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数学复习卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4)
数学复习卷87
班级 姓名 学号

内容：期末复习卷III 第十四章 第十五章 理科拓展 3.1-3.4
一、填空题：
E
,使
AE
1.若正方体
ABCDA< br>1
BC
11
D
1
的棱长为
a
,延长
A
1
A
到
交点,则
OE
的长为 .
2.平行四边形
ABCD
的四个顶点
A,B,C,D
在平面
的同一侧,其中
A,B,C
到

的距离分
别为
2,3,7
,则顶点
D
到

的距离为 .
3.
A,B
两点在平面

的同侧,在平面

内 的射影分别为
A
1
,B
1
,已知
|AA
1
|4
,
|BB
1
|1
,
a
,
O是
BC
1
与
B
1
C
的
2
|A
1
B
1
|33
,若点
P

,则
|PA||PB|
的最大值是 .
4.平面
< br>

,
AB,CD
是夹在

,

之间 的两条线段,
ABCD
且
ABm
,直线
AB
与

成
30

的角,则线段
CD
长的最小值为 .
5.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为
3
,则其外接球的表面积是 .
E
是
AA
1
的中点,在对角面
BB
1
D
1
D
内取一点
M
,
6.正方体
ABCDA1
BC
11
D
1
中,棱长为
a
,
使< br>AMME
最小,其最小值为 .
7.一个等腰直角三角形 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长
为2,则该三角形的斜边长为 .
8.已知三个球的半径
R
1
2R
2
3R
3
,则它们的表面积
S
1
,S
2
,S
3
满足 的等量关系是
.
9.已知正四棱柱的对 角线的长为
6
,且对角线与底面所成角的余弦值为
的体积等于 .
3
,则该正四棱柱
3
r2
,
10.直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上,若
AA
1
2,ABC
外接圆半径
则此球的表面积等于 .
11.一个正四棱柱的8个顶点在一个直径为
2cm
的球面上,如果正四棱柱的底 面边长为
1cm
,
那么该棱柱的表面积为
cm
.
2
A
到
C
1
在长方体表面上的最
12.长方体
ABCDA
1
BC
11
D
1
中,
AB3,BC2,BB
1
1
,由
短距离为 .

二、选择题：
13.
a,b
是异面直线，
aÜ平面

，
bÜ
平面

，

c，那么直线
c
( )
A.同时与
a,b
相交 B.至少和
a,b
中一条相交
C.至多与
a,b
中一条相交 D.与
a,b
中一条相交，与另一条平行
14.纸制的正方体的六个面根据其方位分 别标记为上、下、东、南、
西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，
得 到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A.南 B.北 C.西 D.下


△
上 东

数学复习卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4)
15.已知
m,n
是两条不同直线，

,

,

是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若
m

,n

，则
mn
B.若



,



，则
< br>


C.若
m

,m

，则



D.若
m

,n

，则
mn

16. 长方体
ABCDA
1
BC
11
D
1
的8个顶点在 同一个球面上，且
AB2,AD3,AA
1
1
，
则顶点
A,B
间的球面距离是( )
A.
22

B.
2

C.
三、解答题：
17.如图，已 知正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各条棱长都相 等，
M
是侧棱
CC
1
的中点，求异面
直线
AB1
和
BM
所成角的大小.














A
1
2

2

D. < br>24
B
1
C
1
A
M
BC
E
在
CC
1
上且
C
1
E3EC
.
18. 如图，正四棱柱
ABCDA
1
BC
11
D
1
中，
AA
1
2AB4,
点
(1)证明：
AC
平面
BED
；(2)求二面角
A
1
DEB
的正切值.
1

















D
1
A
1
B
1
C
1
E
D
AB
C

数学复习卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4) 19.如图,在长方体
ABCDA,AB2
,点
E
在棱
AB
上移动.
1
BC
11
D
1
中,
ADA A
1
1
E
为
AB
的中点时,求点
E
到平 面
ACD
1
的距离;
(1)求证:
D
1
EA< br>1
D
;(2)当
(3)
AE
为何值时,二面角
D1
ECD
的大小为

?
4
C
1

D
1

A
1




D


A
E









20.如图,已知四棱锥
PABCD
, ,底面
ABCD
为菱形,
PA
平面
C
B
ABCD
,
ABC60
,
E,F
分别为
BC,PC
的中 点.
(1)证明:
AEPD
;(2)
H
为
PD
上的动点,当
EH
与平面
PAD
所成最大角的正切值为
时,求:(文 )异面直线
AH,EF
所成角的大小.(理)二面角
EAFC
的大小.


















P
6
2
F
A
B
E
C
D

数学复习 卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4)
21如图所示,等腰
A BC
的底边
AB66
,高
CD3
,点
E
是线段
BD
上异于点
B,D
的
动点,点
F
在
BC
边上,且
EFAB
.现沿
EF
将
BEF
折起到
PEF
的位置,使
PEAE
.
(1)当
BE6
时,求异面直线
AC,PF
所成角的大小. (2)(文)当
E
为
BD
中点时,求四棱锥
PACFE
的体积.
(理)当
BE
为多长时, 四棱锥
PACFE
的体积最大?并求出该最大值.

P





E
D

A


F

C





























B

数学复习卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4)
答案
1.
3
a

2
2.6
3.6
3
m

3
5.
9


3
6.
a

2
7.
23

4.
8.
S
1
2S
2
3S
3

9.2
10.
20


11.
242

12.
32

13.B
14.B
15.D
16.C
17.
90

记
n
满足
nDB,nDE
,
z
D
1
A
1
B
1
C
1
E
D
AB
C
y
x
18.(1)证:如图建系,
AC(2,2,4),DB(2 ,2,0),DE(0,2,1)

1
求得
n
的一个解为
n(1,1,2)AC
平面
BED
证毕
1
nAC
1
(2)
55

19.(1)证:D
1
E
在平面
ADD
1
A
1
的射影为
AD
1
A
1
DD
1
EA
1
D
证毕
1
,
AD
(2)
1
;
3
D
C
(3)如右图,
AE23


A
B

E
20. (1)证:
ABBCACABC
为正三角形

AEBC
,即
AEAD

又
AEPAAE
平面
PADAEPD
证毕
z
(2)如图建系,
(文)
arccos





3
6
;(理)
arctan

43
P
F
A
B
E
C
D
y
x

数学复习卷87(14.1-15.6,理科拓展 专题3 3.1-3.4)
21.(1)
arccos
(2)(文)
1

7
189
;
8
(理)当
BE6
时,
P ACFE
的体积达到最大,最大值为
126