13．已知函数
f(x)


(3a)x3(x7),

a
x6
(x7),
若函数
f(x)
在
(,)
上是增函数，则实数
a
的取值范围是 ．
14．动点
P
与给定的边长为1的正方形在同 一平面内，设此正方形的顶点为
A,B,C,D
（逆
时针方向），且
P
点到
A,B,C
的距离分别为
a,b,c
，若
abc
，则点P的轨迹
是 ，
P
点到
D
点的最大距离为 ..


三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

222
得分


评卷人



15．（本小题满分13分）

已知
tan(

)2
，

(0,)
．
42
（Ⅰ）求
tan

的值；
（Ⅱ）求
sin(2




得分





3
)
的值．
评卷人


16．（本小题满分14分）

已知正方形
ABCD
， 沿对角线
BD
将
ABD
折起，使点
A
到点
A1
的位置，且二面角
A
1
BDC
为直二面角．
（Ⅰ）求二面角
A
1
BCD
的正切值；
（Ⅱ）求异面直线
A
1
D
与
BC
所成角的大小.






得分

评卷人

1７. （本小题满分13分）



甲、乙两人参加奥运会志愿者选拔的英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对
其中 的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽取3题进行测试，至
少答对2题才算合 格.
(Ⅰ)求甲考试合格的概率；
A
1

D
A
C
B

(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率.


得分


评卷人


1８．（本小题满分13分）


如图，将边长为6的等边三角形各切去一 个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的
正三棱柱形的容器．
（
I
）若这个容器的底面边长为
x
，容积为
y
，写出
y
关于x
的函数关系式及定义域；

（
II
）求这个容器
容积的最大值．



















得分


x

评卷人


19．（本小题满分13分）


2
已知数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，满足
S
n
2a
n
n4n
(n1,2,3,)
.
（Ⅰ）写出数列
{a
n
}的前3项
a
1
,a
2
,a
3
；
（Ⅱ）求证：数列
{a
n
2n1}
为等比数列；
（Ⅲ）求
S
n
.

得分


评卷人


20.(本小题满分14分)


在直角坐标系中，动点
M
到点
P(2,2)
的 距离等于点
M
到直线
xy20
的距离
的
2
倍 ，记动点
M
的轨迹为
W
．过点
A(a,0)(a0)
作一 条斜率为
k(k0)
的直线交曲
线
W
于
B、C
两 点，又交
y
轴于点
D
．
（Ⅰ）求曲线
W
的方程；
(Ⅱ)求证：
ABCD
；
(Ⅲ)若
BCCD
，求
OAD
的面积．

北京市东城区2007-2008学年度综合练习（三）
高三数学参考答案 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）



10．
[1,3]
11．
33
99
12．

13．
a3
14．圆，
22

4
2
9．
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15. （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
tan(


tan

1
，
41tan


tan

1
2
. 由
tan(

)2
，可得
41tan

1< br>解得
tan


. ………………６分
3
)
1

10310
,cos


，

(0,)
，可得
sin


．
32
1010

（Ⅱ）由
tan


因此
sin2

2sin

cos


34
,cos2

12sin
2


.
55

sin(2



3
) sin2

cos

3
cos2

sin
3

3143


5252

343
.
10
所以
sin(2





3
)

343
． ………………1３分
10
16．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ） 解：设
O
为
BD
中点，连结
A
1
O
．
∵
A
1
DA
1
B
，
∴
A
1
OBD
.
又二面角
A
1
BDC
是直二面角,
∴
A
1
O
平面
BCD
.
过
O
作
OEBC
，垂足为
E
，连结
A
1
E< br>，
由三垂线定理可知
A
1
EBC
．
∴
A
1
EO
为二面角
A
1
BCD
的平面角．
设正方形
ABCD
边长为2，
则
A
1
O
A
D
O
B
E
C
A
1

2,OE1
，
A
1
O
2
．
OE
∴
tanA
1
EO
∴二面角
A
1
BCD
的大小为
arc tan2
． ………………7分
（Ⅱ）解：连结
A
1
A
，
∵
ADBC
，

∴
A
1
DA
为异面直线
A
1D
与
BC
所成的角.
∵
A
1
O
平 面
ABCD
，且
O
为正方形
ABCD
的中心.
∴
A
1
ABCD
为正四棱锥.
∴
A
1
AA
1
D
.
又
ADA
1
D
．
∴
A
1
DA60

．
∴异面直线
A
1
D
与
BC
所成角的大小为
60
． ………………１４分

解法二：
（Ⅰ）解：设
O
为
BD
中点，连结
A
1
O,OC
．
∵
A
1
DA
1
B
，
∴
A
1
OBD
.
又直二面角
A
1
BDC
,
∴平面
A
1
BD
平面
BCD
，
∴
A
1
O
平面
BCD
.
又
OCBD
，
∴可建立如图的空间直角坐标系
Oxyz
．
设
OC1
，
A
z
A
1


y
D
O
B
C
x
B(0,1，0)，C(1,0,0)
． 则
A
1
(0，0,1) ，
设
n
(x,y,z)
为平面
A
1
BC
的一个法向量，
则
n
A
1
B
，
n
A
1
C
．
又
A
1
B(0,1,1),A1
C(1,0,1),


yz0,




xz0.

令
x1,
则
y1,z1
．
得
n
(1,1,1)
．
BCD
的一个法向量， 又< br>OA
1
是平面
设二面角
BACP
的大小为
，
由
cosn,OA
1

nOA
1
n OA
1

1
31

3
．
3
∴
cos


3
．
3
3
． ………………７分
3
∴二面角< br>A
1
BCD
的大小为
arccos
（Ⅱ）解：由
D(0,1,0)
可得
DA,1)
．
1
(0,1
又
CB(1,1,0)
，
∴
cosDA
1
,CB
DA
1
CB
DA
1
CB

1
22


1
．
2
∴异面直线
A1
D
与
BC
所成角的大小为
60
． ………………１４分

1７. （本小题满分13分）
321
C
6
C
6
C
4
2
(Ⅰ)解：甲考试合格的概率
P 
． ……………６分
甲
3
3
C
10
3 1
C
8
C
8
2
C
2
14
(Ⅱ) 解：乙考试合格的概率
P
乙

．

3
15
C
10
)1P
乙
）
则甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率
P1(1P
甲
（

1８．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由正三棱柱的底面边长为
x
，
可得正三棱柱的高为
44
．
45
………………１３分
6x33
(6x)
．
236

所以容积y
即
y
113
xxsin60

(6 x)
，
326
1
2
x(6x)(0x6)
． ………………６分
24
1
2
x(6x)
， (Ⅱ)解：由y
24
1
2
1
3
x(0x6)
， 可得
yx
424
11
2
(0x6)
． 则
y'xx
28
令
y'0
，得
0x4
．
令
y'0
，得
4x6
．
1
2
x( 6x)(0x6)
在
(0,4)
上是增函数，在
(4,6)
上 是减函数．
24
4
所以，当
x4
时，
y
有最大值．
3
4
即这个容器容积的最大值为． …………１３分
3
所以，函数
y

1９. （本小题满分13分）
（Ⅰ ）解：由
S
n
2a
n
n
2
4n
，
当
n1
时，
a
1
2a
1
14，可得
a
1
3
．
a
n1
S
n 1
S
n
2a
n1
(n1)
2
4(n 1)2a
n
n
2
4n
，
可得
a
n1
2a
n
2n3
．
可得
a
2
7
，
a
3
13
． …………４分
（Ⅱ）证明：由
a
n1
2a
n
2n 3
可得，
a
n1
2(n1)12a
n
2n3 2(n1)12a
n
4n2
2
．
a
n< br>2n1a
n
2n1a
n
2n1
又
a1
2112
．
所以数列
{a
n
2n1}
是首项为2，公比为2的等比数列．…………８分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得，

a
n
2n12
n
．
所以
a
n
2n12
n
．
又
S
n
2a
n
n
2
4n
，
可得
S
n
2
n1
n
2
2
． …………１３分
２０．（本小题满分1４分）
（Ⅰ）解：设
M(x,y)
，依题意有：

(x2 )
2
(y2)
2
2
xy2
2
．
整理得
xy1
．
即曲线
W
的方程为
xy1
．
(Ⅱ)解：直线方程为
yk(xa)
．
由


yk(xa),

xy1,

可得
kx
2
kax10
．
设
B(x
1
,y
1
)
，
C(x
2
,y
2
)
，
BC
中点为
N(x
0
,y
0
)
，
则
x
x
1
x
2
0

2
a
2
,y
ka
aka
0
2
．即
N(
2
,
2
)
．
又
D(0,ka)< br>，
∴
AD
中点也为
N(
a
,
ka
22
)
．
由
ANDN
，
BNCN
，
可得
ABCD
．
(Ⅲ)解：若
BC CD
，不妨设
x
1
x
2
,

则
x
1
x
2
x
2
,
即
x
1< br>2x
2
．
又
x
1
x
2
a,
x
1
x
2

1
k
，

………………９分
………………４分