班主任评语-实习报告格式范文

江苏卷05-2020年高考数学必刷试卷（解析版）
数学试题I
一．填空题（共70分）
1.已知集合A＝{x|4－x
2
>0}，B＝{ x|0≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝________．
答案：{0，1}
解析：因为集合A＝(－2，2)，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}．
2. 已知复数 z ＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点在实轴上，则a＝________．
答案：1
解析：因为z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，由条件，得a－1＝0，所以a＝1.
3. 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则实 数λ＝________．
答案：2
解析：因为λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，由条件 得－4(2λ＋3)＋7(λ＋2)＝0，所以λ＝2.

4. 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为________.

答案：91
85＋88＋90＋91＋92＋92＋94＋96
解析：平均分为＝91.
8
5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为________．


答案：{2，5，10}
解析：当S←1，I←1时，输出的S值为2；当S←2 ，I←3时，输出的S值为5；当S←5，I←5时，输出的
S值为10.
6. 已知5瓶饮 料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是
果汁类饮料的 概率为________．
7
答案：
10
解析：因为5瓶饮料中随机取2 瓶，共有10种情况，所取的2瓶中没有果汁的有3种情况，所以2瓶中至
7
少有一瓶果汁的有 7种情况，所以其概率为.
10
7. 如图，在正三棱柱ABCA
1
B1
C
1
中，点D为棱AA
1
的中点．若AA
1
＝4, AB＝2，则四棱锥BACC
1
D的体
积为________．


1

答案：23
1
解析： 取AC的中点为O，连结BO，易得BO⊥平面ACC
1
D，所以四棱锥BACC
1< br>D的体积V＝S四边形
3
1
2＋4
ACC
1
D·h＝ ××2×3＝23.
32
8. 已知圆C：(x＋1)
2
＋(y－3)2
＝9上存在两点P，Q关于直线x＋my＋4＝0对称，则m＝________．
答案：－1
解析：由题意可得直线x＋my＋4＝0过圆C的圆心(－1，3)，所以－1＋ 3m＋4＝0，即m＝－1.
11
9. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为12，则＋＝________．
rh
答案：3
②r
2
＋rh
11
22
解析：由已知条件得πrh＝2 ①，2πr＋2πrh＝12 ②，得
2
＝3，即＋＝3.
rhhr
①
10. 将25个数排成五行五列：
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
21
a
22
a
23
a
24
a
25
a< br>31
a
32
a
33
a
34
a
35< br>
a
41
a
42
a
43
a
44a
45
a
51
a
52
a
53
a
54
a
55
已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等．若 a
24
＝4，a
41
＝－2，a
43
＝
10，则a
11
a
55
的值为________．
答案：－11
a
41
－2
a
43
10a
24
4
解析：设每 一列的公比为q，由a
24
＝4，a
41
＝－2，a
43
＝ 10，得a
11
＝
3
＝
3
，a
13
＝3
＝
3
，a
14
＝＝.因
qqqqqq
410

10
－2
15
－
3
，解得q
2
＝4.当q＝2时，a
11
＝－，a
13
＝，所以a
15
＝ 为第一行成等差数列，所以
3
－
3
＝2×


qq

qq44
111511
，a
55
＝a
15
q
4
＝44，所以a
11
a
55
＝－11；当q＝－2时 ，a
11
＝，a
13
＝－，所以a
15
＝－，a
5 5
＝a
15
q
4
＝－
4444
44，所以a
11
a
55
＝－11.

|2
x
－1|，x<2，
11. 已知函数f(x)＝

3
若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是
，x≥2.< br>

x－1
________．
答案：(0，1)
解析： 画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数f(x )

2


的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0
12. 在平面 直角坐标系中，A(0，0)，B(1，2)两点绕定点P顺时针方向旋转θ角后，分别到A′(4，4)，B′
(5，2)两点，则cos θ的值为________．
3
答案：－
5


x＋y－4＝0，
解析：由条件得AA′的中垂线方程为x＋y－4＝0 ，BB′的中垂线方程为x＝3，由

解得

x＝3，

1 1
－－


x＝3，
22
1143

所以 点P(3，1)．又k
PB
＝－，k
PB
′
＝，所以tan θ＝＝－，所以cos θ＝－.
221
1
35


y＝ 1，
－

×1＋


2

2

x
2
y
2
a
13. 已知椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)．若椭圆上存在点P使
ab
sin ∠PF
1
F
2c
＝，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
sin ∠PF
2
F
1
答案：(2－1，1)
PF
2
aP F
2
a2ac2ac
解析：依题意及正弦定理，得＝ (点P不与F
1
F
2
共线)，即＝，∴ －1＝，∴ ＝＋1,
P F
1
cPF
2
aPF
2
a
2a－PF
2< br>c
2a
2
∴ a－c2
＝2
－c
2
<2a
2
<(a＋c)
2
，解得 e>2－1或e<－2－1.又0a＋c
11

14. 若函数f(x)＝x－1－aln x(a<0)对任 意x
1
，x
2
∈(0，1]，都有|f(x
1
)－f(x< br>2
)|≤4


x
1
－
x
2

，则实数a的取值范
围是________．
答案：[－3，0)
1 1

解析：易知函数f(x)在定义域内为增函数，不妨设x
1
2
，则f(x
1
)2
)，∴ |f(x
1
)－f(x
2
)|≤4


x
1
－
x2

⇔f(x
2
)
11

4444a4
－
⇔f(x
2
)＋≤f(x
1
)＋，令g(x)＝f(x)＋＝x －1－aln x＋，只要g′(x)＝1－－
2
≤0在－f(x
1
)≤4< br>

x
1
x
2

x
2
x< br>1
xxxx
4
(0，1]上恒成立，即a≥x－在(0，1]上恒成立．
x
44
∵ x－在(0，1]上单调递增，∴ x－的最大值为－3，∴ －3≤a<0.
xx
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)

3

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知(2a－c)cos B＝bcos C.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝2，a＝1，求sin C的值．
解：(1) 由已知得2acos B＝ccos B＋bcos C，
由正弦定理，得2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)．(2分)
又B＋C＝π－A，所以2sin Acos B＝sin A.
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B＝
1
2
.
又B∈(0，π)，所以B＝
π
3
.(6分)
(2) 由正弦定理，得
a
sin A
＝
b
sin B
，得sin A＝
3
4
.(8分)
又a2
A＝
13
4
.(11分)
又A＋B＋C＝π，得sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝
3＋39
8
.(14分)
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中， 已知AB∥CD，AD＝DC＝PA＝a，AB＝2a.
(1) 试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由；
(2) 若AD⊥AB，BC⊥PC，平面PAB⊥平面ABCD.求证：PA⊥BC.
(1)解：点M为线段PB的中点时，CM∥平面PAD.(2分)

设线段AP的中点为E ，连结ME，DE，CM，则ME∥AB，且ME＝
1
2
AB.
∵ AB∥CD，DC＝a，AB＝2a，
∴ ME∥CD，且ME＝CD，
∴ 四边形MEDC是平行四边形，∴ CM∥DE.(4分)
∵ DE⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，
∴ CM∥平面PAD.(6分)
(2) 证明：连结AC，在底面ABCD中，
∵ AD⊥AB，AB∥CD，AD＝DC＝a，AB＝2a，
∴ AC＝2a，BC＝2a，∴ AC
2
＋BC
2
＝AB
2
，
∴ BC⊥AC.(10分)
∵ BC⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，∴ BC⊥平面PAC.
∵ PA⊂平面PAC，∴ PA⊥BC.(14分)

4

17. (本小题满分14分)

x
2
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是椭圆G：＋y＝1的左、右顶点，P(2，t)( t∈R，且
4
t≠0)为直线x＝2上的一个动点，过点P任意作一条直线l与椭圆G交于点C ，D，直线PO分别与直线AC，
AD交于点E，F.
(1) 当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时，求t的值；
(2) 记直线AC，AD的斜率分别为k
1
，k
2
.
11
① 若t＝－1，求证：＋为定值；
k
1
k
2
② 求证：四边形AFBE为平行四边形．


(1) 解：由题意知，上顶点C(0，1)，右焦点(3，0)，所以直线l：y＝－
23
.(4分)
3
2
2－8k
1
4k
1

x
2< br>2

，
(2) 证明：直线AC：y＝k
1
(x＋2)与＋y＝1联立，得 C

，(6分)
2
4

1＋4k
1
1 ＋4k
2
1

2－8k
2
4k
2

2

，
同理得D

.
1＋4k
2

1＋4k
2
22

3
x＋1，令x＝2，得t＝1－
3

5

4k
1
4k
2
－t
2
－t
1＋4k
1
1＋4k
2
2
由 C，D，P三点共线得k
CP
＝k
DP
，即＝，
2－8k
2
2－8k
2
12
－2－2
1＋4k
2
1＋4k< br>2
12
化简得 4k
1
k
2
＝t(k
1＋k
2
)．(10分)
11
① t＝－1时，＋＝－4(定值)．(11分)
k
1
k
2
② 要证四边形AFBE为平行四边形，只需证E，F的中点即点O，
t


y ＝x，
t4k
1
4k
2
2
由题可知，直线PO的方程为y＝ x，由

得x
E
＝，同理得x
F
＝.
2
t－2k
1
t－2k
2


y＝k
1
（ x＋2）
2（k
1
＋k
2
）2（k
1
＋k
2
）
4k
1
k
2
4k
1
4k
2< br>将t＝分别代入得x
E
＝＝，x
F
＝＝，
k
1＋k
2
t－2k
1
k
2
－k
1
t－2 k
2
k
1
－k
2
t
所以x
E
＋x
F
＝0，y
E
＋y
F
＝(x
E
＋x
F
)＝0，所以点O是EF的中点，
2
即四边形AFBE为平行四边形．(14分)
18. (本小题满分16分)
如图，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB＝103 m，CD＝33 m，现用钢丝绳对这两根钢管进
行加固．
(1) 如图1设两根钢管相距1 m，在AB上取 一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，
形成一个直线型的加固(图中虚线所示)，则B E多长时所用钢丝绳最短？
(2) 如图2设两根钢管相距33 m，在AB上取一点E，以C为支点 将钢丝绳拉直并固定在地面的F
处，再将钢丝绳依次拉直固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的 加固(图中虚线所示)，则BE多长
时所用钢丝绳最短？

解：(1) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，则
33
＋1
tan θ
331
y＝＝＋，其中0<θ<θ
0
，tan θ
0
＝73.(3分)
cos θsin θcos θ
－33cos θsin θ－33cos θsin θ
y′＝＋，易知y′＝＋
2
在(0，θ0
)上是增函数，且当tan θ＝3
sin
2
θcos
2θsin
2
θcosθ
时，y′＝0.
331
故y＝＋在(0，θ
0
)上先减后增，
sin θcos θ
所以当tan θ＝3时，即BE＝43时，有y
min
＝8.(6分)

6

(2) 设钢丝绳长为y m，∠CFD＝θ，则

33
＋
33

(1＋cos θ＋sin θ)，其中0<θ<θ，tan θ＝
103－33
＝
7
.(10分) y＝

00
3

sin θcos θ

33
－33cos θ33sin θ

33
＋
33

(cos θ－sinθ)．(12分) y′＝(＋)(1＋sin θ＋cos θ)＋

sin θcos θ

sin
2
θcos
2
θ

π
令y′＝0得sin θ＝cos θ，当θ＝时，即BE＝63时，有y
min
＝63(2＋2)．(14分)
4
答：(1) BE＝43 m时，钢丝绳最短；(2) BE＝63 m时，钢丝绳最短．(16分)
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝2ln x＋x
2
－ax，a∈R.
(1) 若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 若a＝e，解不等式：f(x)<2；
(3) 求证：当a>4时，函数y＝f(x)只有一个零点．

2
(1) 解：函数的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝2ln x＋x
2
－ax，f′(x)＝＋2x－a.
x
22
由题意，对任 意的x>0，都有f′(x)＝＋2x－a≥0，只要(＋2x)
min
≥a.
xx
22
由基本不等式，得＋2x≥2·2x＝4，当且仅当x＝1时取等号，
xx
所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．(4分)
2x
2
－ex＋2
2
2
(2) 解：当a＝e时，f(x)＝2ln x＋x－ex，f′(x)＝＋2x－e＝>0，
xx
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为f(e)＝2ln e＋e
2
－e·e＝2，所以f(x)<2⇔f(x)故不等式f(x)<2的解集为(0，e)．(9分)
2x
2
－ax＋2
2
(3) 证明：f′(x)＝＋2x－a＝，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝2x
2
－ax＋2， < br>xx
当a>4时，因为Δ＝a
2
－16>0，所以g(x)＝2x
2< br>－ax＋2一定有两个零点．
设两零点分别为x
1
，x
2
( x
1
2
)，
因为x
1
x
2
＝1，所以01
<12
，
则f(x)在区间(0，x1
)和(x
2
，＋∞)上单调递增，在(x
1
，x
2< br>)上单调递减．(12分)
22
因为g(x
1
)＝2x
2< br>1
－ax
1
＋2＝0，所以f(x
1
)＝2ln x
1
＋x
1
－ax
1
＝2ln x
1
－x
1
－2.
2
因为01
<1，所以f(x
1
)＝2ln x
1
－x
2
1
－2<2ln 1－x
1
－2<0，所以f(x
2
)1
)<0.
又f(x)＝2ln x＋x(x－a)，则f(a)＝2ln a>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．(16分)
20. (本小题满分16分)
已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{a
n
}的各项均为正整数，其前n项 和为S
n
，且S
n
＝λa
n
－
μ，n∈N
*
，记数列{a
n
}中任意不同两项的和构成的集合为A.
(1) 求证：数列{a
n
}为等比数列，并求λ的值；
(2) 若2 015∈A，求μ的值；
－
(3) 已知n≥1，求集合B
n
＝{x|3μ ·2
n1
n
，x∈A}中元素的个数．
(1) 证 明：当n≥2时，S
n
＝λa
n
－μ，S
n
－
1< br>＝λa
n
－
1
－μ，所以a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝λa
n
－λa
n
－
1
.
a
n
λλ
因为λ≠1，a
n
>0，所以＝ ，所以数列{a
n
}是以为公比的等比数列．(2分)
a
n
－1
λ－1λ－1
λ
1
因为{a
n
}为无穷数列且各项为 正整数，所以＝1＋为正整数，λ为正整数，
λ－1λ－1
所以λ＝2.(4分)
－
(2) 解：由(1)知S
n
＝2a
n
－μ，则a
1
＝μ，故a
n
＝μ2
n1
，
－－
所以A＝{ μ(2
i1
＋2
j1
)，1≤i*
}．
－－
因为2 015∈A，所以2 015＝μ2
i1
(1＋2
ji
)＝5×13×31.(6分)

7

因为j－i>0，所以1＋2
ji
为不小于3的奇数．
－－－
因为 2
i1
为偶数时，上式不成立，所以2
i1
＝1，μ(1＋2
ji< br>)＝5×13×31.
－－
而1＋2
ji
＝13, 31, 5×31, 13×31, 5×13×31均不满足，所以1＋2
ji
＝5, 5×13；(8分)
－－
当1＋2
ji
＝5时，j－i＝2，μ·2
i1
＝403，则i＝1，j＝3，μ＝403满足；
－－
当1＋2
ji
＝5×13＝65时，j－i＝6，μ2
i1
＝31，则i＝1，j＝7，μ＝31满 足．
综上，μ＝31或403.(10分)(注：少一解扣1分)
－－－－
(3) 解：因为B
n
＝{x|3μ·2
n1
n
，x ∈A}，即3μ·2
n1
<μ(2
i1
＋2
j1
)<3μ· 2
n
，i*
，集合B
n
＋
中元素 等价于满足3·2
n
<2
i
＋2
j
<3·2
n1< br>的不同解(i，j)，i*
，
＋＋＋
若j>n＋2 ，则2
i
＋2
j
≥2
i
＋2
n3
＝2i
＋4·2
n1
>3·2
n1
，矛盾；
＋＋
若ji
＋2
j
≤2
i
＋2
n1≤2
n
＋2
n1
＝3·2
n
，矛盾；
所以j＝n＋2.(14分)
＋
因为2
1
＋2
n2
－3·2
n
＝2＋2
n
>0，
＋＋＋＋＋＋
所以3·2
n
<2
1
＋2
n2
<2
2
＋2
n 2
<…<2
n
＋2
n2
<2
n1
＋2
n2
＝3·2
n1
，
即i＝1，2，…，n时，共有n个不同的解(i，j)， n≥1，故共有n个不同的x∈B
n
.(16分)
－
数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定 其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）

1－1

已知矩阵A＝

，其中a∈R.若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－1) ，求矩阵A的两

a 1

个特征值．

1－1


1


0

0

解：< br>
＝

＝

，所以a＋1＝－1，即a＝－2；( 4分)

a 1


1


a＋1
－1


λ－11

令特征多项式
< br>＝(λ－1)
2
－2＝0，因此λ＝1±2.(10分)

2λ－1

B．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x＝2cos θ，
π
已知点P是曲线C：

(θ为参数 ，π≤θ≤2π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为
，
3

y＝3s in θ
求点P的直角坐标．
x
2
y
2
解：由题意得曲线C的普通方程为＋＝1 ①，(4分)
43
因为π≤θ≤2π⇒sin θ≤0⇒y≤0，直线OP的方程为y＝3x ②.
2525
x＝，x＝－，
55
25215

联立①②得(舍)或所 以点P的坐标为

－
.(10分)
，－
55

215215
y＝y＝－，
55
< br>





C．[选修45：不等式选讲]（本小 题满分10分）
已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求2x
2
＋3y
2
＋z
2
的最小值．
2
11
11

· 2x＋·3y＋1·z
≤[()
2
＋()
2
＋1
2
](2x
2
＋3y
2
＋z
2
)， 解：由柯西不等式可知< br>3

2

23
（x＋y＋z）
2
24641 2
222
所以2x＋3y＋z≥＝，当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．(10分)
1111111111
＋＋1
23


8

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4 ，现从
这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1) 记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；
(2) 设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
C
112
解：(1) 由已知有P(A)＝
3
C
4
＋C
3
11
C
2
10
＝
3
，所以事件A发 生的概率为
3
.(3分)
(2) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2.(4分)
P(X＝0)＝
C
2
3
＋C
2
3
＋C
2
4
C
2
10＝
4
15
，P(X＝1)＝
C
1
3
C
1
3
＋C
1
3
C
1
4
C
2
10
＝
7
15
，P(X＝2)＝
C
1
3
C
1
4
4
C
2
10
＝
15
，(6 分)
所以随机变量X的分布列为

X 0 1 2
P
474
15

15

15

(8分)
数学期望E(X)＝1.(10分)
23．（本小题满分10分）
(1) 设(1 ＋x＋x
2
)
3
＝a
0
＋a
1
x＋a2
x
2
＋…＋a
6
x
6
，求a
2，a
3
；
(2) 设x＝(25＋2155)
20
＋(25＋ 2155)
17
，求x的整数部分的个位数字．
解：(1) 因为(1＋x＋x2
)
3
＝[(1＋x)＋x
2
]
3
＝C
0
3
(1＋x)
3
＋C
1
3
(1＋x)
2
x
2
＋C
2
3
(1＋x)x
4
＋C3
3
x
6
，
所以a
2
＝C
2
3
＋C
1
3
＝6，(2分)
a
3
＝C
3
3
＋C
1
3
C
1
2
＝7.(4分)
(2) 令y＝(25－2155)
20
＋(25－2155)
17
，
x＋ y＝(25＋2155)
20
＋(25＋2155)
17
＋(25－2155 )
20
＋(25－2155)
17

＝[(25＋2155)
20
＋(25－2155)
20
]＋[(25＋2155)
17
＋ (25－2155)
17
]
＝2(25
20
＋C
2
20
25
18
620＋…＋C
20
20
620
1 0
)＋2(25
17
＋C
2
17
25
15
620＋…＋C
16
17
25
1
620
8
.
已知x＋y为整数且个位数为0，(8分)
而0<25－2155＝
55
2 5＋620
<
25
＝0.2，
所以0<(25－2155)
20< br>＋(25－2155)
17
<0.2
20
＋0.2
17
<1，
故x的个位数字为9.(10分)


9