郭美美baby-表现爱国主义的诗句

江苏省常州市
2016
届高三上学期期末考试数学试题

一、填空题
(70
分
)
1
、设复数
z
满 足
(z
＋
i)(2
＋
i)
＝
5(i
为虚数 单位
)
，则
z
＝

2
、设全集
U
＝

1,2,3,4

，集合
A
＝
1,3

，
B
＝

2,3

，则BC
U
A
＝

3
、某地区有高中学校
10
所，初中学校
30
所，小学学校
60
所，现采用分层抽样的方法 从这些
学校中抽取
20
所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校 所。

4
、已知双曲线
C
：的一条渐近线经过点
P(1，－
2)
，则该双曲线的
x
2
y
2
1(a 0,b0)
a
2
b
2
离心率为

5< br>、函数
f(x)log
2
(x
2
22)
的值域 为

6
、某校从
2
名男生和
3
名女生中 随机选出
3
名学生做义工，则选出
的学生中男女生都有的概率

为

7
、如图所示的流程图中，输出
S
的值是
< br>8
、已知四棱锥
P
－
ABCD
的底面
ABCD
是边长为
2
，锐角为
60
°的
菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，P A＝3，若点M是BC的中点，则三棱锥M
－PAD的体积为
9、已知实数
x,y
满足
4xy10
，则
2xy
的最大值为


4x3y20



x0

< br>y0

10
、
2
x
2
，
x R
，若
ab
，

a(4,2),b(1,
x
)
2
xx
则
|ab|
＝

11、已知等比数列

a
n

的各项均为正数，且
a
1
a
2

4
9
，
a
3
a< br>4
a
5
a
6
＝
40
，则
a7
a
8
a
9
的值为

9
12
、如图，直角梯形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，
CD＝1，动点P在边BC上，且满足
APmAB nAD(m,n
均为正数)，

则
11
的最小值为


mn
x
2
y
2
1,O
1
:(x4)
2
y
2
4
，动点
P
在直 线
13
、在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
O
：
x3yb0
上，过
P
分别作圆
O
，
O
1的切线，切点分别为
AB
，若满足
PB
＝
2PA
的点< br>P
有
且只有两个，则实数
b
的取值范围是

1 4
、已知函数

2x
2
3x,x0

f(x) 

x2


e3,x0
，若不等式
f(x) kx
对
xR
恒成立，则实数
k
的
取值范围是

二、解答题
(90
分
)
15
、
(
本小题满分
14
分
)
在△< br>ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为a,b,c
，已知
cos(BC)1cosA
，且
b,a,c成
等比数列，求：

(1)
sinBsinC
的值；

(2)A
；

(3)
tanBtanC
的值。










16
、
(
本小题满分
14
分
)
如图， 正三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
，点
D
、
E
分别是
A
1
C
、
AB
的中点。

(I)
求证：
ED
∥平面
BB
1
C
1
C
；

(II)
若
AB
＝
2
BB
1
，求证：
AB
⊥平面
B
1
CE
。

17
、
(
本小题满分
14
分
)
已知等差 数列

a
n

的公为
d
为整数，且
ak
k
2
2
，
a
2k
(k2)
2
，其中
k
为常数且
kN*
。

(1)
求
k
及；

a
n
(2)
设
a
1
1
，

a
n

的前
n
项和为
S
n
，等比数列

b
n
的首项为
1
，公比为
q(q
＞
0)
，前
n项
和为
T
，若存在正整数
m
，使得
n
，求q
。

S
2
T
3
S
m
< br>18
、
(
本小题满分
16
分
)
如图，直线< br>l
是湖岸线，
O
是
l
上一点，弧
AB
是以< br>O
为圆心的半圆形栈
桥，
C
为湖岸线
l
上一观景亭， 现规划在湖中建一小岛
D
，同时沿线段
CD
和
DP(
点P
在半圆形
栈桥上且不与点
A
，
B
重合
)建栈桥。考虑到美观需要，设计方案为
DP
＝
DC
，∠CDP＝60°且
圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(km)，没湖岸BC与直线栈桥CD，DP及 圆弧栈桥B
P围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km)，∠BOP＝

。
(1)求S关于

的函数关系式；
(2)试判断S是否存在最大值，若存在 ，求出对应的cos

的值，若不存在，说明理由。

2

19
、
(
本小题满分
16
分
)
在平面 直角坐标系
xoy
中，设椭圆
x
2
的离心率是
e
， 定义直线
b
y
2
y
1(ab0)
e
a
2
b
2
为椭圆的“类准线”，已知椭圆
C
的“类准线”方程 为
(I)
求椭圆
C
的方程；

y23
，长轴长为
4
。

(II)
点
P
在椭圆
C
的“类准线”上
(
但不在
y
轴上
)
，过点
P
作圆
O
：
2
xy
2
3
的切线
l
，过点
O
且垂直于
OP
的直线与< br>l
交于点
A
，问点
A
是否在椭圆
C
上？证明 你的结论。






20
、
(
本小题满分
14
分
)
已知a,b
为实数，函数
f(x)ax
3
bx
。
(1)
当
a
＝
1
且
b[1,3]
时，求函数
(b)
；

(2)
当
a0,b1
时，记的最大值
M
f(x)1
F(x)|lnx|2b1(x[,2])x2
lnx
。

h(x)
f(x)
。 ①函数
h(x)
的图象上一点P
(x,y)
处的切线方程为
yy(x)
，记
g(x)hx()y(x)
00
问：是否存在
x
，使得对于 任意
x(0,x)
，任意
x(x,)
，都有
g(x)g(x )0
12
01021
恒成立？若存在，求出所有可能的
x
组成的集 合，若不存在，说明理由。
0

②令函数

x
,xs
H(x)

2e


h(x),0xs
，若对任意实数k，总存在实数
x
，使得
H(x)k
成
0 0
立，求实数s的取值集合。

























数学
II(
附加题
)
2016.01
21
．【选做题】

A
．
[
选修
4
—
1
：几何证明选讲
](
本小题满分
10
分
)
如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP于点D。
求证：AD＝DE·DC
2

B
．
[选修
4
—
2
：矩阵与变换
](
本小题满分
10
分
)
已知矩阵
M
＝
2

a　　

4　b


的属于特征值
8
的一个特征向量是，点< br>P(
－
1
，
2)
在
M
对应

1

e


1

的变换作用下得到点
Q
，求
Q
的坐标。




C
．
[
选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
](
本小题满分
10
分
)
在平面直角坐标
xoy
中，曲线C
：


x6cos

(



y2sin

为参数
)
，以原点
O为极点，
x
轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，直线
l
的极坐标方 程为
到直线
l
的最大距离。




D
、选修
4
－
5
：不等式选讲


(cos

3sin

)40
，求曲线
C
上的点
已知
|x|2,|y|2
，求证：
|4xy|2|xy|








[
必做题
]
(
第
22
、
23
题，每小题
10
分， 计
20
分
.
请把答案写在答题纸的指定区域内
)

22
、
(10
分
)
如图，在四棱柱
ABCD< br>－
A
1
B
1
C
1
D
1
中， 侧面
ADD
1
A
1
⊥底面ABCD，D
1
A＝D< br>1
D＝
2
，底面A

BCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2。
(1)在平面ABCD内找一点F，使得D
1
F⊥平面AB1C；

(2)
求二面角
C
－
B
1
A
－
B
的平面角的余弦值。


23
、
(10
分
) 已知数列

a
n

满足
a
n

n1
1
。

a
n1
a
n1
( nN*)
，
a1,0,1
设
ba
1
a
aa
(1)
求证：
aba
n
a
n1
(n 2,nN*)

in2i
a
n


(1)< br>i
C
n
b
1
i0
n1
2
(2 )
当
n(nN*)
为奇数，，猜想当
n(nN*)
为偶数时，< br>a
关
n
于
b
的表达式，并用数学归纳法证明。

参考答案

1
、
2
－
2
i

2
、

2


3
、
6

4
、
5

5
、
3


(,]
2
6
、
9

7
、
2

8
、
3

9
、
7.5

10
、
2
103
743

13
、

20


14
、
[3,e
2
]


－,4

4

3

11
、
117

12
、