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2019
年河南省六市联考高考数学二模试卷（文科）



一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60分
.
在每个小题
给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求
. 1
．已知集合
A=
{
x
|
x
2
﹣2x
﹣
3
≤
0
}，
B=
{
x
|
y=ln
（
2
﹣
x
）}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．（
1
，
3
）
B
．（
1
，
3
]

2
．设复数
z=
A
．﹣
1
C
．[﹣
1
，
2
）
D
．（﹣
1
，
2
）

（
i
为虚数单位），则
z
的虚部是（ ）

B
．
1 C
．﹣
i D
．
i
3
．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A
．
y= B
．
y=
﹣
x
+

C
．
y=
﹣
x
|
x
|
D．
y=
4
．如图，
G
，
H
，
M
，
N
分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则
表示
GH
，
MN
是异面直线的图形的序号为（ ）


A
．①②
B
．③④
C
．①③
D
．②④

5
．以 （
a
，
1
）为圆心，且与两条直线
2x
﹣
y
+
4=0
与
2x
﹣
y
﹣
6=0
同时相切的圆的标准方程为（ ）

22
A
．（
x
﹣1
）
2
+（
y
﹣
1
）
2
=5 B
．（
x
+
1
）
2
+（
y
+1
）
2
=5 C
．（
x
﹣
1
）+
y=5


D
．
x
2
+（
y
﹣
1
）
2
=5
第1页（共30页）

6
．函数
y=
的图象大致为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
7
．若不等式，所表示的平面区域内存在点（
x
0
，
y
0
），使
得
x
0
+
ay
0
+
2< br>≤
0
成立，则实数
a
的取值范围是（ ）

A
．
a
≤﹣
1 B
．
a
＜﹣
1 C
．
a
＞
1 D
．
a
≥
1
8< br>．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[
1
，
8
]上，则输入的实
数
x
的取值范围是（ ）


A
．[
0
，
2
）
B
．[
2
，
7
]
C
．[
2
，
4
]
D
．[
0
，
7
]

9
．某同学用
“
随机模拟方法
”
计算曲线
y=lnx
与直线
x=c
，
y=0
所围成
的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了
10
个在区间[
1
，
e
]上
的均匀随机数
x
i
和
10
个区间[
0
，
1
]上的均匀随机数
y
i
（
i
∈
N*
，
1
≤
i
≤10
），其数据如下表的前两行．

x 2.50 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22
第2页（共30页）

1.01 1.90 1.22
y
lnx
0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10
0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80
0.90 0.01
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）

A
．（
e
﹣
1
）
B
．（
e
﹣
1
）
C
．（
e
+
1
）
D
．（
e
+
1
）

10
．《九章算术》是 我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“
今有五
人分五钱，令上二人所得与下三人等 ．问各得几何．
”
其意思为
“
已知
甲、乙、丙、丁、戊五人分
5
钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人
所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列．问五人各得
多少钱？
”
（
“
钱
”
是古代的一种 重量单位）．这个问题中，甲所得为
（ ）

A
．钱
B
．钱
C
．钱
D
．钱

cosx
（< br>x
∈
R
），先将
y=f
（
x
）的图象上所< br>11
．己知函数
f
（
x
）
=sinx
+有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上
所有点向右平行移动
θ< br>（
θ
＞
0
）个单位长度，得到的图象关于直线
x=
A
．
对称，则
θ
的最小值为（ ）

B
．
C
．
D
．

的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
12
．已知双曲线
Γ
1
：
椭圆
Γ
2
：
=1
的离心率为
e< br>，直线
MN
过
F
2
与双曲线交于
M
，
=e
，则双曲线
Γ
1
的两条
N
两点，若
cos< br>∠
F
1
MN=cos
∠
F
1
F
2< br>M
，则
第3页（共30页）

渐近线的倾斜角分别为（ ）

A
．
30°
或
150°


二、填空题 ：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13
．向量，若，则
λ=


．

=
，
B
．
45°
或
135° C
．
60°
或
120° D
．
15°
或
165°
14
．已知{
a
n
}是首项为
32
的等比数列，
S
n
是其前
n项和，且
则数列{|
log
2
a
n
|}前
10
项和为

．

15
．曲线在点
M
（

，
0
）处的切线的斜率为

．
16
．如图 ，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实线及粗虚线画出的是
某多面体的三视图，则该多 面体外接球的表面积为

．




三、 解答题：本大题共
5
小题，共
70
分
.
解答应写出必要的文 字说明
或推理、验算过程
.
17
．
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，

已知在△
ABC
中，角
A
，且
asinB
+
bcosA=0
．
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
）若，求△
ABC
的面积．

18
． 已知某中学联盟举行了一次
“
盟校质量调研考试
”
活动，为了解本
次 考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分
第4页（共30页）

100
分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[
50
，
100
]内作为样本
（样本容量为
n
）进行统计，按照[
50
，
60
），[
60
，
70
），[
70
，
80
），
[
80
，
90
），[
90
，
100
]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分
60
）
1 00
]的数据）

数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[
50
，， [
90
，．

（
1
）求样本容量
n
和频率 分布直方图中
x
，
y
的值；

（
2
）在选 取的样本中，从成绩在
80
分以上（含
80
分）的学生中随
机抽取< br>2
名学生参加
“
升级学科基础知识竞赛
”
，求所抽取的
2
名学生
中恰有
1
人得分在[
90
，
100]内的概率．

19
．如图，
AB
是圆
O
的直 径，点
C
在圆
O
上，矩形
DCBE
所在的平
面垂直 于圆
O
所在的平面，
AB=4
，
BE=1
．

（
1
）证明：平面
ADE
⊥平面
ACD
；

（
2
）当三棱锥
C
﹣
ADE
的体积最大时，求点< br>C
到平面
ADE
的距离．


20
．在平面 直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：
心率为，右焦点
F
（
1
，
0
）．

（
Ⅰ
）求椭圆
C
的方程；

第5页（共30页）

+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离

（
Ⅱ
）点
P
在椭圆
C
上， 且在第一象限内，直线
PQ
与圆
O
：
x
2
+
y
2
=b
2
相切于点
M
，且
OP
⊥OQ
，求点
Q
的纵坐标
t
的值．


21
．已知函数
f
（
x
）
=
，
g
（
x
）
=
﹣﹣
1
．

（
Ⅰ
）求函数
f
（
x
）的单调区间；
< br>（
Ⅱ
）对一切
x
∈（
0
，+∞），
2f（
x
）≥
g
（
x
）恒成立，求实数
m
的
取值范围；

（
Ⅲ
）证明：对一切
x
∈（
0
，+∞），都有
lnx
＜


请考生在第
22
、
23
两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所
做的第一题给分；作答 时，请用
2B
铅笔将答题卡上相应的题号涂
黑．[选修
4-4
：参数 方程与极坐标系]

22
．在极坐标系中，曲线
C
的方程为
ρ
2
=
，点
R
（
2
，）．
﹣成立．

（
Ⅰ
）以极点为原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
把曲线
C
的极坐标方程化为直角坐标方程 ，
R
点的极坐标化为直角坐
标；

（
Ⅱ
）设
P
为曲线
C
上一动点，以
PR
为对角线的矩形
PQRS< br>的一边
垂直于极轴，求矩形
PQRS
周长的最小值，及此时
P
点的直角坐标．



第6页（共30页）

[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．设函 数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
a
|，
a
∈
R
．

（
Ⅰ
）当
a=2
时，解不等式：
f
（
x
）≥
6
﹣|
2x< br>﹣
5
|；

（
Ⅱ
）若关于
x
的不等 式
f
（
x
）≤
4
的解集为[﹣
1
，
7
]，且两正数
s
和
t
满足
2s
+
t= a
，求证：．




第7页（共30页）

参考答案与试题解析



一、选择题： 本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分
.在每个小题
给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求
.
1
．已知 集合
A=
{
x
|
x
2
﹣
2x
﹣< br>3
≤
0
}，
B=
{
x
|
y=ln< br>（
2
﹣
x
）}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．（
1
，
3
）
B
．（
1
，
3
]
C
．[﹣
1
，
2
）
D
．（﹣
1
，
2
）

【考点】
1E
：交集及其运算．

【分析】化简集合
A、
B
，求出
A
∩
B
即可．


【解答】解：∵集合
A=
{
x
|
x
2
﹣
2x
﹣
3
≤
0
}
=
{
x
|﹣1
≤
x
≤
3
}
=
[﹣
1
，< br>3
]，
B=
{
x
|
y=ln
（
2< br>﹣
x
）}
=
{
x
|
2
﹣
x
＞
0
}
=
{
x
|
x
＜
2
}
=
（﹣∞，
2
）；

∴
A
∩< br>B=
[﹣
1
，
2
）．

故选：
C
．



2
．设复数
z=
A
．﹣
1
（
i
为虚数单位），则
z
的虚部是（ ）

B
．
1 C
．﹣
i D
．
i
【考点】
A2
：复数的基本概念．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数
z=
是﹣
1
．

故选：
A
．

第8页（共30页）

====
﹣
i
，则
z
的虚部

3
．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A
．
y= B
．
y=
﹣
x
+

C
．
y=
﹣
x
|
x
|
D．
y=
【考点】
3E
：函数单调性的判断与证明；
3K
：函数奇偶性的判断．

【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及< br>奇函数的定义，分段函数单调性的判断方法便可判断每个选项的正
误，从而找出正确选项．

【解答】解：
A.
B.
时，
y=
在定义域内没有单调性 ，∴该选项错误；

，
x=1
时，
y=0
；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C
．
y=
﹣
x
|
x
|的定义域为
R
，且﹣（﹣
x
）|﹣
x
|
=x
|
x
|
=
﹣（﹣
x
|
x
|）；

∴该函数为奇函数；

；

∴该函数在[
0
，+∞），（﹣∞，
0
）上都是减函数，且﹣
0
2
=0
2
；

∴该函数在定义域
R
上为减函数，∴该选项正确；

D.
；

∵﹣
0
+
1
＞﹣
0﹣
1
；

∴该函数在定义域
R
上不是减函数，∴该选项错误．

故选：
C
．



第9页（共30页）

4
．如图，
G
，
H
，
M
，
N
分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则
表示
GH
，
M N
是异面直线的图形的序号为（ ）


A
．①②
B
．③④
C
．①③
D
．②④

【考点】
LO
：空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】判定 异面直线的方法：①根据它的判定定理：
“
经过平面外
一点与平面内一点的直线与平面 内不过该点的直线是异面直线．
”
②
定义法：不在同一个平面内的．两条直线称为异面 直线；③反证法：
既不平行又不相交的直线即为异面直线．

【解答】解：异面直线的 判定定理：
“
经过平面外一点与平面内一点
的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ．
”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线
GH
、
MN
是异面
直线；

在图①中，由
G
、
M
均为 棱的中点可知：
GH
∥
MN
；

在图③中，∵
G< br>、
M
均为棱的中点，∴四边形
GMNH
为梯形，则
GH
与
MN
相交．

故选
D
．



5
．以（
a
，
1
）为圆心，且与两条直线
2x﹣
y
+
4=0
与
2x
﹣
y
﹣
6=0
同时
相切的圆的标准方程为（ ）

第10页（共30页）

22
A
．（
x
﹣
1
）< br>2
+（
y
﹣
1
）
2
=5 B
．（< br>x
+
1
）
2
+（
y
+
1
）
2
=5 C
．（
x
﹣
1
）+
y=5
D
．
x
2
+（
y
﹣
1
）
2
=5
【考点】
J1
：圆的标准方程．

【分析】由题意，圆心在直线2x
﹣
y
﹣
1=0
上，求出圆心与半径，即
可得出结论 ．

【解答】解：由题意，圆心在直线
2x
﹣
y
﹣
1=0
上，

（
a
，
1
）代入可得
a=1
，即圆心为（
1
，
1
），半径为
r=
∴圆的标准方 程为（
x
﹣
1
）
2
+（
y
﹣
1< br>）
2
=5
，

故选：
A
．



6
．函数
y=
的图象大致为（ ）

=
，

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】
3O
：函数的图象．

A
与
B
、
C
、
D
不同【分析】观察四个图象知，（在
y
轴左侧没有图 象），
故审定义域；同理审
B
、
C
、
D
的不同，从 而利用排除法求解．

【解答】解：函数
故排除
A
，
∵
f
（﹣
x
）
=
∴排除
C
，

当
x=2
时，
y=
故排除
D
，

第11页（共30页）

的定义域为{
x
|
x
≠
0
且
x
≠±
1
}，

=
﹣
=
﹣
f
（
x
），

＞
0
，

故选：
B
．



7
．若不等式，所表示的平面区域内存在点（
x
0，
y
0
），使
得
x
0
+
ay
0
+
2
≤
0
成立，则实数
a
的取值范围是（ ）

A
．
a
≤﹣
1 B
．
a
＜﹣
1 C
．
a
＞
1 D
．
a
≥
1
【考点】
7C
：简单线性规划．

【分析】作出可行域，根据可行域 满足的条件判断可行域边界
x
﹣
2y=t
的位置，列出不等式解出．

【解答】解：作出不等式，可行域如图：

∵平面区域内存在点
M
（
x
0
，
y
0
），满足
x
0
+ay
0
+
2
≤
0
，

∴直线
x
+
ay
+
2=0
与可行域有交点，

解方程组得
B
（
0
，
2
）．

∴ 点
B
在直线
x
+
ay
+
2=0
下方．
可得：
0
+
2a
+
2
≤
0
．解得
a
≤﹣
1
．

故选：
A
．

第12页（共30页）

8
．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[
1
，
8
]上，则输入的实数
x
的取值范围是（ ）


A
．[
0
，
2
）
B
．[
2
，
7
]

【考点】
EF
：程序框图．

C
．[
2
，
4
]
D
．[
0
，
7
]

【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，
由此得出解答来．

【解答】解：根据题意，得

当
x
∈（﹣
2
，2
）时，
f
（
x
）
=2
x
，

∴
1
≤
2
x
≤
8
，

第13页（共30页）

∴
0
≤
x
≤
3
；

当
x
∉（﹣
2
，
2
）时，
f
（
x
）
=x
+
1
，

∴
1
≤
x
+
1
≤
8
，

∴
0
≤
x
≤
7
，

∴
x
的取值范围是[
0
，
7
]．

故选：
D
．



9
．某同学用
“
随机模拟方法
”
计算曲线
y=lnx
与直线
x=c
，
y=0
所围成
的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了
10
个在区间[
1
，
e
]上
的均匀随机数
x
i
和
10
个区间[
0
，
1
]上的均匀随机数
y
i
（
i
∈
N*
，
1
≤
i
≤10
），其数据如下表的前两行．

x 2.50 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22
1.01 1.90 1.22
y
lnx
0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10
0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80
0.90 0.01
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）

A
．（
e
﹣
1
）
B
．（
e
﹣
1
）
C
．（
e
+
1
）
D
．（
e
+
1
）

【考点】
6G
：定积分在求面积中的应用．

【分析】向矩形区域内 随机抛掷
10
个点，有
6
个点在曲边三
角形内，由此根据矩形区域的 面积为
e
﹣
1
，能求出曲边三角形面积
的近似值．

第14页（共30页）

【解答】解：由表可知，向矩形区域
其中有
6
个点在曲边三角形内，其频率为
∵矩形区域的面积为
e
﹣
1
，

∴曲边三角形面积的近似值为（
e
﹣
1
）．

故选：
A


内随机抛掷
10
个点，

=
．

10
．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题 ：
“
今有五
人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．
”
其 意思为
“
已知
甲、乙、丙、丁、戊五人分
5
钱，甲、乙两人所得与丙 、丁、戊三人
所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得
多少钱？”
（
“
钱
”
是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为< br>（ ）

A
．钱
B
．钱
C
．钱
D
．钱

【考点】
84
：等差数列的通项公式．

【分析】依题意设甲、乙、 丙、丁、戊所得钱分别为
a
﹣
2d
，
a
﹣
d
，
a
，
a
+
d
，
a
+
2d，由题意求得
a=
﹣
6d
，结合
a
﹣
2d+
a
﹣
d
+
a
+
a
+
d+
a
+
2d=5a=5
求得
a=1
，则答案可求．
【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
a
﹣
2d，
a
﹣
d
，
a
，
a
+
d，
a
+
2d
，

则由题意可知，
a
﹣
2d
+
a
﹣
d=a
+
a
+
d+
a
+
2d
，即
a=
﹣
6d
，

又
a
﹣
2d
+
a
﹣
d
+a
+
a
+
d
+
a
+
2d=5a=5< br>，∴
a=1
，

则
a
﹣
2d=a
﹣
2
×

=
．

第15页（共30页）

故选：
B
．



11
． 己知函数
f
（
x
）
=sinx
+
cosx
（
x
∈
R
），先将
y=f
（
x
）的图象上 所
有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上
所有点向右平行移动
θ
（
θ
＞
0
）个单位长度，得到的图象关于直线
x=A
．
对称，则
θ
的最小值为（ ）

B
．
C
．
D
．

【考点】
HJ
：函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的图象变换．

【分析】由条件利用
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的 图象变换规律，正弦函数的
图象的对称性，得出结论．

【解答】解：函数
f
（
x
）
=sinx
+
cosx
（
x
∈
R
）
=2sin
（
x
+），

先将< br>y=f
（
x
）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不
变） ，

可得
y=2sin
（
2x
+）的图象；
再将得到的图象上所有点向右平行移动
θ
（
θ
＞
0
）个 单位长度，

得到
y=2sin
[
2
（
x
﹣
θ
）+]
=2sin
（
2x
+﹣
2θ
） 的图象．

+﹣
2θ=kπ
+，再根据得到的图象关于直线
x=k
∈
z
，

则
θ
的最小值为
故选：
A
．



12
．已知双曲线
Γ
1
：

对称，可得
2•
，

的左、右焦点分别为
F
1，
F
2
，
第16页（共30页）

椭圆
Γ
2
：
=1
的离心率为
e< br>，直线
MN
过
F
2
与双曲线交于
M
，
=e
，则双曲线
Γ
1
的两条
N
两点，若
cos< br>∠
F
1
MN=cos
∠
F
1
F
2< br>M
，则
渐近线的倾斜角分别为（ ）

A
．
30°
或
150° B
．
45°
或
135° C
．
60°
或
120° D
．
15°
或
165°
【考点】
KC
：双曲线的简单性质．

【分析】用
a
，
b
，
c
表示出
MF
1
，
MF
2
，
NF
1
，
NF
2
，利用余弦定理计
算
cos
∠
F
1
F
2
M
和
cos< br>∠
F
1
F
2
N
，由∠
F
1
F
2
M
+∠
F
1
F
2
N=0
计算 出离心率
e
1
，
得出
a
和
b
的关系即可得 出答案．

【解答】解：∵
cos
∠
F
1
MN=c os
∠
F
1
F
2
M
，

∴∠F
1
MN=
∠
F
1
F
2
M
，

∴|
MF
1
|
=
|
F
1
F
2
|
=2c
，

由双曲线的定义可得|
MF< br>2
|
=
|
MF
1
|﹣
2a=2c
﹣
2a
，

∵椭圆
Γ
2
：
=1
，
a=2
，
b=
，
c=
，

则椭圆离心率
e==
，

∴
=e=
，∴|
NF
1
|
=4c
，|
NF
2
|
=4c﹣
2a
，

在△
MF
1
F
2
中，由余弦定理的

cos
∠
F
1
F
2
M==
，
< br>在△
NF
1
F
2
中，由余弦定理的
cos
∠
F
1
F
2
N=
=
，

∵∠
F
1
F
2
M
+∠
F
1
F
2N=π
，

第17页（共30页）

∴
cos
∠
F
1
F
2
M
+
cos
∠
F
1
F
2
N=0
，即+
=0
，

整理得
2a
2
+
3c
2
﹣
7ac=0，设双曲线的离心率为
e
1
，

∴
3e
12
﹣
7e
1
+
2=0
，解得
e
1=2
或（舍）．

∴
=4
，∴
3a
2
=b
2
，即
=
．

x
，

∴双曲 线的渐近线方程为
y=
±
∴渐近线的倾斜角为
60°
和
12 0°
．

故选
C
．



二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13
．向量，若，则
λ=

3
．

【考点】
9J
：平面向量的坐标运算．

【分析】利用平面向量坐标 运算法则先分别求出
，能求出（
【解答】解：∵向量
∴

，，再由
）
•
（
，

）的值．

=
（﹣
2
，
1
），
=
（﹣
2
+< br>λ
，
2
），

第18页（共30页）

∵
∴（）
•
（
，

）
=< br>﹣
2
（﹣
2
+
λ
）+
1
×
2=6
﹣
2λ=0
，

解得
λ=3
．

故答案为：
3
．



14
．已知{a
n
}是首项为
32
的等比数列，
S
n
是其前
n
项和，且
则数列{|
log
2
a
n
|} 前
10
项和为
58
．

【考点】
8E
：数列的求和．

S
n
是其前
n
项和，【分析】由{
a
n
}是首项为
32
的等比数列， 且
=
，
=
，
﹣﹣

求出
q
，可得
a
n
=32•
（）
n1
=2
72n
，再求 数列{|
log
2
a
n
|}前
10
项和．
S
n
是其前
n
项和，【解答】解：∵{
a
n
}是首 项为
32
的等比数列，且
=
，

∴
=
，

∴
1
+
q
3
=
∴
q=
，

，

﹣﹣
∴
a
n
=32•
（）
n 1
=2
72n
，

∴|
log
2
a
n
|
=
|
7
﹣
2n
|，

∴数 列{|
log
2
a
n
|}前
10
项和为
5
+
3
+
1
+
1
+
3
+
5
+
7
+
9
+
11
+
13=58
，

故答案是：
58
．

第19页（共30页）

15
．曲线在点
M
（，
0
）处的切线的斜率为 ．

【考点】
6H
：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数
f
（
x
）在
x=
处的导数，从而求出切线的斜率．


=
=
|
x=
=

【解答】解：∵
∴y'=
y'
|
x=
故答案为：．



16
．如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实线及粗虚线画出的是
某多 面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．


【考点】
LG
：球的体积和表面积；
L7
：简单空间图形的三视图．

【分析】根据三视 图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥
O
﹣
ABCD
，正方体的棱长为
2
，
A
，
D
为棱的中点，利用球的几何性质求
解即 可．

【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥
O
﹣
ABCD
，正方体的棱长为
2
，
A
，
D
为棱的中点


第20页（共30页）

D
的平行于底面的中截面上，

根据几何体可以判断：球心应 该在过
A
，
设球心到截面
BCO
的距离为
x
，则到
AD
的距离为：
2
﹣
x
，

∴
R
2
=x
2
+（）
2
，
R
2
=1< br>2
+（
2
﹣
x
）
2
，

，

π
，

解得出：
x=
，
R=
该多面体外接球的表面积为：
4πR
2
=
故答案为：．




三、解答题：本大题共
5
小题，共
70分
.
解答应写出必要的文字说明
或推理、验算过程
.
17．
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，c
，

已知在△
ABC
中，角
A
，且
asinB
+
bcosA=0
．
（
1
）求角
A的大小；

（
2
）若，求△
ABC
的面积．

【考点】
HS
：余弦定理的应用；
HP
：正弦定理．


【分析】（
1
）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．< br>（
2
）利用余弦定理求出
c
的值，然后求解三角形的面积．

【解答】解：（
1
）在△
ABC
中，由正弦定理得
sinA sinB
+
sinBcosA=0
，
…
即
sinB
（
sinA
+
cosA
）
=0
，又角
B
为三角形内角，
sinB
≠
0
，

第21页（共30页）

所以
sinA
+
cosA=0
，即
又因为
A
∈（
0
，
π
），所以
，
…
．
…
（
2
）在△
ABC
中，由余弦定理得：a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bc•cos A
，则
…
即
又


18
．已知某中学联 盟举行了一次
“
盟校质量调研考试
”
活动，为了解本
次考试学生的某 学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分
100
分），得分取整数，抽取得学生的分数 均在[
50
，
100
]内作为样本
（样本容量为
n
）进行统计，按照[
50
，
60
），[
60
，
70
），[
70
，
80
），
[
80
，
90
），[
90
，
100
]的分组作出的频率分布直方图，并作出样 本分
60
）
100
]的数据）

数的茎叶图（茎叶图中仅列 出了得分在[
50
，，[
90
，．
，解得
，所以
或 ，
…
．
…

（
1
）求样本容量
n和频率分布直方图中
x
，
y
的值；

（
2）在选取的样本中，从成绩在
80
分以上（含
80
分）的学生中随
机抽取
2
名学生参加
“
升级学科基础知识竞赛
”
，求所抽 取的
2
名学生
中恰有
1
人得分在[
90
，
100
]内的概率．

【考点】
CC
：列举法计算基本事件数及事件 发生的概率；
B8
：频率分
布直方图．

第22页（共30页）

【分析】（
1
）由频率分布直方图可求出分数在
5 0
到
60
的频率，由茎
叶图可得出分数在
50
到
6 0
的人数，由此可得样本容量
n
．又由茎叶
图可得分数在
90
到
100
的人数，从而求得
y
．这样除了
60
到
70
分
这一组之外，其余各组的频率都知道了，也就可以求出
x
的值．

（
2
）分数在[
80
，
90
）有
5< br>人，分数在[
90
，
100
）有
2
人，共
7
人．从
成绩在
80
分以上（含
80
分）的学生中随机抽取< br>2
名学生参加
“
升级
学科基础知识竞赛
”
，先求出基 本事件总数
n==21
，所抽取的
2
名
=10
，
1 00
]内包含的基本事件个数
m=
学生中恰有
1
人得分在[
90
，
100
]内的概率．

由此能求出所抽取的
2
名学生中恰有
1
人得分在[
90
，
【解答】解：（
1）由题意可知，样本容量
n=
y==0.004
，

=50
，

x=0.1
﹣
0.004
﹣
0 .010
﹣
0.016
﹣
0.004=0.030
．
（
2
）由题意可知，分数在[
80
，
90
）有
5
人，分数在[
90
，
100
）有
2
人，共
7
人．

从成绩在
80
分以上（含
80
分）的学 生中随机抽取
2
名学生参加
“
升
级学科基础知识竞赛
”，

基本事件总数
n==21
，

所抽取的
2
名学生中恰有
1
人得分在[
90
，
100
]内包含 的基本事件个
数：

m==10
，


．∴所抽取 的
2
名学生中恰有
1
人得分在[
90
，
100]内的概率
p=


第23页（共30页）

19
．如图，
AB
是圆
O
的直径，点
C
在 圆
O
上，矩形
DCBE
所在的平
面垂直于圆
O
所在 的平面，
AB=4
，
BE=1
．

（
1
）证明：平面
ADE
⊥平面
ACD
；

（
2
）当三棱锥
C
﹣
ADE
的体积最大时，求点< br>C
到平面
ADE
的距离．


【考点】
LF
：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LY
：平面与平面垂直的判定；
MK
： 点、线、面间的距离计算．

【分析】（
1
）
BC
⊥
AC
，
CD
⊥
BC
．推出
DE
⊥平面
A CD
，然后证明平面
ADE
⊥平面
ACD
．

（< br>2
）通过
V
C
﹣
ADE
=V
E
﹣< br>ACD
，求出棱锥的体积的最大值，求解底面面积，
设点
C
到平面ADE
的距离为
h
，利用体积公式求出距离即可，

【解答】（
1
）∵
AB
是直径，∴
BC
⊥
AC
，…
，

又四边形
DCBE
为矩形，
CD
⊥DE
，
BC
∥
DE
，∴
CD
⊥
BC< br>．

∵
CD
∩
AC=C
，∴
BC
⊥ 平面
ACD
，

∴
DE
⊥平面
ACD …
又
DE
⊂平面
ADE
，∴平面
ADE
⊥平面< br>ACD …
（
2
）解：由（
1
）知
V
C
﹣
ADE
=V
E
﹣
ACD
=
=
当且仅当
AC=BC=2
∴当
AC=BC=2

=
，
…
，


=
时等号成立
…
，

三棱锥
C
﹣
ADE
体积最大为：
…
，

第24页（共30页）

此时，
AD=
，，


设点
C到平面
ADE
的距离为
h
，则
∴
h= …



20
．在平面直角坐标系
xOy
中，椭 圆
C
：
心率为，右焦点
F
（
1
，
0
）．

（
Ⅰ
）求椭圆
C
的方程；

（< br>Ⅱ
）点
P
在椭圆
C
上，且在第一象限内，直线
PQ< br>与圆
O
：
x
2
+
y
2
=b
2
相切于点
M
，且
OP
⊥
OQ
，求点
Q< br>的纵坐标
t
的值．

+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离

【考点】
K4
：椭圆的简单性质．

【分析】（
Ⅰ
）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得
c=1
，
a=2
，
求得< br>B
，进而得到椭圆方程；

（
Ⅱ
）讨论当
PM
垂直于
x
轴时，求得
P
，
Q
的坐标，运用数量积为
0
，可得
t
；当
PM
不垂直于
x
轴时，设
P
（
x
0
，
y
0
），
PQ
：< br>y
﹣
y
0
=k
（
x
﹣
x
0
），运用直线和圆相切的条件：
d=r
，结合向量垂直的条件：数量
第25页 （共30页）

积为
0
，化简整理，即可得到所求值．

【解答】解 ：（
Ⅰ
）由题意可得
e==
，
c=1
，

解得
a=2
，
b=
可得椭圆方程为+
=
，

=1
；

，），
Q
（
；

，
t
），

（
Ⅱ
）当
PM
垂直于
x
轴时，可得
P
（
由
OP
⊥
OQ
，即有
•=3
+
t=0
，解得
t=
﹣
2
当
PM
不垂直于
x
轴时，设
P
（
x
0
，
y
0
），

PQ
：
y
﹣
y< br>0
=k
（
x
﹣
x
0
），即为
kx< br>﹣
y
﹣
kx
0
+
y
0
=0
，

由
PQ
于圆
O
：
x
2
+y
2
=3
相切，可得
=
，

平方可得（
kx
0
﹣
y
0
）
2
=3
（
1< br>+
k
2
），即
2kx
0
y
0
=k< br>2
x
0
2
+
y
0
2
﹣
3k
2
﹣
3
，

又
Q
（，
t
），

+
ty
0
=0
，

由
OP
⊥OQ
，即有
•=x
0
•
解得
t=
则
t
2
=
=
==
，

=



==12
，

第26页（共30页）

解得
t=
．

．

综上可得，
t=
﹣
2


21
．已知函数
f
（
x
）
=
，
g
（
x
）
=
﹣﹣
1
．

（
Ⅰ
）求函数
f
（
x
）的单调区间；
< br>（
Ⅱ
）对一切
x
∈（
0
，+∞），
2f（
x
）≥
g
（
x
）恒成立，求实数
m
的
取值范围；

（
Ⅲ
）证明：对一切
x
∈（
0
，+∞），都有
lnx
＜﹣成立．

【考点】
6E：利用导数求闭区间上函数的最值；
6B
：利用导数研究函
数的单调性．

【分析】（
Ⅰ
）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的
单调区间 即可；

（
Ⅱ
）问题可化为对一切
x
∈（
0
，+∞）恒成立，令
，根据函数的单调性求出
h
（
x
）的最小值， 从而求出
m
的范围即可；

（
Ⅲ
）问题等价于
据函数的单调性证明即可．

【解答】解 ：（
Ⅰ
）
由
f'
（
x
）＞
0
，得
0
＜
x
＜
e
∴
f
（
x
）的递增区间是（
0
，
e
），递减区间是（
e
，+∞）…
（
Ⅱ
）对一切
x
∈（
0
，+∞），
2f
（
x
）≥
g
（
x
）恒成立，

，得

，即证，令，根
第27页（共30页）

< br>可化为
令，
对一切
x
∈（
0
，+∞）恒成立


当
x
∈（
0
，
1
）时
h'（
x
）＜
0
，即
h
（
x
）在（
0
，
1
）递减

当
x
∈（
1
， +∞）时
h'
（
x
）＞
0
，即
h
（
x
）在（
1
，+∞）递增

∴
h
（
x< br>）
min
=h
（
1
）
=4
，
∴
m
≤
4
，即实数
m
的取值范围是（﹣∞，
4
]
…
（
Ⅲ
）证明：
由（
Ⅰ
）知
令，则
等价于，即证

，（当
x=e
时取等号）

，

易知
φ
（
x
）在（
0
，1
）递减，在（
1
，+∞）递增

∴（当
x=1
时取等号）

∴
f
（
x）＜
φ
（
x
）对一切
x
∈（
0
，+∞ ）都成立

则对一切
x
∈（
0
，+∞），都有


请考生在第
22
、
23
两题中任选一题作答，如果两题都 做，则按照所
做的第一题给分；作答时，请用
2B
铅笔将答题卡上相应的题号涂
黑．[选修
4-4
：参数方程与极坐标系]

22
．在极坐标系中 ，曲线
C
的方程为
ρ
2
=
，点
R
（
2
，）．
成立．
…
（
Ⅰ
）以极点为原点，极轴为x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
把曲线
C
的极坐标方程化为直角坐 标方程，
R
点的极坐标化为直角坐
标；

第28页（共30页）

（
Ⅱ
）设
P
为曲线
C
上 一动点，以
PR
为对角线的矩形
PQRS
的一边
垂直于极轴，求矩形
PQRS
周长的最小值，及此时
P
点的直角坐标．

【考点】
Q4
：简单曲线的极坐标方程．

【分析】（
Ⅰ< br>）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方
程，进一步把极坐标转化成直角坐标．
（
Ⅱ
）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长
转 化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出
P
的坐标．

【解答】解：（
Ⅰ
）由于
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，

则：曲线
C
的方程为
ρ
2
=
，转化成．

点
R
的极坐标转化成直角坐标为：
R
（
2
，
2
）．

（
Ⅱ
）设
P
（）

根据题意，得到
Q
（
2
，
sinθ
），

则：|
PQ
|
=
所以：|
PQ
|+|
QR
|
=
当
，|
QR
|
=2
﹣
sin θ
，

．

时，（|
PQ
|+|
QR|）
min
=2
，

）．

矩形的最小周长为
4
，点
P
（


[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．设函数
f< br>（
x
）
=
|
x
﹣
a
|，
a
∈
R
．

（
Ⅰ
）当
a=2
时，解 不等式：
f
（
x
）≥
6
﹣|
2x
﹣
5
|；

（
Ⅱ
）若关于
x
的不等式
f< br>（
x
）≤
4
的解集为[﹣
1
，
7
] ，且两正数
s
第29页（共30页）

和
t
满足
2s
+
t=a
，求证：．

【考点】
R5
：绝对值不等式的解法．

【分析】（
Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即
可．

（
2
）根据不等式的解集求出
a=3
，利用
1
的代换结合基本不等式进
行证明即可．

【解答】（
Ⅰ
）解：当
a=2
时，不等式：
f
（
x
）≥
6
﹣|
2x
﹣
5|，可化
为|
x
﹣
2
|+|
2x
﹣
5
|≥
6
．

①
x
≥
2.5
时，不 等式可化为
x
﹣
2
+
2x
﹣
5
≥
6
，∴
x
≥；

②
2
≤
x
＜2.5
，不等式可化为
x
﹣
2
+
5
﹣
2x
≥
6
，∴
x
∈∅；

③
x
＜
2
，不等式可化为
2
﹣
x
+
5
﹣
2x
≥
6
，∴
x
≤，

综上所述，不等式的解集为（﹣]；

（
Ⅱ
）证明：不等式
f
（
x
）≤
4
的解集为[
a
﹣
4
，
a
+
4
]
=
[﹣
1
，
7
]，∴
a=3
，

∴
=
（）（
2s
+< br>t
）
=
（
10
++）≥
6
，当且仅当
s=
，
t=2
时取等号．





第30页（共30页）