湖北二本-体育总结

盐城市第一中学2019-2020届高三数学综合练习（八）
2020.05 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定< br>位置上）
1.
已知复数
z
满足
iz1i
（i
为虚数单位），则
z
.
2.
已知集合< br>A0,m,m3m2
，且
2A
，则实数
m
的值为_______.
3.
若
“
x3
”
是
“< br>xm
”
的必要不充分条件，则
m
的取值范围是
______ __
．

4.
在某校举行的歌手大赛中，
7
位评委为某同学 打出的分数如茎叶图所示，去掉
一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为
______.
5.
从集合
A

2,1,2

中随机选取一 个数记为
a
，从集合
B

1,1,3

中随机
选取一个数记为
b
，则直线
axyb0
不经过第一象限的概率 为
__________
．

6.
已知焦点在
x
轴 上的双曲线的渐近线方程为
3x4y0
，则双曲线的离心率为
____.
7.阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是_____________. < br>8.
若正三棱柱的所有棱长均为
a
，且其体积为
163
，则< br>a=
．


2


log
2
(x3)4,x1
9.已知函数
f(x)

,则 不等式
xf(x)0
的解集为_____________.
2
2x5 x3,x1

10.
已知
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，且
a
1
3
，
b
1
1
，
a
2
b
2
，
3a
5
b
3
，若存在常数
u
，
v
对任意正整数
n
都有
a
n
3log
u
b
n
v
，则
uv
________
．< br>
uuuvuuuv
11.
在△
ABC
中，已知
AB =3
，
O
为△
ABC
的外心，且
OABC
=1< br>，则
AC=______
．

12.
已知△
ABC< br>的面积等于
1
，若
BC
＝
1
，则当这个三角形的三条 高的乘积取最大值时，
sinA
＝ ．

13.
在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C:

x2



ym

3
，若圆
C
上存在以
G
为中点的弦< br>AB
，且
22
AB2GO
，则实数
m
的取值范围为
_________
．

14.
已知函数
f(x)ex
ax
有两个零点
x
1
，
x
2
，则 下列判断：①
ae
；②
x
1
x
2
2
；③
x
1
x
2
1
；
④有极小值点
x< br>0
，且
x
1
x
2
2x
0
.则其中所有正确判断的序号是
__________.
（多填或少填均不给分）

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案
写在答题纸的指定区域内）
15.
已知函数

f

x

2sin

2



x

3cos2x


4

(1)
求
f (x)
的最小正周期和单调递减区间
;
(2)
若
f
x

m2
在
x

0,











上 恒成立
,
求实数
m
的取值范围
.

6



16.
如图，在三棱锥
A-BCD
中，点
E
、
F
分别是
BD
、
BC
的中点，
AB AD
，
AEBC
．

求证：⑴
EF
∥平面
ACD
；

⑵
AECD
．













y
2
x
2
2
17.
已知椭圆
2

2
1

ab0

的离心率为， 且
a
2
2b
.
ab
2
（
1
）求椭圆的标准方程；

（
2
）直线
l
：
xym0
与椭圆交于
A
，
B
两点，是否存在实数
m
，使线段
AB
的中点在圆
xy 5
上，若存在，求出
m
的值；若不存在，说明理由．

















22

18.某艺术品公司欲生产一 款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面
用于艺术装饰，如图1．为 了便于设计，可将该礼品看成是由圆
O
及其内接等腰三角形
ABC
绕底边BC
上
的高所在直线
AO
旋转180°而成，如图2．已知圆
O
的半径为10 cm，设∠
BAO=

，
0


侧面积为
S
cm．

⑴求
S
关于
θ
的函数关系式；
⑵为了达到最佳观赏效果， 要求圆锥的侧面积
S
最大．求
S
取得最大值时腰
AB
的长度 ．










19.
已知函数
f

x

lnxx
.
（
1
）求函数
f

x

在点
1, f

1

处的切线方程；

（
2
）若函数
h

x



f

x


（
3
）若函数
h

x


f(

x


2
π
，圆锥的
2

1
2
x
只有一个极值点，求实数

的取值 范围；

2
1
2
x
（其中

4
）有两个极值点，分别为
x
1
，
x
2
，且
2
h

x
1

h

x
2
k
在区间
(0,+∞)
上恒成立，证明：不等式
kln43
成立
.
x
1
x
2

20.设数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
， 对任意的正整数
n
，都有
a
n
5S
n
1
成立，记
b
n

（1）求数列

b
n

的通项公式；
4a
n
(nN
*
)
。
1a
n
*
（2）记
c
n
b
2n
b
2n1
(nN)
，设数列

c
n

的 前
n
项和为
T
n
，求证：对任意正整数
n
都有T
n

3
；
2
（3）设数列

b< br>n

的前
n
项和为
R
n
。已知正实数

满足：对任意正整数
n,R
n


n
恒成立， 求

的最小
值。

盐城市第一中学2019-2020届高三数学综合练习（八）
附加题 21．
【选做题】（每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明 、证明
过程或演算步骤）．

A．选修4—2：矩阵与变换
r
< br>1


13

1
a,bR
A
a
已知，向量

0b

的属于特征值－
2
的一个 特征向量，求矩阵
A
；


a

是矩阵











B．选修4—4：坐标系与参数方程
21.
以平面直角坐标系
xOy
的原点为极点，
x
轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
长度单位，
C
的极坐标方程为

8cos

.
（
1
）求曲线
C
的直角坐标方程；

（
2
）经过点
Q

1,1

作直线
l
交曲线< br>C
于
M
，
N
两点，若
Q
恰好为线段
MN
的中点，求直线
l
的方程
.

【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共计20分．请 在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）．
22.甲、乙两人 进行射击比赛，各射击
4
局，每局射击
10
次，射击命中目标得
1< br>分，未命中目标得
0
分，
两人
4
局的得分情况如下：
（1）若从甲的
4
局比赛中，随机选取
2
局，求这
2
局的 得分恰好相等的概率．
（2）如果
xy7
，从甲、乙两人的
4
局比赛中随机各选取
1
局，记这
2
局的得分
和为
X
，求
X
的分布列和数学期望．













23. 已知
设
(1) 写出;
,恒有.
,其中,
,.
甲
6

6

9

9

乙
7

9

x

y

(2) 证明:对任意的

盐城市第一中学2019-2020届高三数学综合练习（八）
2020.05
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程 ，请把答案写在答题纸的指定
位置上）
1.
已知复数
z
满足
iz1i
（
i
为虚数单位），则
z
.
【答案】
2

【解析】
iz1iiz1iz2.

2.
已知集合
A0,m,m3m2
，且
2A
，则实数
m
的值为< br>_______.
【答案】
3
【解析】由题意分类讨论：

若
m2
，则
m
2
3m20
，不满足集合元素的互 异性，舍去；

若
m
2
3m22
，解得：
m 3
或
m0
，

其中
m0
不满足集合元素的互异性，舍去，综上可得，
m3
.
3.
若
“
x3
”
是
“
xm
”
的必要不充分条件，则
m
的取值范围是
________
．

【答案】
m3

【解析】因为
“
x3
”
是
“
xm
”
的必要不充分条件，

所以
m,

是

3,

的真子集，所以
m 3
，故答案为
m3
.
4.
在某校举行的歌手大赛中，
7
位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分
后，所剩数据的方差 为
______.
【答案】
2
【解析】去掉分数后剩余数据为
22,23,24,25,26
平均值为：

2

2223242526
24

5
(2224)
2
(2324)
2
(2424)
2
(2524)
2
(2624)
2
方差为：
2

故答案为
2
5
5.
从集合
A

2, 1,2

中随机选取一个数记为
a
，从集合
B

1,1,3

中随机选取一个数记为
b
，则直
线
ax yb0
不经过第一象限的概率为
__________
．

【答案】
2

9
【解析】试验发生包含的事件
aA
2,1,2

，
bB

1,1,3

，

得到

a,b

的取值所有可能的结果有：


2,1

,

2,1

,

2,3

,

1,1

,
< br>1,1

,

1,3

,

2 ,1

,

2,1

,

2,3

共
9
种结果，

由
axyb0
得
yaxb
，


a0

时，直线不经过第一象限，符合条件的

a,b

有

2,1

,

1,1
2
种结果，

当


b0
所以直 线不经过第一象限的概率
P
22
.
故答案为：

996.
已知焦点在
x
轴上的双曲线的渐近线方程为
3x4y0
，则双曲线的离心率为
____.
【答案】
5

4
22< br>xy
【解析】由题可设焦点在
x
轴上的双曲线方程为
2
2
1(a,b0)
，由于该双曲线的渐近线方程为
ab
2
3 b3
yx
，则
=
，在双曲线中
c
2
a
2
b
2
，所以双曲线的离心率
e
c
1
b
2
1(
3
)
2

5
，
4a4
aa44
7.阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是___ __________.
【答案】2
【解析】

8.
若正三棱柱 的所有棱长均为
a
，且其体积为
163
，则
a=
．

【答案】
4
【解析】
V
3
2aa163
，
a4
．

4
9.已知函数
f(x)


log
2
(x3)4,x1
,则不等 式
xf(x)0
的解集为________________.
2
2x 5x3,x1


1


2

【答案 】

3,0



,1



13,


【解析】
或
，故答案为
，等价于， 或
，综上所述，
xf(x)0
的解集为
.
10.
已知< br>{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，且
a
1
3
，
b
1
1
，
a
2
b
2
，
3a
5
 b
3
，若存在
常数
u
，
v
对任意正整数
n
都有
a
n
3log
u
b
n
v
，则
uv
________
．

【答案】
6
【解析】设

a
n

的公差为
d
，
b
n

的公比为
q
，

Qa< br>1
3
，
b
1
1
，
a
2
b
2
，
3a
5
b
3
，
a
2
3dqb
2
，
3a
5
3(34d)q
2
b
3
，

解方程得
q3
或
q9
，当
q3
时，
d0
，不符合题意，故舍去，当
q9< br>时，
d6
，

a
n
3(n1)66n 3
，
b
n
q
n1
9
n1
，
Qa
n
3log
4
b
n
vlog
u

9
3n3

v
，
6n3vlog
u

9
3n3

，当
n1
时，
3v log
u
10
，
v3
，当
n2
时，1233log
a
9
3
，
u
6
93
，
u3
，
uv6
.
所以本题答案为
6.
uuuvuuuv
11.
在△
ABC
中，已知
AB= 3
，
O
为△
ABC
的外心，且
OABC
=1，则
AC=______
．

【答案】
7

u uuruuuruuuruuur
【解析】取
BC
的中点
D
，则由外 心性质可得
ODBC
,
OAODDCCA
,
所以
u uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
1
uuuruuuruuuruuur
OABC(ODDCCA)BCODB CDCBCCABCBCBCCABC

2
uruuuruuuru uur
1
uuuruuuruuuruuurur
2
uuur
21
uu
1
uu
[(BAAC)CA]BC(BAAC)( BAAC)(BAAC)
.
222
uuuruuur
uuur
2
因为
OABC1
,
AB3
,
所以
9A C2
,
即
AC7
.
12.
已知△
ABC的面积等于
1
，若
BC
＝
1
，则当这个三角形的三条高 的乘积取最大值时，
sinA
＝ ．

【答案】

【解析 】设△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
对应 的边分别为
a
，
b
，
c
，且对应的高分别为
m，
n
，
t
，

△
ABC
的面积等于< br>1
，若
BC
＝
1
，即
S
＝
1
，
a
＝
1
，

由
S
＝
am，
S
＝
bn
，
S
＝
ct
，可得
S
3
＝
abcmnt
，则
mnt
＝
又
S
＝
bcsinA
＝
1
，可得
bc
＝
cos A
＝
可得
2bc≤
≥
，则
＝
1
﹣
≤
，则
mnt
＝
4sinA
，

，当且仅当
b
＝
c
上式取得等号，

，

＝

可得＝＝
tan≤
，可得
sinA
＝
≤
＝．

当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，
sinA
＝
2
．

2
13.
在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C:
< br>x2



ym

3
，若圆
C
上存在以
G
为中点的弦
AB
，且
AB2GO
， 则实数
m
的取值范围为
_________
．

【答案】
[2,2]

【解析】由于圆
C
存在以
G
为中点的弦
AB
，且
AB2GO
，所

以
OAOB
,
如图，过点
O
作圆
C
的两条切线，切 点分别为
B
、
D
，圆上要存在满足题意的点
A
，只需
BOD90
0
，即
COB45
0
，连接
CB，
QCBOB
，由于
C(2,m)
，
COm
2< br>4

CB3
，
sinCOB
CB
CO

3
m
2
4
sin45
0

2
，解得
2m2
.
2
14.
已知函数
f(x)e
x
ax
有两个零点
x
1
，
x
2
，则下列判断：①
ae
；②
x
1
x
22
；③
x
1
x
2
1
；
④有极小 值点
x
0
，且
x
1
x
2
2x
0
.
则其中所有正确判断的序号是
__________.
（多填或少填均不 给分）

【答案】④

x'x
【解析】
f(x)eax f(x)ea
，
f(0)1
.
当
a0
时，f
'
(x)0
，函数是单调递增函数，而
f(0)1
，所以 函数只有一个零点，不符合题意；

当
a0
时，当
xlna时，
f(x)0
，函数单调递增，当
xlna
时，
f(x) 0
，函数递减，故函数
的最小值为
f(lna)aalnaa(1lna)
，要想函数有两个零点，则必有

''
f(lna)aalnaa(1 lna)0ae
，故判断①不对；

2
对于②：
Qe
1
ax
1
0,e
2
ax
2
0x
1
x
2
ln(ax
1
x
2
)2lna ln(x
1
x
2
)
，

xx
e
2
取
a
，
f(2)0
，所以
x
1
 x
2
2
，故判断②不对；

2
对于④：构造函数
F(x
1
)f(x
1
)f(2lnax
1
)
，

F(x
1
)eae
递增，

'
x
1
2lnax
1
2lna
e
2lna
x
1
e
ae
x
1
2a2e
x
1
2a0
，所以函数
F(x
1
)
是
(0,x
0
)
上单调
ee
x
1
故
F(x
1
) F(x
0
)0f(x
1
)f(2lnax
1
) 0f(x
1
)f(2lnax
1
)
，

而< br>f(x
1
)f(x
2
)
，所以
x
2
2lnax
1
x
1
x
2
2lna
，故 本判断是正确的；

对于③：因为
x
1
x
2
2 lnaln(x
1
x
2
)
，而
x
1
 x
2
2lna
，所以有
x
1
x
2
1
，故本判断是错误的

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文 字说明，证明过程或演算步骤，请把答案
写在答题纸的指定区域内）
15.
已知函数

f

x

2sin< br>
2



x

3cos2x


4

(1)
求
f(x)
的最小正周期和单调递减 区间
;
(2)
若
f

x

m2在
x

0,



上恒成立
,求实数
m
的取值范围
.

6





2x

3cos2x


2
【解析】
(1)
注意到
,
f

x

1cos



sin2x3cos2x1

2sin

2x

1
.
3



于是
,
f

x

的最小正周期
T
由
2k


2


.
2

2
2x

3
2k


2

kZ

k

5

5

xk



kZ

，

1212
,k



kZ

.
故
f

x

的单调递减区间为

k


1212

(2)
由
x

0,



2





,
2x
知，


6
333



于是
,
当
s in

2x


3
时
,
f
< br>x

取得最大值
13
,
即
f

x

max
13
.


3

2
3
.
要使
f

x

m2
恒成立
,
只需
f
x

max
m2
，即
13m2
.
解 得
m1
故
m
的取值范围是
13,
.

16.
如图，在三棱锥
A-BCD
中，点
E
、
F
分别是
BD
、
BC
的中点，
ABAD
，AEBC
．

求证：⑴
EF
∥平面
ACD
；

⑵
AECD
．

【解析】⑴因为在
BCD
中，点
E
，
F
分别是< br>BD
，
BC
所以
EFCD

又因
EF< br>平面
ACD
,
CD
平面
ACD

从而
EF
平面
ACD

⑵因为点
E
是
BD
的中点，且
ABAD

所以
AEBD

又因
AEBC
,
BC平面
BCD
,
BD
平面
BCD

中点

BC
I
BDB
,
故
AE

平面
BCD

因为
CD
平面
BCD

所以
AE

CD

y
2
x
22
17.
已知椭圆
2

2
1

a b0

的离心率为，且
a
2
2b
.
ab
2
（
1
）求椭圆的标准方程；

（
2
）直线
l
：
xym0
与椭圆交于
A
，
B
两点，是否存在实数
m
，使线段
AB
的中点在圆
xy 5
上，若存在，求出
m
的值；若不存在，说明理由．

【解析】（
1
）由题意得，解得
的
22
故椭圆的方程为
；

（
2
）设，
，

，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即
即，

，

所以，

即
解得与
．又因点在圆上，可得
不存在．

，

矛盾．故实数
18.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是 由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面
用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成 是由圆
O
及其内接等腰三角形
ABC
绕底边
BC
上
的高所在直线
AO
旋转180°而成，如图2．已知圆
O
的半径为10 cm ，设∠
BAO=

，
0


面积为
S< br>cm．

⑴求
S
关于
θ
的函数关系式；
⑵ 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积
S
最大．求
S
取得最大值时腰AB
的长度．
【解析】（1）设
AO
交
BC
于点D
，过
O
作
OEAB
，垂
足为
E
，
在
AOE
中，
AE10cos

，
AB2A E20cos

，
在
ABD
中，
BDABsin

20cos

sin

，
所以
S 
2
π
，圆锥的侧
2
1
220sin
cos

20cos


2
400sin

cos
2

，
(0



2
)

（2）要使侧面积最大，由（1）得：
S400
sin

cos
2

400

(sin
sin
3

)
设
f(x)xx
3,(0x1)

则
f

(x)13x
2
，由
f

(x)1 3x
2
0
得：
x
当
x(0,
3
< br>3
33
)
时，
f

(x)0
，当
x(,1)
时，
f

(x)0

33
33
)
上单调递增，在区间
(,1)
上单调递减， < br>33
所以
f(x)
在区间
(0,
所以
f(x)
在
x
所以当
sin


3
时取得极大值，也是 最大值；
3
3
时，侧面积
S
取得最大值，
3

此时等腰三角形的腰长
AB20cos

201sin
2

201(
3
2
206
)

3 3
答：侧面积
S
取得最大值时，等腰三角形的腰
AB
的长度为
19.
已知函数
f

x

lnxx
. （
1
）求函数
f

x

在点
1,f< br>
1

处的切线方程；

（
2
）若函数h

x



f

x

（
3
）若函数
h

x



f(

x


206
cm
．
3

1
2
x
只有一个极值点，求实数

的取值范 围；

2
1
2
x
（其中

4
） 有两个极值点，分别为
x
1
，
x
2
，且
2
k
h

x
1

h

x
2
在区间
(0,+∞)
上恒成立，证明：不等式
kln43
成立
.
x
1
x
2
1
1
，令
x1
，得
f


1

0
，

x
【解析】（
1
）因为
f

x

lnxx
，所以
f


x


而f

1

ln111
，函数
f
x

在点

1, f

1


处的切线方程为
y1
.
（
2
）函数
h

x



lnxx


1
2
1
x

lnx 

xx
2
，其的定义域为

0,


，

22
x
2


x
，因为
h

x

只有一个极值点，

h


x


x
故
h


x

0
在

0,


上只有一个根
x
0
，即
x
2


x

0
在

0,


上只有一个根
x
0
，




2
4

0则

，解得

0
，



0
又当
x

0,x
1

时，
h


x

0
；当
x

x
1
,

时，
h


x

0< br>，

∴
x
0
是
h

x
< br>在

0,


上的唯一一个极值点，此时

0

（
3
）由（
2
）可知
x
1
x
2


，
x
1
x
2

，

而
h

x
1

h< br>
x
2



lnx
1


x
1

1
2
1
2

x
1


lnx
2


x
2
x< br>2
22



lnx
1
x
2
x
1
x
2




1
< br>2

x
1
x
2

x
1
x
2



ln


2
1

2

h

x
1

h

x
2



11
ln
1
，令
yln

1
，则
y



于是
x
1
x
2
2
2

2
∵

4
，∴
y

0
，∴< br>yln



2
1
在

4, 

上单调递减，

∴
yln43
，∴
kln43
成立
.