助学贷款还款-超市收银员工作总结

2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷


一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁
U
A= ．
2．已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 ．
3
．函数
y=cos
（
x
+）的最小正周期为 ．

4．如图是一个算法的流程图，则输出x的值为 ．

5．某校有足 球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有
40人、60人 、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则
在足球兴趣小组 中应抽取 人．
6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ．
7
．设实数
x
，
y
满足，则
3x
+
2y
的最大值为 ．

8．设S
n
是等差数列{a
n< br>}的前n项和，且a
2
=3，S
4
=16，则S
9
的 值为 ．
9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．
10
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知
A
，< br>B
1
，
B
2
分别为椭圆
C
：+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的
右、下、上顶点，F
是椭圆
C
的右焦点．若
B
2
F
⊥
A B
1
，则椭圆
C
的离心率是 ．


11
．若
tan
β
=2tan
α
，且
cos
α
sin
β
=
，则
sin
（
α
﹣
β
）的值为 ．

12
．已 知正数
a
，
b
满足+
=
﹣
5
，则
ab
的最小值为 ．

•

的取值范围是 ．
13．
M
为圆
O
的弦
CD
上一动点，
AB=8，
CD=6
，已知
AB
为圆
O
的直径，则
2< br>14．已知函数f（x）=|x﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则 实数a的取值范
围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或计算步骤．
15．（14分）在△ ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．
（1）求角A的大小；
（2）若c=3，求b的长．
16．（14分）如图，在正 三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知D，E分别为BC， B
1
C
1
的中点，点F在棱
CC
1
上，且EF⊥C
1
D．求证：
（1）直线A
1
E∥平面ADC
1
；
（2）直线EF⊥平面ADC
1
．

17．（14分）如图，在平 面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+y﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA+PB=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
22
22

18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠AB C=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现
过边界CD上的点E处铺设一条直的灌 溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．

19
．（
16
分）在数列{
a
n
}中，已知
a
1
=
，
a
n
+
1
=a
n﹣
n
，
n
∈
N
*
，设
S
n< br>为{
a
n
}的前
n
项和．

（1）求证：数列{3a
n
}是等差数列；
（2）求S
n
；
（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S< br>p
，S
q
，S
r
成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；
若不存在，说明理由．
20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（
2
）求证：
f
（）≤
0
；

（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

[选修4-1：几何证明选讲]
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的 延长线相交于点E，过E作BA的延长线的
2
垂线，垂足为F．求证：AB=BE•BD﹣AE •AC．
2


[选修4-2：矩阵与变换]
22
． （
10
分）求椭圆
C
：+
=1
在矩阵
A=
对应的变换作用下所得的曲线的方程．


[选修4-4：坐标系与参数方程] < br>23
．已知曲线
C
的极坐标方程为
ρ
sin
（
θ
+）
=3
，以极点为坐标原点，极轴为
x
轴的正半轴建立
平面直角坐标系，求曲线
C
的直角坐标方程．


[选修4-5：不等式选讲]
24
．设
c
＞
0
， |
x
﹣
1
|＜，|
y
﹣
1
|＜，求证：|
2x
+
y
﹣
3
|＜
c
．


七、解答题（共2小题，满分20分）
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣A BCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，
AB=BC=2，M 为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（
2
）点
N
在线段
AD
上，且
AN=λ
，若直线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦值为，求
λ
的值．


26．（10分）设n∈N，f（n）=3+7﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

*nn

2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析


一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁
U
A= {0，1} ．
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】根据补集的定义进行计算即可．
【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，
集合A={﹣1，2}，
所以∁
U
A={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．

2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由
z
（
1
﹣
i
）
=2
，得，

∴z的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3
．（
2016
秋
•
江苏期中）函数
y=cos
（
x
+）的最小正周期为
4
π
．

【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；定义法；三角函数的图像与性质．
【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．
【解答】解：∵
ω
=
，

∴函数的最小正周期
T==4
π
，

故答案为：4π
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．

4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为 23 ．

【考点】程序框图．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知
第1次循环，x=5，n=2；
第2次循环，x=11，n=3；
第3次循环，x=23，n=4；
退出循环，输出x=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了程序框图的应用 问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结
果，是基础题．

5 ．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮
球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来
调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 8 人．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数． 【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3： 1，
则足球兴趣小组中应抽取：
24
×
=8
人

故答案为：8．
【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本 容量除以每个个体被
抽到的概率等于个体的总数．属基本题．

6
．（< br>2016
秋
•
江苏期中）若随机地从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇
一偶的概率为 ．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数，再求出这 两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出
这两个数恰好为一奇一偶的概率．

【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，
基本事件总数
n=
，

=6
，

这两个数 恰好为一奇一偶包含的基本事件个数
m=
∴这两个数恰好为一奇一偶的概率
p==故答案为：．

．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合
理运用．

7
．（
2016
秋
•
江苏期中）设实数
x
，
y
满足，则< br>3x
+
2y
的最大值为
3
．

【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：
设
z=3x
+
2 y
，则
y=
平移直线
y=
经过点
C
时，直线
y=
由，解得，

，

，由图象可知当直线
y=
，

的截距最大，此时
z
最大，

即C（1，0），
此时z
max
=3×1+2×0=3，
故答案为：3

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

8．（2016秋•江苏期中）设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，且a
2
=3，S
4
=16，则S
9
的值为 81 ．
【考点】等差数列的前n项和．

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
2
=3，S
4
=16，
∴
a
1
+
d=3
，
4a
1
+
解得a
1
=1，d=2．
则
S
9
=9
+×
2=81
．

d=16
，

故答案为：81．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9
．（
2016
秋
•
江苏期中）将斜边长为< br>4
的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的
几何体体积是 ．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】综合题；方程思想；演绎法．
【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．
【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．
∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．
∴几何体的体积
V=2
×
故答案为：．

=
．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．

10
．（
2016
秋
•
江苏期中）如图，在平 面直角坐标系
xOy
中，已知
A
，
B
1
，
B
2
分别为椭圆
C
：
=1F
是椭圆
C
的右 焦点．（
a
＞
b
＞
0
）的右、下、上顶点，若
B< br>2
F
⊥
AB
1
，则椭圆
C
的离心率是
+

．

【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由
B
2
F
⊥
AB
1
，可得
•
=0
，即可得出．

【解答】解：F（c，0），A（a，0），B
1
（0，﹣b ），B
2
（0，b），
∴
=
（﹣
c
，
b
），
=
（
a
，
b
），

∵
B
2
F
⊥
A B
1
，∴
22
•
=
﹣
ac
+
b< br>2
=0
，

∴a﹣c﹣ac=0，
2
化为：e+e﹣1=0，0＜e＜1．
解得
e=
故答案为：
，

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11
．（
2016
秋
•
江苏期中）若
tan
β
=2tan
α
，且
cos
α
sin
β
=
，则
sin
（
α
﹣
β
）的值为 ﹣ ．

【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得
2sin
α
cos
β
=cos
α
sin
β
，再根据
cos
α
sin
β
=
，求得

sin
α
cos
β
的值，利用两角差的正弦公式求得
sin
（
α
﹣
β
）的值．

【解答】解：∵
tan
β
=2tan
α
，即
∴2sinαcosβ=cosαsinβ．
∵
cos
α
si n
β
=
，∴
sin
α
cos
β
=
，则
sin
（
α
﹣
β
）
=sin
α
cos
β
﹣
cos
α
sin
β
=
﹣=
﹣，

故答案为：．

=2
，

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．

12
．（
2016
秋
•
江苏期中）已知正数
a，
b
满足+
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；不等式．
【分析】正数
a
，
b
满足+
解出即可得出．
【解答】解：∵正数
a
，
b
满足+
∴
解得
﹣< br>5
≥，化为：
+
=
=
﹣
5
，

﹣
5
﹣
6
≥
0
，

=
﹣
5
，﹣
5
≥，化为：﹣
5
﹣
6
≥
0
，
=
﹣
5
，则
ab
的最小值为
36
．

≥
6
，当且仅当
=
，﹣
5
，即
a=2
，
b=18
时取等号．

解得ab≥36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元 二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．

13
．（
2016
秋
•
江苏期中）已知
AB
为圆
O
的直径，
M
为圆
O
的弦
CD
上一动点，
AB=8
，
CD=6
，则
•
的取值范围是 [﹣
9
，
0
] ．

【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设出 点
M
（
x
，
y
），表示出
•
，求出它的最 值即可．

【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示；

且圆O的直径为AB，
设M（x，y），
则A（4，0），B（﹣4，0），
=
（
4
﹣
x
，﹣
y
），

=
（﹣
4
﹣
x
，﹣
y
）；
•
=
（
4
﹣
x
）（﹣
4
﹣
x
）+（﹣
y
）
2
=x
2
+
y
2< br>﹣
16
，

22
又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，
所以16﹣9≤x+y≤16，
22
即7≤x+y≤16，其中最小值在CD的中点时取得，
所以
•
的取值范围是[﹣
9
，
0
]．

故答案为：[﹣9，0]．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是 建立适当的平面直角坐标系，表
示出出

14．（2016秋•江苏期中）已知函数 f（x）=|x﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，
则实数a的取值 范围是 （﹣∞，﹣5] ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
2
•
，是综合性题目．

【分析】由题意可得f（x）=|x﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离 参数，得到a≤﹣|x+2|，
设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到 a的取值范围．
2
【解答】解：f（x）=|x﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，
当x=2时，f（x）=0恒成立，
当x≠2时，
∴|x+2|+a≤0，
∴a≤﹣|x+2|，
设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：
由图象可知y
min
=﹣5，
a≤﹣5，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，
故答案为：（﹣∞，﹣5]
2

【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．

二、解 答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或 计算步骤．
15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，且tanB=2，
tanC=3．
（1）求角A的大小；
（2）若c=3，求b的长．
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）利用两角和的正切函 数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan
（B+C）的值，根据 三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的
值，结合A 的范围即可得解；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用 正弦定理即可得解b的值．

【解答】（本题满分为10分）
解：（
1
）因为：
tanB=2< br>，
tanC=3
，
tan
（
B
+
C
）
=
因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）
所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…
因为：A∈（0，π），
所以：
A=
．

==
﹣
1
，
…
（
3
分）

（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．
所以：
sinB=
，
sinC=
，

所以由正弦定理可得：
b===2
…
（
10
分）

【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数
基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

16 ．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知D，E分别为BC，B
1
C
1
的中点，点F在 棱CC
1
上，且EF⊥C
1
D．求证：
（1）直线A
1
E∥平面ADC
1
；
（2）直线EF⊥平面ADC
1
．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接ED，∵D，E分 别为BC，B
1
C
1
的中点．可得四边形B
1
BDE是平行 四边形，进而
证明四边形AA
1
ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证 明直线A
1
E∥平面ADC
1
．
（2）在正三棱柱ABC﹣A1
B
1
C
1
中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB
1
，又△ABC是
正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结 论．
【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B
1
C
1的中点，
∴B
1
E∥BD且B
1
E=BD，
∴四边形B
1
BDE是平行四边形，
∴BB
1
∥DE且B B
1
=DE，又BB
1
∥AA
1
且BB
1
=AA
1
，
∴AA
1
∥DE且AA
1
=DE，
∴四边形AA
1
ED是平行四边形，
∴A
1
E∥AD，又 ∵A
1
E⊄平面ADC
1
，AD⊂平面ADC
1
，
∴直线A
1
E∥平面ADC
1
．
（2）在正三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，BB
1
⊥平面ABC ，

又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB
1
，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又BB
1
，B C⊂平面B
1
BCC
1
，BB
1
∩BC=B，
∴AD⊥平面B
1
BCC
1
，
又EF⊂平面B
1
BCC
1
，∴AD⊥EF，
又EF⊥C
1
D，C
1
D，AD⊂平面ADC
1
，C
1
D∩AD=D，
∴直线EF⊥平面ADC
1
．

【点评】本题 考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．

17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C ：x+y﹣4x=0及点A
（﹣1，0），B（1，2）
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA+PB=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
22
22

【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．
【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；
（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．
22
【解答】解： （1）圆C的标准方程为（x﹣2）+y=4，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为
l< br>∥
AB
，
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
1
，
2
），所以直线
l
的斜率为
设 直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）
则圆心
C
到直线
l
的距离为
因为，

．
…
（
4
分）

，

而，所以，
…
（
6
分）

解得m=0或m=﹣4，
故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）

（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）+y=4，
222222
PA+PB=（x+1）+（y﹣0）+（x﹣1）+（y﹣2）=12，
2222
即x+y﹣2y﹣3=0，即x+（y﹣1）=4，…（10分）
因为2222
22
，
…
（
12
分）

所以圆（x﹣2）+y=4与圆x+（y﹣1）=4相交，
所以点P的个数为2．…（14分）
【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．
18．（16分）（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD= 90°，
AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将 绿地分成面积相
等的两部分．

（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】综合题；转化思想；演绎法．
【分析】（
1
）取
AB
中点
G
，则四边形
BCEF
的面积为
即可求灌溉水管
EF
的长度；

（
2
）△
ADC
中，由余弦定理，得

，即可求灌 溉水管
EF
的最短长度．
，求出
GF
，
【解答】解：（1） 因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，
所以，
…
（
2
分）

取
AB
中点
G
，则四边形
BCEF
的面积为
即
=
，

，

解得，
…
（
6
分）

所以（
km
）．

故灌溉水管
EF
的长度为
km
．
…
（
8
分）

，

（< br>2
）设
DE=a
，
DF=b
，在△
ABC
中 ，
所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，
所以∠
ADC=60
°
，

所以△
DEF
的面积为
又，所以
，

，即
ab=3
．
…
（
12
分）

，

在△
ADC
中，由余弦定理，得
当且仅当时，取
“
=
”
．

km
．
…
（
16
分）

故灌溉水管
EF
的最短长度为
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考 查余弦定理，属于中档
题．

19
．（
16
分）（2016
秋
•
江苏期中）在数列{
a
n
}中，已知a
1
=
，
a
n
+
1
=a
n< br>﹣，
n
∈
N
*
，设
S
n
为
{
a
n
}的前
n
项和．

n
（1）求证：数列{3a
n
}是等差数列；
（2）求S
n
；
（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S< br>p
，S
q
，S
r
成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；
若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（
1
）把给出的数列递推式
a
n
+
1
=a
n
﹣，n
∈
N
*
，变形后得到新数列{
3
n
a
n
}，该数列是
以
1
为首项，以﹣
2
为公差的等差数列；

（2）由（1）推出{a
n
}的通项公式，利用错位相减法从而求得求S< br>n
；

（3）根据等差数列的性 质得到2S
q
=S
p
+S
r
，从而推知p，q，r的值．
【解答】（
1
）证明：由
a
n
+
1
=a< br>n
﹣
得到3a
n
+
1
=3a
n
﹣2 ，
n
+
1n
则3a
n
+
1
﹣3a
n
=﹣2．
又∵
a
1
=
，

∴3×a
1
=1，
n
数列{3a
n
}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；
n
（2）由（1）可以推知：3a
n
=1﹣2（n﹣1），
所以，
a
n
=
，

n
+
1n
，
n
∈
N
*
，

所以
S
n
=
﹣﹣﹣﹣
…
﹣，
①

S
n
=
﹣﹣﹣﹣
…
﹣，
②

①﹣②，得
S
n
=
﹣
2
（+++
…
+）﹣，

=
﹣
2
×﹣，

=
，

所以
S
n
=
．

（3）假设存在正整数p，q，r （p＜q＜r），使S
p
，S
q
，S
r
成等差数列．
则2S
q
=S
p
+S
r
，
即
=
+．

由于当
n
≥
2
时，< br>a
n
=
所以数列{S
n
}单调递减．
又p＜q，
＜
0
，

所以p≤q﹣1且q至少为2，
所以≥，﹣
=
．

①
当
q
≥
3
时，≥≥，

又＞
0
，

所以＜+，等式不成立．

②当q=2时，p=1，
所以
=
+．

所以
=
，

所以r=3，（数列{S
n
}单调递减，解唯一确定）．
综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通 项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．

20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f（x）=lnx﹣ax+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（
2
）求证：
f
（）≤
0
；

（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．
【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；
（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；
（3）由（1）可知，a=2时 ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．
【解答】（
1
）解：当
a=2
时，
f
（
x
）
=ln x
﹣
2x
2
+
2x
，
f
′
（x
）
=
﹣
2x
+
1
，

∴f′（1）=0，
∵f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；
（
2
） 证明：
f
（）
=
﹣
lna
﹣+
1
（
a
＞
0
），

2
令
g
（
x）
=
﹣
lnx
﹣+
1
（
x
＞
0
），则
g
′
（
x
）
=
，

∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴
f
（）≤
0
；

（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，
∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用 导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技
能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题 ．

[选修4-1：几何证明选讲]
21．（10分）（2016•宿迁三模） 如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E
作BA的延长线的垂线，垂足为F． 求证：AB=BE•BD﹣AE•AC．
2

【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】连接AD，利用AB为圆的直径 结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共
圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得
AB=BE•BD﹣AE•AC．
【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴BD•BE=BA•BF，
又△ABC∽△AEF，
∴，即
AB
•
AF=AE
•
AC
2
2< br>∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB．
【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考
查 运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．

[选修4-2：矩阵与变换]
22
．（
10
分）（< br>2016
秋
•
江苏期中）求椭圆
C
：+
=1
在矩阵
A=
对应的变换作用下所得
的曲线的方程．

【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．
【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．
【解答】解： 设椭圆C上的点（x
1
，y
1
）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y） ，
则，
…

则代入椭圆方程
22
，得
x
2
+
y
2
=1
，

所以所求曲线的方程为x+y=1．…（10分）
【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23
．（
2016
秋
•
江苏期中）已知曲线
C
的极坐标方程为
ρ
sin
（
θ
+）
=3
，以极点为坐标原点，极轴
为
x
轴的正半轴建 立平面直角坐标系，求曲线
C
的直角坐标方程．

【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】由
【解答】解：由
又ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线
C
的直角坐标方程为．

展开得
展开得
，再利用互化公式即可得出．

，

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]
24
．（
2016
秋< br>•
江苏期中）设
c
＞
0
，|
x
﹣
1
|＜，|
y
﹣
1
|＜，求证：|
2x
+
y
﹣
3
|＜
c
．

【考点】绝对值三角不等式．
【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．
【解答】证明：由
c
＞
0
，|
x
﹣
1|＜，|
y
﹣
1
|＜，

可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|
≤
2
|
x
﹣
1
|+|
y
﹣
1
|＜
=c
，< br>
则|2x+y﹣3|＜c成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝 对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，
考查运算能力，属于基础题．

七、解答题（共2小题，满分20分）
25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在 四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，
AD=AP=4，AB= BC=2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（
2
）点
N
在线段
AD
上，且
AN=
λ
，若直 线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦值为，求
λ
的值．


【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角．
【分析】（
1
）分别以AB
，
AD
，
AP
为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系，求出
，利用向量的夹角公式，即可求异面直线
A P
，
BM
所成角的余弦值；

（
2
）求出平面PBC
的一个法向量，利用直线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦 值为，求
λ
的值．

【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），
P（0，0，4），
又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．
所以，，
…
（
2
分）

，
所以
=
，

所以异面直线
AP
，
BM
所成角的余弦值为．
…

，，（
2
）因为
AN=
λ
，所以
N
（0
，
λ
，
0
）（
0
≤
λ
≤< br>4
），则
，

设平面
PBC
的法向量为
=< br>（
x
，
y
，
z
），

则令
x=2
，解得
y=0
，
z=1
，
< br>所以
=
（
2
，
0
，
1
）是平面PBC
的一个法向量．
…
（
7
分）

因为直线
MN
与平面
PBC
所成角的正弦值为，

所以
解得λ=1∈[0，4]，
所以λ的值为1．…（10分）
，


【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n∈N，f（n）=3+7﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；方程思想；归纳法；函数的性质及应用．
*nn
【分析】（1）由 n∈N，f（n）=3+7﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．
（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
*nn
【解答】解：（1）∵n∈N，f（n）=3+7﹣2，
∴f（1）=3+7﹣2=8，
f（2）=3+7﹣2=56，
33
f（3）=3+7﹣2=368．
22
*nn

证明：（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；
kk
②假设当n=k时成立，即f（k）=3+7﹣2能被8整除，
则当n=k+1时，
f（k+1）=3+7﹣2
kk
=3×3+7×7﹣2
kkk
=3（3+7﹣2）+4×7+4
kkk
=3（3+7﹣2）+4（7+1），
kkk
∵3+7﹣2能被8整除，7+1是偶数，
kkk
∴3（3+7﹣2）+4（7+1）一定能被8整除，
即n=k+1时也成立．
由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【点 评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注
意数学归纳 法的合理运用．

k
+
1k
+
1