例9．( 2006年重庆卷)如图，在四 棱锥P－ABCD中，PA

底面
ABCD,

DAB为直角，AB
‖
CD，AD=CD=2AB, E
、
F分别为PC
、
CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD

平面BEF；
（Ⅱ）设PA＝k
·
AB,且二面角E-BD- C的平面角大于
30
,求k的取
值范围.










考点7 利用空间向量求空间距离和角
例10．（2007年江苏卷）
D
1

C
F

M

D

H

3
如图，已知
ABCDA
1
BC
11
D
1
是棱长为的正方体，
点
E
在
AA
1
上，点
F在
CC
1
上，且
AEFC
1
1
．
（1）求证：
E，B，F，D
1
四点共面；
B
1

A
1

E

A

2
（2）若点
G
在
BC
上，
BG
，点< br>M
在
BB
1
上，
3
C

G

B

GM⊥BF
，垂足为
H
，求证：
EM⊥
平面
BCC
1
B
1
；
（3）用

表示截面
EBFD
1
和侧面
BCC
1
B
1
所成的锐二面角的大小，求
tan

．

例11．（2006年全国Ⅰ卷）
如图,l
1
、
l
2
是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在
l1
上，C在l
2
上，AM=MB=MN
（I）证明AC

NB；
（II）若
ACB60

，求NB与平面ABC所成角的余弦值.











考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择< br>题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.
例12 . 如图（1），将边长为1的正六 边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚
线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六 棱柱容器的底面边长为 时
容积最大.
例13 .如图左，在正三角 形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、
AD、BE、DE的中点，将 △ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为
（ ）









A、90° B、60° C、45° D、0°







B
A
H
J
D
I
E
D
J
E
G F
C
H
I
F
(A
、
B
、
C)
G
A
M
B
N
C

例14.长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
① 设对角线D
1
B与自D
1
出发的三条棱分别成α、β、

角
求证：cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2
＝1
② 设D
1
B与自D
1
出发的三个面成α、β、

角，求证：
cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2

＝ 2









考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算
例15. 如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB＝
2
a，BC＝CA＝AA
1
＝a，
A
1
在底面△ABC上的射影O在AC上
① 求AB与侧面AC
1
所成角；
② 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.














例16. 等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为A B、AC
的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成
的二面角为30°， 则四棱锥A—MNCB的体积为 （ ）
A、

N
M
K
L
B
C
B
A
L
C
M
K
N
A
A
D
B
O
C
B
1
A
1
C
1
A B
D
A
1
D
1
B
1
C
1
C
A
3
3
B、 C、
3
D、3
2
2

例17.如图 ，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，
∠PAD ＝60°
① 求四棱锥的体积；
② 求二面角P－BC－D的大小.












例18 .（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O
1
是半径为R的球O的一
个小圆 ，且圆O
1
的面积与球O的表面积的比值为
A B
D
H
E
C
P
2
，则线段
9
O
O
1
r
R
A
OO
1
与R的比值为 .









【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．如图，在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，已知AB=1，D在BB
1
上，
且BD=1，若AD与侧面AA
1
CC
1
所成的角为
，则

的值为
（ ）
A.

B.
34
6
10
D.
arcsin

4
4
C
1
A
1

B
1
D
C.
arctan
2．直线a与平面

成

角，a是平面

的斜线，b是平面


内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ）
C
A
B

A. 最小值

，最大值



B. 最小值

，最大值
2

C. 最小值

，无最大值 D. 无最小值，最大值
4

3．在一个
45
的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45
角，则此直线与二面角
的另一平面所成的角为（ ）
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90

4．如图，直平行 六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱 长均为2，
BAD60
，则对角线A
1
C与侧面DCC
1< br>D
1
所成
的角的正弦值为（ ）
A.
A
1
D
1
B
1
D
A B
C
1
1
3
B.
2
2
C
C.
23
D.
24
5．已知在
ABC
中
，
AB=9，AC= 15，
BAC120
，它所在平面外一点P到
ABC
三顶
点 的距离都是14，那么点P到平面
ABC
的距离为（ ）
A. 13 B. 11 C. 9 D. 7
6．如图 ，在棱长为3的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别
是棱A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ）
N
D
1
M
D
A
B
B
1
C
1
9
A. B.
2
A
1
3

65
C. D. 2 < br>5
7．将
QMN60
，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ
折成
60
的二面角，则MP与NQ间的距离等于( )
A.
A
3
363
a
B.
a
C.
a
D.
a

4
244
8．二面角

l

的平面角为
120
，在

内，
ABl
于B，AB=2,在

内，
CDl
于D，
CD=3,BD=1, M是棱
l
上的一个动点，则AM+CM的最小值为( )
A.
25
B.
22
C.
26
D.
26

9．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q
在线段CD上，则P与Q的最短距离为( )
A.
1
23
a
B.
a
C.
a
D.
a

2
22
10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包
住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
A.
(26)a
B.
2613
a
C.
(13)a
D.
a

22

11．已知长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，A
1
A=AB=2，若棱AB上存在点P，使
D
1PPC
，则
棱AD的长的取值范围是 ( )
A.

0,1

B.
0,2
C.

0,2

D.
1,2

12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的
角一定不等于（ ）
A.
30
B.
45
C.
60

D.
90

二、填空题
1．如图，正方体ABCD-A1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，E是A
1
B
1
的中点，则下列四个命题：
① E到平面ABC
1
D
1
的距离是
D
1
A
1
E
B
1
C
1




1
；
2
D
A
B
C
② 直线BC与平面ABC
1
D
1
所成角等于
45
；
③ 空间四边形ABCD
1
在正方体六个面内的射影围成
面积最小值为
1
；
2
④ BE与CD
1
所成的角为
arcsin
10

10
D
1
P
A
1
B
1
C
1
2．如图，在四棱柱ABCD---A
1
B
1
C
1
D
1
中，P是A
1
C
1
上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满
足___________时，体积
V
PAEB
恒为定值（写上
你认为正确的一个答案即可）
3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD
折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到
BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离
为__________.
4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，
AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm
的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条
绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了
_________.
5．多面 体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正
方体的一个顶点A在

平面内.其 余顶点在

的同侧，
正方体上与顶点A相邻的三个顶点到

的距离分 别是
A
D
E
B
C
1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面

的距离可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为 .
（写出所有正确结论的编号）
．．


O
1
6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个 面上有三个锈蚀的小孔
（不计小孔直径）O
1
、O
2
、O
3
它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容
器，容器存水的最大容积是_______m
3
.
三、解答题
1． 在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB
1
上，且BM=

O
3

O
2
1
B
1
M，
又CM⊥AC
1
;
（1） 求证：CM⊥C
1
D;
（2） 求AA
1
的长.














2． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=
2
，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.
(1) 求F在何处时，EF⊥平面PBC；
(2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段. 若是，求
出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
(3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.
















3

3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD，SB=
3
．
（1）求证BC

SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的
大小．















4．在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=
1
AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，
2

使D到D

．记面AC
D

为

,面ABC为

．面BC
D

为
．

（1）若二面角< br>
AC

为直二面角（如图二），求二面角

BC 的大小;
（2）若二面角

AC

为60（如图三），求三 棱锥
D

ABC的体积．

5．如图，已知正方形ABCD和矩形AC EF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是线
段EF的中点．
（1）求证AM平面BDE；
（2）求二面角ADFB的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与
BC所成的角是60．