊥面MNP．
综合得本题的答案为①④⑤．
解法2 如果记正方体对角线
l
所在的对角截面为

．各图可讨论如下：
在图①中，MN,NP在平面

上的射影为同一直线，且与
l
垂直，故 l
⊥面
MNP．事实上，还可这样考虑：
l
在上底面的射影是MP的垂线 ，故
l
⊥MP；
l
在
左侧面的射影是MN的垂线，故
l⊥MN，从而
l
⊥面 MNP．
在图②中，由MP⊥面
，可证明MN在平面

上的射影不是
l
的垂线，故
l
不 垂直于MN．从而
l
不垂直于面MNP．
在图③中，点M在
上的射影是
l
的中点，点P在

上的射影是上底面的内点，知MP
在

上的射影不是
l
的垂线，得
l
不垂直于面 MNP．
在图④中，平面

垂直平分线段MN，故
l
⊥MN．又l
在左侧面的射影(即侧面正方形的
一条对角线)与MP垂直，从而
l
⊥ MP，故
l
⊥面 MNP．
在图⑤中，点N在平面

上的 射影是对角线
l
的中点，点M、P在平面

上的射影分别
是上、下底 面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且
l
与这一直线垂直．从而
l
⊥
面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
2. （Ⅰ）证明：CDC< br>1
B
1
，又BD=BC=B
1
C
1
， ∴ 四边形BDB
1
C
1
是平行四边形， ∴BC
1
DB
1
.
又DB
1

平面AB
1
D，BC
1

平面AB
1
D，∴直线BC
1
平面AB
1
D.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB
1
，[来源:]
∵B
1
B⊥平面ABD，∴B
1
E⊥AD ，
∴∠B
1
EB是二面角B
1
—AD—B的平面角，[来源:]
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
BE
1
AC
3
.

22
在Rt△B
1
BE中，
3
3
B
1< br>B
2
tanB
1
BE3.
∴∠B
1
EB=60°．
3
BE
2

即二面角B
1
—AD—B的大小为60°
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC 于F，∵B
1
B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB
1
C
1C，
∴AF⊥平面BB
1
C
1
C，且AF=
331
33,
∴
V
CABB
V
ABBC< br>S

BBC
AF

11111
111
2 2
3
11333327
即三棱锥C
1
—ABB
1
的 体积为
27

(3).
.
32228
8
解法二：在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，
S
ABB
S
AAB
V
C
1
ABB
1
V
C
1
AA
1
B
1
V
A A
1
B
1
C
1

1
1
1


113
2
33 27
即三棱锥C
1
—ABB
1
的体积为
27
S
A
1
B
1
C
1
AA
1
(43).
.
33428
8
S
E

A
B

O

C

D

13. < br>(1)证明：∵
SA
⊥底面
ABCD
，
BD
底面< br>ABCD
，∴
SA
⊥
BD

∵
ABCD
是正方形，∴
AC
⊥
BD

∴
BD
⊥平面
SAC
，又
BD
平面
EBD

∴平面
EBD
⊥平面
SAC
.
(2)解：设
AC
∩
BD
＝
O
，连结
SO
，则
SO⊥
BD

由
AB
＝2，知
BD
＝22
SO
＝
SA
2
＋
AO
2
＝4
2
＋(2)
2
＝32
11
∴
S
△
SBD
＝
BD
·
SO
＝·22·32＝6
22
11
令点< br>A
到平面
SBD
的距离为
h
，由
SA
⊥平面
ABCD
, 则·
S
△
SBD
·
h
＝·< br>S
△
ABD
·
SA

33
144
∴6
h
＝·2·2·4 
h
＝ ∴点
A
到平面
SBD
的距离为
233