韩国东国大学-2013广东高考英语

山东省烟台市2020届高三数学上学期期末自主练习试题 文
一、选择题：本大题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 1.已知全集
UR
，集合
Axx
2
x60
，
B

xx1

，则

C
U
A

IB
( )
A.

x1x3

B.

x2x3

C.

xx3

D.



2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
1
A.
5
B.
2

5
C.
8

25
D.
9

25
13.已知
sin






，则
tan


( )
3
A.
22
B.
2

4
C.

2

4
D.
22

4.已知等比数列

a
n

中，
a
2
a
10
6a
6
，等差数列

b
n

中，
b
4
b
6
a
6
，则数列

b
n

的前9项和
为( )
A.9 B.27 C.54 D.72
5.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组
数据的平 均数为18，乙组数据的平均数为16，则
x,y
的值分别为( )
A.8，6 B.8，5 C.5，8 D.8，8

xy 0

6.设变量
x,y
满足约束条件

x30
，则
zxy
的最大值为( )

x2y10

A.2 B.4 C.6 D.8
x
2
y
2
7.过双曲线
2

2< br>1

a0,b0

的右焦点
F

1, 0

作
x
轴的垂线与双曲线交于
A,B
两点，
O< br>ab
8
为坐标原点，若
△AOB
的面积为，则双曲线的渐近线方程为( )
3
3
A.
yx

2
B.
y22x
C.
y23x
D.
y2x

8.函数
f

x

x
2
2xe
x
的图象大致是( )


A B C D



1

9.将函数
f

x

sin

x< br>
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将
6

2

所得图象上的每一点向右平移
程可能是( )
A.
x

个单位长度，得到函数
g

x

的图象，则g

x

的一条对称轴方
6

3
B.
x

6
C.
x

3
D.
x
2


3
10.如图，正三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
各条棱的长度均相等，
M,N
分别是线段
BB
1
D
为
AA
1
的中点，
和线段
CC
1
上的动点(含端点)，且满足
BMC
1
N< br>，当
M,N
运动时，下列结论中不正确的是
( )

A.在
△DMN
内总存在与平面
ABC
平行的线段
B.平面
DMN
平面
BCC
1
B
1

C.三棱锥
A
1
DMN
的体积为定值
D.
△DMN
可能为直角三角形
11.已知函数
f
x

x
2
2lnx
与
g

x
cos


x



0< br>
的图象有两个公共点，则满足条件
的周期最大的函数
g

x

可能为( )
A.
g

x

 cos


x







B.
g

x

cos

2< br>
x





C.
g

x

cos

x


2
 
4


D地中海
g

x

 cos

2

x


4

1 2.已知点
A
是抛物线
x
2
4y
的对称轴与准线的交点， 点
F
为抛物线的焦点，点
P
在抛物线
上且满足
PAmPF
，若
m
取最大值时，点
P
恰好在以
A,F
为焦点的 双曲线上，则双曲线的
离心率为( )
A.
31
B.
21
C.
51

2
D.
21

2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

rr
rrr
13.已知向量
a

1,m< br>
，
b

3,2

，且
abb，则实数
m
_______________________.

14.方程
f

x

x
的解称为函数
f

x

的不动点，若
f

x


ax
有唯一不动点，且数列

a
n

满
x2< br>足
a
1


1

1
1
f

，则
a
2018

________________ _______. ，
a
n1
2

a
n

15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三
棱锥< br>PABC
为鐅臑，且
PA
平面
ABC
，
PA2
，
AB3
，
BC4
，
ABBC
，则该鐅臑< br>的外接球的表面积为__________.
uuuruuur
16.已知点
A

1,0

，
B

1,0

，若曲线
C
上存在点
P
，使得
PAPB0
，则称曲线< br>C
为“
L
曲
x
2
1
线”，给出下列曲线： ①
2xy4
；②
xy
；③
y
2
1；④
2y
2
x
2
1
；⑤
yx
2
2
.
2
2
22
其中是“
L
曲线”的所 有序号为_______________________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
△ ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，
bc

sinBsinC

a

sinAs inC

.
(1)求
B
的值；
(2)若
b3
，求
ac
的最大值.
18.为了解一家 企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽取一定数量的产
品进行测试，绘制频率分 布直方图如图所示.

(1)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命；
(2)已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合
格产品中 不低于90小时为优异，其余为一般.现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，
其中甲系列有3 5件(1件优异).请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有
95%
的把握认
为 产品优异与系列有关？
甲系列 乙系列 合计

优异
一般
合计
参考数据：









P

K
2
k


k

参考公式：
K
2

0.10

2.706

n

adbc

2
0.050

3.841

0.025

5.024

，其中
nabcd
.
0.010

6.635

0.001

10.828

ab

cd

ac

bd
< br>19.如图，四棱锥
SABCD
的底面为平行四边形，
DADS
，
DADS
，
ABBSSABD2
.

(1)求证：平面
ASD
平面
ABS
；
(2)求四棱锥
SABCD
的体积.
6
x
2
y
2
20.椭圆
C:
2

2
1

ab0

离心率为，
F
1
，
F
2
是椭 圆的左、右焦点，以
F
1
为圆心，
3
ab
31
为 半径的圆和以
F
2
为圆心、
31
为半径的圆的交点在椭圆
C
上.
(1)求椭圆
C
的方程；
(2)设椭圆
C
的下顶点为
A
，直线
l:ykx
3
与椭圆
C
交于两个不同的点
M,N
，是否存在实
2
数
k
使得以
AM,AN
为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出
k
的值；若不存在，说明理由 .
21.已知函数
f

x

lnxax
2< br>

2a

x

aR

.
(1)讨论函数
f

x

的单调性；
(2)设< br>g

x


x
2
，对任意的
x< br>0


0,2

，关于
x
的方程
f

x

g

x
0

在

0,e

有两个不同的实
e
x
数根，求实数
a< br>的取值范围(其中
e2.71828...
为自然对数的底数).

xt
3
M1,2
22.已知曲线
C
的参数方程为
< br>，是过定点，倾斜角为
l

的直线.

2
yt
4


(1)以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴， 建立极坐标系，写出直线
l
的极坐标方程；
(2)已知直线
l
与曲 线
C
交于
A,B
两点，求
11
的值.

MAMB
23.已知函数
f

x

2x1
，< br>g

x

a12x3
.
(1)当
a5
时，求
f

x

g

x

的解集；
(2)若存在实数
x
使得
f

x< br>
g

x

成立，求实数
a
的取值范围.

参考答案
一、选择题
A B C B A C B C C D A B
二、填空题
13.
8
14.
1009
15.
29

16. ②④
三、解答题
17.解:（1）在
ABC
中，由正弦定理得，
(b c)(bc)a(ac)
，
即
b
2
a
2
c
2
ac
，
a
2
c
2
b
2
1
由余弦定理，得
cos B
，
2ac2
∵
B

0,


，∴
B

3
；
2
（2）由（1）知
9a
2
c
2
ac
(ac)3ac

(ac)
2
9ac
2
于是
ac()
，
32
解得
ac6
，
当且仅
ac3
时，取等号.
所以
ac
的最大值为6.
18.解：（1）由题意，
x450.0110550.0210650. 0310750.02510

850.0110950.0051067

（2）产 品使用寿命处在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率之比为
0 .3:0.25:0.1:0.056:5:2:1
，
因此，产品使用寿命处于[90，100]的抽样件数为
70
依题意，可得列联表：




1
5
. ……6分
14

n(adbc)
2
70(434311)
2
K1.9383.841
，
(ab)(cd)(ac)(bd )3535655
2
对照临界值表，没有95%的把握认为产品优异与产品系列有关．
19.（1）证明：取
AS
中点
H
，连接
DH,BH
，
因为
ABS
等边三角形，所以
BHAS
，
且
BH3
.
又
QDAS
为等腰直角三角形，斜边
AS2
，
DH 1.

在
DHB
中，
DB2,DH1,BH3,


DB
2
DH
2
BH
2

BHDH
，
Q
BHAS
，
BHDH

ASIDHH
，< br>AS
平面
ADS
，
DH
平面
ADS

BH平面ADS
，
又
BH
平面
ABS
，
所以平面
ASD
平面
ABS
；

（2）由（1）知，
BH平面ADS
，
所以，
BH
为三棱锥
BADS
的高.
又
S
ADS

1
113
221
，
V
SABD
BHS
ADS
31
，
2
333
23
.
3
V
SA3BCD
2V
SABD


2a(3 1)(31)

20.解：（1）由题意可得

c
，
6


3

a

解得
a3 ,c2
，
所以
b1
，
x
2
所以椭圆的方程为
y
2
1
；
3
（2）由题意知
k0
，
3

ykx

15
2
22
0
， 联立方程

2
，整理得
(13k)x9kx
4
< br>x
y
2
1


3
81k
2
4(13k
2
)
155
0
（化简可得
k< br>2

），①
412
设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
，则
x
1< br>x
2

15
9k
xx
，
12
2
,
2
4(13k)
13k
设MN
中点为
H
，
9k3
yyk(xx)3
，知，
1212
13k2
13k
2
9k3
,)
， 所以点
H
的坐标为
H(
22
26k26k
由
x
1< br>x
2

因为
AMAN
，所以
AHMN
，
又直线
AM,MN
斜率均存在，所以
k
AH
kMN
1
.
于是
k
AH
k
MN< br>3
1
2
26k


k1
，
9k
0
2
26k
解得
k
2
2
6
，即
k
，
3
3
将
k
6
代入①，满足
0
．故 存在
k
使得以
AM,AN
为邻边的平行四边形可以是菱形，
3
6
．
3
k
值为

21.解：（1）
f

(x) 
1(2x1)(ax1)
2ax(2a)

x0

，
xx



单调递增； 当< br>a0
时，
f

(x)0
，
f(x)
在< br>
0，
当
a0
时，令
f

(x)0，解得
0x
此时
f(x)
在

0,
（ 2）
g(x)
1
1
，令
f

(x)0
，解得
x
，
a
a


1


1


递增，在

,

递减．
a


a

x1x

2g(x)< br>，所以，
e
x
e
x
当
x

 ,1

时，
g

(x)0
，
g(x)
单 调递增，
，

时，
g

(x)0
，
g(x)
单调递减， 当
x

1
∴
x
0,2

时，
g(x)
的值域为
(2,
1
 2]
，
e
当
f(x)g(x
0)
，
x

0,e

有两个不同的实数根，则
a0



f

e

2,

1

且满足

0e,
，
a

11

f()2.

ae
< br>由
f(e)1ae2eea2
，∴
a
又
0 
2
32e
①，
2
ee
11
e
，解得
a
. ②
ae
11121111
由
f()ln()12
，
ln()1
，
aaaaeaae
令
h(x)lnx x
，知
h(x)
单调递增，
111
1
，于是

时，解得
e， ③
eae
32e
综上，
ea
2
．
ee
22.解:（1）直线
l
的直角坐标方程为
xy10
，
而
h()
1
e
将
x

cos

,y

sin
< br>代入可得直线
l
的极坐标方程为

cos


sin

10
；
(2 ) 曲线
C
的方程为
yx
，直线
l
的参数方程为
2


3


x1tcos，

x1



4
，即



y2

y2tsin
3



4
2
t，
2
(t为参数）
，
2
t，< br>2
联立得：
t
2
2t20
，所以
t
1
t
2
2,t
1
t
2
2
，
MAMBt
1
t
2
1110

所以.
MAMBMA
g
MBt
1
t
2
2
23. 解：（1）当
a5
时，原不等式可化为
|2x1||2x3|6
,等价于
3133


xxx
或

或



2222


(2x1)(2x3)6

(2x1)(2x3)6

 (2x1)(2x3)6
3131
解得
x2
或
x
或
1x

2222
所以原不等式的解集为

x|1x2

.
（2）因为存在实数
x
使得
|2x1||2x3||a1|
成立 ，所以
|a1|(|2x1||2x3|)
min
.
又
|2x1||2x3||(2x1)(2x3)|4

|a1|4
，解得
a3
或
a5
.
所以实数
a
的取值范围是
(,3)(5,)
.